77套历年全国高中数学竞赛试卷及答案-高中课件精选 284页

2017年全国高中数学联合竞赛（四川初赛）（5月14日下午14:30—16:30）题目*三总成绩13141516得分评卷人复核人考生注意：1.木试卷共有三大题（16个小题），全卷满分140分2.用黑（蓝）色圆珠笔或钢笔作答。3•计算器，通讯工具不准待入考场。4.解题书写不耍超过封线一，单项选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分》1.已知函数/（x）=^lnx+x若对任意的正整数n,都有色＞3,求实数已的取值范围。fe=l处有极值，则实数a的值是（）A.-2B.一1C.1D.22•已知a，pg（0.7r）,tana,tan0是方程¥?+3无+1=0的两个根，则cos（a—0的值是（）3.在（X4-J4-Z）8的展开式。所有形如W（6LbwN）的项的系数Z和是（A.112B.448C.1792D.14336\n224.已知片，尺为椭圆刍+与=1@＞方〉0）的左,右焦点，该椭圆上存在两点A,B,使得帀=3丽,crtr则该椭圆的离心率的取值范围是（A.（0.-）B.（0.-）235.已知ZXABC中,ABBC=3CAAB则些的最大的网V5B.V3C.2D.V56.已知数列仏｝满足：m=+（“-1『（皿2）,用［兀］表示不超过实数x的最大整数，则\n高考血O]?]的个位数是()A.2B.4C.6D.8二，填空题（本大题共6个小题，每条题5分，共30分〉7.已知函数/（%）=25"2亍+58.设ciwR,复数z(=a+i,z2=2a+2z,z3=3«+4z,其中i是虚数单位，若|z,|,|z2|,|z3|成等比数列，则实数e的值是229•若P（x,y）是双曲线扌一丄=1上的点，则卜_引的最小值是8410.如图，设正方体ABCD-A^B^D.的棱长为1,a为过直线的平面，则«截该正方体的截面面积的取值范围是・H.已知实数兀］,兀2，冯满足：彳+玮+球+小2+兀2兀3=2，贝収2I的最大值是•12.设集合M=｛123,4,567,8,9,10｝，A=y.z)Ix,”zuM，且91(x3+j3+z3)｝则集合A屮元素的个数是三，解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）若a=3,求证：数列曾弓｝成等比数列，并求出数列&”｝的通项公式213.已知数列｛色｝满足：q=a,an.\n14.1993年，美国数学家F.Smarandachc提出许多数论问题,引起国内外相关学者的关注,其中之一便是著名的Smarandache函数。正整数n的Smarandache函数定义为=min(mime«Im!),比如：S(2)=2,S⑶=3,S⑹=3(1)求数S(16)和S(2016)的值;(2)若S(n)=7,求正整数n的最大值;(3)证明：存在无穷多个合数n,使得5(/2)=p,其中°为〃的最大质因数.15.如图，点A与点4'在％轴上，且关于y轴对称，过点垂直于x轴的直线与抛物线j2=2x交B,C,点D为线段AB上的动点，点E在线段AC上，满足&=|C4|\AE\(1)求证：直线DE与此抛物线有且只有一个公共点；(2)设直线DE与此抛物线的公共点F,1BABCF与AADE的面积分别为5,,S”求乂的值.-S2\n16.设q,0为实数，若对任意的实数x,y,z,有a(xy+yz+zx)5M50(无2+b+尹)恒成立，其屮M=J%2+列+y2•Jy2+肖+z2•Jb+w+z2.Jz?+ZX+兀?.Jz?+Z¥+〒•-J%2++y2・求Q的最人值和0的最小值\n2017年全国高中数学联赛（四川初赛）试题草考答案及评分标准选择题（木大题共6个小题，每小题5分，共30分）LA2.B3.C4.C5-B6-A填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）三，13.7.1008解答题8.09.210.（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）证明：（1）因为Q“+i_2an+\-411.212.243所以，数列貯｝成等比数列于是腐Q]_2.3“-1ax-44・3心+23心+1_4•3心+2即数列｛色｝的通项公式"3心+110分（2）法1：因为色>3对任意的正整数n都成立，故d=q>3由（1）知^==—3心an-4ay-44・3心+23”t+1①当3"3"T>b3n-\则丽丽养，于是y‘即数列伉｝单调递增从而an>3,因此34时，。-2>。一4>0,贝肪>1h¥-1,1注意到好3+勞h而W>0,甌>3,满足条件\n综上，所求实数a的取值范围（3,+oo）……20分法2：因为色>3对任意的正整数n都成立，故d=q>3下面用数学归纳法证明：当a>3时，对任意的正整数n,都有色>3当72=1时，结论成立：假设n=^>l）Ot,结论成立当几=£+1时，注意至归如=^^=3+^^,……15分ak_1ak~1于是结论对n=k+\也成立.由归纳原理知，对任意的正整数n,都有an>3综上，所求实数a的取值范围（3,+oo）……20分14.解：因为16=24,故S（16）=6……5分由2016=25x32x7知S（20询=max{s（25）,5（32）,S（7）}又S（7）=7,S（32）=6,S（25）=8,古姑（201©=8……10分（2）由S（/?）=7知斤|7!,从而圧7!又5（7!）=7.所以，正整数1的最大值是7!=5040……15分（3）因为对任意奇质数°,取n=2p,都有=p所以，存在无穷多个合数n,使得S@）=Q,其中°为斤的最大质因数……20分15,解：（1）设A（—2/,o）,Az（2a2,0）所以可得B（2/,2g）,C（2a2-2a）设D（xl,yl^AD=XAB，则厉=兄刁于是6+2a2,比）=A（4a2,2J故£>的坐标为（（42-2>2,2加）\n设£（%2，^2）,由CE=,（x2-2a2,y2+2a）=A（-4a2,2tz）所以E的坐标为（（2-4A>2,（2/1-2>z）2a因此直线DE的斜率为：％.丽奇^右,所以ft线DE的方程是y—2加=（4Q[2”G—（仏—化简得，（4/1-2）ay-2/Lz（42-2>=x-（42-2>2即，x=2^（2/1-l）y-2a2（22-1）2①与抛物线方程联立，得y2=2[2«（22—l）y—2/（22—1）2],即y2_4q（2兄-l）y+4/（22-l）2=0此时，方程②有两个相等的根：y=2a（2A-l）代入①，得"2/（22—I），所以直线DE与此抛物线有且只有一个公共点F（2€Z2（2A-1）2,26/（22-1））……10分（2）S}=S^BCF——BC•h=—-4a•（2672~xF^=4cr（4A—4Z2）15分设直线DE与x轴交于点G,令y=0.代入方程①，x=2^（22-l）y-2ez2（2/1-1）2解得无=-a2（2/1—I），,阈Aq=2a2-2a2（22-1）2=2/（42-4才）于是S2=Sg）E=S/WX；_S曲EG=㊁.AG\]yD-yE\=a2（42-4才）.|2加-（22-2归|（4Z-4A2）£20分所以^=2S216.解：取x=y=z=\.有3q59<30,贝\\a<3,/?>3、z+丄2丿（1）先证:Mn3（xy+yz+zx）对任意的实数:,y,z成立/\/yx+—<2人\n2+yz+z~所以，Mn工=2(xy+yz+£¥)+(”-by2+z2>2(xy+yz+zx)+(xy+yz+z¥)=3(xy+yz+zr)⑵再证：A/<3(x2+y2+z2)X\|*任意的实数;,y,z成立+xy+y因为MS=2(x2+y2+z+yz+z1j+(V7+ZX+X2+yz+zx)<3(x2+yf)20分综上可知，a的最大值是3,P的最小值是31988年全国高中数学联赛试题第一试(10月16日上午8:00——9:30)一.选择题(本大题共5小题，每小题有一个正确答案，选对得7分，选错、不选或多选均得0分)：1.设有三个函数，第一个是)=卩(兀)，它的反函数是第二个函数，而第三个函数的图象与第二个函数的图象关于兀+)=0对称，那么，第三个函数是()A.y=~(p(x)B.y=~(p(~x)C.y=~(p丨(兀)D.y=~(p'(—x)2.已知原点在椭圆心;2+),,2_4匕+2灯#2_］二0的内部，那么参数R的取值范围是()A.冈>1B.|QH1C.-KR1D.0v|k|vl3.平而上有三个点集M,N,P：M二{(兀,y)|*|+|y|vl},N二{(兀，y)lyjU-|)2+(y+|)2+^y(x+|)2+(y-|)2<2V2},P={U，y)\\x+y\f;命题乙：a、b、c相交丁一点.则A.甲是乙的充分条件但不必要B.甲是乙的必要条件但不充分C.甲是乙的充分必要条件D.A、B、C都不对1.在坐标平面上，纵横坐标都是整数的点叫做整点，我们用/表示所有直线的集合，M表示恰好通过1个整点的集合，N表示不通过任何整点的直线的集合，P表示通过无穷多个整点的直线的集合.那么表达式（1）MUNUP=I；（2）NH0・⑶MH0.（4）PH0中，正确的表达式的个数是A.1B.2C.3D.4二•填空题（本大题共4小题，每小题10分）：1.2.设X^y,且两数列X,d],如，。3，丿和伤，x,Z?2，“3，y，加均为等差数列，那么6_门（心+2）加|的展开式屮，x的整数次幕的各项系数Z和为3.DE在△ABC中，己知ZA=a,CD、BE分别是AB、AC±的高，则荒二.4.甲乙两队各出7名队员，按事先排好顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，……直至一方队员全部淘汰为止，另一方获得胜利，形成一种比赛过程.那么所有可能出现的比赛过程的种数为・三.（15分）长为迈，宽为1的矩形，以它的一条对角线所在的直线为轴旋转一周，求得到的旋转体的体积.四.（15分）复平面上动点Zi的轨迹方程为|Zi—ZHZil,Zo为定点,另一个动点Z满足Z|Z=-1,求点Z的轨迹，指出它在复平面上的形状和位置.五.（15分）已知a、b为正实数，且*+*=1,试证：对每一个朋“，（G+b）“—a"—矿$2加一2呵.\n1988年全国高中数学联赛二试题一.己知数列｛a』,其中。］=1,他=2,」5an+J—3a“(a”・an+1为偶数),""*2an+1—dn(an*如］为奇数).试证：对一切cn如图，在△ABC屮，P、Q、/?将其周长三等分，HP.Q在43边上，求证：于逖＞孑三.在坐标平面上，是否存在一个含有无穷多直线人，4……，仃，…的直线族，它满足条件：(1)点(1,l)e/n,(n=l,2,3,……)；(2)仏+］=给一仇，其中人+】是仃+］的斜率，给和加分别是/”在兀轴和y轴上的截距，(n=l,2,3,……)；(3)k北卄］M0,(77=1,2,3,).并证明你的结论.\n1988年全国高中数学联赛解答一试题一.选择题（本大题共5小题，每小题有一个正确答案，选对得7分，选错、不选或多选均得0分）：1.设有三个函数，第一个是）=0（兀），它的反函数是第二个函数，而第三个函数的图象与第二个函数的图象关于兀+）=0对称，那么，第三个函数是（）A.歹二—°（兀）B.）'=—°（—兀）C.）'=—p"（兀）D.y=—（p~\~x）解：第二个函数是y=（p~\x）.第三个函数是一x=（p-\-y）t即）=一飒一劝.选B.2.已知原点在椭圆疋兀2+于一4也+2灯+X_1=0的内部，那么参数R的取值范围是（）A.冈>1B.同HlC.~\彳；命题乙：a、b、c相交于一点.B.甲是乙的必要条件但不充分D.A、B、C都不对A.甲是乙的充分条件但不必要C.甲是乙的充分必要条件解：ci,b,c或平行，或交于一点.但当a//b//c时，当它们交于一点时，^<3<7i.选C.2.在坐标平面上，纵横坐标都是整数的点叫做整点，我们用/表示所冇直线的集合，M表示恰好通过1个整点的集合，N表示不通过任何整点的直线的集合，P表示通过无穷多个整点的直线的集合.那么表达式⑴MUNUP=/；（2）NH0.（3）MH0.（4）PH0屮，正确的表达式的个数是A.1B.2C・3D.4解：均正确，选D.二•填空题（本大题共4小题，每小题10分）：1.设xHy,且两数列兀，4，a?，°3，y和沟，x,b°,bq,y,加均为等差数列，那么牛半=Cl2~Cl\a^—a\3解：。2一QipCy—x），b4—b3=^（y—x）,2.（心+2严I的展开式中，兀的整数次幕的各项系数之和为\n解:（心+2严@—2）2T=2（C2』+l2x"+C2丘12yT+C22i25『-2+…+氏計22柏）.令兀=1,得所求系数和=|（32w+,+1）.\n3.在ZMBC中，己知ZA=a,CD、BE分别是A3、AC1.的高，则DEBC=解：'NEDs\abc,■^：=^^=|cosa|.4.甲乙两队各出7名队员，按事先排好顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，……直至一方队员全部淘汰为止，另一方获得胜利，形成一种比赛过程.那么所有可能出现的比赛过程的种数为.解画1行14个格子，每个格子依次代表一场比赛，如果某场比赛某人输了，就在相应的格子中写上他的顺序号（两方的人各用一种颜色写以示区别）.如果某一方7人都已失败则在后而的格子中依次填入另一方未出场的队员的顺序号.于是每一种比赛结果都对应一种填表方法，每一种填表方法对应一种比赛结果.这是一一对应关系.故所求方法数等于在14个格子中任选7个写入某一方的号码的方法数.・・・共有邙种比赛方式.三.（15分）氏为也，宽为1的矩形，以它的一条对角线所在的直线为轴旋转一周，求得到的旋转体的体积.则旋转所得旋转体为两个有公共底面的圆锥，底面半径解：过轴所在对角线BQ中点0作MN丄BQ交边AD、于M、N,作.同样,半.其体积方彳（当产'BCD旋转所得旋转体的体积二芈7T.其重叠部分也是两个圆锥，由厶DOMs/XDAB,D0蛋,OM=D*：B平.•・其体积=2•如（晋）2•誓=亨兀.所求体积=2•卑2r—平兀吕|*\伍.四.（15分）复平面上动点乙的轨迹方稈为乙）|二|0|,Z。为定点，ZoHO,另一个动点Z满足Z|Z=-1，求点z的轨迹，指出它在复平面上的形状和位置.解:z.=4故得|-"曲即如"伶滋即以-玄为圆心自为半径的圆.1I*五.(15分)已知°、b为正实数，.S~+^=1.试证：对每一个nEN,(a+b)n-an-^22n-2ft+l.证明：由己知得ci+b=ab.又a+b^2y[ab,ab^2y[ab,故a+b=ab$4.于是(a+b)k=(ab)k22k.又/+於22仰血而空2如.下面用数学归纳法证明：1°当〃=1时，左=右=0.左M右成立.2°设当〃=鸟伙$1,kWN)时结论成立，即{a+b)k-a-bk>22A-2A+1成立.贝lj(a+b)k+[—ak+i—bk+1=(a+b)(a+b)k—(ak+bk)(a+b)+ab(ak~[+bk~{)=(a+b)[(a+b)k~ak~bk]+^(^■^M_1)^4-(2^-2A+1)+4-2A=22(/:+,)-4-2A+1+4-2A=22(^1)-2(^,)+1.即命题对于n=k+l也成立.故对于一切命题成立.二试题\n_・已知数列{。“},其中。1=1,02=2,J5如|—3必如心+|为偶数)，a,l+2~\禺+]—a“a•如1为奇数).试证：对一切neN*,禺HO.(1988年全国高中竞赛试题)分析：改证$严0(mod4)或a“壬0(mod3).证明：由ai=l,砂=2,得殆=7,。4=29,a[三1,他三2,©三3(mod4).设。3斤-2=1，。3^-1=2,Q3R=3(mod4).贝U如&+1三5X3—3X2=9三1(mod4)；心“2三1—3=—2=2(mod4)；心&+3三5X2—3X1=7三3(mod4).根据归纳原理知,对于一切WN,«3«-2—1＞伽・1三2,«3n—3(mod4)恒成立，故aw^0(mod4)成立，从而又证：a】三1,他三2(mod3).设。2«-1三1»6f2^=2(mod3)成立，贝1J当如-1•如为偶数时他+1三5X2—3Xlml(mod3),当血-】•如为奇数时如+】三2—1三l(mod3),总Z他如三1(mod3).当。2心2好1为偶数吋吆+2三5X1—3X2=2(mod3),当吆q好1为奇数吋如+2三1一2三2(mod3),总之，Q2K+2三2(mod3).于是4严0(mod3).故c9一.如图，在4ABC中，P、Q、R将其周长三等分，且P、0在边上，求证：于逊＞孑,但AB＜|,于是侈证明：作ZSABC及△〃/?的高CMRH.设zMSC的周长为1.则PQ=*.S、p()r_PQRH_PQARSwcWCNWACAPWAB-PQv*-/.A7?=|—AC＜|,从而睿.二.在坐标平面上，是否存在一个含有无穷多直线厶，/2,……，/〃，…的直线族，它满足条件：(1)点(1,l)e/zi,(/7=1,2,3,……)；⑵kn+l=afl-hnf其中觴+】是仃+】的斜率，d“和九分别是/”在兀轴和y轴上的截距，(n=l,2,3,……)；(3)际灯\&0,(7?=1,2,3,).并证明你的结论.证明：设an=bn^O,即化厂]=—1,或an=bn=O,即kn=l,就有化?+1=0,此时偽+1不存在,故匕工±1・现设1,则〉=觴(兀一1)+1,得bn=}—knfan=]—V-,觴+1=匕一*・此时也卜冃/—1.K,n:.kn>\或kn<—1•从而k\>l或k\<—1•有kpkpkQ•…>匕埶八\>0,且X晟s*，(1)当血＞1时,由于0＜^"＜L故k\＞ki=k\—^＞0,若局＞1,则又有俗＞他＞比3＞0,依此类推，知当匕＞1时,由于旬―#随〃2的增大而线性减小，故必存在一个加值,m=m(),使冏一晋W1,从而必存在一个加值加二加0伽，使匕厂戶，而1＞乞％厂厂十＞0,此时匕％+i＜0.nil—1即此时不存在这样的直线族.\n⑵当k\<—1时，同样有一得*<0.若k2<—1»又有《[<斤2<&3<0,依此类推，知当km<一1时，有£|#>右>•••>+>—1，亦施—亡_扫”「-十…祐一并由于k'-半随加的增大而线性增大，故必存在一个加值，加="）,使b—晋三一1，从而必存在一个m值，加二加伽W%）,使S_]WT,而-\+…+I力1992偽92I的值是()\n\n扁考1991199219911993(A)1992(B)1993(c)1993(D)19922.己知如图的曲线是以原点为圆心，1为半径的圆的一部分，则这一•曲线的方程是((A)(x+J】一歹~)(y+Vl-X2)=o⑻(x—J—亍)(y_71-X)丸(0(x+J1-y)(y-J1-兀2)-0(D)(x-J1-b)(y+J1—+)=03.设四面体四个面的面积分别为S,4$,$,它们的最大值为s,记兄二X/$则久一定满足()(A)2<^<4(B)3<<4(C)2.5<<4.5(D)3.5<<5.5C11B4.在厶個7中，角A,B,C的对边分别记为a,b,c(M,且A*人都是方程X=log/,(4A--4)的根，则△個7()(八)是等腰三角形，但不是直角三角形(B)是直角三角形，但不是等腰三角形(C)是等腰直角三角形(D)不是等腰三角形，也不是直角三角形5.设复数如％在复平而上对应的点分别为儿B,且|勿二4,4材_2羽2+分二0,0为坐标原点，则△创〃的而积为()(A)8巧(B)4^3(C)6巧(D)12V36.设fd)是定义在实数集斤上的函数，且满足下列关系A10+.y)=A10-a-),f(20-f(2O+0,则/*&)是(A)偶函数，又是周期函数(B)偶函数，但不是周期函数(C)奇函数，又是周期两数(D)奇两数，但不是周期两数一.填空题(每小题5分共30分)丄，丄，丄直+z1.设X,y,Z是实数，3x,4y,5z成等比数列，且兀歹乙成等差数列，则Z无的值是.2.在区间［0,兀］中，三角方程cos7x=cos5x的解的个数是•3.从正方体的棱和各个面上的对角线中选出k条，使得瓦中任意两条线段所在的f(•线都是异面15线，则k的最大值是224.设Z】,Z2都是复数,且|zi|=3,|z2|=5|zi+z2|=7,则arg();,的值是.5.设数列ci\9329…,cln9…满足a,==1,a3=2,且对任何自然数/b都有②如倫21,乂禺a“日卄2$卄3=弘+8卄1+為卜2+%0则❻+越+…+❻却的值是・6.函数=Vx4-3x2-6x+13_a/x4-x2+1的最大值是.8016<工*<17\n一.(20分)求证：『k\n四、(20分)设人刃是两条异面直线，在/上有/I,B,C三点，且AB=BC,过力，B,C分别作〃的垂线初，BE,6F,垂足依7次是〃，E,F,已知初BE-267^V1O,求/与仍的距离.n+1(a^O,五、(20分)设刀是自然数，f„(x)=x~x~X1.求证：佥知(x)=yfn(x)-fn-\(x),(n>l)2•用数学归纳法证明：・・•21yn-c：y2—+(一lye；*”力+.・•+(一i)2,(j=1,2,…，号,〃为偶数)尸一©』—2+...+(_1)€。,"+...+(_1)2曽，(心1,2,…，呼/为奇数)/;a)=2/1993年全国高中数学联合竞赛试卷第一试一.选择题(每小题5分，共30分)1.y)I"+#W2},则jQ艸的元素个数是((A)4(Q5(6)8⑵91.已知/*3=as加汁戻4(a,b为实数)，且f(虫7矽10)=5,则f(/g仗3)的值是()(A)-5(Q-3(03(〃)随力取不同值而取不同值2.集合畀，〃的并集畀U*=%,&2,却，当矗〃时，(A,Q与&畀)视为不同的对，则这样的U，Q对的个数是()(J)8(〃)9(O26(〃)2771_3.若直线x=4被曲线C：{x—arcsirici){x—arccosei)+(y—arcsin小(y+arccosa)=0所截的弦长为d,当&变化时d的最小值是()71_⑷4(«3(6)2(〃)nsinC—A+cos°+人在比中，角仏从c的对边长分別为⑦仏S若―<5等于畀Q边上的高也贝IJ22的值是()3)1⑴一'\n（A）（B）（C）（D）1.设/〃，〃为非零复数，，为虚数单位，zwC,则方稈」z~\~ni\+|z—mi\=n与|z+/?/1—|z—mi\=—m在同一复平而内的图形（E,E为焦点）是（）一.填空题（每小题5分，共30分）1・二次方程（1一力#+（久+,）卄（1+以）=0&为虚数单位，辰/d冇两个虚根的充分必要条件是久的取值范围为实数乙y满足4x2-5at+4/=5,设5=z+y,1贝I」amax1S「nin5龙711.若zwC,-4）=6,血g（才+4）=3,则z的值是logJ993+log“1993+logJ992k-logA（i19931.设任意实数Xo>x.>x2>X3>O,要使云恳石$云恒成立，则斤的最大值是.2.三位数（100,101,…，999）共900个,在卡片上打印这些三位数,每张卡片上打印一个三位数,有的卡片所印的,倒过来看仍为三位数，如198倒过来看是861；有的卡片则不然，如531倒过来看是，因此，有些卡片可以一卡l£S二用，于是至多可以少打印张卡片.二.（木题满分20分）三梭锥S-ABC中，侧棱场、SB、SC两两互相垂H,M为三角形肋C的重心，〃为肋的中点，作与SC平行的直线朋证明：⑴必与S於相交；⑵设"与创的交点为"，则D为三棱锥S-MC的外接球球心.三.（木题满分20分）设OV^Vb,过两定点伦,0）和〃（方，0）分别引直线/和加，使与抛物线#=x有四个不同的交点，当这四点共圆时，求这种直线八与刃的交点"的轨迹.\n扁考一.(本题满分20分)设正数列越，0,辿，…,弘…满足2一丁色-“-2=2色_](心2)且型=禺=1.求⑷的通项公式.1994年全国高中数学联赛试题第_试一.选择题(每小题6分，共36分)1.设⑦b,C是实数，那么对任何实数兀不等式«sinx+z?cosx+c>°都成立的充耍条件是(A)a,b同时为0,且c〉0(C)牯+b~c(1)设b,C都是复数，如果cr+/?2>c2,则a2+Z?2-c2>0；(2)设b,c都是复数，如果a2+/?2-c2>0,则a2+b~>c2.那么下述说法正确的是(A)命题(1)正确，命题(2)也正确(B)命题(1)正确，命题(2)错误(O命题⑴错误，命题⑵也错误(D)命题⑴错误，命题⑵正确3.已知数列｛勺｝满足珂+】+an=4(/1>1)且Q]=9,其前n项之和为S”,则满足不等广-n-1125的最小整数门是(A)5(C)7(D)8714.已知。"灯‘曲笃，则下列三数："(Siu严:尸(窗严5"(Siw严的大小关系是(A)x(|)2},则点集如E中的整点(即横、纵坐标均为整数的点)的个数为.sin—(1+cos&)4.设°V&V7T,则2的最大值是5.已知一平而与一正方体的12条棱的夹角都等于则sin°二6.己知95个数0］，。2,6，・「°95,每个都只能取+1或一1两个值z_,那么它们的两两Z积的和0］。2+°1°3°94°95的最小值是.1995年全国髙中数学联赛第一试一.选择题(每小题6分，共36分)1.设等差数列心}满足3。8=5绚3月.少>0,其前项之和，则S中最人的是()\n(A)(B)几\n1.设复平而上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为2„Z2,--,Z20则复数册豊犷豊…,Z；；95所对应的不同的点的个数是()⑷4(B)5(C)10(D)202.如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙，在100个小伙子屮，如果某人不亚于英他99人，就称他为棒小伙子，那么，100个小伙子中的棒小伙子最多可能冇()(A)1个(B)2个(C)50个(D)100个3.已知方程I兀—2旳='仮(斤丘2)在区间(2才1,2卅1]上有两个不相等的实根，则斤的取值范国是()0<'O&osi10<-,xwN｝的真了集的个数是1—712.复平面上非零复数力、色在以f为圆心1为半径的圆上，z必的实部为零，zi的辎角主值为6，则z2二3.曲线C的极坐标方程是p=1+cosO,点A的极坐标是(2,0).曲线C在它所在的平面内绕A旋转一周，则它扫过的图形的面积是.4.已知将给定的两个全等的三棱锥的底血粘在一起，恰得到一个所有二呦角都相等的六而体，并口该六而体的最短棱的长为2,则最远的两个基本点顶点的距离是5.从给定的六种不同颜色中选用若T种颜色.将-•个正方体的六个面染色，每面恰染-•种颜色，每两个具冇公共棱的面染成不同颜色.则不同的染色方案共冇种.(注:如果我们对两个相同的止方体染色后，可以通过适当的翻转，使得两个正方体的上、下、左、右、前、后六个对应面的染色都相同，那么，我们就说这两个正方体的染色方案相同).6.在直角坐标平面上，以(199,0)为圆心，以199为半径的圆周上，整点(即横、纵坐标皆为整数的点)的个数为高中教育\n1997年全国高中数学联合竞赛试卷（10月5H上午8:00-10:00）一、选择题（每小题6分，共36分）记$=角+北+・・・+兀，则下列结论正确的是(月)A*ioo=—39Sioo=2b—3(6)X\qo=—byS\g=b—3(QA*l00=—by/(0)>/(》)>/(/)①/(«)>g>/(0)>/(/)(c)/(5)>/(Q)>/(0)>/(/)(勿/(J)>f(a)>/(/)>/(0)6.如果空间三条直线血ZbQ两两成异面直线，那么与②4c都相交的直线冇04）0条（Q1条（。多于1的有限条（〃）无穷多条\n二、填空题(每小题9分，共54分)f(x-l)3+1997^-l)=-l设”y为实数，且满足i(yT)'+199Zy-l)=l，则卄八.%2_Z=1过双曲线2的右焦点作直线/交双曲线TA.B两点，若实数2使得\AB\的直线/恰冇3条，则久=.|2z+丄1=1已知复数？满足Z,则2的幅角主值范围是.已知三棱锥S-M%的底面是以畀〃为斜边的等腰三角形，SA=SB=SC=2,AB=2,设S、A.B、C四点均在以0为球心的某个球面上，则点〃到平而血'的距离为.设ABCDEF为正六边形,一只青蛙开始在顶点力处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一.若在5次Z内跳到〃点，则停止跳动；若5次Z内不能到达〃点，则跳完5次也停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共种.设a=lgz+ig[x(yz)+1],b=lgx_,+lg(xyz+1),c=lgy+lg[(xyz)"+1],记a,b,c中最大数为M.则"的最小值为•一九九八年全国高中数学联合竞赛试卷(10月11日上午800—1000)一、选择题(本题满分36分，每小题6分)1.若a>l,b>1且lg(a+Z?)=lga+lgZ?,则lg(a-l)+lg(b-l)的值⑷等于lg2(B)等于1(C)等于0(D)不是与禺方无关的常数2.若非空集合，牛{丿2豺W345},毕{#3£泾22},贝0能使/?成立的所有$的集合是()(A){引1W^W9}(B){a|6^a^9)(C)帖gW9}(D)03.各项均为实数的等比数列{崩前〃项和记为$,若5.0=10,5^=70,则S。等于()(A)150(B)-200(C)150或一200(D)400或一50q_A_q4.设命题P:关于/的不等式占农+5对0与型#+血比2>0的解集相同；命题Q°2b2c2o则命题0(A)是命题P的充分必要条件(B)是命题"的充分条件但不是必要条件(A)是命题P的必要条件但不是充分条件(B)既不是命题P的充分条件也不是命题P的必要条件5.设E分别是正四而体/况刀的梭很BC,CD的中点，则二而兀—的大小是()人•a/6arcsin—-(D)236.在正方体的8个顶点，12条棱的中点，6个面的中心及正方体的屮心共27个点屮,共线的三点组的个数是()(A)57(B)49(C)43(D)37二.境空题(本题满分54分，每小题9分)1.若/(%)("尺)是以2为周期的偶函数,当兀丘[°」]时，于(兀)则岸I),/(冒,/(罟由小到大的排列是_1.设复数沪COS°+2Sm&(0°w°W18°°),复数？，(1+/)?,2Z在复平面上对应的三个点分别是P,Q、R,当P,Q,R不共线时，以线段/饱/刃为两边的平行四边形的第四个顶点为S,则点S到原点距离的最大值是・2.从0,1,2,3,4,5,6,7,&9这10个数屮取出3个数，使英和为不小于10的偶数，不同的取法有种.3.各项为实数的等差数列的公差为4,其首项的平方与其余各项Z和不超过100,这样的数列至多有项.\n扁考1.若椭圆兀2+4(y—d)2=4与抛物线兀2=2y冇公共点，则实数耳的取值范围是.6・△肋C屮，ZO90°,Z^-30°M是月〃的中点，将沿C”折A(木题满分20分)起，使力,〃两点间的距离为2^2,此时三棱锥j-滋『的体积等于求2的共辘复数Z的辐己知复数N=l-sin"+;cos(2),角主值。四、(木题满分20分)设函数/(兀)=。兀2+&r+3@vo),对于给定的负数的冇一个最大的正数10,使得在整个区间[0,7(^)].上，不等式If3$5都成立。问：&为何值时丿3)最大？求出这个最大的"&),证明你的结论。五、(本题满分20分)已知抛物线y2=2PX及定点人(⑦：)，〃(-纽0),3工0,圧H2pd)酎是抛物线上的点，设直线/覘別/与抛物线的另一交点分别为弘施求证：当轿点在抛物线上变动时(只要M,必存在且厲)，直线必施恒过一•个定点，并求出这个定点的坐标。1999年全国髙中数学联合竞赛一.选择题(满分36分，每小题6分)1.给定公比为g(gHl)的等比数列｛/｝,设方1=句+越+知〔=&+%+/,•••,人=越2+日31+%…，则数列仏｝()(A)是等差数列(Q是公比为q的等比数列(。是公比为d的等比数列⑺)既非等差数列也非等比数列2・平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点叫做整点，那么，满足不等式(|x|-l)2+(|y|-1)2<2的整点(卫y)的个数是()U)16(Q17(6)18(〃)25—V—V3.若(log>^)(log^>)'^(7ogS)-(73)•，贝i]()(A)x-y^0(Qx+yNO(6)/-yW0(Qx+yWO4.给定下列两个关于异面直线的命题：命题I：若平面a上的直线a与平面0上的直线方为异面直线，宜线c是Q与0的交线，那么，c至多与纽6中的一条相交；命题II：不存在这样的无穷多条頁线，它们屮的任意两条都是界面立线。\n那么，（）C4）命题I正确，命题II不正确（砂命题I［正确，命题I不正确（0两个命题都正确（〃）两个命题都不正确3.在某次乒乓球单打比赛屮，原计划每两名选手恰比赛一场，但有3名选手各比赛了2场Z后就退出了，这样，全部比赛只进行了50场。那么，在上述3名选手之间比赛的场数是（）（/DO（01（02（〃）34.己知点J（l,2）,过点⑸-2）的直线与抛物线#=仃交于另外两点EG那么，△加忙是（）U）锐角三角形（Q钝角三角形（0直角三角形（〃答案不确定填空题（满分54分，每小题9分）1.己知正整数〃不超过2000,并比能表示成不少于60个连续止整数之和，那么，这样的刀的个数是.2.丄已知&=arctgl2,那么,cos2^+/sin2^z=复数239+z的辐角主值是ctgC3.在中，记BC=cbCA=b,AB=c,若9a+9Zj2-19c=0,则CtgA+CtgB=4.已知点戶在双曲线169上，并且尸到这条双曲线的右准线的距离恰是尸到这条双曲线的两个焦点的距离的等差中项，那么，"的横坐标是5.己知直线ax+by+c=0中的血力，c是取自集合｛-3・-2,-1,0,1,2,,3｝中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，那么，这样的肖线的条数是6.己知三棱锥JABC的底面是止三角形M点在侧面S比上的射影〃是滋的垂心,二面角/J42C的平面角等于30。,SA=2爲。那么三棱锥GMC的体积为三、（满分20分）己知当氏［0,1］时，不等式"cos。一班1—兀）+（1—兀Fsin。〉。恒成立，试求的取值范围.疋+匚1四、（满分20分）给定水-2,2）,已知〃是椭圆2516上的动点，F是左焦点,当|初|+3|新|取最小值时，求〃的坐标.22五、（满分20分）给定正整数〃和正数必对于满足条件坷+碼+VM的所冇等差数列0,為越，・••.，试求S=£++珀2+・・・+越卄1的故大值.\n2000年全国高中数学联合竞赛试卷（10月15日上午8:00-9:40）一、选择题(本题满分36分，每小题6分)1.设全集是实数,若A"|启耳0},B={x|10?'2=I。”},则卫"是()⑷⑵(B){-1)(C){x|xW2}(D)a2.设sina>0,cosa<0,且sin?>cos(A)(2kp+6,2kp+3),k?Z(B)(5?r（X了,则72Ta了的取值范围是（）2滋7T6,3+3),k?z7ZT(0(2kp+6,2kp+p),k?Z(D)(2kp+4,2kp+3)U(2kp+6,2kp+p),k?Z3.已知点A为双曲线x2-y2=1的左顶点，点B和点C在双曲线的右分支上，是等边三角形，则AABC的而积是()旦3^3(A)3(B)2(C)3朽(D)6柘4.给定正数p,q,a,b,c,其中plq,若p,a,q是等比数列,p,b,c,q是等差数列，则一元二次方程bx2-2ax+c=0（）（A）无丈根（B）有两个相等实根（C）有两个同号和异实根（D）有两个异号实根-r+-5.平而上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线的距离中的最小值是（）734734]1⑷17°(B)85(C)20(D)30JT••疔4=cos—+zsin—1.设55,则以w,w3,w7,w9为根的方程是()(A)x4+x3+x2+x+l二0(B)x4-x3+x2-x+1二0(0x4-x3-x2+x+l=0(D)x4+x3+x2-x-l二0二、填空题（本题满分54分，每小题9分）2.arcsin（sin2000°）=・\n厂lim(—+—+…+—1.设an是(3-“)的展开式中x项的系数(n二2,3,4,…)，则也勺5)二.2.等比数列a+log23,a+log43,a+］og83的公比是.琴+岭=1V5-13.在椭圆(a>b>0)中，记左焦点为I；,右顶点为A,短轴上方的端点为B.若该椭圆的离心率是2,则ZABF=.4.一个球与正四血体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a,则这个球的体积是•5.如果:(l)a,b,c,d都属于{1,2,3,4};(2)alb,blc,cld,dia;(3)a是a,b,c,d中的最小值，那么，可以组成的不同的四位数创的个数是.三、解答题(本题满分60分，每小题20分)6.设Sn=l+2+3+・・・+n,n?N,求f(n)=32)^»+1的最大值./(x)=-lx2+—7.若函数22在区间［a,b］上的最小值为2a,最大值为2b,求［a,b］.兰+4亠2人28.已知C0:x2+y2二1和Cl:ab(a>b>0)o试问：当且仅当a,b满足什么条件吋，对C1上任意一点匕均存在以P为项点，与C0外切「与C1内接的平行四边形？并证明你的结论•2001年全国奇中数学联合竞赛题1、已知a为给定的实数,那么集^M={x|x2-3x-a2+2=0>XeR}的子集的个数为(A)1(B)2(C)4(D)不确定2、命题1：长方体中，必存在到各顶点距离相等的点；命题2：长方体中，必存在到各棱距离相等的点；命题3：长方体中，必存在到各面距离相等的点；以上三个命题中正确的有(A)0个(B)1个(C)2个(D)3个713、在四个函数y=sin|x|,y=cos|x|,y=|ctgx|,y=lg|sinx|中以0,2)上单调递增的偶函数是(A)y=sin|x|(B)y=cos|x|(C)y=|ctgx|(D)y=lg|sinx|4、如果满足ZABC=60°,AC=12,BC=k的NABC恰有一个,那么k的取值范围是(A)k=8(B)0〈kW12(C)$121p=(D)0〈kW2—COS&的短轴长等\n8、若复数zi,z<满足|zj=2,|z』=3,3zi-2z?=2则z忆产。9、正方体ABCD—的棱长为1,则直线AC与BD.的距离是丄log]X10、不等式I23>—2的解集为11、函数y=兀+H一3无+2的值域为o12、在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物(如图)，要求同一•场块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物。现有4种不同的植物可供选择，则有种栽种方案。一、解答题(本题满分60分，每小题20分)22j213、设(山为等差数列，｛捕为等比数列，且也,b2=a2,b3(a(愛(aI>a2>a3>al>as>aJ的电阻组装成一个如图的组件，在组装中应如何选取电阻,才能使该组件总电阻值最小？证明你的结论。2002年全国高中数学联赛试题及参考答案试题一、选择题(本题满分36分，每小题6分)1、函数f(x)=log1/2(x2-2x-3)的单调递増区间是()。(A)(-oo,-1)(B)(-oo,])(C)(1,+oo)(D)(3,+8)2、若实数x,y满足(x+5尸+(y-12)N亿则x'+f的最小值为()。(D)72(B)是奇函数但不是偶函数(D)既不是偶函数也不是奇函数(A)2(B)1(C)V33、两数f(x)=x/l-2x-x/2()(A)是偶函数但不是奇函数(C)既是偶函数又是奇函数\n4、直线x/4+y/3=l与椭岡x716+y79-l相交于A,B两点，该椭岡上点P,使得APAB血积等于3,这样的点P共有(\n扁考(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个5、已知两个实数集合A=｛知如…㈣“^B=｛叽比…,也｝,若从A到B的映射f使得B中每个元素都有原象，且f(e)Wf(aJW・・Wf(aQ则这样的映射共冇()。(A)%(B)C%(C)%(D)C鷺6、由曲线x2=4y,x2=-4y,x=4,x-4围成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为VI；满足x2+y2<16,x2+(y-2)2>4,x'+(y+2)空4的点(x,y)组成的图形绕y轴旋转-周所得旋转体的体积为沧则()。(A)V,=(1/2)V2(B)V,=(2/3)V2(C)VlV?(D)V,=2V2二、填空题(本题满分54分，每小题9分)P-7、己知复数Z、Z2满足IZ(I=2,|Z2I=3,若它们所对应向量的夹角为60°，则I(Z】+Z〃(Zi+Z2)I=。8、将二项式(Jx+1/(2%x))”的展开式按x的降幕排列，若前三项系数成等差数列，则该展开式中x的幕指数是整数的项共冇个。9、如图，点Pi,P2,…，Pu>分别是四面体顶点或棱的中点，那么在同一平面上的四点组(Pi,Pi,P”PQ(ll),使得存在teR,只要xe[i,ty3.2003年全国高中数学联赛第一试816^3⑷⑻亍(C)3(D)8巧5龙7t2”7t71若XG[-则尸tan(r*-3)-tan(x+6)+cos(x+6)的最大值是过抛物线戶8(屮2)的焦点尸作倾斜角为60。的直线.若此直线与抛物线交于J,〃两点，弦肋的中垂线与x轴交于户点,则线段刊，的长等于4.2近导11V3(A)5(B)6(C)6(D)549ro25.已知都在区间(-2,2)内，且“=-1,则函数沪4一厂+丁一歹的最小值是824n1Z⑷5(B)11(07(D)57t6.在四面体ABCD屮,设仙=1,炉巧，直线加?与仞的距离为2,夹角为3,则四面体加Q9的体积等于逅丄丄』I(A)2(B)2(C)亍(D)3高中教育\n二.境空题(每小题9分，满分54分)7.不等式|汁-2#-4|”+3<0的解集是8.设凡尺是椭圆94的两个焦点，P是椭圆上的点，且|朋|:|朋|二2:1,则△朋尺的而积等于9.己知A=｛x\/-4j+3<0,xg/«>彷｛”2i+dwo,#_2@+7)对5W0/w用・若◎则实数a的取值范围是10.己知Q人&〃均为正整数，且log：2,log.4,若4C=9,则亠启・11・将八个半径都为1的球分两层放置在一个圆柱内，并使得每个球和英相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于.12.设妒｛(十进制)〃位纯小数0.⑷血…〜怙只取0或1(7=1,2,-,斫1｝,%是必中元素的个数，$是必中所冇元lim〈.索的和，贝「-87；=.三、解答题(每小题20分，满分60分)此点。3.一张纸上画有半径为R的圆0和圆内一定点A,且0A=a,折叠纸片，使圆周上某一点人'刚好与A点重合，这样的每一种折法，都留下一条直线折痕，当A'取遍圆周上所冇点时，求所冇折痕所在直线上点的集合。1994年全国高中数学联赛试题一、选择题(每小题6分，共36分)1、设a,/?,c是实数，那么对任何实数x,不等式dsinx+/?cosx+c>0.都成立的充要条件是(A)a,b同时为0,且c>0(B)J/+，=cIS”一72—61V125的最小整数〃是(A)5(B)6(C)7(D)8714、已知°0(B)0x/3x+yW1005.的整点个数是—o6.将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可使用，那么不同的染色方法的总数是。7.设M二{1,2,…，1995},A是M的子集且满足条件:当xWA时，15x就不属于A,则A中元素的个数最多是。1996年全国高中数学联赛试题【第一试】一、选择题(本题满分36分，每小题6分)1•把圆2+0，-1)2二1与椭圆9/+e+l)2=9的公共点，用线段连接起来所得到的图形为(A)线段(B)不等边三角形(C)等边三角形(D)四边形2.等比数列｛如的首项«|=1536,公比是尸•用几表示它的前〃项之积，则兀EN)最大的是(A)乃9(B)—】(C)〃】2(D)〃|33.存在整数n使Jp+n+Jit是整数的质数〃(A)不存在(B)只有一个(C)多于一个，但为有限个(D)有无穷多个\n4设,0),以下三个数：ai=cos(sinrn),血二sin(cosx7i),g二cos(x+l)兀的大小关系是(A)a33/2的解集为•7.函数y=x+V(x2-3x+2)的值域为.8.在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物(如图)，要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物。现有4种不同的植物可供选择，则有种栽种方案。三、解答题(本题满分60分，每小题20分)9.设｛a*｝为等差数列,｛"｝为等比数列，且b］=ai2,b2=a22,b3=a32(ai3/2的解集为\n的值域为图3高中教育\n12.在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图3）,要求同一块中种同一种植物,相邻的两块种不同的植物.现有4种不同的植物可供选择，则有种栽种方案.三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13.设｛an｝为等差数列，｛bn｝为等比数列，且b!=a!2,b2=a22,b3=a3:（a!色>曰3>2>&>3i）的电阻组装成一个如图的组件,在组装中应如何选取电阻，才能使该组件总电阻值最小？证明你的结论.―VWV—A/WV~~<_A/WV—WWWW【第二试】一.（本题满分50分）如图，中，0为外心，三条高初、BE、6F交于点〃，直线肋和加交于点風FD和AC交于点N.求证：（1）OBA_DF,OCLDE；（2）OHIMN.\n二.（本题满分50分）兀〉0£卅+2X\卜宀=1txi设（7=1,2,…，/7）且IIgsj丿，求曰的最大值与最小值.三.（本题满分50分）将边长为正整数加，门的矩形划分成若干边长均为正整数的正方形.每个正方形的边均平行于矩形的相应边•试求这些正方形边长之和的最小值.D•:上CnAmB参考答案■选择题：1.C2.B3・D4.D5・C6・A■填空题：\n扁考7.3072•1113139.10.V6(0,l)U(l,2#)U(4,+8)3[l,〒)U[2,+oo)11.212.732二.解答题:13.设所求公差为d:.d>0.由此得af{ax+2d)2=(®+d)4化简得：亦+4皿+〃2=0解得:而-2±血<0,故日］<0若〃=（一2-逅）绚，贝Q厂<7=—r=（V2-I）2若〃=（一2+"2）4,则〃加（勺+乞+・・・+乞）=运+1但"K°存在，故丨Qal0,从而y=V取值最大，此时yp=2yla-a2.s=a^a-a2ci2+1m=r当2时，禺=—才，yf=yll-a下面比较制―与勺亦ay]a—a2=—令2，得1a-—3丄故当0—Clyl—CC°/22,此时九=a^!a-a20分15.解：设6个电阻的组件(如图3)的总电阻为弘，当R7=3,4,5,是日1、曰2的任意排列时，佩最小斤分6,R、、R2证明如下:aR》By\/\aa>-wX'^VVVXr■C1.设当两个电阻召、&并联时，所得组尸的位置，不改变/?值，且当用或凡变小时，/?也\n2.设3个电阻的组件（如图1）的总电阻为几R、/?2+R\R3+R°R3R、+R2显然丘+&越大，几越小，所以为使几.最小必须取丘为所取三个电阻中阻值最小的一个.1/?!—AA/W_3.设4个电阻的组件（如图2）的总电阻为RcdS\=工RE，若记皿"4S严工RjRjRk阳八一&哄,则S、$为定值，于是3-/?3尺4只有当虑虫最小，R\RR最大时，滋最小，故应取R\二.解：先求最小值，因为/=，日'心汽J等号成立当且仅当存在7•使得%7=1,%；—0,j=in•••V最小值为】.10分再求最大值，令X广压九工席+2工炒宀=1•k=\\rn-\-n—{in.ri）若ax—n,则一个边长分别为m—n和刀的矩形可按题目要求分成边长分别为日2,…為的正方形，由归纳假设a2-\a^m—n+n—（//?—77,n））=rn~（/»,n）从而&+a^rn-\-n—（/z?,n）于是当rn=k+1时，f5,刃）上27?+刃一（刃，n）再由（1）可知f5,n）=rn+n—S,/?）.50分2001年全国高中数学联赛试题—・（本题满分50分）如图，"BC中，O为外心，三条高AD、BE、CF交于点H,直线ED和AB交于点M,FD和AC交于点N。求证：（1）OB丄DF,OC1DE（2）OH丄MN。二、（本题满分50分）设Xj>0,ieN+，且£i0,cosa<0,且sin3>cos3,则2的取值范围是()・A.(2kn+n/6,2kn+n/3),kEZE・(2kJi/3+ii/6,2kii/3+n/3),keZC.(2kn+5n/6,2kn+n),kEZD.(2kn+n/4,2kJi+Ji/3)U(2kir+5n/6,2knn),kWZ3-已知点A为双曲线x2-y2=1的左顶点，点B和点C在双曲线的右分支上，AAEC是等边三角形，则AABC的而积是\nA.^3/3爲考A.3^3/4.给定正数p,q,a,b,c,其中pHq・若p,q是等比数列，P,b,c,q是等差数列，则一元二次方程bx?—2ax+c=0(A・无实根E・有两个相等实根C・有两个同号相异实根D・有两个异号实根5.平面上整点(纵、横坐标都是整数的点)到直线y=5/3)・B.V34/D.130x+4/5的距离中的最小值是(A.眉/17085C.1206.设3=cos^+isn5,则以3,GJ3,37,为根的方程是()・A.x4+x3+x2+x+1=0D.x4-x3+x2-x+1=0A.x4—x3—x24-x+1=0B.x4+x3+x2—x—1=0二、填空题KHTKD(本题满分54分，每小题9分)5.arcsin(sin2000°)=・8•设an是(3—V^)n的展开式中x项的系数(n=2,3,4,…),高考\n22o3lim(一+_+・・・+二)则f勺勺比=.9.等比数列a+1og23,a+1og43,a+1og83的公比是.10.在椭圆八/a2+y2/b2=l(a>b>0)中，记左焦点为F,右顶点为A,短轴上方的端点为B.若该椭圆的离心率是丁,则ZABF=.11.一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a,则这个球的体积是・12.如果：(1)a,b,c,d都属于｛1,2,3,4｝；(2)aHb,bHc,cHd,dHa；(3)a是a,b,c,d中的最小值，那么，可以组成的不同的四位数踰的个数是・三、解答题KHTK3(本题满分60分，每小题20分)13.设Sn=l+2+3+・・・+n,neN,求f(n)=3+32)山+1的最大值.14.若函数f(x)=-1/2x2+13/2在区间[a,b]±的最小值为2a,最大值为2b,求[a,b].15.已知Co：x2+y2=1和Ci：x2/a2+y2/b2=1(a>b>0),那么，当且仅当a,b满足什么条件时，对6上任意一点P,均存在以\nP为顶点、与C。外切、与6内接的平行四边形？并证明你的结论.\n岛考参考答案或提不一、1・D；2.D；3・C；4・A；5・B；6・E.提示：1・易得A={2},B={—1,2},则AA5=^.2.由2kn+ji/2cos3,得2kn+n/4<3<2kn+5n/4(kWZ)./.aE(2kn+ji/4,2kn+ji/3)U(2kn+5n/6,kn+ji)(kGZ).3・不妨设E点在x轴上方，则AB:y=73/3x+V3/3,代入x2—y2=l,得B(2,內)・同理可得C(2,—內)・故SAAB0=3^3.4・由2b=p+c,2c=q+b,得b—2p+q3,c=p+2p3.于是-筈^宁于S字从而A=4a‘一4bcVO,方程无实根.5.整点（x（）,yo）到直线5x—3y+12=0的距离为d=I25x0-15y0+12I/5辰・因25x0-15y0是5的倍数，所以丨25X。一15yo+12I22,当x0=—1>yo=—1时等号成立.故府/85即为所求.高考2用2用6.由3=cos10+isin10知，co,g)2,w3,…，w10\n(=1)是1的10个十次方根,则(X—3)(X—W2)(X—W3)…(X—3”)=X1()—1.①又3駕(04,(0%3寫3”是1的5个五次方根，则(X一3，)(X—34)(X—3°)(X—38)(X—G)10)=x5-l.②①三②后，再两边同除以X—W5(=X+1),得(X—3)(x—co3)(x—co7)(x—co9)=x4—x3+x2—x+1.V2二、7・—n/9；8・18；9・1/3；10.90°；11.24a3；12.28.提示：7・原式=arcsin[sin(—ji/9)]——ji/9.8・Van=Cn2•3n"2,1_1/.3n/an=#,*=18(刃T刃).r1111Vlim(1——+—一一+…+—一j原式=18”T9223n-\n=・・・=18._+log43_^+log83q==9・公比宀1绍23。+1叫3,由等比定理，得「@+1绍4场一@+log&3)干J.@+1绍23)-@+1恬43)…亍、血-110•由c/a=2，得c2+ac—a"=0・\n又|ABiJa'+Z,|BF|2=a2,故|AB|2+|BF|2=...=3a2-cl而IAF|"=(a+c)"=・・・=3a?—c"=IAB|2+|BF|2,故ZABF=90°・7.易知球心0为正四面体的中心，0点与棱的中点连线成为球的半径r,则r=4,故球的体积为V=・・・=24.7.按歸中所含不同数字的个数分三类：（1）恰有2个不同的数字时，组成C*=6个数；（2）恰有3个不同数字时，组成=个数；（3）恰有4个不同数字时，组成用=6个数.故符合要求的四位数顽共有6+16+6=24（个）・三、13.{n+32)(n+2)_J<1+星+342屈+3450七，当且仅当n=64/n,即n=8时，上式等号成立，故f(n)叭x=1/50・14•分三种情况讨论：(1)当0Wa0的解集为()22A.[2,3)B.(2,3]C.[2,4)D.(2,4]4、设0点在\ABC内部，且有OA+2OB+3OC=0,则AABC的面积与\AOC的面积的比为（）A.2C.3D.\n5.设三位数n=abc,若以a,b,c为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数门有（）A.45个B.81个C.165个D.216个6、顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A是底面圆周上的点，B是底面圆内的点，O为底面圆的圆心，丄OB,垂足为B,OH丄PB,垂足为H,且PA=4,C为PA的屮点，则当三棱锥O—HPC的体积最大时，0B的长是（）二.填空题（本题满分54分,每小题9分）7>在平面直角坐标系xoy中，函数/（x）=tzsinor+cosax{a>0）在一个最小正周期长的区间上的图像与函数g（X）=J/+］的图像所围成的封闭图形的面积是8、设函数.f:R—R,满足/'（0）=1,且对任意兀,）疋/?,都有f(xy+1)=/(%)/(y)一/(刃一x+2,则/(X)=9、如图、正方体ABCD_AB\CQ\中，二面角A—Bq—A的度数是。10、设P是给定的奇质数，正整数k使得Jk—pk也是一个正整数，则k二。”111、已知数列。0,4卫2，・・・,陽,・・・,满足关系式（3-色+1）（6+色）=18,且。0=3,则》一的值是\n岛考三、解答题(本题满分60分，每小题20分)13、一项“过关游戏”规则规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于2”，则算过关。问：(I)某人在这项游戏屮最多能过儿关？(II)他连过前三关的概率是多少？(注：骰子是一个在各面上分别有1,2,3,4,5,6点数的均匀正方体。抛掷骰子落地静止后，向上一面的点数为出现点数。)414、在平面直角坐标系xoy中,给定三点A(0,-),B(-l,0),C(l,0)，点P到直线BC的距离是该点到直线AB,AC距离的等比中项。(I)求点P的轨迹方程；(II)若直线L经过AABC的内心(设为D),且与P点的轨迹恰好有3个公共点，求L的斜率k的取值范围。Oy—t的定义域为15、已知a,0是方程4宀钺亠0(心)的两个不等实根，函数用)=嵩(I)求g(/)=maxf(x)-mnf(x)；71(II)证明：对于e(0,—)(z=1,2,3)，若sin+sinu2+sin=1,贝！J—'—+—'—+—'—<->/6og(tan%[)g(tanu2)g(tanu3)4二oo四年全国高中数学联合竞赛试题泰考答嚓及许今标冷说明：1、评阅试卷时，请依据本评分标准。选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其他屮间档次。2、如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时可参照本评分标准适当划分档次评分，5分为一个档次，不要再增加其他中间档次。一、选择题(本题满分36分，每小题6分〉1、解：因方程F+4xcos0+cot&=0有重根，故厶=16cos2&-4cot&=07110<0<-./.4cot^(2sin20-l)=O得sin2&=—12.•・20=-或23=—,于是6=—或—o故选B。6612122、解：MNh0相当于点(0,b)在椭圆x2+2/=3±或它的内部.・.^<1,故选Ao\n33]3.解：原不等式等价于271og2^-l--log2^+-+->0log2x-I>0/1—二广——>0设71og2x-l=r,则有｛22t>0即0b,必须满足bZMPN故点P(1,0)为所求，所以点P的横坐标为1。三、解答题《本题满分60分，每小题20分》13、解：由于骰子是均匀的正方体，所以抛掷后各点数出现的可能性是相等的。(I)因骰子出现的点数最大为6,而6x4>24,6x5<25,因此，当n>5时，n次出现的点数之和大于2"己不可能。即这是一个不可能事件，过关的概率为0。所以最多只能连过4关。5分(II)设事件&为“第n关过关失败”，则对立事件兀为“第n关过关成功”。第n关游戏中，基本事件总数为6〃个。第1关：事件4所含基本事件数为2(即出现点数为1和2这两种情况)，—22・•・过此关的概率为：p(A)=1-p(A)=>-t=-o63第2关：事件4所含基本事件数为方程x+y=G当a分别取2,3,4时的正整数解组数Z和。即有C：+C；+C=l+2+3=6（个）。\n—65/.过此关的概率为：P（A＞）=1—P（A＞）=1—~=—°「-6〜610分第3关：事件九所含基本事件为方程兀+y+z=d当a分别取3,4,5,6,7,8时的正整数解组数之和。即有C；+&+U+C+C+U=1+3+6+10+15+21=56（个）。・•・过此关的概率为：P(入)=1-P(A)=1-|^=—o62715分—————2520100故连过前三关的概率为：P（A）xP（A）xP（4）=-x-x—=——。362724320分(说明：第2,3关的基本事件数也可以列举出来)2414、解：(I)直线AB、AC^BC的方程依次为y=—O+l),y=——(x-l),y=O。点P(x,y)至ljAB、AC、BC的距离依次为=-|4x-3y+4|,=-|4x+3y-4|,=|yI。依设，5d&2=送，得116兀2—(3y—4)21=25/,即16/-(3y-4)2+25/=0,或16“-(3^-4)2-25/=0,化简得点P的轨迹方程为圆S：2F+2b+3y_2=0与双曲线T:8x2_17)，+12y-8=05分(II)由前知，点P的轨迹包含两部分圆S：2x2+2y+3＞'-2=0①与双曲线T：8x2-17y4-12y-8=0②因为B(-1,0)和C(1,0)是适合题设条件的点，所以点B和点C在点P的轨迹上，且点P的轨迹曲线S与T的公共点只有B、C两点。AABC的内心D也是适合题设条件的点，由d}=d2=d^解得D(0,*),且知它在圆S上。直线L经过D,且与点P的轨迹有3个公共点，所以，L的斜率存在，设L的方程为y=kx^—(3)2(i)当k=0时，L与圆S相切，有唯一的公共点D；此时，直线y=|平行于x轴，表明L与双曲线有不同于D的两个公共点，所以L恰好与点P的轨迹有3个公共点。10分(ii)当£工0时，L与圆S有两个不同的交点。这时，L与点P的轨迹恰有3个公共点只能有两种情况：情况1：直线L经过点B或点C,此时L的斜率k=±-f直线L的方程为x=±(2y-l)0代入方程23454②得y(3y—4)=0,解得£(-,-)或F(-表明直线BD与曲线T有2个交点B、E；直线CD与曲1333线T有2个交点C、Fo\n故当k=±丄时，L恰好与点P的轨迹有3个公共点。15分2情况2：直线L不经过点B和C（即k^±-）,因为L与S有两个不同的交点，所以L与双曲线T有28x2-17/+12y-8=0且只有一个公共点。即方程组41有且只有一组实数解，消去y并化简得y=kx+—V225（8-17Zr2）x2-5fcc——=04该方程有唯一实数解的充要条件是8-17/=02S或(-5)l)2+4(8-17F)—=04解方程④得“土睜解方程⑤得"±丰综合得頁线L的斜率k的取值范围是有限集｛0,土*,±*p20分15、解：(I)设a)—<0则/匕)_朋)=¥-字—区勺)[心m牡+2]x2+1Xj+1(球+1)(彳+1)又t(x}+七)一2兀丿2+2>t(x}+x2)-2x,x2+*>°•••/(£)—/(兀|)>0故/（兀）在区间［a,0］上是增函数。a-\-/3=t,a/3=——,4・・・g(r)=maxf(x)-min/(x)=/(/?)-f(a)=("“)【心+〃)一砂+习a2f3~+a2+/?2+ird16血+1(2尸+5)~16尸+25-10分(II)证:\n8z2q16“(一+3)+24cosI”z、COSW；COS~Ur・COSILg伽"J=———=MO~~;—lb|916+9cos「比cos2ui,2时二佔(一,2,3)16+9cos_u{16+9cosu：3][3115分£sin^=1,且比w(0Z),Z=l,2,3/.3Jsin2^.>(Jsinw.)2=1,而均值不等式与柯西不等式中,/=i2/=i：=1等号不能同时成立，/.——i——+—!—+—i—<—^(75-9xl)=-V620分g(tanw,)g(tanw2)g(tanu3)16<6342004年全国高中数学联赛加试试卷一、（50分）在锐角三角形ABC中，AB±的高CE与AC±的高BD相交于点H,以DE为直径的圆分别交AB、AC于F、G两点，FG与AH相交于点K。已知BC=25,BD=2（）,BE=7,求AK的长。解：由题设可知：ZADB=ZAEC=90°,AADBAAEC,ADBDAB~AE~~CE~~\C①10分又BC=25,BD=20,BE=7,故CD=15,CE=24.由①可解得：AD=15,AE=1&20分于是点D是Rt\AEC的斜边AC的中点，DE=15.连接DF,因为点F在以DE为直径的圆上，ZDFE=90°,故点F为线段AE中点，AF=9.30分因为G、F、E、D四点共圆，D、E、B、C四点共圆，所以ZAFG=ZADE=ZABC,于是FGBC,延长AH交BC于P,故:AK_AF~AP~~AB40分又H为\ABC的垂心，故AP1BC,BA=BC=25,/.AABP=\CBE,AP=CE=24,50分于是g竺込氓至AB2525二、（50分）在平面直角坐标系XOY中，y轴正半轴上的点列｛A”｝与曲线y=V2^（x>0）上的点列｛$｝满^\OAn\=\OBn\=丄，直线&场在兀轴上的截距为陽，点的横坐标为(I)证明an>an^（1【）证明有,使得对Vn>A?0都有色+空++鬼+如—2004。b、b2bn_xbn\n扁考（I）证明：依题设有：斗0,*场（仇,阿）,（仇〉0）,由|皿|=+得:矿+2®=+，,"”=沪一1心又直线在兀轴上的截距为色满足仏-0）［亦-丄kM丿彳。*一。）an10分亠临"+2说=仇+2+J2仇+42叫20分30分,nwN4+1+1矿2n+1>2(斤+1『~r+]l)2n4+1rr40分(\n<11)(11)—+—++++<2^+1*+134丿<22+l2’丿2k)1_k-\设S,?=c-+c2++c“,〃gAT，则当n=2*—2>l(kwNj时,2+丄++亠+4”342*—12k〉2・*+2冷++2宀\n所以，収勺二鸟4009—2,对V/i＞/?0都有:a+1勺丿k“2>4009一1=200450分故有直+直++“+如5—2004成立。S^2hn-lbn三、（50分）对于整数n＞4,求出最小的整数/（〃），使得对于任意正整数加，集合｛%加+1,+的任一个/（町元子集屮，均有至少3个两两互素的元素。解：当n＞4时，对集合M=｛加5加+1,,/n4-n—1｝:若2|加，则m+l,m4-2,m+3两两互素；若2|加，则"加+1,加+2两两互素。于是M的所有〃元子集中，均有至少3个两两互素的元素，于是/（町存在且/（/?）＜/io……10分设7＞｛也5〃+1,且2|t,或3|t｝，则7；是集合｛2,3,,+1｝的子集，且该集合中任意3个元素均不能两两互素，因此/（h）＞|7；|+E/（识由容斥原理知：町|=n+171+136从而必有:20分因此，/（4）＞4,/（5）＞5,/（6）＞5,/（7）＞6,/（8）＞7,/（9）＞8o下证/（6）=5设西,兀2，兀3，兀4，兀5为｛厲加+1,，加+5｝屮的5个数元素，若这5个数屮有3个奇数，则它们两两互素;若这5个数中有两个奇数，则必有3个偶数，不妨设若,兀2,兀3为偶数，兀，兀5为奇数，当1?＜丿S3时，乞-®w｛2,4｝,所以西,兀2，禺中至多有一个能被3整除，至多有一个能被5整除，即至少有一个既不能被3整除又不能被5整除，不妨设此数为冯，则冯，兀，禺两两互素，这就是说这5个数中有3个数是两两互素，即/（6）=5o30分又由｛m,m-1,册｝/岸m1,戶｝彳1｝知：/（/2+1）＜/（斤）+1,所以/（4）=4/）5=『,）％（序，=6〒（前，因此，当4＜/2＜9时，\n高考假设当n=k（k<9）时②式成立,那么当m=£+1时:40分{/仏加+1,昇力+£}={加，加+1,，加+£-6}[m+k-5,，加+£-5+5}由归纳假设知n=6,n=k-5时②式成立，故:/(k+l)W/(6)+/(—5)-1=由①③知，当n=k+\时也成立。综上可知,对于任意整数斤>4,都有/(a?)=2004年全国高中数学联赛河南省预赛试卷高中一年级（2004年5月23日上午9：00—11：00）考生注意：本试卷共六道大题，满分140分.一、选择题（本题满分30分，每小题5分）本题共有六个小题，每小题后面给出了A、B、C、D四个结论，其小只有一个是正确的•请把正确结论的代表字母写在题后括号内，选对一个得5分，错选、漏选或多选，一律得零分.I.定义在R上的函数『=/（兀）的值域为［m,n］贝Jy=f（x-l）的值域为（）A.[m,n]D.无法确定2•设等差数列｛匕｝满足3逐=5如，且卩>O,S”为其前n项和，则S,z（hg7V*）中最大的是（）A.S]oC.5203.方程log2X=3cosx共有(）组解.A・1B.2C.3D.521D.44.已知关于x的一元二次方程x2+（6/2-l）r+6/-2=0的一个根比1大，另一个根比1小，则（)A.-1<67<1B.0<-1或G>1C.-2135.已知&,0为锐角，sina=x.cosjS=y,cos(a+p)=一一，则y与x的函数关系为()a32~4/3[、A.y=——vl-x+—x(—k｝,集P二｛x|1912WxW2004且x^N｝,则集合MAP中所有元素的和等于.3・已知f(x)=尸,贝I]f(-2003)+f(-2002)+f(-2001)+…+f(・1)+f(0)+f(1)+…+f(2002)+f(2003)+f(2004)二・14.已知数列｛色｝,其中4=99"，an=(an_｛)a'，则山为整数时最小的正整数n是5.设函数/(x)=-^=(«eR),若使/(兀)在(1，+8)上为增函数，则a的取值范围为yjx-a6.函数/(x)=|sinxsinx+cosxcosx的值域是.三、(本题满分20分)7设色>0(hg=5,当n$2时，an+an^=+6,求数列｛an｝的通项公式.四、(本题满分20分)jry已知函数/(x)=4sinxsin2(―+—)+cos2x\n_rr2/r(1)设血>0为常数，若y=/(mr)在区间］上是增函数，求血的取值范围；3(2)设集合A={x\-0,S〃为其前n项之和，则SgNj中最大的是（）A・S]°2解：设等差数列的公差为d,由题意知3（纠+7d）二5（绚+12d）,即d二-詬®,2412an=a,+(n-l)d=a{ax(n-l)=a[(亦•-亦•“，欲使Sn(hgTV*)最大,只须an^0,即nW20.故应选C.3.方程log2x=3cosx共有（）组解.A.1B.2C.3D・4解：画出函数y=log2x和y=3cosx的图像，研究其交点情况可知共有3组解.应选C.2—1卜+。一2=0的一个根比1大，另一个根比1小，贝I」（4.C知关于x的•兀一次方程亍+（d)A.一1VGV1B.C.—21a<-2或a>1则y与x的函数关系为（A.B.C.D.(|k},集P二{x|1912WxW2004且x^N},则集合MAP屮所有元素的和等于解：•・・2")=1024,2!1=2048,A集合MAP中所有元素必为2n-2k(其中k^N)的形式，又1912^2ll-2kW2004,故4402匕36,符合条件的k只能等于6和7,所以集合MAP中只有两个元素,即为2,,-26=1984和2"-27=1920,其和为1984+1920=3904.本题应填3904.3・已知f(x)=—!—,贝9f(-2003)+f(-2002)+f(-2001)+・・・+f(・l)+f(0)+f(l)+…2X+V2+f(2002)+f(2003)+f(2004)=・解：利用f(x)+f(M)半，可得结果为100逅应填100逅4.己知数列｛%｝,其中绚=99区，色,则色为整数时最小的正整数n是解：显然对任意的正整数n,均有an>0,由an=(an_tp两边取对数得lg^ylg%,故｛lg%｝是以lge为首项，q为公比的等比数列，所以lgan=a^lgar〃一i丄心舟a,=(99")"得色数n是100.应填100.,欲使①为整数，必有n-l=99k,(k为正整数)，故所求的最小的正整了+35.设函数f(x)=.(a€R),若使于(兀)在(1,+oc)上为增函数，则a的取值范围为^Jx-a解：设t=4T^i，贝I」原函数化为.f(f)='「+3+d=f+土,因为/(兀)在(l,+oo)上为增函数，所\n岛考以/⑴在(JE,+00)上为增函数.当3+tz<0即tz<-3时显然符合；当3+0>0时，因为/⑴在(后N+oo)上为增函数，所以丁齐。0为常数，若y=/(处)在区间[-一，——]上是增函数，求血的取值范围；3(2)设集合A={x\--22),满足a”=a+l,0=b+3a的正数a与b的大小关系是()・(A)a>6>l(B)b>a>l(C)a>l且0VX1(D)0l6.已知存在整数4,乂2，…，竝满足十方+…+云=1599,则正整数n的最小值为().(A)1599(B)16(C)14(D)15二、填空题(满分54分，每小题9分)7.2X丿2十_1+v/F17!，则于⑴\n+/(2)+-+/(2004)=•&已知实数a,0满足a3-3a2+5a=l,/?-3^+50=5,则a+0=・9.函数S=J工°—5*—8工+25—J£—3云+4的最大值为•10.复数Z满足条件arg(Z+3)=专，设％=■|Z+6]¥[Z_3£|，当u取最大值时，Z的值为11.若令・且h+，+z=今，则cosxsinycosz的最大值与最小值的和为・12.只由1,2,3组成的不大于1亿的正整数中，能够被3整除的个数是・三、解答题（满分60分，每小题20分）13.设数列｛a”｝满足a\^3,an-!=—nan+1,n=1,2,3,・・・.证明对所有的正整数并，有（1）a„^n+2；<2）民+令+•”+代諾2214.已知双曲线务一务=l（a>6>0）的离心率eao=2+76-73一Q,过其右焦点F2且与工轴垂直的直线L交双曲线于A.B两点，左焦点记为Fi,求ZAF,F2的大小.15.设71是给定的自然数山$3,对于几个给定的实数Qi心，…，a“，记|血—a,I（WjWQ的最小值为九求在a]+al+・・・+圧=1的条件下，上述m的最大值.加试题—、（本题满分50分）边长分别为a、b、c、d的凸四边形ABCD外切于OO,求证：OA•OC+OB•OD=Jabed.\n二■（本题满分50分）设a.b.c.d为正实数，满足ab+cd=l,点Pt(Hi，y)(*=l,2,3,4)是以原点为心的单位圆周上的四个点•求证:(ay}+by2+cy3+dyA)2+(ax4+bx3+cx2+dx\)2<2(a+2ab三、（本题满分50分）某俱乐部有3n+l个人，每两个人可一起玩下面三种游戏中的某一种：象棋、围棋、跳棋•已知每个人都与死个人下象棋，与九个人下围棋，与幷个人下跳棋•证明，这3n+l个人中必有这样三个人,他们之间有下象棋的，有下围棋的，有下跳棋的.答案或提示第一试1.（C）•因为/（x）=（x-a）2-a2+2a+4的最小值为一a55+2q+4,依题意，应有一疋+2&十4=1,所以a=—l或3,故选（C）.2.（B）•设正t:棱锥的顶点S到底面A“2…A”的投影为O,则当时，有SA,>OAJA“2,故符合题意的n<5.在n=5时，当侧棱与底面所成的角为arccos―-—时，侧棱长等于底面边长•故选（B）.2sinf3.（B）.由于对任意atG{a】，如，6},均有1—diG{ai,a2♦•••»an}9所以S（cos=«-i匕S（cos（1^）7r）2=S（sin^）2,于是我们有2丈（cos警）2=f（（cos器）2+（sin警）2）=几而1,/i-1LL2,・・・，60中与60互质的数的个数死=卩（60）=60（1-*）（1—寺）（1）=16,故2（cos勞）2=8,故选（B）.\n1.（A）.设椭圆的左顶点的坐标为（3+2co甜,2+2siM）,由椭圆的定义，可知3-3e=e（3+2cos0）,故e=6”亠;cose'于是辛冬£#.故选（A）.5・（A）.首先,a>l,6>l.否则，若01,从而a>l,矛盾：若0C6V1,则夕”=6+3a>3a>3,从而6>1,矛盾•故a、b均大于1.一方面亍”_&2”=（^+］）2一（方+3a）=/—Q—6+］：另一方面，/一対=a—&）（严+0-2&+•・•+沪-1）,故\na2—a~6+1=(a—6)(a2"-1+a2n~2b+•••+62n_1),即<2.2—fi—A—I—1——=JT+/T&+…+k>1,所以a?—2a+1a_b>0,即年琴>0,故a>b.综上所述，有a>b>l.故选(A).6・(D).注意到，当工为偶数时，分三0(modl6),而工为奇数时，工$三1(mod8〉，依次可知x*=l(modl6),所以分三0或1(modl6),而1599三15(modl6),所以n>15.又由于1599=54+12X34+2XU,故1599可以表示为15个整数的4次方之和.从而所求的九的最小值为15.7.她一1-1.因为念)=皿寧詳m=72x+1-l一徑-1,所以/(1)+/(2)+…+/(2004)-(-1)+(-y^T)+・・・+(』22除一1一y22004-1)8.2・由a3-3a2+5a-l=0得(«-1)3+2(a-l)+2=0$又由用一3/+50—5=0得(1一0尸+2(1—0)+2=0,设/(x)=x3+2x+2,则才(工)为R上的单调增函数，由上述结论知所以a-1=1_禺故a+0=2・9.x/17.因为S=丿(.一4严+(云一3)2_—2屮，其几何意义是抛物线歹=云上的动点M(z,y)到定点A(4,3),B(0,2)的距离之差的最大值•易知S=|MA|-|MB|W【AB|=/T,等号可以取到，所以S的最大值为丿17・\n10.血|严+罕护匚满足条件arg(Z+3)=手的复数Z在以(-3,0)为起点，且与工轴正向成号角的射线上，此射线与过(-6,0).(0,3)两点的直线交于点p(6(哼「5),3(6盍為,因而复数Z=6(哼严)+型評2*,使得M取最大值.>Tcos2f=T>11.y(3+V3)・由条件知sinQ—y)$0,sin(y—于是cosxsinycosz=寺cosj：[sin(y+z)+sin(y—z)]^-|-cosxsin(>+z)=-|-cos2在h=奇,y=z=令时取等号•又因为coshsinycosz=—cosz[sin(z+y)—sin(z—y)]^-^-coszsin(x+3z)=-^-cos2«Cycos2令=*(2+Q,在=勢时取等号•故所求的和为*+*(2+箱)=*(3+间・12.3280.只由1,2,3组成的几位数有3"个，其中不大于1亿的正整数的个数是31+32+33+-+383(1—3°)1一3=9840.将这9840个数从小到大，每三个分成一组：{1,2,3},{11,12,13},{21,22,23},…，{33333331,33333332,33333333}.显然，每组中有且只有一个数能被3整除，所以满足条件的正整数的个数是*><9840=3280・13.(1)用数学归纳法证之.1°)当“=1时心二3=1+2,不等式成立.2°)假设n=^(A>l)时，不等式成立，即创N&+2.则a*+i=5(心一&)+1$(上+2)(上+2—6)+1=2上+5>怡+3,也就是说，当n=k+l时，以+1$伙+1)+2・根据1°)和2°),对所有的并$1,有an^n+2.(2)由an+)=a„(a„—n)+1及(1),对&二2,有ak=a*-i(a—1—上+1)+1^a*-i(上一1+2—&+1)+1=2*+1,\n故aki+1$2（2创_2+1）+1=2%—2+2+1玄…》2*一怙1+2一2+・・・+2+1=2—（山+1）—1$21（3+1）—1=2*+1—1.甘壽（T民+令+・・・+去由分比定理得2c.sinB_\AF1\-\AF2\__2asin90°—sina1一sina，所以sinff_c1—sinaacosg_1一sina°1V1+tan2a—tana结论成立.14m设ZAFiF2=a，ZFiAF2=j8,则a+0=9O°・由正弦定理得\AF2\_\AFd_\F.F2\sinasin90°sinfi由分比定理得2c.sinB_\AF1\-\AF2\__2asin90°—sina1一sina，所以sinff_c1—sinaacosg_1一sina£・1V1+tan2a—tana\nf2—]_(2—枢—V?)2—]%2(2+岛一再一施)=2_a/5\所以a=15°,即ZAFiF2=15°.15.不妨设血冬血冬…冬幺”，S(a,—a,)2—n—1—2Sa.a；=n—(Saf)2^n.»=i另一方面，心+i—a&m，4+2—a,+i•••,a；—匂_1豪加，把这些不等式相加，得a>—ai^Cj—i)m.于是S(a,~aj)2^m2S(i^j)2KiOCn1=加2”£(]2+22+…+段)=加2郢4+1)⑵+1)16”2n—1="7"S[2怡(&+1)(©+2)—3〃(怡+1)]oEI=牛[寺(并—l)nG+1)(并+2〉—(”―1)几(并+1)]=务并25+1)(”一1),所以(«+!)(«—*1)9“sAy”等号当且仅当t?/.=o,且6}成等差数列时成立.所以加的最大值为保禹.加试题答案A一、由于警+ZADCZDCB,-2~2h今型=180°,故有ZA0B+ZCOD=180°,于是在四边形的形外作ADCE,使△DCEs^AEO,连结\nOE（如图2）,则四边形DOCE内接于，由托勒密定理有DE•OC+CE•OD=CD•OE①kDE_CE_CD而OA=OB=AB9因此由①即得OA•OC+OB・OD=A£•OE②又ZDOE=ZDCE=ZABO=ZOEC,ZOED=ZOCD=ZBCO,所以HDOEsHOBC,同理有△OCEsAAOD，于是有OE^ODOE^CEBC^OB9DA^OD9两式相乘即得OE2_CE伯BC^DA~OB9但CECD■'IPMAOBAB因atAB2•OE2=AB2•卩•驚.DA=ab■ABBC•CD•DA=abcd.再由②即得所证.二■令u=ayi+byz,v=cyz+dy^,均=ax4+bx3.V\=cx2+dx\.则u2^(a^i+63Z2)2+(axi—bxz)2=a2+62+2ab{yiy2~X\xz),V1+dx\)2+(.cy2—dyx)2=c2+d2+2cd(*】工2一力，2).c2+d2-^~lcd~①+②得0<+C?+〃2_说2^d辺+述V彳+夕|/abcd~abcd由柯西不等式，有（tt+V）2+（U1+5）2—(y/ab•~^rz.+\fcd•)2+(y/ab•Vaby/cd\n14iabcdab一.选择题(本题满分36分，每小题6分)1.设锐角別吏关于x的方程x2+4xcos^4-COS0=0有重根，则〃的弧度数为7tr71_J57l7C_J57t6512^12C'&或巨2.已知A/={(x,y)|/+2y2=3},N={(x,y)\y=mx+b}.若对于所有的加WR,值范圉是久［-李A.B・言或12b(-孝亨)3.不等式寸log2X-l+*log丄ix3+2>0的解集为D.D.A.[2,3)B.(2,3]C.[2,4)D.n12均有MC1NH0,则”的取()(2,41)+(a6+cd〉(三、3tz+1个人用3n+l个点表示，两人之间下像棋、下围棋、下跳棋，则对应的两点分别用红线、蓝线、黑线联结•于是，得到一个3色完全图K3n+}.本题即是证明：在这个3色完全图&卄|中，必存在一个三边不同色的异色三角形.由一顶点引出的两条边如图不同色，则称此两条边的夹角为异色角•一个三角形是异色三角形当且仅当它的三个内角都是异色角.每一个顶点引出的3并条边，其中红边、蓝边、黑边各有九条.因此，由任一顶点引出的异色角有Cfn2=3n2个，从而这个3色完全图K3“+i中共有3n2(3n+l)个异色角•另一方面，完全图K3w+i中共有Cfn+i=-^-n(3n+l)(3n—1)个三角形•把这些三角形看作“抽屉”，异色角看作“球”・因为3n2(3n+l)>n(3n+l)(3n-l)，由抽屉原理，必有某个三角形，它有三个异色角，这个三角形即是异色三角形•从而问题得证.2004年全国高中数学联赛试卷第一试44.设点O在\ABC的内部,B.有()A.45个B.81个C.165个D.216个且有OA+2OB^3OC=1)9则\ABC的面积与AAOC的面枳的比为(C.31.设三位数Elbe,若以a,b,c为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数n\n岛考PA1.顶点为P的圆锥的轴截血是等腰直角三角形，A是底面圆周上的点，B是底血圆内的点，。为底面圆圆心，A3丄0B,垂足为B,0H丄PB,垂足为且PA=4,C为丛的中点，则当三棱锥O—HPC的体积最大时，OB的长为()A垃还「心D2^6/I•3°•3•3・3二•填空题(本题满分54分，每小题9分)2.在平面直角坐标系xOy中，两数J[x)=asmax+cosax(a>0)在一个最小正周期长的区间上的图像与函数血)二品TT的图像所围成的封闭图形的面积是；3.设函数/：R->R,满足/(0)=1,且对任意都有几？+1)=心)能)一")一丹2,则他戶；4.如图，正方体ABCD—A|B|C|D中，二面角A-BD{—AX的度数是;5.设p是给定的奇质数，正整数k使得膚莎也是一个正整数，则k=；6.已知数列他,a\,如，…，如，…满足关系式(3—d“+i)(6+a“)=18,且«()=3,”I则疣的值是；7.在平面直角坐标系xQy屮，给定两点M(—l,2)和N(l,4),点P在兀轴上移动，当ZMPN取最大值时，点P的横坐标为;三.解答题(本题满分60分，每小题20分)8.一项“过关游戏”规则规定：在第几关要抛掷一颗骰子〃次，如果这n次抛掷所出现的点数的和大于2",则算过关.问：(1)某人在这项游戏中最多能过儿关？(2)他连过前三关的概率是多少？49.在平面直角坐标系兀Oy中，给定三点A(0,卫，B(—1,0),C(l,0),点P到直线BC的距离是该点到直线AB、4C距离的等比中项.(1)求点P的轨迹方程；⑵若直线厶经过\ABC的内心(设为D),且与P点轨迹恰好有3个公共点，求L的斜率k的取值范围.Ov*■f10.已知a,0是方程4?-4a-l=0(reR)的两个不等实根，函数几¥)二丙"的定义域为[a,/J\.(1)求g(f)=max/(x)—mii^W；⑵证明：对于心(0,f)(/=b2,3),若sim+si叱+sin妒1,则而忘+誌万+总万定雲二试题c一.(本题满分50分)在锐角三角形4BC中，4B上的高与AC上的高BD相交于点H，以DE为直径的圆分别交AB、AC于F、G两点，FG与相交于点K,已知BC=25,BD=20,BE=7,求AK的长.二.(本题满分50分)在平面直角坐标系XOY中，y轴正半轴上的点列{£}与曲线尸侮(兀$0)上的点列{阳满足|0他直线他在兀轴上的截距为给，点的横坐标为加朋N*.(1)证明«,!>««+!>4,n^N*；\n⑵证明有必GN*,使得对Vn>nG,都有舒鲁+…+古十¥15—2004.一.（本题满分50分）对于整数求出最小的整数知），使得对于任何正整数加，集合｛皿加+1,…,m+n~\｝的任一个/（〃）元子集屮，均至少有3个两两互素的元素.\n2004年全国高中数学联赛试卷第一试一.选择题（本题满分36分，每小题6分）1.设锐角睢关于x的方程P+4XCOS丹妙乐0有重根，则的勺弧度数为A.716D.7112解：由方程有重根，=4cos20—cot0=0,*.*0<伙多=>2sin2^=l,=>扫令或誇.选B.2.己知M={(xf)，)|/+2y2=3},N={(xfy)ly=mx+b}.若对于所有的加WR,值范围是均有MQNH0,则b的取（）A・l-净f]B・(-爭'亨)D.解：点（0,仍在椭圆内或椭圆上,n2，W3,当.选A.3.不等式plog2兀_l+*log£+2>0的解集为B.(2,3]解：令10g2X=f>1时，心―1>亍—2.圧[1,A.[2,3)C.[2,4)2)t=>xG[2,4),选C.D.⑵4]4.设点。在MBC的内部，且有~OA+2OB+3OC=~0f则\ABC的面积与AAOC的面积的比为（）5•c,25A.2B.2C.3D.解：如I图，设\AOC=S,贝ij△OCQ=3S,AOBlD=AOBlCl=3S,AA0B=A0BD=1.5S,△OBC=0.5S,=>AABC=3S.选C.5.设三位数n=^bc,若以a,b,c为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形,则这样的三位数几有（）4.45个B.81个C.165个D.216个解：⑴等边三角形共9个；（2）等腰但不等边三角形：取两个不同数码（设为a,b）,有36种取法，以小数为底时总能构成等腰三角形,而以大数为底时,b面必B丄面POB.\nOH丄PB,n0H丄面BAB,nOHLHC,OH丄PC,\n又，PC丄OC,nPC丄面OCR.=>PC是三棱锥P~OCH的高.PC=OC=2.而zXOCH的面积在OH二HC二也时取得最大值(斜边=2的直角三角形).当0丹=也时，由PO二2迈，知ZOPB=30。，OB=POtan30°=^.又解：连线如图，由C为用中点，故Vo—pbc令W_AO/>，PHpo1r而Vo-PHc:V()_pbc-pb=pb"。=PH・PB)・记PO=OA=2&=R,ZAOB=a,贝ijVpAOB=*R‘sinacosa二吉/?'sin2Q‘V/j-/>co=^^3sin2cr.P&尺12sin2a丄3PB1_/?2+7?2cos26r_1+cos2dz_3+cos2cr*pwc_3+cos212人sin2a2cos2a(3+cos2a)—(—2sin2cz)sin2a川1(3+cos2cr)2••令丁亏庞’*口+心2押=°’得辭—飞,选D.二•填空题(本题满分54分，每小题9分)7.在平面直角坐标系xOy中，函数/U)=asinax+cosor(d>0)在一个最小正周期长的区问上的图像与函数g(x)=辺莓I的图像所围成的封闭图形的面积是；解：沧)=JTTTsin(处+卩)，周期弓，取长为乎，宽为2百石的矩形，由对称性知，面积之半即为所17Tf—n\n又解:sin(or+(p)]dx=^~~^~71J3(]_siiv)d匸乎后i.8.设函数/：RfR,满足/(0)=1,且对任意x,)€R,都有/(与+1)=几审>)-/()，)一兀+2,则/(%)=解：令x=y=0,得,/1)=1-1-0+2,=>/(l)=2.令y=I,得J(x+1)=2/(x)—2—x+2,即Xx+l)=2/(x)—x.①又，/()%+1)=/()頼兀)一/U)—y+2,令代入，得70+1)=织兀)一/0)—1+2,即yu+i)=/u)+i.②比较①、②得，.心)=尤+1・9.如图，正方体ABCD-A,B,C|D,中，二面角A~BD—A｝的度数是解：设43=1,作AM丄B0,A7V丄BD、,贝ljBN・庆，nBN=D、M=NM去.=A\M=AN=^\2219i•:AAi2=AiM2+MN2+NA2—2AiM•NAcosO,=>12—2x^cos0.=>cosE，・=><9=60°.10•设〃是给定的奇质数，正整数£使得V?二^也是一个正整数，则k二解：政,&—冰=rt，则(^―2)2-=>(2k—p-^2n)(2k—p—2n)=p2,=>^=^(p+l)2・求.故填孑何・\n11.已知数列（心a\,他，an9…满足关系式（3—如1）（6+冷）=18,解；a,”厂a”+^'=令bn^a^y得如巧’叽=2叽-、,^>b„=^x2n.即石~~§—'矗予亿用一”一3）.12.在平面直角坐标系xOy中，给定两点M（—l,2）和N（l,4）,点P在兀轴上移动，当ZMPN取最大值时，点P的横坐标为；解：当ZMPN最大时，QMNP与x轴相切于点P（否则OMNP与杪•NX轴交于PQ,则线段PQ上的点P使ZMPN更大）.于是，延长NM,交兀轴于K（—3,0）,有KM・KN=KP,=KP=4.P（l,0）,（-7,0）,少-但（1,0）处QMNP的半径小，从而点P的横坐标=1..o丁三.解答题（本题满分60分，每小题20分）2…：2…―于13.一项“过关游戏”规则规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，-如果这斤次抛掷所出现的点数的和大于2",则算过关.问：*（1）某人在这项游戏中最多能过几关？（2）他连过前三关的概率是多少？解：⑴设他能过允关，则第〃关掷允次，至多得6〃点，由6”>2",知，/?W4.即最多能过4关.（2）要求他第一关时掷1次的点数>2,第二关时掷2次的点数和〉4,第三关时掷3次的点数和>8.2?第一关过关的概率第二关过关的基本事件有6?种，不能过关的基本事件有为不等式x+yW4的正整数解的个数,有&个（亦门」枚举计数：1+1,1+2,1+3,2+1,2+2,3+1）计6种，过关的概率=1—彳=&；第三关的基本事件有6?种，不能过关的基本事件为方程x+y+zW8的正整数解的总数，可连写8个1,从8个空档中选3个空档的方法为d=|^gy=56种，不能过关的概率二普二占，能过关的概率寻；・••连过三关的概率=3x6x1?=243*414.在平面直角坐标系兀Oy中，给定三点A（0,亍），3（—1,0）,C（l,0）,点P到直线BC的距离是该点到直线AB、AC距离的等比屮项.（1）求点P的轨迹方程；x3v_]+才-1，=>4x—3y+4-0,①y=0,②4x+3y—4=0,③AB方程:（2）若直线L经过AABC的内心（设为D）,且与P点轨迹恰好有3个公共点，求L的斜率k的収值范围.解：（1）设点P的坐标为（兀，y）,BC方程：AC方程：\n+24y-16=0,25|y|2=|(4x—3y+4)(4x+3y—4)|,=>25>,24-16兀2—(3丿一4)2=(),=>16,+16)?=>2jr2+2y2+3y—2=0.或25y2—16x2+(3y—4)2=0,=>16x2—34)?+24y—16=0,=>8?-17/+12y-8=0.\n扁考・•・所求轨迹为圆：2x2+2/+3y-2=0,或双曲线：8?-17/+12>~8=0.但应去掉点（一1,0）与（1,0）.⑵AABC的内心D（0,|）：经过D的直线为“0或y=kx+^.（a）直线兀二0与圆④有两个交点，与双曲线⑤没有交点；（方）20时，直线y#与圆④切于点（0,*）,与双曲线⑤交于（土討L*）,即£=0满足要求.（c）^=±|时，直线⑥与圆只有1个公共点，与双曲线⑤也至多有1个公共点，故舍去.（03时，T寸，直线⑥与圆有2个公共点，以⑥代入⑤得：（8—17小,_5也一乎=0当8-17^=0或（5好一25（8—17处）二0,即得"土台甲与k=15.所求鸟值的取值范围为｛0,土噜,2X*—t已知a,0是方程4x2-4tr-l=0（re/?）的两个不等实根，函数夬x）二丙~的定义域为［a,f3\.3^6证明：对于吩（0,f）G=b2,3）,若siM+si叱+sin妒1，则頁盘+頁盘九心叱）、4-(1)a+0=r,g0=—*.故*0,#>0.当兀],兀2丘也，Q时,29广(兀)=—[I；严~'=~•而当x^\a.0]时，%2—^<0,于是广(x)>0,即/(兀)在[a,妙上单调增..2a~t(20—/)(o2+1)—(2q—%+1)(/3~a)[t(a+/?)—2a/^-2]・・曲戶_（/+1）（和）何（埠8阿⑵2+5）16T+25.25r+i6_8sec“(2s¥c2u+3)16+24cos*>16帝g(tan〃)一i6sec2«+9二16cosu+9cos%"16+9cosu・•・誌亦T誌云颈盘W蔬U6x3+9(cos2妁+cos2“2+cos%)]=石舖[75-9(血％+血％+血2心)]十I,・？•乍・?、、,sinui+sirH“+siruH、2口“一.°。•乍、、_rrn^(sin^wI+sirr“2+sirru3)刁(,即9(sirr«】+sirr〃2+sinS3)刁3••••爲而体話+盐庐访評一坊誓.由于等号不能同时成立，故得证.\n二试题一.(本题满分50分)在锐角三角形ABC中，上的高CE与AC上的高相交于点H,以DE为直径的圆分别交AB、AC于F、G两点，FG与AH相交于点K,已知BC=25,BD=20,BE*求AK的长.解:•・・BC=25,BD=20fBEK,18・•・CE=24,CD=\5.VACBD=CEAB,=>AC=^ABf①•・•BD丄AC,CE±AB.=>B、E、D、C共圆，=>AC(AC~15)=AB(AB—7),=^AB(^AB~15)=AB(AB—18),・•・AB=25,AC=30.=>AE=18,AD=15.:.DE*015.延长4刃交BC于P,则APA-BC.:.APBC=ACBD,"P二24.连DF,贝ljDF丄AB,JAE=DE,DFA.AB.^>AF=^AE=9.JD、E、F、G共圆，^>ZAFG=ZADE=ZABC,^>\AFG^\ABC,.AKAF9x24216•*AP=ABf=AK二二苗.二.(本题满分50分)在平面直角坐标系XO丫中，y轴正半轴上的点列｛九｝与曲线y=V云(兀$0)上的点列｛%｝满足|OA“|=|OB〃T直线A点在x轴上的截距为如点瓦的横坐标为仇，nWN*.(1)证明a”>a“+]>4,nWN*；(2)证明有/70eN*,使得对VA7>«o»都有牛十牛+…+7^-+vLltlJ|O/U二|OB“|,=>也?+2仇=(护，=>/?„=A/1+(^)2-10Z?>O).・°・0n2bft=n(-\Jn2+l—/?)=0令/„=^jy>V2且单调减.由截距式方程知,咎+严=1,(1—2tfbn=nbn)Un丄nbn仇(1+,r\Z瓦)1+ny/I^1_x2…an~\-ir^lb~1-2nbn_矿仇¥)2—*N(0¥)2—1=4.且由于◎单调减，知a.单调减,即an>att+l>4成立.亦可由土~=b“+2.计^二pb“+2,得如二九+2刑%]»+2,.由bn递减知an递减，且g”>O+2+V5x迈二4.\n⑵即证£(1—警)>2°°4・・•・若(1_警)喜占>(¥£+(轴+駅)+・・・+¥+諾+••••只要〃足够大，就有g(l-^)>2004成立.一.(本题满分50分)对于整数求出最小的整数fin),使得对于任何正整数加，集合［m,w+1,•••,m+n~}}的任一个知)元子集中，均至少有3个两两互素的元素.解：(1)当兄M4时,对集合n)={m,m+1,…，m+n—1］,当加为奇数时，加，m+1,m+2互质，当加为偶数时，加+1,加+2,加+3互质.即M的子集M中存在3个两两互质的元素，故加)存在且.代小勿.①取集合Tn={t\2\t或3|r,『0+1},则卩为M(2,“)={2,3,…，时1}的一个子集,且其中任3个数无不能两两互质.故J^n)^card(T)+\.但card(7)二［号丄］+卢#］一卢扌丄］.故//?)-1•由①与②得，.^4)=4,,A5)=5.5W/(6)W6,6切7)07,7切8)冬8,8勺9)09.现计算/(6),取M={mfm+\,…，加+5},若取其屮任意5个数，当这5个数屮有3个奇数时，这3个奇数互质；当这3个数中有3个偶数匕k+2,R+4(S0伽加2))时，其中至多有1个被5整除，必有1个被3整除，故至少有1个不能被3与5整除，此数与另两个奇数两两互质.故人6)二5.而M(叶”+i)=M(”„)U{m+n},故加+1)W/S)+1.③・•・夬7)=6,y(8)=7,X9)=8.对于4W/1W9,血)二［牛［岁LI专1+1成立•设对于心,④成立，当〃二好1时，由于M(m,m)=M(”^-5)U{加+£—5,加+£—4,…，m+k}.在{〃汁^一5,〃曲一4,…，加+灯中，能被2或3整除的数恰有4个，即使这4个数全部取出，只要在前面的M(杯《-5)中取出和)个数就必有3个两两互质的数.于是当时，/(n+6)W/5)+4=^G)tA6)—1.故・〃+l)W/(R—5)土/⑹一1斗竽田竽］—件刍+1,比较②，知对于n=k+\,命题成立.•••对于任意“WNbJ(n)=〔罗1+[呼■]—【¥■]+1成立•又可分段写出结果:\n'4好1,(n=6k,4知2,6E,«4£+3,(776£+2,4£+4,6R+3,4£+4,6«+4,'4知5,仇6R+5,胆N*),MN*),MN*),圧N*),胆N*),MN*)・【第一试】一、选择题（本题满分36分，每小题6分）71A.6龙或5龙Bo121271Do12答：［］2、己知M二｛（S）X+2b=3N二{(X，y)\y=mx-^-b}9若对于所有的mwR,均有1、设锐角q使关于x的方程x2+4xcos^+cot^=0有重根，则q的弧度数为McN*则〃的取值范围是A._4e_V|［一亍丁］Bo_7|Vf("T9T)Co(332^32巧D。［一亍丁］答：［171og2x-l+占log丄X3+22>0的解集是不等式3、5、设三位数n=abcf若以a，b,c为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数有A.45个B。81个Co165个D。216个答：［16、顶点为P的圆锥的轴截面是等腰宜角三角形，A是底面圆周上的点，B是底面圆内的点,0为底面圆的圆心,AB丄0B,棱锥0—HPC的体积最大时，V?2^5A.3Bo3垂足为B,0II1PB,垂足为II,且PA二4,C是0B的长是46_2^6C。丁D。丁答：［］题6图\n二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7、在平面直角坐标系心‘中，函数/（Qwsin处+cos°M〉0）在一个最小正周期长的区间上的图像与函数g（无）=丁^匚•的图像所围成的封闭图形的面积是8、设函数f满足/（°）T,且对任意的兀兀尺，都有/（厂+1）二fMf（y）一/（刃一兀+2,贝|jf\x）=。9、如图，正方体ABCD-A0CQ屮，二面角A-BD.-A,的度数是10、设"是给定的奇质数，正整数鸟使得収-冰也是一个正整数，则*二。11＞已知数列…,〜…,满足关系式H1工丄（3一%+i）（6+%）=18且。（）=3,则zat的值是12、在平面宜角坐标系切7中，给定两点M（-1,2）和N（1,4）,点P在X轴上移动，当ZMPN取最大值时，点P的横坐标是o三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13、一项“过关游戏”规则规定：在第〃关要抛掷一颗骰子〃次，如果这〃次抛掷所出现的点数Z和大于2",则算过关。问：（I）某人在这项游戏中最多能过几关？（II）他连过前三关的概率是多少？（注：骰子是一个在各面上分别有1,2,3,4,5,6点数的均匀正方体。抛掷骰子落地静止后，向上一面的点数为出现点数。）414、在平面直角坐标系"巧中，给定三点A（0,3~）,B（-1,0）,C（1,0）。点P到直线BC的距离是该点到直线AB、AC距离的等比中顶。（I）求点P的轨迹方程；（II）若肓线L经过AABC的内心（设为D）,且与P点的轨迹恰好有3个公共点，求L的斜率R的取值范围。15、已知&、“是方程4x2-4a-l=0（虫心的两个不等实根，函数/（兀）\nF+1的定义域为［&,0］。(I)求g(0=max/(x)-min/(x);（II）证明:对于（（），^(i=1,2,3)若sin%|+sinw2+sinu3=1g(tanWj)g(tan“2)^(tanwj4【第二试】一、（本题满分50分）在锐角AABC中，AB±的高CE与AC上的高BD相交于点H,以DE为直径的圆分别交AB、AC于F、G两点，FG与AH相交于点K,已知BC=25,BD=20,BE=7,求AK的长。C二、（本题满分50分）在平面直角坐标系中，）‘轴正半轴上的点列｛入｝与曲线y=^（兀上0）上的点直线40〃在x轴上的截距为勺，点b“的横坐标为久,（I）证明色＞色+|〉4,（II）证明有乞+冬+...+使得对0"〉勺都有仇$hn-lI仇+1仇/Z2-2004、O三、（本题满分50分）对于整数〃三4,求出最小的整数了⑺,使得对于任何正整数加，集合+的任一个/⑺）元子集中，均有至少3个两两互素的元素。\n参考答案第一试一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1.解：因方程F+4xcos〃+cot〃=0有重根，故A=16cos20-4cot^=OOv&v彳，.•.4cot&(2sin2&-1)=020=-或205兀66,于是咗或5ti12故选BoMN工0相当于点圆x2+2/=3上或它的内部3纠呼2b1故选Ao71og2x-l-|log2x+|+^>03、解：原不等式等价于log2x-\>0y]\og2x-l=t,贝lj有v设321t——r+->022t>0解得OGvl即0b,必须满足b]连结AC,设AB=1,则AC—AD}=\/2,BD、=5/3.^(£RtAABD{中,寻AAEC中,2吐m2AECE42AE2-AC23B2AE2・•.ZAEC=120°,而ZFEA^ZAEC的补角,/.ZFEA=60°10、解：设RmW则牛时宀0,"二虫，从而卄仃是平方数,设为m2,/7?gAT,则(jn-2/t)(m+2n)=p1\n"是质数,「[m-2n=1m=,解得＜11=（负值舍去）4=丄必=0,1,2,…,则（3-占（6+3=18,11*解：设4+1S3仇+]-6bfi-1=0.bn+l=2bn+£,bfl+]+占=2（仇+片）即333{仇+[}故数列3是公比为2的等比数列，仇+卜2〃（久+》=2〃（丄+Wx2一也=|（2--1）33a（）333O沖=丸£07屮％U+讣治一一3）z®z/=0J21」'o12、解：经过M、N两点的圆的圆心在线段MN的垂直平分线y二3—x上，设圆心为S（a,3-a）,则圆S的方程为：（x~a）2+（y-3+a）2=2（l+a2）对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大，所以，当ZMPN取最大值时，经过m,N,P三点的圆S必与X轴相切于点P,即圆S的方程中的a值必须满足2（1+/）=@-3冗解得a=l或a=—7o即对应的切点分别为P（h°）和戸（-7,0）,而过点m,N,，的圆的半径大于过点M,N,P的圆的半径，所以ZMPN>ZMP'N,故点P（1,0）为所求，所以点P的横坐标为1。三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13、解：由于骰子是均匀的正方体，所以抛掷后各点数出现的可能性是相等的。（I）因骰子出现的点数最大为6,而6x4>2°,6x5<2\因此，当沦5时，口次出现的点数之和大于2"已不可能。即这是一个不可能事件，过关的概率为0。所以最多只能连过4\n关。5分（II）设事件&为“第n关过关失败”，则对立事件人为“第n关过关成功”。第n关游戏中，基本事件总数为6"个。第1关：事件人所含基本事件数为2（即出现点数为1和2这两种情况），—22p（A）=i-m）=i-T=7•••过此关的概率为：63O第2关：事件出所含基本事件数为方程=o当3分别取2,3,4时的止整数解组数之和。即有C：+C；+C；=l+2+3=6二过此关的概率为:——65P（4）=1—P（4）=1-孕=—10分第3关：事件人所含基本事件为方程兀+y+z=°当&分别取3,4,5,6,7,8时的正整数解组数之和。即有C；+C；+C：+V+C+G=1+3+6+10+15+21=56（个）。•••过此关的概率为：15分20分P（A）xP（A）xp（4）=-x-x—=—故连过前三关的概率为：〜'3627243。（说明：第2,3关的基本事件数也可以列举出来）y=—（x+1）,y=—（尢一1）』=0门、14、解：（I）直线AB、AC、BC的方程依次为3•3。点卩（兀,刃到d,=丄14x—3y+41,=丄丨4x+3y—41,d.=\y|AB、AC、BC的距离依次为5^-5^。依设,4〃2=盃'得I16%2-（3y-4）2|=25尸，即16x2-（3>'-4）2+25/=0,x2-（3y-4）2^5/=©化简得点P的轨迹方程为圆S・2疋+2于+3y-2=0与双曲线T:8x~-17护+12）：-8=05分（II）由前知，点P的轨迹包含两部分\n圆S：2兀~+2y~+3y-2=0与双曲线T：8x2—17j/+i2y—8=0②因为B(-1,0)和C(1,0)是适合题设条件的点，所以点B和点C在点P的轨迹上，且点P的轨迹曲线S与T的公共点只有B、C两点。,_,_,0(0,-)AABC的内心d也是适合题设条件的点，由解得2,且知它在圆S上。直线L经过D,且与点P的轨迹有3个公共点，所以，L的斜率存在，设L的方程为1y=~(i)当k二0时，L与圆S相切，有唯一的公共点D；此时，直线2平行于x轴，表明L与双曲线有不同于D的两个公共点，所以L恰好与点P的轨迹有3个公共点。10分(ii)当5时，L与圆S有两个不同的交点。这时，L与点P的轨迹恰有3个公共点只能有两种情况：情况1：直线L经过点B或点C,此时L的斜率一±空，直线L的方程为”=±(2y-1)。£(-二)或F(-)代入方程②得刃3丁-4)=0,解得3'3”3'3。表明直线BD与曲线T有2个交点B、E；直线CD与曲线T有2个交点C、F。故当2时，L恰好与点P的轨迹有3个公共点。15分k^±-情况2：直线L不经过点B和C(即2),因为L与S有两个不同的交点，所以L与双曲线T有且只有一个公共点。即方程组8x2-17/+123；-8=0y=kx+—'2有且只有一组实数解，消25（8-\7k2）x2-5kx——=0去y并化简得4该方程有唯一实数解的充耍条件是8-17加=0④25（一5£）2+4（8-17疋）一=0或4\n-+迺k=土乜解方程④得17,解方程⑤得2。丄,+迺,+返综合得直线L的斜率k的取值范圉是有限集2172o20分15、解:(])^a0/./(兀>)一产(兀1)>0X2〜故于（切在区间［%0］上是增函数。CZ+0=f,CX-f）——,5分g(/)=maxf(x)一minf(x)=/(/?)一/(a)(0-6Z)[/(a+0)-2tz0+2]cr2/?2+ez24-/?24-l#TTp+-I2丿r~25r+——168&2+1⑵2+5)-16尸+25-10分(II)证:8216(Z-+3)H24cosuf小/—,、_cosUjcos*ui_coswzg(tanuf)=-—-—=|6+9cOs]]313w.、2^16x2416亦cos2./9(心123)1N=16+9cos2比16+9cos2\n为sin终=1,且坷w（0,_）,i=1,2,3/=i233/•3^sin2比>(>sinwz)2/=!i=l=1，而均值不等式与柯西不等式中，等号不能同时成立，—*——+——1——+——1—<^^(75-9xl)=-V620分g(tan%)^(tanu2)g(tanu3)16j6342005年富中救学朕赛第13題的背景及解法讨论广东深圳市育才中学王扬探讨一些竞赛试题的背景和演变是一件十分有意义的工作，它即可挖掘知识z间的纵横联系，又可以培养学生发现问题、解决问题的能力，同时可激发学生学习数学的兴趣，还可以揭示命题人的思维方法，为学生发现问题的本质提供思路和供借鉴的模式，让他们也能享受到做科学研究的乐趣，使他们以后在科学研究的道路上走的更好些，更远些。下面我们对2005年的一道全国高中数学联赛13题的解法及來历作以探讨，供感兴趣的读考参考。一•题目。2005年全国高屮数学联赛13题为：数列仏｝满足：兔=14“+】=扣％+』45疋-36）,/iwN,证明：（1）对任意nEN,如为整数。（2）对任意nWN,an+ian-l为一个完全平方数。二.先看本题的解法。（1）一般有三种解法。解法一：递推并利用根与系数关系。对原递推式移项，再两边平方整理便得0：+】-7色+9=0①再递推得a；-7©%++9=0改换一种叙述方式得此1—7%_厲+尤+9=0②可以看出，色+/曲为下面关于x的一元二次方程：%2-7^,,+9=0的两个根，所以勺+1+色_]=7an,即an+[=7an-a^③据d°=l及原递推式知均=5,再结合数学归纳法知对于任意nwN,色都是整数。解法二：递推并分解因式。对原递推式移项，再两边平方整理便得a；+]-7色+山”+0；+9=0\n再递推得a；-lanan_x+q右+9=0,这两式作差并分解因式，得（Q”+i一%）（%+%-M）=0④7但据原递推式an+l>-6fn>an>an_x，•:由⑷知an+i4-an_x-1an=0,J以下同解法一。解法三：解方程法对原递推式移项，再两边平方整理便得a；+]-7a”+e”+c（+9=0再递推得aj—744灯+0二+9=0,视为％i的方程，求出如」得到=|（M—J45a；—36）,（an.!1,求所有正整数n,使得H-5anan+i为一个完全平方数。1.（2002年,罗马尼亚为IMO和巴尔干地区数学奥林匹克选拔考试供题（笫一轮））设数列｛an\n>0）如下定义：a｛）=a｝=tan+]=｝4an,证明：对所有的正整数n,2色一1是完全平方数。本题可以看做是今年这道竞赛题经过转化得到递推式后的情形。反过来，今年的这道竞赛题便可以看作是上述题2、3的合成（串联）。2.（26届IMO备选题）设a。=20,g”+i=伙+1）。“+k（a”+l）+2jk（k+l）（d“+1）,7?hi（n^N,k^N）,证明对于一切自然数n,编均为整数。二.几个类似题1.（22届IMO侯选题）己知数列｛%｝满足州=1,且心+】=&（l+4£+Jl+24£）521）,求数列｛&｝的通项公式。162/72-3a-92.试证由％=—卫。=1,均=5所确定的数列各项都是整数。2件23.设绚=©=色=1,仏2=1+22）,求证：对于任意的neN,an均为整数。~_%】以上儿道题目都可以用前面解竞赛题的方法求解，供感兴趣的读者练习。2005年全国高中数学联赛报名通知各县（市）教研室：市本级各有关学校：接省数学会通知，2005年全国高中数学联赛定于10月份进行。从2005年起，因浙江省举办全国高中数学联赛预赛，只有取得决赛资格的学生才能参加全国联赛加试，并由省数学会确定集中竞赛地点。嘉兴市考点只设全国联赛一试考试。现将具体事项通知如下：1•竞赛吋间高中数学联赛一试：2005年10月16口（星期口）8:00—9:40\n（高中数学联赛加试:2005年10月16日（星期日）10:00—12:00）2•命题范围与竞赛办法全国高中数学联赛一试的命题范围，完全按照全日制中学《数学教学大纲》（02年版）中所规定的教学要求和内容，即高考所规定的知识范围和方法，在方法的要求上略有提高，其中概率和微积分初步不考。试题包括6道选择题，6道填空题和3道解答题，全卷150分.（“全国高中数学联赛加试"命题范围以现行《鮎中数学竞赛大纲》为准，试卷包括3道解答题，其中一道是平面几何题，全卷150分・）3.设奖办法2005年团体成绩与个人一等奖成绩根据考生一、二试成绩总和划定。只参加全国联赛一试的考生可以获全国二等奖和浙江省一、二等奖以及嘉兴市一、二等奖。4•报名办法所有准备参加全国联赛的学生均需向所在学校报名。各学校报名工作在5月20日前完成，并将参赛人数电话上报所在县（市）教研室，数字要确切，不要事后更动，请同时收取报名费，收费标准：10元/人。各县（市）教研室于5月25日前将参赛人数报嘉兴市数学会。嘉兴市数学会2005年5月11日2005年全国高中数学联赛福建赛区预赛试卷考试时间：2005年9月11FI上午8：00〜10：30一、选择题：每题6分，满分36分7T7T1、设函数/（兀）的定义域为R,且对任意实数xg,/（tanx）=sin2x,则/（2sinx）的最大值为\n()A0B-C—D1222、实数列｛g“｝定义为陽=—,斤=2,3,・・・,绚=1卫9=7,则色的值为（）an-l+1A3B-4C3或-4D83、正四面体ABCD的棱长为1,E是AABC内一点，点E到边AB,BC,CA的距离之和为x,点E到平面DAB,DBC,DCA的距离之和为y,则x2+y2等于（）A1B—C-D—2312ni4、数列坷，兀2,…*100满足如下条件：对于比=1,2,・・・100,无比其余99个数的和小k,已知心0二一，m,nn是互质的正整数，则m+n等于（）A50B100C165D1735、若sinx+siny=^-,cosx+cosy则sin（x+y）等于（a/66、P为椭圆—+=1在第一象限上的动点，过点P引圆〒+尸=9的两条切线PA、PB,切点分别为169A、B,直线AB与x轴、y轴分别交于点M、N,则的最小值为（）99/72727r-2244二、填空题：每小题9分，满分54分7、实数兀,y,z满足兀2+2y=7,y2+4z=-7,z2+6兀=一14,则jc2+y2+z2=.8、设S是集合（1,2,15｝的一个非空子集，若正整数n满足：兄wSy+|S|wS,则称】1是子集S的模范数，这里|S|表示集合S中元素的个数。对集合｛1,2,…，15｝的所有非空子集S,模范数的个数之和为.9、对于丄<%<1,当（1+x）5（1-x）（1-2x）2取得最大值时，x=.】。、函数〃）满足：对任意实数“，都有2巴-从）》+y+2,则——•11、正四面体ABCD的体积为1,O为为其中心.正四面体AECD与正四面体ABCD关于点O对称，则这两个正四面体的公共部分的体积为•nh4-112、在双曲线xy=l上，横坐标为^的点为A”，横坐标为——的点为BjnwNJ.记坐标为（1,1）n+In\n的点为M,Pn(xn,yn)是三角形AnBnM的外心，则坷+花+…+兀心)三、解答题：每小题20分，满分60分13、如图，已知三角形ABC的内心为I,ACHBC,内切圆与边AB,BC,CA分别相切于点D,E,F,S=ClC\EF,连结CD与内切圆的另一个交点为M,过M的切线交AB的延长线于点G.求证：(1)\CD1\DSI；(2)GS丄C714、设abc是正整数，关于x的一元二次方程2a)c+bx+c=O的两实数根的绝对值均小于£315、求a+b+c的最小值.设集合A和B都是由正整数组成的集合，|A|=10,|B|=9,并且集合A满足如下条件:若x.y.u.vGy=u^v,贝ij{x.y}={u.v}.令A+B={a+b\aeA,beB}求证：|A+B|^50.(凶表示集合X的元素个数)2005年全国高中数学联赛福建赛区预赛试卷参考答案1>D由/(tanx)="tan,知/(兀)=[,所以/(2sinx)=一274sin2&一亍所以sin(x+y)+sin(x+y)cos(x-y)=——，即sin(x+y)=——当T，即点P为(2“,学)时等号成立。7、14把三个式子相加得：(兀+3)2+(y+l)2+(z+2)2=0即得8、13-2'2只要找出，对每个n有多少集合，使得n是模范数，再关于n求和即可.若n是S的一个模范数，S含有k个元素，则咒wS‘+EwS,.・.Rn2;又kS\5—n.S的其他k-2个元素有种取法，故n为模范数时，共有G；+C：3+•••+©「个.当n=l,2,…，13,模范数的总数为4=13C]：+12C：3+…+C：；,故2A=13«+12C：3+・・.+G；+C：3+2C$+・・・+12Cj3+13C；；=13(G：+C：3+•••+©；)二13・2"所以对集合(1,2,…，15｝的所有非空子集S,模范数的个数之和为13-21279、一我们考虑[&(l+x)F[0(l—兀)][/(2兀—1)F的最大值，这里J3"是正整数，满足85a—0+4y=O,a(l+x)=0(l—x)=y(2x—1),后者即色兰=0+厂，代入0=5&+4了得0+&2了+00=2(3cr/+56Z2-2/2)=2(5^-2y\a+/),取(a,0』)=(2,30,5),由均值不等式得：157[2(1+x)]5[30(1-x)][5(2x-1)]2<(―)8,当且仅当x二一时等号成立.4837所以，(1+x)5(1-x)(1-2x)2的最大值是10、39取x=y=0,得/(0)=一2或/(0)=3\n若f(0)=-2,令y=0,可得f(x)=-~x-2f代入原式知不符合;2若/(0)=3,解得/(x)=x+3,代入检验知满足题意，所以/(36)=391311、一若将A-BCD放在一个水平面上，易知其中心到点A的距离是A到底面距离的殳，所以反射的对24称面是距离A为A到底面距离丄的水平面.因此，它割A点所在的小正四面体是原正四面体缩小丄.同样，22对B、C、D三点处所切割的正四面体也是原正四面体的丄，当我们在原止四面体屮切割掉这四个小止四而21q1体后，即得到两个正四面体的公共部分体积为1-4(—)3=—。.2212、200洱易得A”(丄y，心)，氏(—,—)，所以=—1101比+1nnn+11111故△观是以宀为底边的等腰三角形，且底边所在直线的斜率为一1.因为M在直线y=x上，所以底边的中垂线方程为y=x,由此兀“=儿n+1I因为人M的中点为E(刍二，学b，仏附二一=—皿，所以外心人(占，儿)在直线2n+22〃nnn1n+12n+12/22/?+l2n+2)上,由此得£⑵2+1)2——!—=2+丄(丄—丄2〃(〃+1)2n{n+1)2n斤+11(X)=200+丄(1一丄+丄一丄+•••+)=200—.222310010110113、证明(1)在直角三角形CEI屮，由射影定理可得：El2=SICI=DI2所以2=2,又ZCID=ZDSI,故厶CDI-ADSI.10分SIDI(2)因为D、I、M、G四点共圆，并且由(1)得Z1SD=ZIDC=ZIMD,所以点S在四边形DIMG的外接圆上，故ZGSI=ZGMI=90°,即GS丄CI20分14、解:设方程的两实数实数根为X】，X2,由韦达定理知，xuX2均为负数，由<-,得->9,a9c所以/?2>4ac=4--c2>4-9-12=36,得/?>6,故C,bz、112匕…a33.21..八又一=一(西+兀2)<—+—=—，所以一〉一，ci>—b>一>115分a12333b222(1)当b=7时，由4a<4acl\得,«=11J2.13J4J5J6,c=1,故由\n=-b-yJb2-4ac得4+J]6—q<纟,易知/(a)=纟一71^^—4(a=11,12,13,14,15,16)为“2a333增函数，/(a)5/(16)=彳〉0,而/(15)=0,故67=16,此时a+b+c=25,而方程lbd+8兀+1=0的两根满足条件。15分127(3)当b>9时，a>—b>——>14,于是a+b+c>24,若a+b+cv25,则只能a=14』=9,c=1,22此时方程14/2+9x+1=0的根不满足条件.终上所述，a+b+c的最小值是25.15•证明:考虑一般的情形,设制=加,网=仏4+3=｛山宀,…,》｝，对任意的y，设耳•有/(,)种方式表示为a+b的形式，其屮awA,bwB,即Sj=aiX+bi{=ai2+勺2=…=,显然有/(l)+/(2)+••・+f(k)=mn5分对任意ft==50.km+n-\m+n-\10+9-120分2005年全国高中数学联赛河南省预赛试卷高中一年级(2005年5月15日上午8：30—11：00)考生注意：本试卷共六道大题，满分140分.一、选择题:本题满分30分，每小题5分.本大题共有六个小题，每小题后面给出了A、B、C、D四个结论，其屮只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后括号内，选对一个得5分，错选、漏选或多选，一律得零分.\n1.条件p:x+l>2,条件q：-^—>3-xA.充分不必要条件C.充要条件2.一个正整数数表如下（表中下一行中数的个数是上一行中数的个数的2倍），则第8行中的第五个数是（）A.68B.132C.133D.2601,则—>P是rq的（）B.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件第一行1第二行23第三行4567第四行3.若不等式宓2+力+4>0的解集为|-2<%2),则如005的值为，且cos20+2mcos6^-2m-21时，f(x)>o.(1)求/(*)的值；(2)判断尸f(X)在(0,+8)上的单调性；(3)—个各项均为正数的数列｛©｝,满足/(»)=/(色)+/(%+i)-1(用2),其中片是数列⑺”｝的前n项和，求sn和an.四、(本题满分20分)已知锐角a}sin0=mcos(cr+0)•sina(m>0,a+0H号),若x=tanc^,y=tan/?.(i)求y=/(x)的表达式；\n7171扁考(2)当X时*,求函数y的最大值.五、（本题满分20分）△ABC为（DO内接三角形AB>AOBC点D在弧BC上，从O点分別作AB、化的垂线交初于E、F,射线应、、CF交于P点、,若PB=PC+PO，则ZBAC=30°.六、（本题满分20分）设°,方为常数，M={/（x）|f（x）=acosx+bsinx},f：把平面上任意一点切映射为函数acosx+bsinx.（1）证明：不存在两个不同的点对应于同一个函数；（2）证明：当办任）wMB寸，土（兀）=/Cx+f）wM,f为常数（3）设定值办（兀）uMH寸，Ml办（兀+。』WR,在映射F的作用下，作为象，求其原象，并说明它是什么图象？\n2005年全国高中数学联赛加试第2题的探讨\n广东深圳市育才中学王扬(518067)木文对2005年的全国高中数学联赛加试第2题的解法及来历作以探讨，供感兴趣的读者参考。题目：设正数a、b、c、x、yz满足cy+bz=a；az+ex=b\bx+ay=c,求函数仝一+丄+二的最小值。1+x1+y1+z一•儿种迷茫思路的分析这道题目初看起来比较平易，给人一种立刻想到直接使用Cauchy不等式的通畅思路的惊喜，殊不知,这是一个极大的误区，本题的难度和技巧正好在这里设置了较好的陷阱。思路一：由Cauchy不等式知f(x,y,z)=111+兀1+y1+z(兀+y+z)23+兀+y+z(记u=x+y+z)=u+363+uu+3到此，在u>0的情况下，力图使用函数f(x)=x-i-丄的性质无法得到最小值。思路二：考虑到题目的条件是6个变量的3个等量关系，于是，可根据三个条件等式容易求出x、y、z用a、b、c表达的式子：c2+a2-b2y=2caa2+b2-c2ab因为a、b、c；x、y^刁都是正数，所以,a2+Z?2-c2>0;b2+c2-a2>0;c2+a2-b2>0即以a>b^c为对应边可以构成一个锐角△ABC,令x=COSA.y=ccsB,z=COSc从而，结合Cauchy不等式冇cos2A1+cosAcos2B1+cosBcos2C1+cosC(cosA+cosB+cosC)23+cosA+cosB+cosCl+4sin-sin-sin—>1222令w=cos4+cosB+cojCJiJ+、丄斗+3+2—61+cosA1+cosB1+cosC3+wu+333w=cosA+cosB+cosC<—,•*<.42-8sin—sin—sin一①222222等号成立的条件是AABC为等边三角形。证明：用向量方法证明如下设7,},k是平面上的单位向量，且j与云成角为Jt-A,E与7成角为n-B,7与j成角为兀-C,那么,-ABC9(ztan—+丿tan—+ktan一)~n0,所以2222A2B2Ctan-—+tan"—+1air——222>2tan—tan—cosC+2tan—tan—cosA+2tan—tan—cosB222222=2tan—tan—(l—2sin~—)+2tan—tan—(l—2sin—)+222222-CA.2B+2tan一tan—(l-2sin~—)222CA]—2—2丿—.Bsin—_+——」CCAcos2222-..A.B.CsinA+sinB+sinC2-4sin——sin——sin—222°ABC2•cos—cos—cos—2Jabbcca=2tan—tan—+tan—tan——tan—tan—I2222A‘.A.B.SmI-4sin—sin—sin一(厂222BcoscoscosCsin-——L)ABfcos—cos22=2-8sin-sin-sin—.2注意到，在△ABC中有熟知的等式:tan—tan—+tan—tan—+tan—tan—=I.222222从而①得证。有了上面的引理，解：同思路二得到，以a、b、c为对应边可以构成一个锐角AABC,高中教育木题的解答就容易多了，下面看木题的解法。\n令兀=cosA,y=cosB,z=cosC,从而l-4sin2—cos2222cos2—2•2A2Asin—+cos211=1+cosA1+cosB1+cosCo2A2cos—2[/I•2Cl-4sin—cos2cos2—2;4sin222cos~2A!A•2B2Bl-4sirr—cos「+——¥22cos2-2AoACOS"2+-4sin222c2人2cos~2~~~+2cos〜22C72cos^2BcosiB22C2C.2sin_—+cos4sini222r2C2cos22=—F—(tan—tan—tan—)—2(sin—sin—+sin—)2222222211zoA2B2C、—Ic•A•B•C、=—+—(tair—+tair—+tarr—)一2(1-2sin—sin—sin一)22222222、31/cQ.A•B.C、c・A.B.C、>—+—(2-8sin—sin—sin—)-2(1-2sin—sin—sin—)22222222_1■2等号成立的条件显然是A=B=C=60°时达到，最后一个不等式是根据引理而得到的。222］所以，/(兀』二)=丄+丄+厶的最小值为二1+x1+y14-z2显然，在厶=ZB=ZC=60°时，等号成立，所以/(x,y,z)的最小值为丄.2二.背景探索早在1994年，华东交大刘健先生就提出了如下猜想命题:.AA.口才亠cos2Acos2Bcos2C1_土BC'疋口：sin2B+sin2C+sin2C+sin2A+sin2A+sin2B_2②后来，湖南师大附中黄军华(现为深圳中学教师)先生在文［1］曾证明了这一猜想。请看证明：分两种情况(1)当ZXABC为钝角三角形吋，此吋不妨设A>90°,于是a2>b2+c2,所以siHA>sinB+siiiC=2-co^B-cosC,.*.cos23+cos2C>l+cos2A再据sin/A>sinB,sinA>sinC,所以，\ncos2Acos2Bcos2Csin2B+sin2Csin2C+sin2/4sin2/l+sin2Bcos2Acos2Csin2B+sin2Csin2A+sin2BcosAcosCsin2A+sin2Csin2A+sin2Bcos2B+cos2C_12sin2A2即此种情况②得证。（2）当AABC为非钝角三角形时,sin2B+sin2C=1-cos(B+C)cos(B-C).A=l+cos/4cos(B-C)<1+cos/4=2cos*-—所以,〉cos2A1-sin2Asin2B+sin2C"2cos2A2=—i—tan2sin—2222cos2Acos2cos2-22人・2人a•2；——sin4sirr—cos~2222c2A2cos~—2从而co^AsiilB+siCsiC+siriAsinA+siBcos2C、cos2Acos2B2cos2—2cos2—2cos222231/2人.2B2C\c/•2A.2B.2=—i—(tan—ftun~—卜tarr—)—2(sin"—fsin~—fsin〜—)22222222、3丄.A•B.C、”°.4•B•C、1>—+—（2-8sin—sin—sin——）-2（1-2sin—sin—sin—）=—222222222即三角形为非钝角三角形时结论也成立，综上结论得证。对比③之后的叙述与今年的这道竞赛加试第2题的解法，不难知道，今年的这道赛题无非是在②的第2种情况的基础上增加了一个解方稈组的程序（并由此判断AABC为锐角三角形）罢了，即今年的这道加试题可以看作是由解方程组（初中知识的要求），判断三角形种类、与求最值（高中知识的要求）三个问题的简单合成（串联）。顺便指出，①的证明曾经是上世纪1990年前后在文［2］等刊物上讨论过儿年的一个结论。二.条件等式的几何解释对比条件等式cy+bz=a；ciz+cx=b\bx+ay=c(注意a、b、c>x、y^乃为正数)与△ABC中的斜射影定理ccosB+/?cosC=a6/cosC+ccosA=hbcosA+acosB=c\ni2222212以及余弦定理，可知，应有x=cosA=—————,y二cosB=,2bc2ca.b22z=cosC=,从而，求解本题中的解方程组的坏节就可以看作是余弦定理的默认结果。另2ab外，有了上边的余弦定理结构，解答中的构造三角形法已经水到渠成了。参考文献[1]黄军华两个猜想的证明《湖南数学通讯》2(1996)P34oabCABC[2]黄汉生简证tan2—+tan2—+tan2—>2-8sin—sin—sin—《数学通讯》6(1991)P22222222005年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题说明：1.评阅试卷时，请依据本评分标准.选择题、填空题只设6分和0分两档.其他各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其他中间档次.2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时可参照本评分标准适当划分评分档次，3分为一个档次，不要再增加其他中间档次.—・选择题(本题满分36分，每小题6分)7T1.函数y=/(%)的图像按向量^=(-,2)平移后，得到的图像的解析式为4JTy=sin(x+—)+2.那么y=f(x)的解析式为A.y=sinxB.y=cosxC.y=sinx+2D.y=cosx+4答：[]2.如果二次方程x1-px-q=0(p,^eN*)的正根小于3,那么这样的二次方程有A.5个B.6个C.7个D.8个答：[]3.设a>b>0,91那么/+——_的最小值是b(a-b)A.2B・3C.4D.5答：[]3.设川棱锥P-ABCD的底面不是平行边形，用平面a去截此艸棱锥，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面aA.不存在B.只有1个C.恰有4个D.有无数多个答：[]4.设数列{%}:670=2,q=16,色+2=16色+]—63色，nwN*,贝U672(X)5被64除的余数为A.0B.2C.16D.48答：[]5.一条走廊宽2m,长8m,用6种颜色的lxl的整块地砖來铺设(每块地砖都是单色的，每种颜色的地砖都足够多)，要求相邻的两块地砖颜色不同，那么所有的不同高屮教育\n拼色方法有A.30*个B・30x257个C・30x207个D.30x21?个答：[]二.填空题(本题满分36分，每小题6分)7T7.设向量OA绕点0逆时针旋转一得向量OB,且204+03=(7,9),则2向量OB=项之和，对于任意正整数8.设无穷数列{afl}的各项都是正数，S”是它的前77的等差中项等于S”与2的等比中项，则该数列的通项公式为：(/?eN*).9.函数y=\cosx|+1cos2x|(xgR)的最小值是10.在长方体ABCD—fBCD、中，4B=2,AA]=AD=\,点、E、F、G分别是棱*、GU与BC的中点，那么四面体B\-EFG的体积是5位数共有九ywR}，11.由三个数字1、2、3组成的5位数中，1、2、3都至少出现1次，这样的个.12.己知平面上两个点集M={(x,刃I丨兀+A+1I»j2(F+y2),N={(x,y)||兀一口|+|丁一11Ml,wR}.若MN工0,则a的取值范围是三.解答题(第一题、第二题各15分；第三题、第四题各24分)13.已知点M是AABC的中线AD上的一点，直线BM交边AC于点N,且是\NBC的外接圆的切线，设—=A，试求列■(用2表示).BNMN\n10.求所有使得下列命题成立的正整数n(h＞2):对于任意实数西，兀2，，£，当工兀=0时，总有工兀內+[50(其中£+]=占)./=!/=!2215设椭圆的方程为未+厂«＞方＞0),线段PQ是过左焦点F且不与x轴垂直的焦点弦.若在左准线上存在点/?,使\PQR为正三角形，求椭圆的离心率e的取值范围，并用e表示直线PQ的斜率.\n16.(1)若n(neN*)个棱长为正整数的正方体的体积之和等于2005,求n的最小值，并说明理由；(2)若n(ngN*)个棱长为正整数的正方体的体积之和等于20022()()5,求斤的最小值，并说明理由.2005年全国高中数学联赛山东赛区预赛试题一、选择题(每小题6分，共60分)1.数集｛“一兀｝中兀的取值范围是2.A・(一卩+oo)C.(-00,2)u(2,+oo)若Z2+Z+l=0,则的值是A.1B.-1B.D.C-(-oo,0)u(0,+oo)(-oo,0)u(0,2)u(2,+8)D.--±—z2——I23.函数y=cos4x+sin2x的最小正周期为4.7TA・一4随机抛掷一颗6个而分别刻有1,2,3,4,5,6个点的骰子,点数的数学期望值为A・3B.3.5C.71D.其出现(即向上一面)C.4D.4.55.函数f｛x)=a^+cx的图像如图，则下面关于abc符号判断正确的是(A.a>O.bO.b>O.c>0C.a0D・aO.c<01.611+C*6,0+G：6°+•••+C,l；｝6-1被8除所得余数是\nA.0B.2C.3D.5\n7.不等式I—!—I〉丄的解集为logjx+133A.(|,81)B.(|,27)93C-)227)D・(討)53,81)JT7T8.当-1的解集为•12.数列｛an｝的前n项和Sn满足S“=n2an,若纠=1003,则t72OO5等于.13.设平面内的两个向量a#互相垂直，且«=2,/?=1,又k与r是两个不同时为零的实数,若向量x=a+（3-t）b与丫=_込+氏互相垂直，则£的极大值为14.在某次商品的有奖销售活动中，有〃人获三等奖（刃24）,三等奖的奖品共有四种，每个三等奖获得者随意从四种奖品中挑选了一种，结果有一种奖品无人挑选的概率是三、解答题（共5小题，计66分）15.（12分）某人购房向银行贷款s元，年利率为〃，每两年向银行返还一次本息，十年还清，要求每次向银行的付款数相同，那么十年付款的总额是多少？16.（12分）如图，斜三棱柱ABC-A.B,G的侧面AA.C.C的面积为丰的菱形，ZACC,为锐角，侧\n面ABB,A.丄侧面AAGC,且A]B=AB=AC=1.(1)求证A4丄BC、；(2)求4目到平\kiABC的距离.17.(12分)设/(%)=/+加+c(b,c为常数)，方程/(x)=%的两个实数根为心尤2,且满足西>°，x2-X)>1.(1)求证：b2>2(/?4-2c)；(2)若()0)的两条互相垂直的弦04OB,再作ZAOB的平分线交AB于点C.求点C的轨迹方程.aVx\n19.（15分）圆周上有800个点，依顺时针方向标号依次为1,2,・・・,800.它们将圆周分成800个间隙.任意选定一点染成红色，然后按如下规则逐次染红其余的一些点：若第k号点已被染红，则可按顺时针方向经过厂个间隙，将所到达的那个点染红.如此继续下去，试问圆周上最多可得到多少个红点？证明你的结论.2005年全国高中数学联赛试题第一试（2005年10月16日上午8：00〜9：40）一、选择题：（本题满分36分，每小题6分）l•使关于x的不尋式有御的实fU的量大値是（）B・"C./6b__726.记集合r=lo.lt2,3,4,5,6|川二吟璋璋诗・2,3,4|•将M中的兀素按从大列小的■序排列•则邛2005个效是（）.556^3A771rr1J04GyFTy吗•痒rARC仙r5・“心匕2的值为（C.6A.2B.44.如圈■心力・A'kCTT为正方体.任件千■•号”角MAC•聃血・便傅«埒正方体的•介血邢利公共A.ESWMMM・・參边库）的向枳为S.HI长为1.IKA.S为定血・1不为定值C・S与【均为定值B.5不为定ALM为定值D.S与［均不为定fllS.方軽>才—・1表示的・HX)sin/2-tinV3coiiZ•cot"A・廉点庄>■上的H*B.HAft>■上UH点底y■上的!!■D・■点在y■上的双曲找二、填空题:（木题满分54分，每小题9分）\n7.将关于■的多顼式/（龙）=in?-宀…-广*』表为关于y的务項式*y）=旳*a“令a）/4…♦awyw♦呵严•共中y_4・JHg令尙♦…+a®目・8.巳知/U）是宦义在（0.+8）上的讃除败•若/（2aS“l）V/*（3Q-4a・1）rit立・则a的取值范HHL_—9•设a、p"厲足OH7*a=__一•1)arioan)10.如Bi.«®WDMC的体积为〉，且満足ZACB=4y,AD+Z?C♦O>=・<211•若正方形AHCD的一条边在Utty«2*■门上•另外两个1«点在抛物氏y-z2±.1«恢正方形面积的最小值为12.Mlff.fmfta的备位败字之和箒于7•捧么称a为■吉样数”.将所有•吉样IT从小到大排成一列引，3,5,…・若％=20。5•则a5ll=三、解答题：（本题满分60分，每小题20分）13•数列|aB|Slt&：ao=l.all^i=虫亠一字生一~"WN・证明：（!）«任*neN.a,为正竝数；（2）对任Hne/V.a.a,^-I为完全平方效.14.将编号为U2.-,9的九个小球驗机放■在BS周的九个筹分点上,毎个部分点上各有一个小味•设圆周上所有相邻两球号码之邀的绝对值之和为S.JR便S达到最小值的放法的槪率.（注:如杲某种放法，经旋转或傥面反射后可与另一种放法庫合,则认为是相同的放搖）\n15•过抛物线）上的一点4（1,1）作摊物线的切线■分别交*轴于6交7输于B.点C在抛物线上■点£在线段"上•澹足^=Al；点F在线段3C上厲足；；：=和且Ai^AjsI点段CD与EF交于点P.当点C在MWn上移动时•求虑P的轨进方程.2005年全国高中数学联赛试题—-、亠第一试（2005年10月16口上午10：00〜12：00）一■（本題满分50分）如图，在△磁中，设AB>4C.itA作AABC的外按圖的切线Z.又以A为H心MC为半径作Bl分别交找段仙于交Ml于E、F・证明：直线DE、DF分别通过△磁的内心与一个旁心.（注：与三角形的一边及另两边的延长氏均相切的圆称为三角形的旁切38•旁切38的谢心称为旁心.）二.（本题满分50分）设正数a>A%C\X\y>x滞足cy+&・atax♦a=b9la+ayac•求海数人肌y*）■壬♦♦£的■小值.\n三、（本题满分50分）0当fi为平方效，对每个正整效ft■定义«I］［占】当熬不为平方数.IVn|（其中［"表示不旨过龙的嚴大・试求：的值.2006年全国高中数学联赛安徽初赛试卷2006年9月2日上午9：3（）——11：30试题提供：xj-hua录入：成俊锋校对：未校一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1•正数列满足«!=1,^2=10,a^an_2=（n>3）,则lg（«100）=A、98B、99C、100D、1012.己知Igx的小数部分为d,则lg丄的小数部分为x~A、-2d的小数部分B、1-加的小数部分C、2-2a的小数部分D、以上都不止确3.过原点O引抛物线y=x2+or+4t/2的切线，当a变化时，两个切点分别在抛物线（）上A、y=^jr,y=—x2B、y=-|x2,y=*|x2C、y=x2,y=3x2D、y=3x2,y=5x24.己知/MBC为等腰直角三角形，ZC=90°,D、E为AB边上的两个点，且点D在AE之间，ZDCE=45°,则以AD.DE、ED为边长构成的三角形的最大角是A、锐角B、钝角C、直角D、不能确定5.将正整数从1开始不间断的写成一行，第2006个数码是（旁注：这是希望杯的培训题）A、0B、5C、7D、以上都不正确6.己知圆锥的顶点V和底面圆心O的连线垂直于底面（旁注，这句话实际上是废话），一个过”中点M的平面与圆O相切，与圆锥的交线是一个椭圆，若圆O半径为1,则椭圆的短轴的长为A、也B>—C、也D、以上结果都不对532二、（每小题9分，共54分）7.设等差数列的首项和公差均为正整数，项数为不小于3的素数，R各项之和为2006,则这样的数列共有个.（兀一11）'+15（兀一11）=58.已知实数兀、y满足I〈'丿，则x+y=.（旁注：联赛原题）（y-4）+15（y-4）=-59.正八边形所有对角线在其内部交点的个数为•10.若x、y为实数，FLF+与,+〉,2=3,则兀2_小+）,2的最大值和最小值分别为.11.一个正方体的8个顶点可以组成个非等边三角形.12.若关于x的方程x/T7=H4-2恰有一个实根，则k的収值范围是.三、论述题（本题满分6（）分，每小题2（）分）13.设有2006个互不相同的复数，其中任何两个数的积（包括自乘）是这2006个数之一，求这2006个数的和.高屮教育\n2.求2£卩©-3逹疋C+承©的值.k=\k=\3.己知数列[aH]（??>0）满足吗=0,对于所有neN+,有%=2丁30%（a“+1）+11%+5,求％的通项公式.2006年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷一.选择题（本题满分36分，每小题6分）21.已知数列｛色｝的通项公式%=才_令+5‘贝9&｝的最大项是（）（A）®（耳色（C）Q?（D）a42.函数y=^的图象是（）（小（3）C）（刃3.已知抛物线y2=2px,O是坐标原点，F是焦点，P是抛物线上的点，使得△POF是直角三角形,则这样的点P共有（）（A）0个（3）2个（C）4个（D）6个4.设/（兀）是定义在/?上单调递减的奇函数.若x｛+x2>0,吃+忑>°，兀3+西>°，贝”）（A）/（西）+/（吃）+/（冯）>。（B）/（西）+于（吃）+/（冯）<0（C）/（西）+/也）+/（兀3）=。（°）/馆）+/（吃）>/（疋）5.过空间一定点P的直线中，与氏方体ABCD—ABCU的12条棱所在直线成等角的直线共有（）（人）0条（3）1条（C）4条（D）无数多条6.在AABC中，tan4二丄，cosB=^-.若XBC的最长边为1,则最短边的长为（）210（B）琴（C）琴（D）丰二•填空题（本题满分54分，每小题9分）7.集合A=^x\x=3n,neN,0010.己知<3兀一歹》0,则x2+y2的最大值是.x+3y-3<0<11.等比数列&}的首项为q=2020,公比q=-设/（町表示这个数列的前〃项的积,则当〃=2时，/（兄）有最大值.12.长方体ABCD-\BXCXDX中，已知AB,=4,AD}=3,则对角线AQ的取值范围是•三.解答题（本题满分60分，第13题、第14题各12分，第15题16分，第16题20分）13.设集合A=Jxlogl（3-x）>-2LB=若A3h0,求实数a的取值范围.14.椭圆丄+丄=1的右焦点为F,，心为24个依逆时针顺序排列在椭圆上的点，其中片是椭94圆的右顶点，并且Z片F£=ZP2FP,=ZI}FP4==Z&F片.若这24个点到右准线的距离的倒数和为S,求S?的值.15.厶ABC中，ABcosS+si(&—2cos20sii?0=$；①又，cos2^+sin2^=1=>cos4^+sin4^+2cos2^sin2^=1.②(①+②)十2：cos4〃+sin40=特9.(x-3x2)3的展开式中，F的系数为・解：(x-3x2)3=?-3?X3x2+3xX9x4-27?.nF的系数=27.严0’点(3,个数列10.已绷3尤一)9(),则x2+y2的最大值是.lx+3y—3W0,解：满足条件的点集组成的图形为图中阴影部分及其边界.其中0)与原点距离最大，故(，+)?)max=9.11.等比数列｛如的首项为«i=2020,公比q=-舟,设知)表示这的前n项的积，则当时,、/O)有最大值.解：由于夬4Q>0,人4鸟+1)>0,(RUN*)・X4^)=A2W_，)；./(4R+1)=/T0狀.于是,/(12)>/(13),且当RM3时，人4比+1)<./(4£)；又雳=后『°,有/9)4所求取值范围为(4,5).三、解答题(本题满分60分，第13题，第14题各12分，第15题16分，第16题20分)13.设集合4=｛x|logi(3—x)^—2｝,B=｛珥岂$1｝，若AQB=0,求实数d的取值范围.\n解：由logi(3-x)>-2=>0<3-x^4=>-l^x<3.2由二(产1=>(兀—a)(x—3a)W0.当a>0时，当a=0时,当aVO时，解为a-l=>-l0时，有3a<3=>O〃一”(1+ecos3).所以，?42424S-列-丄》(1+町。)-24+生辭-24台山p竹台p故S2—马•一18().解法二:4FP与Ox即,设过焦点且斜率为£的直线交椭圆于A、B两点.fy=k(x-c)1治+9)2=36・4“+9疋(兀一何一36=0.(4+9lc)x-18伍M+45/_36=0.丄18岳45疋一36^十也-4+卅兀山_4+9疋•29~y[5x1击-兀=筋*9-伍，故直线①与椭圆的两个交点到准线距离的倒数和为西I诉_诉[18—诉5+兀2)]9~y[5xi9~y[5x2S\—9\[5(x\+x2)+5x\X2心18_运•魅£18^.45^2-368%‘4+9疋+54+9疋18诉(4+9疋)一907^2①代入②:所以,而点P到准线距离「81(4+9疋)一810疋+225疋一180则有①②\n72^5+72^2V5=144+144，=2*/4而过焦点且倾斜角0=90°时，两交点到准线的距离=牛_c=忑,故0=90°及270°的两个点到准线距离倒数和也=爭.所以，S=12x¥=6^;52=180.解法三：令代入椭圆方程得，r(4cos2^+9sin20+8V5rcos^-16=0.y=rsm&.▼同上.15.△ABC中，ABZAFB=ZEAC.又BD垂直平分AK,故ZAKB=ZBAD,因ZBAD=ZEAC,所以ZAKB=ZAFB.所以A、F、K、BFK//BCn/FKA=9,故AF为该圆直径.E为此圆圆心.故EA=EB=EC,即点C在此圆上.此圆为△ABC的外接圆，径.所以ZBAC为直角.证明二：取△A3C的外接圆，延长AE交圆于点F,连FB,则ZCBF=ZCAF=ZBAD,已知矛的平分但ZBAD+ZABD=W\从而ZFBC+ZABC=90\即ZABF=90\从而AF为圆的直径.若E不是圆心，则AFA.BC,=>AB=AC.与盾.故E为外心.从而ZBAC=90°.证明三：作△ABC的外接圆，作EF丄BC,交外接圆于点F,连AF.则EF是BC的垂直平分线，故F为矗的屮点，于是AF是ZBAC线.由ZBAD=ZEAC,得ZDAF=ZEAF.故AF的垂直平分线经过点E.故E为/XABC的外心.从而AABC为又，EF//AD,故ZDAF=ZEFA=>ZEAF=ZEFA.=EA=EF.由于△ABC的外接圆圆心应是弦AF.BC的垂直平分线的交点,直角三角形，得，ZBAC为直角.ZDAE=Z证明四：取AC中点F,连DF、EF,由EF//AB=>ZAEF=ZEAB=ZBAD+ZDAE=ZEAC+DAC,由AD为高，故ZDAC=ZADF,所以，ZADF=ZAEF=>A.D、E、F四点共圆.于是有ZEFA=90\从而ZBAC=90\故证.证明五：以Q为原点，BC所在直线为x轴建立坐标系.设点A、B、C的坐标分别为A(0,a),B(b,0),C(0,c).设AB到AQ的角为a,则tan«=—a2akAC「，灯"=—用，=高屮教育\n扁考tanZEAC=a(c~b)2a~2(T+bc+(rc(b+c)ba(c—b)由tanZEAC=tan«=>++?.化简得cr=-bc.即|4D|2=QB|.QC|.故厶ABC为直角三角形.h证明六：设BC=a,BD=p,AD=h,贝ijtan^=ptanZAEB=—2a~P2ha—2pZBAE=ZDAC=>tanZBAE=tanZDAC=£r£2h.u_ph2ha_p2h(a—p)在/XABE中，有也+^V+i_•o•r,-z^、•pa_2phpa~2php(a~2p)即/r(a—2p)+2p!r+p(a—〃)(a—2p)=27z2(a—2p).=>ft2=p(a—p).直角三角形.得证.从而\AD^=\DB\-\DC\.故厶ABC为证明七：设ZBAD=ZEAC=a,则AD=ABcosa=ACsinC,①ZB/4E=Z£X4C=90—C.而S^fiAE~—(7)~i4C,24^sin6(^>/AficosC~/4C,sin6c.②①X②：sin2«=sin2C=>ct+C=90°或a=C.若a+C=90°,则£>、E重合，与AC>AB矛盾，=>a=C.则有ZBAC=90°,得证.16.设卩是质数，且p2+71的不同正因数的个数不超过10个，求"解〃=2时，/+71=75=3X52,J(75)=2X3=6<10,故p=2是本题的解；p=3时,p2+71=80=24X5,d(80)=5X2=10W10,故p=3是本题的解；若质数〃>3,则p2=l(mod8)=>p24-71=0(mod8),故2?沪+71；尸三l(mod3)=>p2+71=0(mod3),故3|p2+71.所以，p2+7\=2°X3fiXt.其中0WN*,且q23.当。=3,0=1,/若有大于3的质因子，则J(/+7I)^4X2X2,故/=1.此时无质数〃满足题意;当a=4,B=\,必有f=l,此时有J(p2+71)^5X2=10.此时无质数〃满足题意；当031,且等号不同时成立时，J(p2+71)>10.综上可知，解为p=2,3.2006年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题第一试一、选择题(每小题5分，共50分)1.a,b为实数,集合M={-J}9P={a90},f:x^x表示把集合M中的元素x映射到集合aP中仍为X,贝1」°+〃的值等于()A.-1B.0C.1D.±1\n22.若函数/⑴满足/()=log2y[x\7\，则/(x)的解析式是x+\x\A.log2XB.-log2XDx"23B.(-°°厂匚)(5,+oo)4/23、D.(——,-)343.若关于x的方程(-/=—有负数根，则实数a的取值范围为25—ci2A.(-00,--)(5,+oo)C.(~—,5)4.己知数列｛an｝.｛bH｝的前n项和分别为瓦记q=ajB“+bjA厂1)则数列｛C；｝的前10项和为D.JAodoA・Ao+SioB人()+久)•22|5.如图1,设P为ZiABC内一点，RAP=-AB+-AC■5)5则AABP的面积与AABC的面积之比为(12A.—B.—5511C.—D.—436.若sin3&一cos30>cos0-sin0,O<0<27i则角&的取值范围是()A.[0彳B.吟，刃C.,713兀、D.—,——)42若取出的两个球是同色的概7.袋中装有m个红球和n个白球，m＞n24.现从中任取两球，率等于取出的两个球是异色的概率，则满足关系m+nW40的数组(m,n)的个数为()A.3B.4C.5D.68.已知实系数一元二次方程〒+(l+Q)兀+0+5+1=0的两个实根为若,勺且o＜西＜1,血〉1则2的取值a范围是A.(-1,-*]()D.(-2,-*)9.如图2,在正方体ABCD-A.B.qD,P为棱AB±一点，过点P在空间作直线人使I与平面ABCD和平面ABCQ均成30°角，则这样的直线/的条数为A.1B.2C.3D.4PB图3\n1.如图3,从双曲线冷—厶■=l(a〉0,b〉0)的左焦点F引圆x2+y2=a2的切线，切点为T.延长FTcrb"交双曲线右支于P点若M为线段FP的屮点，O为坐标原点，^\MO\-\MT\^b-a的大小关系为()A.\MO\-\MT\>b-aB.\MO\-\MT\=b-aC.\MO\-\MT\l,y>1,S=min{log2,log2y.logv(8x2)}则S的最大值为AtAr、一4^弟一试一、(50分)设P(x+d,yJ、Q(x9y2).r(2+a9y3)是函数f(x)=2A+a的反函数图象上三个不同点，且满足刃+必=2%的实数x有且只有一个，试求实数a的取值范围.二、(20分)已知兀、y、z均为正数(1)求证:xyz、111—+—+—>—+—+—;yzzxxyxyz\nXVz（2）若x+y+zhxyz,求％=—+—+一的最小值yzzxxy三、(20分)已知sin(2a+0)=3sin0,设tana=兀,tan0=y,iSy=f(x)(1)求/(尢)的表达式；(2)定义正数数列｛a”｝;q=*卫；+|=2色・/(匕)5丘。试求数列｛色｝的通项公式。四、(30分)如图4,AABC的内心为I,过点A作直线BI的垂线，垂足为H,设D、E分别为内切圆I与边BC、CA的切点，求证：D、H、E三点共线五、(30分)如图5,己知抛物线C：)，=4/x(/?>()),F为C的焦点，/为准线，且/交兀轴于E点，过点F任意作一条直线交抛物线C于A、B两点。(1)若AF=QFB(a>0),求证：EFl(EA-AEB)；(2)设M为线段AB的中点，P为奇素数，且点M到x轴的距离和点M到准线/的距离均为非零整数，求证：点M到坐标原点O的距离不可能是整数。\n参考答案1.C由题设得M=P,从而2=0,a=l,即Q=l,b=0・故a+b=l。a2.B由x\x\>O^x>0,于是/(-)=log9x,从而/(x)=log7丄=—logeXX3.D因为xvO,所以0<(?)"<0,从而Ov上屯vl.解得一-0,所以sin-cos>0.解得兰<0<丸・244方法2：原不等式可变形为sinS+sin&ncosS+cosg构造函数/(对=疋+兀,则原不等式为/(sin&)n/(cos&)・易知/(兀)在R上是增函数,因此sin>coso注nSyr意到0<&<2兀，解得447.A记“取出两个红球”为事件A,“取出两个白球”为事件B,“取！11一红一白两球”事件C,c2C2C2C1则P(A)=P(B)=P(C)=ccc/?/+?:/?:+??m+no依题得P(A)+P(B)=P(C),即Cm2++Cn2=Cm，•Cn'o所以m+n=(m—n)2,从而m+n为完全平方\n数，又由m>rt>4及加+〃<40及加+斤<40,9TALH-Z>9rIIZf=ff(°)=Q+b+1>0,8・D设f(x)=x2+(l+d)x+a+b+1,贝lj由01,得4=2a+b+3<0.在直线坐标平面aOb上作出上述不等式所表示平面区域如图2中阴影部分所示(不含边界)，两直线a+b+1二0与2a+b+3二0的交点为P(—2,1)。b—表示经过坐标原点0和可行域内的点(a,b)的直线/的斜率。显然，当/过点Pa(-2,1)时，斜率为—丄；当/与直线2a+b+3=0平行时，斜率为一2。所以22S,log2y>S,logv(8x2)>S,JUOSog2yIog2ySy二4吋取等号。第一试一、选择题（每小题5分，共50分）【解】f(x)=2X+a的反函数为/(x)=log2(x—a),则x=log2x,y2=log2(兀一a),%=〔°于是,由+)■=2)s，得1+log2兀=21og,兀一a)ox>a此方程等价于2。5分2x=（x-a）(1)当△=(),即G=时,2(2)当△>(),即a>-丄时,2方程有唯-实根"芥方程有两个实根兀=0+1土』2a+\10分\n显然，x=d+1+J2q+1>d满足条件,\n岛考从而应有x-a+\-V2^+l0。综上所述，实数a的取值范围为(-丄)2(0,炖)。20分2二、(本题满分20分)【解】(1)因为兀，y,z无为正数。所以—+=-(-+^)>-；5分yzzxzyxz同理可得-^+―zxxyxxyyzy当且仅当ey二z时，以上三式等号都成立。将上述三个不等式两边分别相加，并除以2,得—+^-+—>-+丄+丄……10分yzzxxyxyz(2)因为X'y‘心为正数’且心+2心,所以新由(1)的结论，得甘=h-^―H—n11—yzzxxyxyz+—)>a/3ZX+-V+2(—+—+—)>z_xyyzzx当且仅当x=y=z,且—+—+—=1,即兀=y=z二希时，以上等号都成立,xyyzzx故Wnun=^320分三、(本题满分20分)【解】(1)由sin(2a+0)=3sin0,得sin[(a+0)+a]=3sin0[(a+0)-a],所以tan©+0)=2tanof于是，卫叱皿=22陀,即亠=2兀,解得尸一^,故……I。分1-tancjftan^zl-x>?1+2jt1+2jc(2)因为心ej(讣盏'所以注=丘+1,15分因此，｛丄-2｝是首项为2,公比为丄的等比数列。込2\n所以丄_2=2（1）心,故％5220分四、（本题满分3（）分）【证法1】如图5,设直线BI与CA边相交于K点，连结Al、DI、ERDH、EH。因为ZBDI=ZAHB,ZIBD=ZABH,所以△IBD^AABI有BDIBmBDHB=,即=BHABBIAB10分又因为ZHBD二ZABI,所以△HBDs^ABI有ZBHD=ZBAI①20分因为ZAEI=ZAHI=90°,所以A、E、H、I四点共圆,有ZEHK二ZEAI②由①、②及ZBAI=ZEAI,得ZBHD二ZEHK。故D、H、E三点共线。30分【证法2】如图5,连结DE、EH、Al、EL因为ZAEI=ZAHI=90°,所以A、E、H、I四点共圆，有ZAEH二ZAIB10分又因为I为AABC的内心，所以ZAIB二90°+-ZC.2从而ZAEH=90°+丄ZC.20分21QAO—/°1因为CD二CE,所以ZDEC==90°一一ZC.22于是ZAEH+ZDEC=180°,故D、H、E三点共线。30分五、（本题满分30分）【解】（1）方法1：点F的坐标为（p,0）,设直线I的方稈为x=fny+〃，代入）,=4px,得y2-4pmy-4p2=0①设人（西」）,〃（兀2，力），贝hi、y2是方程①的两个根，有才+丈=4pm,y,y2=-4p2由~AF=AFB^A=-^-・歹2因为EA-AEB=（x}+卩,卩）一兄（兀2+卩』2）=（兀2-加2+"（1一刃」一凡为），又EF=(2p^xl=^,x2=4〃22所以寿・（鬲一2而）=2卩区—加2+P（1—刃］=2〃［丄L+卫•旦+卩（1+丛）］4卩?24“?22心+旳）川2+讥02力\n故EF丄(EA-AEB).10分方法2：如图6,设点A、B在准线/上的射影分别为A'、B',则|AF|=|A'A|,|BF|=|BZB|。从而，由乔=几耳得禹=/l丽因为鬲=丽+刁兀而=丽+丽,所以鬲一兄而=雨一/1丽又鬲丄（丽丽）,所以丽•（丽丽）=0.故~EF（EA-AEB）=0,HPEF丄（云—2丽.10分（2）设M（x,y）,依题意X、y均为非零整数，由对称性，不防设x,ywN*,则y=%；＞2=2pm②因为点M在直线AB上，所以x二my+p③由②、③消去m,得y2=2p（x-p）・④假设|OM|二r为正整数，贝ijX24-y2=r2⑤因为p为奇质数，所以由④知，ply,从而p|x。于是，由⑤知p|r0令x=px},y=py\,r=eN*）,则有yj\=2（Xj—l）,Xj2+yf=斤$°消去yi，得彳+2西—斤2=2,即（X]+1+斤）（兀]+1—斤）=3=3xl.又兀]+1+斤与X]+1—斤冇相同的奇偶性，且X]+1+人＞X]+1—斤，[x,+1+r=3,小丿口fx.=1,所以，’解得.也+1—斤=1.[r}=1.从而yi=0,于是y=・0,这与y为正整数矛盾。故点M到坐标顶点O的距离不可能是整数。2007年年全国高中数学联赛广西赛区预赛试卷（9月23日上午8:30〜10：30）\n一、选择题（每题6分，共36分）1、若点P（x,y）在直线x+3y=3上移动，则函数f（x,y）=3X+9V的最小值等于（）(A)5已卢4(B)7(毋9(C)7(—)79(D)3(-)522、满足j=Vx+3+Vx+2007的正整数数对（x,y）（）（A）只有一对（B）恰有有两对（C）至少有三对（D）不存在3、设集合M={-2,0,1},N={1,2,3,4,5},映射f：MtN使对任意的x^M,都有x+f（x）+xf（x）是奇数，则这样的映射f的个数是（）（D）11(A)45(B)27(C)154、设方程=1所表示的曲线是（血（19旳）°cos（19^y）°（A）双曲线（B）焦点在x轴上的椭圆（C）焦点在y轴上的椭圆（D）以上答案都不正确5、将一个三位数的三个数字顺序颠倒，将所得到的数与原数相加，若和中没有一个数字是偶数，则称这个数为“奇和数”。那么，所有的三位数中，奇和数有（）个。（A）100（B）120（C）160（D）2006、设4=6,citl+]=[—cin+—ci~—2]（neN+）,其中[x]表示不超过x的最大整数。则cix+色1-乙炽的个位数字为（）（A）1（B）2（C）3（D）4二、填空题（每小题9分，共54分）[x+3y—2z=01、已知三个正整数x,y,z的最小公倍数是300,并且{2=2，则方程组的解（x,y,z）l2x2-3/+22=02、已知关于x的实系数方程x2-2x+2=0和%2+2mx+1=0的四个不同的根在复平面上对应的点共圆,则m的取值范围是°—>—>—>—>—>―>―►—>—>―>TTTT3、设平面上的向量a,b,x,y满足关系a二兀一y,b二2兀+y,又设。与b的模为1,且互相垂直，则x与y的夹角为。4、设函数办（无）斗斛丿（劝斗办⑴―1|/（兀）=|/（兀）一1|，则函数花（兀）的图象与x轴所围成图形中的封闭部分的面积是o5、已知单位正方体ABCD—EFGH棱AD与直线BC上分别有动点Q、P。若APQG与ABDE相截得到的线段MN长度为y,设AQ二x（OWxWl）,则y的最小值写成关于x的函数关系式是°6、设3|>辺，…，"2007均为正实数，IL1*1=—,则Cl^2***^2（X）7的最小值\n2+马2+df2+d°（）（）72是o\n三、(20分)已知ZXABC的三边长分别为a、b、c,且满足abc=2(«-1)(/?-l)(c-1)・(1)是否存在边长均为整数的△ABC?若存在，求出三边长；若不存在，说明理由。(2)若a>l,b>l,c>l,求出AABC周长的最小值。川、(20分)已知OO1与002相交于两不同点A、B,点P、E在OO|上，点Q、F在上，且满足：EF为两圆的公切线，PQ〃EF,PE与QF相交于点R。证明：ZPBR二ZQBR。Y2\,2五、已知椭圆飞+2~=1过定点A(1,0),且焦点在x轴上，椭圆与曲线lyl二x的交点为B、C。现有以AaZr2为焦点，过点B、C且开口向左的抛物线，抛物线的顶点坐标为M(m,0)。当椭圆的离心率e满足一V/V13时，求实数m的取值范围。2007年全国高中数学联系广西赛区试卷参考答案一、选择题(每小题6分，共36分)1.(A)—2(1—)2—x解:/(x)=3v+9v=3v+93二3”+33二3”+3311\—x\—x1—A-fl1bXkX=--3x+--3x+33+33+33>5-d--3A---3x-33-33-3322V22\n1.2711i--x3=5vi*3=5，(4)S，等号当且仅当~3x=33,EPx=-(l+log32)时成立,故f(x,y)的最小值是5-(—)542、(B)解：设cr=x+3,b2=x+2007，其中a,b均为自然数，则y=a+b,b2-a2=(b-aXb+a)=2004=22x3xl67o因为b+a与b-a有相同的奇偶性，且b+a>b-a,所以b+d=100：,、或b-a=2b+a=334b-a=6解得a=500jd=164或sinl9°>0,故应选(C)5、(A)解：设三位数是a}a2a3,则a{a2a3+a3a2a}=1O(Xtz,+6r3)+10(^2+a2)+(tz,+Q3)。若不进位，则和数的十位数必为偶数，不符合题意，所以4+03=11，13，15,17。因11=9+2=8+3=7+4=6+5,所以仇％取值有4盃种可能；因13=9+4=8+5=7+6,所以qq取值有3人；种可能；因15=9+6=8+7,所以®$取值有2霍种可能；因17=9+8,所以qq取值有人；种可能；由于0+禺不能进位，所以色只能取0,1,2,3,4o因此，满足条件的数共有：5(4人；+3尤+2盃+盂)=100(个)6、(B)解：由®=6=5x2-】+1,色=11=5x22"+1,…,猜想：\n高考^n=5x2,,-1+l0由已知递推关系式，易用数学归纳法给予证明（略）于是，当n>l时,an=l(modlO).故ax+a2HF勺幺刃=6+2006=2(modl0)因此，应选(B)二、填空题(每小题9分，共54分)1.(20,60,100)解：记方程组中的两个方程为(1),(2),消去x得5y2—Syz+3z2=0,即(5y-3z)(y-z)=0所以5y-3z=0,(3)或y-z=0,(4)由（1）、（3）得y=3x,z=5x,即x：y：z=l：3：5,于是，由己知条件，必有x=20,y=60,z=100；rfl（1）（4）,得x=-y=-z,与已知条件矛盾。1.或m二3/2}解：易知方程x2-2x^-2=0的两根为西=1+Z,七=1一L当△=4m2-4<0,即一1<加v1时，方程F+2mx+1=0有两个共觇的虚根x3x4,且x3>x4的实部为-加H1,这时xpx2,x3,x4在复平面内对应的点构成等腰梯形或矩形，它们共圆。当4=4加彳―4>0,即m<-1或加>0时，方程x2+1=0有两个不等的实根x3/r4,则坷，花对应的点在以x3x4对应的点为直径端点的圆上，该圆的方程为（无一兀3）（兀一兀4）+=0,即X2+y2一（兀3+兀4）兀+兀3兀4=0,将勺+兀4=一2加,花“=1及兀|,花对应1点的坐标（1,±1）代入方程，即得m=--o2故m的取值范围是或m二3/2}3、,-arccos^)10解:由己知，得兀=h-2a3VioTo-所以—0104、7\n解：函数y=f2（x）的图象如图的实线部分所示。所求的封闭部分的面积为s梯形abcd-Sg=*（2+6）x2-*x2xl=7vV6V65、y=23-x解：当AQ二x时，设GQ与面BDE交于点N,作NM丄BD于点M,联结QM交直线BC于点P,取点P为点P,y=|MN|最小。建立如图1的空间直角坐标系,知此时则Q（0,x,1）且ABDE所在平面上的点（x,y,z）满足x+y二z,故可令2（兀0，儿，不）+儿）。由点N在QG上，知在（0,1）内存在入使QNiQG。代入消去入得2x0+y（）=1,无（）（兀一l）y（）=x.从而»X。=-，八Q3-x3-xT曰xr/1_兀1+X2、于是，"而点M在BD上,故可令MCXpl-Xpl）.y由MN・BD=0,知禹=丄（丄二兰）.23—x于是，y=\MN\=4^）=4-^-23—x23-x6、401^0072]_Y2（X）7解：设无=,则a-=2,且Vx.=L2+4无z=i所以a\a2^2007=2―（兀2+兀3“2007）•（兀|+兀3*■*2007）…（兀1+兀2“2006）兀]兀2…兀2007>2200712006-2（k^x2x3---x2007-2006-恥临亍忑打…2006-2咻宀…兀2006兀I兀2…兀20072诃•2006°°7=401严了三、满分20分解：（1）不妨设整数心b$c,显然c22。\n若c$5,这时-<-<丄W丄.abc5由—1)0—l)(c—1),可得：=(1—丄)(1_和(1。2abcd矛盾。故c只可能取2,3,4o当c=2时，ah=(a—V)(b—1),有a+Z?=l・又a$b$2,故无解。当c=3时，3ab=4(a—1)0・1),即(d—4)(Z?—4)=12又a2b23,故a-4=4b—4=3<7-4=12[a-4=6或<或/?-4=1”4=2解得"十或Vb=5能构成三角形的只有a=8,b=7,c二3。当c=4时，同理解得a=9,b=4或a=6,b=5。能构成三角形的只有a=6,b=5,c=4o故存在三边长均为整数的AABC,其三边长分别为4,5,6或3,7,8(2)由d〃c=2(d-l)0—l)(c—l),可得j（「）（』）（』）2abc3]3所以，—I1—<3—f=abcv2又(Q+b+c)(丄+丄+丄)>9,则有ahca+b+c>9i~~i~~rdFabc3V2V2-1o3&故AABC的周长最小值为早一,V2-1当且仅当d取得此最小值。四、满分20分证明：如图2,设（DO】的半径为门,BR^EQ=乙BGC\EP=X.BHC\FQ=Y9PQ^EO,=N\,PQRFO2=N2,Q\nBGC\EO\=M^BHC[FO2=M2,EM,=FM2=ci,EN\=FN2=h.易知EG=J2斤a,EP=』2“bBYa’BXBY”BPBXFXRY由厶EGX^ABPX,知——=——=EGBP同理’~BQ~\~bZ^~BP~~BQ，&V~BQ~~BY/z”PZBXBP「「w/,由PQ〃XY,知一=——=——，所以ZPBR=ZQBRZQBYBQ五、满分20分解：椭圆过定点A(1,0),则a=l,c=71-&2,e=71-b2・・・|<^2<1,：.0=x(^>0)解方程组*2y2(，得x=y=.-匕+订i•ViTFTbg(0,—),00,m>1令/(X)=兀+4(//z-l)x-4m(m-1),(m>1,00u24m>1或加<0；・<3-近3+V2\n3站8/.3/,,所以，«2/1<576^3,于是VP_ABC=|S^BCh=a2h<144.J1Zr当¥=世时等号成立.故体积的最大值为144.h42.对每一个正整数「设心+”•+则(3d]+5a2+7偽+…+99a49)一2500«49等于()D.-2525A.-1025B.-1225C.-1500答案:B解：(3坷+5a2+7色+—H99^49)一250(kz49=(3+5+•••+99)xl+(5+7+・・・+99)x—+(7+9+・・・+99)x—+••*4-99x—2500^49=(502-l2)xl+(502-22)xl+...+(502-492)x^-250(kz49=502(1+丄+...+丄)一(]+2+...49)—2500^9249=一(1+2+…+49)=-1225・6.集合S={1,2,3,4,5,6,7}的五元子集共有21个，每个子集的数从小到大排好后，取出中间的数，则所有这些数之和是()A.80B.84C.100D.168答案：B解：显然中间数只能是3,4,5.以3为中间数的子集有C：个，以4为屮间数的子集有C]xCj个，以5为小间数的子集有&个.所以，这些屮问数的和为3xC；+4xC^xC^+5xC；=84.另解：对某个子集4,用8—A表示A中每个元素被8减所得的集合，这个集合也是一个满足要求的5元子集.这是一个1—1对应.且这两个集合中中间数之和为8,平均为4.故所有的中间数的和为21x4=84.\n二.填空题(共6小题，每小题6分，满分36分•请直接将答案写在题中的横线上〉7.函数y(x)=x2-2x+3,若\fM-a\<2恒成立的充分条件是l3.c因此F=a2-c2=9-c2<6故b的取值范围是(0,V6].10.方程100x+3y=1003的正整数解(x,y)有组.答案：4解:由题设可知，x<10.两边模3,知x=l(mod3),所以，兀=1,4,7,10,对应的y分别为301,201,101,1.故满足方程的正整数解有4组.\n11.设/(x)二丄+lg匕2x4-51+x则不等式fx(x-i)的解集为答案:呼吨呼)解：原不等式即为fX(X-y)3时，/(x)=a无解；当a=3时，/(x)=a只有一个解.9当一—<(7<3Bt,直线y=a与y=兀+4和歹=一5兀一2有两个交点，故此吋f(x)=a有两个不同的解;9当a<时，直线y=a与y=兀+4和y=-兀一4有两个交点，故此时f(x)=a有两个不同的解.对于上述两种情形，分别求出它们的解w,v,然后解不等式2<|w-ij<10,可得实数。的取值范围是4-5g{x2)+m9试4x_求也的最大值.解：因为/*(%])=sin2兀1+2sin兀],=2si州i(ca-,sf1)[/(X])]2=4(1-COSX])(14-cosX])34=—(3-3cos州)(1+cosX])(1+cos兀])(1+co抑)<4乂(3-3。oa^+1+co勺+l+cojq;+l+c43X(4\n扁考又&（兀2）=3吃+—'巧，所以必芈”=¥•当bk314.己知片、▲分别是双曲线x2-^-=1的左、右焦点，过耳斜率为R的直线厶交双曲线的左、右两支分别于A、C两点，过巧且与人垂直的直线厶交双曲线的左、右两支分别于D、B两点.（1）求£的取值范围；（2）设点P（x（）,y（））是直线厶、仏的交点为，求证：兀o'+¥>±；33（3）求四边形ABCDffl积的最小值.解：（1）由条件知，厶、厶的方程分别为y=R（x+2）、y=―（兀一2）.7/栄，得（3-疋庆一4疋兀-4疋-3=0.K\X+么丿由于厶交双曲线的左、右两支分别于A、C两点，一4*2一3小所以心弋=二Q<0,解得k*3.3尢2_y2=3由彳1z*得（3£2_1決2+4兀_4_3疋=0.y=--（x-2）由于厶交双曲线的左、右两支分别于D、B两点,（2）由条件知，卩百丄P▲，点P在以耳巧为直径的圆上.所以并+元=4.（3）由（1）知,AC=J1+Q•|心-兀\n6(1+/)3P-1•••四边形abcd的面积T|g.|畔18伙2+1)2(3_疋)(3疋_1)由于S=观F2=严°>——=18.当且仅当（3-疋）（3疋_1）3—23F-113-k23^2-12r一X———-x（—-一+——）Zr+1Zr+14/+]r~+i3-k23k2-]c,即£=±i时，等号成立.匕+l4-1所以，四边形ABCD面积的最小值为18.垂心，连接〃0,分别交4C,BC于点P,Q.(1)求证：ZC=60°；(2)求证：PQ=AP+BQ・己知C,A,L目四点共圆.第15题图证明：（1）因为C,A，L对四点共圆，所以14.如图，在锐角三角形ABC中，A4|,是两条角平分线，I,O,H分别是\ABC的内心，外心,=Z/A-BAIB弓孕g亠.笫15题答题图ZC=180°-ZAZB所以，ZC=60°.(2)因为ZAHB=180°-ZC=120°,ZAO^2ZACB12°|,所以，四点共圆，于是ZP7M=ZOBA=^(180°-ZAOB)=30°,又ZPAH=90°-ZC=30°,\n所以于是AP=PH,同理可得BQ=QH故，PQ=AP+BQ\n16.已知两个整数数列d（）,4,勺，…和％，久方2，…满足（1）对任意非负整数斤，有5+2~an52；（2）对任意非负整数％仏有证明：数列伽6ZPa2.…屮最多只有6个不同的数.证明：首先，一个整数若是4的倍数，则它一定能表示成（/?+2）2-h2,其中〃是非负整数.事实上,由4£=伙+1)2—伙_1)2便得.若厲n.（m>n）的奇偶性相同，则m2-n2是4的倍数，设tn2-n2=伙+2)2",所以ITT+k2=伙+2)2+/?于是由条件（2）知am^ak=勺屛+&2=如+2)2“=%2+色，所以,am~an<2于是在4,色，5,…中，任意两项的差的绝对值至多为2,所以，它们最多能取3个不同的值:同样，在他，勺，…中，任意两项的差的绝対值也至多为2,所以，它们最多能収3个不同的值:b,b+1,b+2•综上所述，数列q,q,如，…中最多只有6个不同的数.2007年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷一、选择题（本题满分36分,每小题6分〉答：[]1.已知函数y=sin2x,则（A）有最小正周期2兀TT（C）有最小正周期一2（B）有最小正周期龙（D）无最小周期的和是2.关于X的不等式x2-ca-20a2<0任意两个解的差不超过9,则d的最大值与最小值答：[]\n(A)2(B)1(C)0(D)一13.已知向量a、b,设AB=a+2b,BC=—5a+6b,CD"a—2b,则一定共线的三点是(A)A.B.D(C)B、C、D答：[14.设a、卩、了为平面,(B)A、B、C(D)A、C、Dm、〃为直线，则加丄0的一个充分条件是答：[](A)a【0,a0=n,mLn(B)ay=m,a丄y,0丄了(C)a丄0,0丄y，加丄a(D)77丄a,斤丄0,"2丄a5.若加、z?g|x|x=672xlO2xlO+67o},其屮马w{1,2,3,4,567},i=0,1,2,并且m+«=636,则实数对(加小)表示平面上不同点的个数为答：[](A)60个(B)70个(C)90个(D)120个6.己知/(x)=|x+l+x+24-+x+2007+x-l|+x-2++|x-2007|(兀wR),且/(/—3g+2)=/(g—1),则a的值有答：[](A)2个(B)3个(C)4个(D)无数个二、填空题(本题满分54分，每小题9分〉7.设S”为等差数列｛色｝的前兀项和，若S5=10,5|0=-5,则公差为&设/(x)=logn(x+/?)(a>0且。工1)的图象经过点(2,1),它的反函数的图象经过点(2,8),则a+b等于.2r2—r—19.已知函数j=f(x)的图象如图，则满足/()-/(lg(x2-6^+20))<0的JT一2兀+1X的取值范围为・10.圆锥曲线+y?+6x-2y+10—|x—y+3|=0的离心率是.11.在\ABC中，已知tanfi=V3,sinC=^^,AC=3虑,则\ABC的面积为312.设命题P:a20.命题P与Q中有且仅有一个成立，则实数Q的取值范圉是•三、解答题(本题满分60分，共4小题，每题各15分)[x+y>0,13.设不等式组｛c表示的平面区域为D.区域Q内的动点P到直线x+y=O[x-y<0\n和直线x-y=0的距离之积为2.记点P的轨迹为曲线C.过点F(2V2,0)的直线/与曲线C交于A、B两点.若以线段为直径的圆与y轴相切，求直线/的斜率.14.如图，斜三棱柱ABC—A4G中，面ZL4.GC是菱形，ZACC]=60。，侧面15.己知数列｛a“｝中，q=l,a/J+3<«/?+3,an+2>an^-2・求a2W7.14.己知平面上10个圆，任意两个都相交.是否存在直线/,与每个圆都有公共点？证明你的结论.\n2007年江苏省高中数学联赛初赛试题参考答案及评分标准一、选择题(本题满分36分，每小题6分〉1.已知函数y=sin?x,则(B).(A)有最小正周期为2/r(B)有最小正周期为(C)有最小正周期为兰(D)无最小正周期2解：y=sin2x=-(l-cos2x),则最小正周期T=71.故选(B).22.关于兀的不等式x2-ax-20a2<0任意两个解的差不超过9,则d的最大值与最小值的和是(C).(A)2(B)1(C)0(D)-1解：方程x2-ax-20a2=0的两根是x,=-4a,x2=5a,则由关于无的不等式x2-ax-20a2<0任意两个解的差不超过9,得\x}-x2\=\9a\<9,即-\0且QH1)的图象经过点(2,1),它的反函数的图象经过点⑵8),则a+b等于4\n高考解：由题设知log“(2+b)=l,log“(8+b)=2,化简得(2+b)=a,(8+Z?)=a2.q=3,——2,仔-4.“舍去)故d+b等于4・9.已知函数y=f(x)的图象如图，贝9满足/(25~%-')-/(lg(x2-6x+20))<0的兀■一2兀+1兀的取值范围为xeL-21.解:因为lg(x2—6x+20)=lg((x—3)2+ll)\lgll〉l,所以Oy.1.1亠Olg(x2-6x+20)<0.于是，由图象可知，<1,即-—<0,解得\7x-1x-l-26L,所以角C可取锐角或钝角，从而―牛sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=—.故36S»bc=ACABsinA=8巧±6血.命题P与Q屮有12•设命题P:a20.且仅有-个成立，则实数a的取值范围是4<^°或扫<\n解：由a20对于任何兀wR成立，得A=16f/2-4<0,即—|<6/<|.因为命题P、0有且仅有一个成立，故实数22Q的取值范围是一丄co50或丄0,13.设不等式组｛°表示的平面区域为D.区域D内的动点P到直线x^y=0[x-y<0和直线x-y=0的距离Z积为2.记点P的轨迹为曲线C.过点F（2V2,0）的直线/与曲线C交于A、3两点.若以线段A3为直径的圆与y轴相切，求直线/的斜率.解：由题意可知，平面区域D如图阴影所示.设动点为P（X,y）,则r-r-2,即兀+y>0,x—y<0,即X2—y2<0.所以于一<=4（）>0）,即曲线C的方程为亍一于=心>0）・/竹设A3，yJ,3（吃，儿），则以线段A3为直径的圆的圆心为°（送乞，备邑）.因为以线段为直径的酊与y轴相切，所以半径->|=^,即|人国=无|+勺.①因为直线过点尺2迈，0）,当AB丄兀轴时，不合题意.22所以设直线AB的方程为y=k（x~2yf2）.代入双曲线方程牙一勺=心>0）得,疋（尤一2迈）2—兀2=4,g|J（Zr-l）7-4V2^x+（8^-4）=0.因为直线与双曲线交于A,B两点,所以^±1.斥厂],4y/2/c28k2—4脚以七十兀2=疋_]，兀1兀2=疋_]•所以|4B|=y/（X）—%2）2+（J'1~yi）~=寸（1+F）[（xi+也）2—4占兀2]28疋一4=a/（1+A:2）[J一4匕2_]]=bi+x2l=l化简得：卩+2疋一1=0,解得k2=y[2—1（&=—迈一1不合题意，舍去）.由2\=（4迈小2—4伙2—]）（紀2—勺=3。一]>0,又由于），>o,所以一1“<一普.所以£=一血一114.如图，斜三棱柱ABC—AEG中，面AA.C.C是菱形，ZACC（=6（）°,侧面\nABB.A.丄必GC,AlB=AB=AC=\.求证：(1)AA丄EC；；(2)求点A到平面ABC的距离.证：(1)设4人中点为D,连C、D.因为\B=AB,所以BD丄A/1,-因为面ABA4丄A4,C(第口题)liAA.C.C.又MCG为正三角形，AC]=G£,所以C£丄AR.从而EC】丄AA・(2)由(1),有BD丄C、D,BC|丄CG，CC；丄面CQB.设人到面ABC的-C\DB距离为力，则^hS^BC=VB_CACxfas因为Vc_C\DB=|cqXSgDB9S3=2加2+1=扌+1=|所以/?=』丝.又C、D=BD,且2Sacd/?=ClDxBD=BD2=-设\ABC的高为AE,则BC2=BC；+CC；AE=Hbr2S于是有h气厚即4到平面磁的距离为学15分15.已知数列｛。”｝屮，。|=1,色+3<色+3,an+2>an^2.1,求^2007-解:由题设,an+2>an+2,则Woo?二^2()05+2>«2(X)3+2x2>>ax+2x1(X)3=2(X)7.由陥2»色+2,得an填空题(本题满分54分，每小题9分〉得分评卷人木题共有6小题，要求直接将答案写在横线上.5。=一5,则公差为7.设二为等差数列｛匕｝的前〃项和，若S5=10,8.设/O)=log(Q+b)(a>0且dHl)的图象经过点(2,1),它的反函数的图象经过点(2,8),则a+b等于\n高考)・/(lg(x2-6x+20))<0的2007年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷第2页（共6页）10.圆锥曲线JX2++6尤—2y+10—卜—y+=0的离心率是.口ZBC中，已知论"si心攀AC*,ZBC的面积为12•设命题P:a10.命题P与Q中有且仅有一个成立，则实数a的取值范围是.得分评卷人三、解答题（本题满分60分，共4小题，每题各15分〉兀+y>0,13.设不等式组L><0表示的平面区域为D.区域D内的动点P到直线x^y=0和直线x-y=0的距离Z积为2.记点P的轨迹为曲线C.过点F（2血,0）的直线/与曲线C交于A、B两点.若以线段AB为直径的圆与丿轴相切，求直线/的斜率.\n14.如图，斜三棱柱ABC-A.B.Q中，面AA.QC是菱形，ZACC,=60°,侧面\n\n16.已知平而上10个圆，任意两个都相交.是否存在直线/,与每个圆都有公共点？证明你的结论.\n2007年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试卷第一试（4月22日上午8：30——9：30）一、选择题（每小题5分，共50分。）1.已知函数/（x）=|2x-4]-3x+8（xe/?）,则/⑴的反函数厂（x）的解析式是（112A・f~x(a:)=-x+4(a:g/?)B・(x)=——兀+—(xe7?)5c.r,W=1-x+4(x<2)12/小XH(X>2)55I丿D•广心)=5-\+存<2)-x+4(x>2)则Z7的值为（A.30B・313.设"G車IV的大小关系是（A.a^-D.0/3sinxcosx（xe/?）的最大值为M,最小正周期为T。⑴求M、T的值，并写出函数/（x）的单调递增区间;⑵若10个互不相等的正数兀•满足=且壬<10兀（i=l,2,,10）,求占+吃++州0的值。二、（本题满分20分）已矢口a,b,cw如图，在ABC中，AB>ACf过点A作ABC外接圆的切线，交BC延长线于为AD的中点，连结BE交ABC外接圆于F。求证：ZFAC=ZFDA0‘求证：（1）M4如图，在一张画有直角坐标系的纸片上,四、（本题满分30分）A（0,o）是y轴正半轴上一定点。折叠纸片，使点A正好与兀轴上某一点川重合。这样的每一种折法，在纸片上都留下一条直线折痕。当4遍及兀轴上所有点时，求所有折痕所在肓线上点的集合，并在图中用斜线（阴影）标出这个集合。五、（本题满分30分）设集合X={（d,b,c）0“,cwZ},.f是从X到X的映射，且满足\n/(a,/?,c)=(d+Z?+c,ab+Z?c+ca.abc)。试求所有的三元数组(a,b,c)使得/(/(d,方,c))=(%c)2008年全国高中数学联赛黑龙江预赛试题(高三)答案题号123456789101112选项BDCDACBDBDAB1.答案：BPCQ只有一个子集即PCQ为空集，数形结合可知k51吋，直线与曲线y=ax无交卢i\\\2.答案：D・・・0+句<胡+0|,・・・|a+^v1是同+附<1的必要而不充分条件;由|x+l|-2>0,得x<-3>1,命题g为真命题3•答案：C因为PB—PA=AB,PB+PA—2PC=CB+CA,所以已知条件可改写为AB\CB+CA)=0o容易得到此三角形为等腰三角形。4.答案：D由已知得—(cosx-sinx)=-,两边平方得—(1-sin2x)=—,求得sin2x=—.2522525或令--x=a.贝ijsina=二，所以sin2x=sin(—一2a)=cos2a=1-2sin2a=一35225X>,3._71.-5•答案：A/r»6石，Nxn=tana”，…xn+i=tan(d”+—),••兀祇=xn1兀】=1，13“x2—2+V3,x3——2—V3,x4=—1,x5——2+V3,x6=2—V3,x7=1,,有2(X)8工£=X\+花+兀3+“4=0。故选Aon=l6.答案：C解法一：首先注意到三角形的三个顶点不在正方形的同一边上.任选正方形的三边，使三个顶点分别在其上，有4种方法；再在选出的三条边上各选一点，有7彳种方法.这类三角形共有4X7=1372个.另外，若三角形有两个顶点在正方形的一条边上，第三个顶点在另一条边上，则先取一边使其上有三角形的两个顶点，有4种方法，再在这条边上任取两点有21种方法，然后在其余的21个分点中任取一点作为第三个顶点.这类三角形共有4X21X21二1764个.综上可知，可得不同三角形的个数为1372+1764二3136.解法二；C—I367.答案：B・・・f(x)是R上的增函数，且f(0)=-l,f(3)=l,・••当If(x+1)I<1时，有-l-lx-a①移项，通分得］3［x_(d+l)］、0②、x-a由已知a〉0,所以解①得aa+\^x兀=>/3+2sin(2«-y)15.答案：2巧-3设AD=x,ZADE=a,作AADE关于DE的对称图形，A的对称点G落在BC±o在ADGB屮,当sin(2&——)=1时*,即x■—-r=—2>/3—3。32+V316.答案：A延长D|A|,DA,D|C],DC将此多僧体补成三棱锥,利用大三棱锥的体积与两个小三棱锥体积的差求得』3]九]17.解：(1)f(x)=——sin2cox——(cos2亦+1)=sin(2mr)——.2262由函数/(x)的周期7=-=-,得血=2.2a>2兀I函数/(x)的表达式为/(x)=sin(4x622ac(2)由题意，得cos*Q+L一”、2ac_ac二丄2ac271又•••0v尤v力\A0PK_LE\F\=K是E；斥的中点•(因△PE莒为等腰三角形)，(8)=>PEKF为平行四边形，(因P、E、K、F为四边形ABF&各边中点).(10)=ME=MF.(对角线互相平分).(12)d二九(0)-1二1-九(0)二1无(0)-1二幕，，+，fn+](0)4-24+2.九(0)2A(0)4-22”・・・｛色｝是首项为丄，公比为-丄的等比数列.32•5冷•(一£严(5分)(2)T2n=a｛+2a2+3色+•••+2na2n,-—=a2+2a34(2n-l)a2n+2na2lJ+l两式相减得：■|爲”=(5+a2+....+€?2”)_2"・£•(_*)"=£_*■(一*)"+彳皿冷(1-黎)(8分)•oT=13/7+1n二0+1)…"2"(2〃+1尸(lir.4/?2+n3n+l.3/?+1,,,.即比较1——=与的大小.+4〃+1⑵2+1)222n•・,>1,・・・即比较(2/?+1)2与22h的大小.高中教育\n1°J7=1时，22/,=4<(2/i+l)2=9；(9)2°.n=2时，22n=16<(2/?4-l)2=25：(10分)3°./i>3时，2?"=[(1+1)'T=(C：；+C；+•••+C；；)2>(l+/?+/7(n~1))22>(1+n+/i)2=⑵2+1)?(11分)故：当n=l时或2时,9T2n3时，叽>(12分)21.解(I)以O为原点，OA为X轴建立直角坐标系，设A(2,0),(2)—>—>TO为椭圆中心，・•・由对称性知|OC|=|OB|又VAC-BC=0,:.AC1BC又\'\BC\=2\AC\：.\OC\=\AC\:./\AOC为等腰直角三角形⑷・••点C的坐标为(1,1)・••点B的坐标为(一1,-1)3V--3、厂将C的坐标(LD代入椭圆方程得宀亍则求得椭圆方程为亍才“(6)(II)由于ZPCQ的平分线垂直于04(即垂直于x轴)，不妨设PC的斜率为匕则QC的斜率为一匕因此PC、QC的直线方程分别为y=k(x—l)+1,y=-k(x-1)+1.....(8)y=兀一1)+1由注〔44得(1+3疋)(£一1)兀+3泾一6«—1=0*)•••点C(1,1)在椭圆上,3k~+6k—13/+1•••□是方程⑴的-个根，即妒写F(10)2(3—1)・・・直线PQ的斜率为=gp+XQ)_2k=_3疋+1=1(定值)xp-xQxp-xQ一12k33/+1又ZACB的平分线也垂直于04・・・直线PQ与43的斜率相等(Th尸丄)\n岛考・•・向量PQ//AB,即总存在实数2,使PQ=AAB成立(12)22.(I)证明:•・•/(“)、f(m2)满足a2+[/(^)+/(^)]^+=即[a+=0..・.f(m])=-a^f\m2)=-a,卑或加2是方程广(％)=-a的一个实根，2分A>0,E|J/?2n4d(a+c)./(l)=0,:.a+b+c=0,va>b>c,・：a〉0,cv0,3a一c>0,二a+c<0,艮卩一h<0,:.h>0.4分(II)证明：设/(x)mqx2+bx+c=0两根抵[、x2,・.・/(l)=a+/?+c=0,・・・方程/(X)=0的一个根为1,另一根为：.6分ac又•/a>0,c<0,二—<0//a>b>c且b=-a-c>0,a:.a>-a-c>0,/.-2<—<-1,2<|x{-x2|<3.8分即(a+c)2-4d(a+c)=-3a2-2ac+c2>0,/.(3a-c)(a+c)<0.Cl(III)解：设/(x)=a(x-xi)(x-x2)=a(x-lXx-—).a由已知f(m})=-a或加2)=一①不妨设)=-a则a(m}-1)(-—)=-«<0,acc•\—v<1m、+3>—3>1.10分aa•//(x)=ax2+hx+c的对称轴为x=--a>h>0,2a1b・・・一一<一——<0,.I/(兀)在[l,+8)上为增函数，22a・・・/(%+3)>/(l)=0,•••/("+3)>0.同理当/(m2)=—a时，有+3)>0,・・・/(m2+3)或/•(叫+3)中至少有一个为正数.12分2008年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题（时间：2008年4月20日上午8:00—10：00）一、选择题（本题满分30分，每小题6分）1•如果实数加，n,x,y满足加2+H2=a,x1+y2=b,其中a,b为常数，那么nvc+ny的最大值为［\na^bA.2B.-fobC.D.2.设丁=/(x)为指数函数y=ax.在P(l,l),数y=r\x）的图像的公共点只可能是点［A.PB.QC.M3.在如图的表格中，如果每格填上一个数后，数列，那么x+y+z的值为答:IJB.2D.4每一纵列成等比A.1C.3四点屮,函数V=/（兀）与其反函1D.N每一横行成等差10.5数列,4.如果m^.c,的三个内角的余眩值分别是M2B2C2的三个内角的正弦值，那么［］A.AA/C与牡场仑?都是锐角三角形B.是锐角三角形，AA2B2C2是钝角三角形C.是钝角三角形，AA2B2C2是锐角三角形D.AA0G与AA2B2C2都是钝角三角形5•设g,b是夹角为30。的异面直线，则满足条件“a（^a,b^/3，且a丄0”的平面a,0［］A.不存在B.有且只有一对C.有且只有两对D.有无数对二、填空题（本题满分50分，每小题10分）6.设集合人=（4?_间=2｝和8=｛测<2｝,其中符号［兀］表示不大于%的最大整数，则AB=.7.同时投掷三颗骰子，于少有一颗骰子掷出6点的概率是P=（结果要求写成既约分数）.&已知点O在MBC内部，O4+2OB+2OC=0.AABC^AOCB的面积之比为.9.与圆x2+y2-4x=0外切，且与），轴相切的动圆圆心的轨迹方程为.2210・在AABC中，若tanAtanB=tarL4tanC+tanctanB,贝U—~；——=.c~三、解答题（本题满分70分，各小题分别为15分、15分、20分、20分）11.己知函数/（%）=-2jc2+bx+c在x=l时有最大值1,0210),或y=0(x<0).八一亠sinAsinBsinAsinCsinBsinC10•解切割化弦，已知等式即=+,cosAcosBcosAcosCcosBcosC—sinAsinBsin(A+B)niIsinAsinBcosCniIabcosC.亦即=,即=1,即；—=1sinCcosCsirrCc2a2+b2-c2a2+Z?2所以，——=1,故一；—=3.2cc解答题(本题满分70分，各小题分别为15分、15分、20分、20分)解由题/(x)=-2(x-l)2+l,/./(x)<1,/.——<1,即m>1,m1.故面积比是5：1.%=-2为准线的抛物线上的点；若切点是原点，则三、11・12./(兀)在［加,/?］上单调减,・•・/(〃)=一2(加一1)2+1=丄且fa=-2(/7-l)2+l=-mn10分/.m,n是方程/(x)=-2(^-1)2+1=—的两个解，方程即(x-l)(2x2-2x-l)=0,X解方程，得解为1,1±』3,:,m=\,n=^H.••…222证(I)设点4的坐标为(rcos^,rsin<9),3的坐标为(Fcos&',Fsin&‘)，贝ijr=|O/4|,1cos26^sin2(9=1.所以=二.・・・5分r249,A在双曲线上，则厂2cos20sin2『由OA・OB=0得OA丄03,所以cos2=sin26^,cos20=sin2mm1cos20rsin2O'sin20cos20同理，—=:—=—415分\n所以窗+丽厂戸+产=厂芥环10分所以(II)由三角形面积公式，w|o^x|a^=|oax5^,阿讨忑|2=阿食网,即阿2X(两+|闵2)=网X阿.即阿剧+两14=1-于是’\0P\23615分即P在以O为圆心、墮为半径的定圆上.过A作04的垂线，交射线1八,…5分COS/……10分513•解在平面M中，过A作DA的垂线，交射线DB于B点；在平面N中,DC于C点.设DA=1,则AB=tan/?,DB=,AC=tan/,DCCOS0并且ZBAC=cp就是二面角M-l-N平面角.在ADBC与AABC屮，利用余弦定理，可得等式BC_=；—+cosa=tan"/?+tan*"/-2tan/?tan/cos^>,COS_0COS"/cos^cos/所以，2tan/?tan/cos^=tan^0+tarry；—+coscreg0cos~yCOS0COS/2(coscr-cosZ?cos/)八=，15分36224812186724cospcos/辽/口厂coscr-cos/?cosy八故得到COS0=；——-・……20分sin0sin/14.解(I)不能.••••••5分因为若每行的积都相等，则9个数的积是立方数.但是2x4x6x8x12x18x24x36x48=2,+2+i+3+2+1+3+2+4x31+,+2+1+2+,=2,9-38立方数，故不能.(II)可以.……15分如右表表中每行、每列及对角线的积都是26・»……20分2008年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题参考答案及评分标准一、选择题(本题满分30分，每小题6分)答：[B]1•如果实数加，弘x,y满足〃x2+y2=b,其中d,b为常数，那么nvc+ny的最大值为B.4cibC.a2+b2_T~解由柯西不等式(mx+ny)2<(ni2+n2)(x2+y2)=ab；或三角换元即可得到mx+ny<4cib，当m=n=号时,mx+ny=4ab・选B.\n2.设y=f(x)为指数函数y".在P(l,l),Q(1,2),M(2,3),四点中，函数答:[D]U4丿y=/(X)与其反函数y=厂(x)的图像的公共点只可能是点A.PB.QC.MD.N解取1611(1\i1(1V1把坐标代入检验，V—=丄，而丄=丄，・・・公共点只可能是16/416/2点N.选D.每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么x+y+z的值为A.1B.2C.3D.4.5X3.在如图的表格中，如果每格填上一个数后,答:[A]Z解第一、二行后两个数分别为2.5,3与1.25,1.5；第三、四、五列中的x=0.5,y=^~16z=—,贝ljx+y+z=l.选A.164.如果AA/C的三个内角的余弦值分别是/^2B2C2的三个内角的正弦值，那么答:[B]A.AA.B.C,与都是锐角三角形B.AAQG是锐角三角形，AA2B2C2是钝角三角形C.AAQG是钝角三角形，M2fi2C2是锐角三角形D.与AA2B2C2都是钝角三角形解两个三角形的内角不能有直角；的内角余弦都大于零，所以是锐角三角形；若A/U5G是锐角三角形，则不妨设(71A(71、cosA,=sinA2=cosAl,cosB}=sinB2=cosA2,\ncos兀「=cosC2、乙丿则高中教育\n71，d71，C,71即£+B]+Ci=——(A2+B2+C2)，矛盾.选B.5•设d,b是夹角为30。的异面直线，则满足条件“。匸”，b",且&丄0”的平面P答：ID]A.不存在B.有且只有一对C.有且只有两对D.有无数对解任作Q的平而可以作无数个.在b上任取一点A/,过M作a的垂线./?与垂线确定的平面0垂直于Q・选D.二、填空题(本题满分50分，每小题10分)6.设集合心外2—国尢}和3={咖＜2},其中符号[x]表示不大于兀的最大整数，则ARB={—1,同解・・・凶＜2,[x]的值可取-2,-1,0,1・当[x]=-2,则兀2=0无解；当[x]=-l,则x2=l,：.x=-l；当[x]=0,则x2=2无解；当[x]=i,则x2=3,/.x=V3・所以兀=—1或爺・916.同时投掷三颗骰子，于少有一颗骰子掷出6点的概率是P=—(结果要求写成既约216分数).考虑对立事件,/斥、3p=\--91216&已知点。在\ABC内部，OA+2OB+2OC=0.\ABC与AOCB的面积之比为5：1.解由图，MBC与\OCB的底边相同,高是5：1.故面积比是5：1.\n9.与圆x2+y2-4x=0外切，且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程为y2=8x(x＞0)或y=0(x<0)•\n解由圆锥曲线的定义，圆心可以是以(2,0)为焦点、尢=-2为准线的抛物线上的点；若切点是原点，则圆心在兀轴负半轴上.所以轨迹方程为y2=8x(x>0),或y=0(x<0).10.2j2在AABC中，若tanAtanB^taivltanC+tanctanB,贝ij—=3.解切割化弦，已知等式即sinAsinBjinAsinC+SinBsinCcosAcosBcosAcosCcosBcosC_y0IIsinAsinBsin(A+B)H|(sinAsinBcosC0IIahcosCyP艮卩=y艮卩~二=1,艮卩—1■sinCcosCsin2C所以，d'l,故心艺=3・2lc~三、解答题(本题满分70分，各小题分别为15分、15分.2U分、20分)11.已知函数/(x)=-2x2+bx+c在兀=1时有最大值1,0l9:./(x)在［%司上单调减，m・•・/(m)=-2(加_I)?+1=丄且/(n)=-2(/1-1)2+1=-.mn10分.'.m,n是方程f(x)=-2(x-l)2+1=丄的两个解，方程即X(兀一l)(2x?_2兀_1)二0,解方程，得解为1,1+V321-V32/.1=1.了的三角函数值表示）.于是，M2=—.15分即P在以0为圆心、虫为半径的定圆上.513.如图，平面M、N相交于直线LA.D为/上两点，射线在平面M内，射线DC在平而N内.已知ABDC=a,乙BDA=(3,ZCDA=yf且a,0,y都是\n锐角.求二而角M-1-N的平面角的余弦值（用0,解在平面M中，过4作D4的垂线,交射线DB于B点；在平面N中，过A作DA的垂线,交射线DC于C点.设DA=1,贝ijAB=tan/?,DB=—-—,COS0AC=tan/,DC-—-—,5分cos/并且ZBAC=(p就是二面角M-1-N平面角.……10分在APBC与AA3C中，利用余弦定理，可得等式1120BC2=——-—+cosa=tan2/7+tan2/-2tan/7tan/cos^?,cos~0cosYcos/?cos/所以，2tan/?tan/cos^=tan"(3+tarry+cosocos「0cos「ycos0cos/_2(coq-cos0cosy)15分COS0COS/故得到cos。=cos—COS0COS7.……20分sin/?sin/13.能否将下列数组中的数填入3x3的方格表，每个小方格中填一个数，使得每行、每列、两条对角线上的3个数的乘积都相等？若能，请给出一种填法；若不能，请给予证明.(I)2,4,6,&12,1&24,36,48；(II)2,4,6,8,12,18,24,36,72.解(I)不能.5分因为若每行的积都相等，则9个数的积是立方数.但是2x4x6x8x12x18x24x36x48=2"2+i+3+2+i+3+2+4x31+1+2+1+2+1=219.38不是立方数,故不能.(II)可以.“/……15分\n如右表：64(—>(C)3(D)4右焦点为点P为椭圆上的一点，则当取最小值的时候，PA+P&的值为6.(A)2a/2(B)3(C)(D)V13•33ms兀、ndsinacos，a设«G(0,-)则+227(A)—64.的最小值为sina(B)-V25二、填空题(本大题满分30分，每小题5分)COS(7(C)(D)諮7.函数/(x)=|兀一1|+x-3+x-5+|x-7|的最小值为8函数朋对任意的朋足心3)=-哈，且爪冷，则/(网=9.设数列｛色｝满足：an=(2n-1)仍21/H，则4，吆4的最大公约数d为10.己知正实数X』满足兀+2y=4,则丄+丄的最小值为11.用红、黄、蓝三种颜色之一去涂途中标号为1,2,,9的9个小正方形(如图),使得任意相邻(有公共边的)小正方形所涂颜色都不相同，且“3、5、7”号数字涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有种。12345678912•数列｛色｝、｛bn｝满足：坷=10=7,且昭日”-2%,贝仙展』AJ—>00三、解答题(本大题满分80分，每小题20分)\n13.是否存在一个二次函数/（%）,使得对任意的正整数当x=555氏个5时，都有f（x）=555成立？请给出结论，并加以证明.2左个514.设F是抛物线y2=4x的焦点，橙子奥数欢迎您，A、B为抛物线上异于原点0的两点，且满足FAFB=0.延长AF、BF分别交抛物线于点C、D（如图）.求四边形ABCD面积的最小值.15.已知。。与AABC的边AB、AC分别相切于P和Q,与\ABC外接圆相切于D,M是PQ的屮点（如图）.求证：ZPOQ=2ZMDC.16.已知心1,2,，兀，其屮正整数n>2・112（1）求证：对于一切的正整数儿都7-a；3”1(2)求s=Y,H-1)(7-q：］)的最小值，其中约定张=马・2008年高中数学联赛四川赛区初赛试题参考答案及评分标准说明：1、评阅试卷时，请依据评分标准.选择题和填空题只设5分和0分两档；其它各题的评阅，请严格按照评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次.2、如果考生的解答题方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评阅时可参考本评分标准适当划分档次评分，5分一个档次，不要再增加其它中间档次.一、选择题（本大题满分30分，每小题5分）\n5、B6、C1、B2、A3、C4、B二、填空题（本大题满分30分，每小题5分）\n7、88、-29、310、3+"11、10812、-44三、解答题(本大题满分80分，每小题20分)13、是否存在一个二次函数/(%),使得对任意的正整数k,当兀=555时，都&个5有/(X)=555成立？请给出结论，并加以证明.2殳个5解：存在符合条件的二次函数.・・・5分设f(x)=cix2+bx+c,则当£=1,2,3时有：f(5)=25a+5b+c=55①；/(55)=3025a+55b+c=5555②；/(555)=308025a+555b+c=555555③.QQ联立①、②、③，解得a=—,b=2,c=0.于是，f(x)=—x2+2x.10分O下面证明：二次函数f(x)=-x2+2x符合条件.因为555=5(1+10+100++10'-,)=-(101-1),点个59同理：555訥7)；•••15分2&个549557*(555)=/(-(10A-1))=-[-(10*-1)J2+2x-(10A-1)-XJ丿-X2&个5=-(10A-1)2+2x|(10a-1)=-(10A-l)(10A+1)=|(102A-1)=555.20分所以，所求的二次函数f(x)=-x2^2x符合条件.14、设F是抛物线y2=4x的焦点,A、3为抛物线上异于原点。的两点,II满足以・FB=0・延长AF、BF分别交抛物线于点C、D(如图).求四边形ABCD而积的最小值.解:设來心必)、Cg,%)，由题设知，直线AC的斜率存在，设为£・因直线AC过焦点F(l,0),所以，直线AC的方程为y=k(x-\)・联立方程组卩「*_1),消y得k2^-2伙2+2)兀+疋=o)广=4兀”21J由根与系数的关系知：西+花二半尸\n岛考于是IAC|=J（兀|一兀2）2+（〉1一九）2=Jl+疋J（X|+兀2尸一4石尤24(1+Qk210分O—M・OA,即黔OAOD10分又因为AC丄BD,所以直线加的斜率为-上，k从而直线BD的方程为：）=-丄（x-1）,同理可得|BD|=4（1+疋）.……15分k故5问=弓個.3「（1：厂=8伙彳+士+2）>8x（2+2）=32当k=±\^等号成立.所以，四边形ABCD的最小面积为32.……20分15、已知。。与AABC的边AB、AC分别相切于P和Q,与\ABC外接圆相切于D,M是PQ的中点（如图）.橙子奥数工作室欢迎您.求证：ZPOQ=2ZMDC.证明：如图，连结40、AD.DO#nDQ・•・・AP.A0分别与。。相切于P、Q・•・AP=AQVOP和OQ都是的半径，AAPO=ZAQO=90・•・由对称性知ZPOQ=2ZAOQ,且Q4丄PQ于M.又・.・ZOOM=ZAOD,・・・\D0MsMOD15分・・・ZODM=ZOAD过D作两圆的公切线DE,则ZCDE=ZCAD又VOD丄DE,即ZODE=90・・・ZMDC=90-ZODM-ZCOE=90-ZOAD-ZDAC=90-ZOAQ=ZAOQ故ZPOQ=2AMDC.……20分16、已知lvqvJ7,i=1,2,,n,其屮正整数n>2.11?（1）求证：对于一切的正整数几都有」一+」〒》三;a2-l7-a23\n（2）求S=t.1的最小值，其中约定色°二q・hJa；—1）（7—。二）（1）证明：对于一切的正整数儿丄+丄一6>6_25分玄―17~；&_1）（7—巾一仏2_]+7_q2丫3，H1（2）由Cauchy不等式矢HS=工〔°=>—~‘/=,&-D（7-必）X丁（诊-1）（7-必）10分9tr亡（cf-1）+（7-磅I）n“22y（鱼二鱼+3）15分当吗=6==色=2时，等于成立，所以S有最小值彳.…20分2008年全国高中数学联赛一试试题一、选择题（木题满分36分，每小题6分）1.5-4X+F2—x在（一8,2）上的最小值（C）A.0B.1C.2D.32.设上=[一2,4）,5={x|?-^-4<叭若万—，则实数a的取值范围为A.[一⑺B.["C.[问D.阴）1.甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局吋停止.设甲2]_在每局中获胜的概率为亍,乙在每局屮获胜的概率为亍，且各局胜负相互独立，则比赛停止时己打局数歹的期累E歹为（）241a."si-266B.頁274C."sT670D.243\n1.若三个棱长均为整数（单-位：cm）的正方体的表而积之和为564cm2,则这三个正方体的体积之和为（）A.764cii?或586cm3B.764cm3C.586cm或564cnfD.586cm'{X+7+Z=0,xyz+z=0r)D.4—»+西+立+》=0的冇理数解（x,”z）的个数为A.1B・2C・3sinj4cot（7+cosA6.设MEG的内角A3B3C所对的边成等比数列,则anScotC+cosB的取值范围是（）A.(0，+8)d75+1C.'「2'二、填空题（木题满分54分.每小题9分）7.设/(x)=ax+b其中a上为实数，£(x)=/(x),久+血)=『(£(◎,n=…，若£(x)=128x+381,_丄8.设/（X）=cos2x-2^（l+cosx）的最小值为一弓，则么=9.将24个志愿者名额分配给3个学校，则每校至少有一个名额H.各校名额互不相同的分配方法共有种.10.设数列仪」的前刃项和'满足:S+ann闻一1刃（闻+1）11”=1，2,•…，则通项您二_呛+1）.11.设/⑴是定义在R上的函数，若/（°）=2008,且对任意xeR,满足/(x+2)-/(x)<3-2\/(r+6)-/(r)>63.2\则并硕矶\n11.一个半径为1的小球在一个内壁棱长为°、俗的正四面体容器内可向各个方向白由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是.三、解答题(本题满分60分，每小题20分)13.已知函数jV)=|sinx|的图像与直线y>0)有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为a,求证:cosa_1+a2sina:+sin3a:4a14.解不等式1°内+3?°+5^+3/+1)<1+log2(/+1)最小值.2009年全国高中数学联赛级中15.如题15图，卩是抛物线卩‘上的动点,点5U在P轴上，圆(x-1)，+『=1内切于求面积的贵州赛区预赛试卷试题所涉及的知识范围不超出现行《全日制普通高中高学数学教学大纲》中所规定的教学内容和要求，在方法的要题15图求上包括有所提高，主要考查学生对基本知识和基本技能的掌握情况,10道填空题和3道解答题，全卷满分100分，考试时间为120分钟.一、填空题(每题6分，共60分)1.已知函数/(%)=—+lg(x+V%2+1),若f(-1)=1.62,则f(l)=.312.定义b・d叫集合{x\a0且好1)有解，贝ijm的取值范围是2.对于任意n^N\抛物线y=(n2+n)%2-(2n+1)x4-1与x轴相交于An>Bn两点，则IA1B1I+IA2B2+...+|A2009B2009l=・3.某文娱队的每位队员至少会唱歌、跳舞中的一项，该文娱队共有n名队员，已知其屮会唱歌的有2人，会跳舞的有5人.现从中选出2人，设&为选出的2人中既会唱歌又会跳舞的人7数，目"(£>0)=—，则n二104.一个圆周上有9个点，以这9个点为顶点作三角形，当这三个三角形的边互不相交时，我们把它称为一种“构图"，则不同的“构图"共有种.22&已知点A(4,0)、B(2,2),M是椭圆£+令二1上的动点，则|MA|+|MB|的最大值为9.已知向量a、b、c满足\a\=\b|=2,|c|=1,(a・c)•(b・c)=0,贝a・b|的取值范围是9.已知角a、p满足2sin2a+sin2p-2sina=0,则cos2a+cos2p的取值范围是.二、解答题(共40分)10.(12分)有n把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能把大门上的锁打开。设抽取钥匙是相互独立且等可能的，每把钥匙试开后不再放回，求试开次数£的分布列及数学期望E&11.(14分)已知函数f(x)=-2x+4,令£严/(丄)+/(2)+・..+/(口)+/'(1)(〃丘2),若不等式竺<2二恒成立，求实数a的取nnnS”S“+]值范围.12.(14分)设椭圆Ci的方程为产+*=1(a〉b>0),曲线C2的方程为尸；，且G与C?在第一象限内只有一个公共点P.(1)试用a表示点P的坐标；\n(1)设R、F2是Ci的两个焦点，当a变化时，求\PFxF2的面积函数f(d)的值域；(2)设g(a)是以Ci的半焦距为边长的正方形的面积,求函数y=min{f(a),g(a)}的表达式。\n10分12分2009年全国高中数学联赛贵州赛区预赛试卷参考答案及评分标准一、填空题题号12345678910答案2.38112(0,-)3(0,W3]200920105910+2710[V7-1,V7+1][1，2]二、解答题11.8的分布列为£12n111PnnnEe=l•—+2-—+.・.+rr—二12.cr/1272—1..4,Sn=—2(—I•••I)+4t?=3n—1nnn.anan+]妲仃1a.n由一<——,得a'()<0SnS“+]3农-13/7+2\n显然，a^O.\n(1)当XO时，>0恒成立，则刃<0,但n为偶数时，刃>0,矛盾，所以a<03/t-l3/?+2不合题意.8分(2)当a>0吋，因为亍>0,由式①得°>如2=1+亠一3/?-13n-l33553n-\3n-\22艮卩ag(—,-hx)).14分2由于——随n的增大而减小，故当n=l时，1+——取最大值从而d>?・ir2I13.解:(1)将y二丄代入椭圆G的方程，得*+亠=1,化简得b2x4-a2b2x2+a2=0,XcrbX：有条件有厶=6/4b4-4^2b2=0,得db=2,解得x=—a,x=-—a(舍)22故P点的坐标为4分2a(2)|百尺\=2^a2-b\且高为吃.a.・./«)=£•2如-戻•血=』2(1—占2a\aa>b>0,b=—,:.a>—即a>a/2aa得0v2V1，于是0J2(l一~),a~ci~\a整理得汛10/+24N0,即(/・4)(乩6)>0,解得心扬或(舍去)/£,y/2^6\n2009年全国高中数学联赛湖北赛区预赛宜昌赛区组织工作的几点说明各高中：根据全国高中数学联合竞赛湖北赛区组织委员会文件精神，为切实组织好2009年全国高中数学联赛，现就宜昌赛区有关工作安排说明如下：1、湖北赛区预赛时间为:2009年5月23日（星期六），北京时间：8:00—10：00o2、预赛命题内容与形式：根据现行“高中数学竞赛大纲”的要求，“全国高中数学联赛（一试）”所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提髙。主要考查学生对基本知识和基本技能的掌握情况，以及综合、灵活运用知识的能力。湖北赛区预赛试题在内容上略有拓展，包括8道填空题（每题7分）和4道解答题（分别为14分、15分、15分、20分），满分120分。3、湖北赛区预赛试卷于2009年5月21日下发，请各校按时到宜昌市教研中心领取,联系人曾庆荣，电话：15807205168c湖北赛区预赛试卷的标准答案和评分标准将在2009年5月23日考试结束后公布在网站（http：//202・114.40.2）请自行下载。4、湖北赛区预赛考试结束后，由各考点校负责组织阅卷和评奖。为兼顾公平和公正，省奖设定以校为单位统一划线，其中省一等奖占参赛学生总人数1%,二等奖占4%,三等奖占15%,最后省一、二等奖的确定由宜昌市教研中心送省统一审定。5、各校应于2009年5月27日前将获得湖北赛区预赛一等奖的学生的试卷寄或送宜昌市教研中心曾庆荣老师处（电话：15807205168,0717-6440149）,并将获奖（湖北赛区预赛一等奖、二等奖、三等奖）学生的成绩表（含学生姓名、考号、学校、指导教师、考试成绩、获奖等级等项目）的电子版（Excel排版）发送到电子邮箱：fjm002@tom.com。对一等奖获得者的指导教师颁发"辅导学生成绩突出”证书。6、根据联赛组委会规定，湖北赛区预赛收费7元，其中4元上交省市作为组织考试、制卷、评奖等开支，剩余3元作为学校组织考试与阅卷。有关费用在提取试卷时一并上交。7、湖北赛区宜昌预赛各校要成立专班，精心安排考场，每个考室40人，要严肃考试纪律，不得更改考试时间，严禁弄虚作假，要切实维护考试的权威和公平，确保考试成绩真实有效。竞赛期间市竞赛组委会将统一派巡视员巡视。宜昌市教育学会数学专业委员会二00九年三月十八日\n2009年髙中数学竞赛预赛人数报名表\n学校piJ/F人数领卷人\n集蠢国高中報学联赛题海赛匿初赛M总试题得分谧人绩三复核绩5生注14总\n:分意：下103中生0：:生。3：03。3：生.下1本试共有561分意：ta3n2t:生.n2t三总6，分大6个小，：分1分全全分c满40核2用黑得0蓝中生色圆核2珠6个笔或生钢作答月。或3计算蓝*1■m■1o生.准笔待有Oslo8:.7.入场满中器通得02生钢6个，0生用讯工生具算蓝中不器通得02生钢6个,解书写要满超过待封69分线已分知分函分数在处极值则实中满*分！分m分i在0核a的是值三A-B线钢中C处总t准D—三方共注程满核的总笔或值生.笔或满是值a有处下，61分两根x展开*!m满式所生*!E:,生*mE:1生4删形下GED&|耳生GEE总|G£D总：|生q£E总|G£E总半.形下宇E定满实如项D系之和入实8中满79为满椭左展65分右焦点）该（Dc上满得根+存得0,系使离满心率生准钢取根，乍，生总、生*翌生.心率满a范，6B分围得0,a5△最入CO在椭5生.C满使核时展6列分足表绩三示c绩：9生示：.绩x示：：绩整：1生注99总c分位实生两i分|展开*!m满程*!上满二根生意：_*miE_!皿生*mE:9生*i己5生*!ElB生m|E:1生设！m:.分其笔待有JbJ?Ji煨封单若等比下盼（入场生设c满双时曲和6\n::分下103图正该。：亍生'耳為;Uc生C°：0.•3分】分，分全全体设」(c6年蜃国高中数学联赛陕西赛医预赛试题得分卷氽题飞每檢题巒化注分化廨题注檢题牛•餐浚崖接糠签集奢在横线上总:6忌、：yc素1求实：展得0，求两率图正・•生.•生0••生0••生99\n小，水分！生右根+满焦点n率x封m分i根生n0•饌:，}:9}设交该.劳生小e第勿试得分下1{〉图正：9}：4:9B.生动410•设下1{＞满本试共有体0•设卜1{>E试x0•骰•满双时曲和生准引虚单若满等许下Jh方列分位实生+*分+!,率x满二任△点生△根此*!封根e生设交该穷分谶0:•0,•荟：1谟迹该，展寰屋采方馥体证魁该期在恸究蹇介签整馥跪0}•时删该雌蹄・}•有亠亠十0•体参考箸集:盛：元素{V1V：>生{<__L.>生.1解：|xl2<%w3}・易知A={兀I2w%w319B=|xl22|.n・2・+l=ti(3-1)・+l=3M+(・1)“•zi+1,其中MwN・为3ln-2a+l,所以31(-1)”当n=6Jk(A€N*)时，(-1)，・九+1=6fc+l=l(mod3)；当a=6A+l(AeN)0t,(-1)"•n+1=~6k^0(mod3);当rt=64+2(A;eN)时,(-1)*•n+1=6fc+3«O(inad3)；当n=6R+3(JteN)时,(-1)"-n+1=-6Jt=3)；当n=6R+4(nN)时,(-1)”•n+1=64+5=2(mod3)；当n=6R+5(nN)时,(-I)"•n+1=-6Jt-4=2(moJ3)・综上所述，当且仅当n=6*+l,或n=6&+2("N)时,3ln<5求位实1生*!展内率x满焦外生ni分i展内率上满二0相根生cmi关//其内率满内外，：｝者8*!ini便，满使提时展“o—图2［方法1］如图3,连结AC,过点C作CHJLAB于H.设乙ABC"(0<8心V今)，则AD-BC=ABcosff=2cos0,BH-BCcosO=2cos20t所以CD-AB-2BH=2-4cos20.故梯形ABCD的周长为心AB+BC+CD+DA=4+4cos0-4co326=5-4(a»d-y)2.所以，当C0J&■，即0=手时,」=5.［方法2］如图4,C、D关于直径AB的对称点C、D在下半圆上.因为AB=2为定值，根据对称性，当且仅当圆内接六边形ADCBCD1的周长最大时，梯形ABCD的周长最大.易知,当ABCDCD，为正六边形时，其周长最大，此时PC二CD二£M=yAB=1.斟5故梯形ABCD周长的垠大值为5・B求位实，生丨开*!m屮生*!E,生*mEl生其x,开5Mm满式所生.一一满时展赂&如图5,设D为BC的中点，连结0D、4Z),则0D丄BC•于是而•炭=(AD+D^)•梵=乔・梵+而•就=4D•荒=*(农+祐)・(疋-乔)=y(IA?I2-\AB\2)=8.c求得0著方名椭满内28定义明用无方穷0二二式△满核2生其色穷0核2满内外质，：生C复02h项内2满名椭x2椭。△生.因内2满内外［E\n扁考为没半球的球心为0,小球0}与半球底面相切于点A,如图6,经过点0、0\、4作半球的截面，半圆0的半径0C丄0A90}B丄0C于点〃，则04=0卫二华在RtA040|中，由(/?-1)2=:•求围，，满点与入穷与生色穷任点与轴起入穷于8满超过,1•_1•4设分成的三条线段的长分别为沢人。-(x+y)，则0y»Wra-(x+y),x+a-(x+y)>y.y+a-(%+y)>x,这个不等式组表示的平面区域为图9中的△AfBfCf的内部(不含边界)，其中"&C分别为O4、0B、AB的中点.故这三条线段能构成三角形的概率为P=孕竺=»・»bAOB4列分足表绩三复核绩1・生注4.总::求两.1］其虚单若满生待有n2t0•ta30sVTn2t・y入场生成设分满时3解：巳知等式町化为5分10分(cosa+sinp+^5")cosx+(c呻-sina)sinx=0上试对任意的X€R恒成立的充要条件为jcosa+$呻+血=0,[cosp-sina=0$平方相加，得(■«««■血严+5in2ry=1.化简得«wa=一辱因为02)所以，点C的轨迹是以右支（不含右顶点），其方程(2)设PQ：x=my+a(a>x(m2-4)y2+2(设P(衍)・Q(«25)因为丽•袒=(xt-2)(=(m2+1);所以E+“(a2_4)2gm-420分化简得3/-16a+20=0,：故直线PQ必过定点（爭,0）•45:，臓：形下0--~~生下1｛希｛＞图正・•生.•生0••生0••生990•股.满双时曲和生准引虚单若满等许下〕h方••0•緘:,｝：9｝设交该.丄生：｝U（\nB・\nbn\16(：1)—9A9一亘二(：f)"4£0(：N・)-3£»・€16a盍+42•更#ofd(2)医®=3母・&(1)冷?二vats订肚…•雷OAF®昧6;40th(l)闿尸=2•缶皿爪6%4(：N・)・SE6・SVO(：N・)・7(6:・—a-'-(3+1)(卜+二:2\nOOH(r—f)/A*(6:2—a:2)A…/A^T(y—2)«5_t耳济bc尸—.O/A^7・：123:・\n第勿试4得分下1{＞图正：9}：4:9B.生动——0•设下1{＞满本试共有体0•设下1｛＞E试x数列｛叫｝满足ax=4,aa41aa+6a.“-4a.-8=0,记力=&八€3.“(1)求数列仏」的通项公式;(2)求洌{a.・6」前Ji项和S.・10分解：(】)由“缶，得“&2・代入aw41aa+6am+l-4aB-8=0,得力“=46,+3所以+1=4(6b+1)，其中iI+1±4.所I2U.+1=4-4-1=4\故6,=4*-120分30分(2)由b■二名，得a.・6.=2加+6a.・2所以S.=0,6,+吗钱+…+d.b.=2(6,+b2+…+6』+6n=2(4+42+…+4*—n)+6n二咛1.2*6〃=-^-•4"*1+4n-寻40分列分位实生+*分+!,率x满二任△点生△根小，*分！生右根+满焦点n率x封m分i二根生n此*!封根e生图9鳥考证法1:如图9,连结04、0B、0P,设0P与AB的交点为H,CD的中点为M,连结0M,则0M丄CD.OH丄AB.所以,O、H、Q、M四点共\n于是,PQ・PM=PH・P010分又RtAP/M^RtAPXO,所以PA2=PH・P0.所以PQ・PM*PA2.由切割线定理，得PA》=PC・PD.所以PQ・PM二PC・PD,B卩PQ・(PQ+QM)=PC・PD・所以P@二PC•PD-PQ•QM20分又P/、O、M四点共圆,P、3、M、0四点共圆，30分由相交弦定理,得PQ・QM=AQ・QB=CQ・QD.PQ2=PC・PD-QC・QD40分证法2：如图9,连结OP交仙于点H,则OP丄肋.因为加_昭=(PH?+AH2)-(PH2^HQ2)=(AH-¥HQ)(AH-HQ)=AQ■QB20分所以P0二PA，-AQ・QB.又由切割线定理及相交弦定理，得PA2=PC・PD、AQ・QB=QC・QD.故PQ2二PC・PD-QC・QD40分穷分谟0:・0,•荟：|浚证该，展蛊蚩采衣簽体证职该豹在兎究塞介绸整数廓演得证明:(1)易知p十q=n・因为(力+1)»・(—3)。=W+厨」+…]・国-3W+勿(「1)严*…]+(p+[P3严+刘(；一1)-3pg”s+…,所以5二p-Sq®=戸(仃1〉+9q(；_!丄jpq10分又a产a—所以2(p・3g)=p(p-l)+9g(g-l)-6pq9即2(p-3g)=(p-3g)2-p-9g,所以3(p+g)=(p-3q)2.故3n=(n-3a)2为完全平方数20分\n岛考(2)a)=a2等价于3(p+g)=(p-3^)2,即P2-(6g+3)p-3g=0.①因此,只须证明方程①有无穷多组正整数解即可30分所以，△二(6q+3尸・4(9『-3q)=48g+9是完全平方数，且卩」9+3;@是正整数知分取48q+9=9(8«+l)2,RwN・，则有(p,g)=(3642+214+3,12fc2+3fc).由于R为任意正整数，所以存在无穷多组正整数(P，C,使得a严550分齢现该解奪前・}•有亠亠十0•体证齟该证朋：(1)因为亡-詁尹・"・刃1(14-z)-(14y)+r"(1+r)2__1+%2"~(i+7)2*1+r=-(1+%)(亠-亠)"+亠'1+y1+*1+x当且仅当x=r时,上式取等号.所以'1+汗1+yd+y)220分(2)在(1)的结论中，取1,2,・・・,“,有30分40分(1+刃2・(尹十)3*给以上n+1个不等式两边依次分别同乘以C,C：,…,C：,并相加，得^•"Jr+c-,_Lr+-+c：,_LrA峠产-為心*心卄吨•齐(n“+3\n宀希心希+・卡•需二50分金国高中数学联赛隊题得蒐第得试卷人示分分分绩该高考空以…即绩示穷绩该（法故由考①三当绩①总示〈①示绩示在绩该（6绩生笔线证b到调焦积卷示递绩该（高考增a空以绩足农绩示得提绩该因绩从而②得空满条下示列绩示列提绩该因绩从（而件可高考③综成绩使工得归提绩体示穷提绩该因绩丨纳结考Eb通假丨也原理乂！下午奇）乂坐t法标斜化一）空以绩3第列试示得绩该H椭C简体从焦积线（联代日令先再卩）绩示列：体因绩论存，（日令元.先只椭C简确.线無案！错、坐均总第（日令元.先它成绩三案！错、坐均总示列绩该笔待冇体反笔待冇从！屮午下午教午择考坐（分素象上那么只一部满二归绩参满H素体对间反笔待冇夹角存，化下午间教Q满命工甲绩3示穷绩该下乙：绩体因绩从焦积充但必！下午奇）纵横教范坐示叫满做生c|化圆午我论焦积存，.们绩I考E.们右3示在绩该恰素：绩3因绩丨好上论何，达（⑴使U⑵成绩生钢8冇工⑶⑷差生次幕各Z生队员笔按事卜-午排顺生c绩参通假序加棋播31.：.（台赛可高中下午奇）号月日高中下午一）台赛直）成①一、填空题（共10小题，毎小题6分，满分60分。请直孩将答栾写中的横线上)\n1.用区间表示函数/(.r)=ln(-—-1)的定义域为—x+32.在△/4BC中，sinA+cosIjJijcos2/1=\n则使％"。成3・在数列｛%｝中，已知q=2,a”+|-2a“=2"“立的最小正整数/7的值为°4・已知/⑴是定义在/?上的奇函数，对任意x訂均有/(x+2)=/(x).Rxw(OJ)时,f(x)=x2,则/(-专)+/(1)=_^二正方形，^PAB为等边三角形，0为如?边中点，且D5.如图，在四棱锥P-ABCD屮，底面ABCD为PO丄平而ABCD,则二面角P-4C-D的余弦值举—。6・已知集合rl=|x|x=a0+a|x7-ha2x72+a3x73|,其中助+〃=2010,心「则符合条件的止整数加有{0»I>2.3»4»5.6；,/=0»1♦2»3»且偽工0。若正整数加，neA9且•个。/7.函数/(x)=sinnx+cos24x(RwN*)的最小值1.将方程.v-3x[x]=4的实数解从小到大排列得和x3»工xA则彳+£+£+・••+£的值为/?□([x]表示不超过x的最大整数)一成立，则正整数加的最小值为勺9・若正整数加使得对任意一组满足a,^aA=1的正数q,角，勺，说都有a：+a；+a；+a：2—I11-'q®a310.如图，记从“田字型”网格(由4个边长为1的正方形构成)的9个交点中任取3个点构成的三角形而积为歹(当所取的三点共I1I线时，§=0),则J的数学期望。[I二、解答题(共5小题，毎小题20分，满分1°°分・要求写出解眩过柱)11.出实数。为何值时，关于工的方程代Inx无解、一解、两解？\n12.已知函数/(x)=x|x-2^|o试求/G)在区间[0,1]上的最大值g(a)。\n扁考13.如图.在饶角△/BC中.AB^AC.N/1C3的平分线交朋于卢id.AABC的外心O作CQ的垂线交&C于点E•过点小E作AB的平疔线交CD于点F->(I〉求证：C、ExO、F四点共圆;(2)求证：A.O.F三点共线：(3)求证$£4=EF•14已知双曲线C：=1(>0»“>0)的离，C?率为2’过点•°2&3(加>0)斜率为］的宜线/交双曲线C于A.B两点•且AP=3PB.010B=3.(1)求双曲线方程：(2)设0为双曲线C右支上动点.F为双曲线C的右焦点.在x轴负半轴上是否存在定点财使得ZQFM=2£QMF2若存在.求出点M的坐标；若不存在.请说明理由.13.数列｛乞｝中.已知a严2.且对一切正整数力都有陽■产4%・・％十1・求证：丄+丄+丄十…+丄2丄+丄+丄+…+丄对一切正整数”均成立・・aa,aya”2482"评足该都封满a范|.使选方二笔或满足｝生算汰0・｝0・牛段方得0a范方二0笔。待满比年生胜得0a范方穷0笔或满比下足淘fc至意：堀方0.:方穷0笔或满比下足縫止两：,.9|生至封0•都封焦点1虚另生段方.1生：】9生.99生次0.,9「获0・・丄綁191,91v.lvB\n评粉再W\n足该年对绩若生棱评三秘评育贸见：.0・］引评躍时.c}宽0.•c，”评评對展方调矩穷处到轴该评c}:・：},｝1｝矢角转周色恰四素任书生反r评：｝,单若等许下｝.｝・｝轨迹（评:•c}wmw，}因&范恰恒等许下足评:•,}iO中分分质，等许下生C（W矢评评旨上之状生罰轴双顼评盼再獅足该虚封等许下生1论偶问满作下切将展雜琏竝雜琏竝全体I论偶问满作下切将展处丑k利b利口&处迹全海之调生11论偶'口」之引作下满切将人否便含族距你生便含，«c得o便含明顶方包）满时准11轴论偶许问生次丨核封负她满等许下中生注方利聊0等许下图正任书淘平评弼再W足该调，共注土根生等在椭5满整椭，名椭生大等在椭5,在0穷六行生〃s满5左画x宽,等在椭5满5左生之调根格整椭子依画x待封等在椭5满高淘平IW在椭5复0椭穷于8满高评a/4£-也生算汰痒O生评寸展评111等在椭5满高评评粉再果啊1W\n足该两某输点满a范,；:0.}.•}内取子，在・1"至评•a-a'朋呢引］II：［评生色国记滦系生就应：反r—生他素评%足引某输点满依所过包卜再稱冊足该颜准a范方比年生区方19.W••19914■■失失失失失1败失失失失9败败失失失9败败败败失%1败败败败败败4败败位上国生后素任书满婕注方负胎生次輪谨L冊足该至0.，-0：・0,-引0-10•生汰0-・生之调0・：生就0・0-0•生次01・：・・01..O0：・0-0-0..o0.:.•91:0-:◎平评利M:W足该笔止两评•牛.至任书牛9}1111B生封展生评9}111BT施蹴山解待有生评WPW011L0」生谎评佩」生1I1•生评之调评£:生谱反评满使提时，V；:三反r:（总瞬高中教育\n足该至任书生方评平99艇全样生汰评0】・91生Z调：绩宽设丨任书样矩参重形下91满使时淘确算实如间到：坐9引格满n根亘咂0满使核时強9，I：：•体9至4引格满n根魅征盛01•满使提时生宽9>-::BW半反生：.01-:B海F评弼旳:・WP足该两根0n2t}ta3•生•评0n2t}ta3•}0n2t}tc0•淘圖展生评cc▲ci1n2t&2t:•n2t小•n2t0n2t•0ta3••—:生评1tcB1:n2t之调评|—；—洵@1评）2t0:}:•生：评n2t0}1-W:n2t次评|年}：•生僦评洛}：•洵F评足该棱1生引评.49漏臆：待有二程或r虚设叠生引评iWftO11I1®1・：1|01・:1:10b::W-不棱：生至上有引：1|:1:1•綁半反诩\:11：1;1.49洵F评\n足该两竞析角右曰艮满焦点方任生复任上满根下算选格析改三，该评J}}0,}:•评・至意：生方衢I:•01:•01:-!9B5W:I・・就至评I::1评评，曲平m:r评'B谗足体评1片评':c生足引评：9}],体评,r评1'1:•谊足淘做方负任焦点右钢中方根生负任右曰艮生僦穷于80下，评:I•：.9；:4.W评评鉛足该至101・0:-.・01•生引评・0:-0••生评封展甸i-0.•漁险全全全全全全全界评-0封展j-0:-生评••诧r>V皤全全全全全全全勉评-0.评据及从下生引玄邈边评半反展调I：：,类试生「，共据满待据下1海险全全全全全端评I上有中生棱辭滋驼引1..C严淘曜:全全全全全全全秘评\n禾分足该僭\n推他生应：心率明许根丨系上方二0：04}・・分|0}.・图正绩若淘全界评谶评小右根：分|存只随封焦点满二任焦点：分|生年对穷于8或名待高椭左。待到:生四素任书满许根质丨焦点：分I上海FF-「生漱焦点件满足间有小，评谶评-04•生谱1iwm：展心率一1••11F:明满许根生方匚-04•細全全全全全全全全全全全全全全全全全全全勉评小足评丨….BI倾评I：B诩|评p：.-04--04・11展许根生C丨焦点：分|上生：，性下生之调生评|::.中牛小方在o性下潢冊:.17次四素任书满许根满o下，扌翩程全全全全全全全全全全全全全全全全全秘评评司足该评三媳谁评，|4191,09.01•评生m・r评，|.牛减记反r贵形下展d形下生恒校时生之调.海程:全全全全全全全界评三第m.r生贵形下满距你位矩国该评评评1评评9评评评waff站评评IB'评R三校评IB•-0B'三校提总评•核总评•评•:.B*9诩I评，一生乙调评1-?細全全全全勉kFW-vWJ三.r生贵形下满距你位矩国该评评评9评评1评评\n评W边平组平W\n高考评■评B，评1B三校评三校提总评核总评算汰至谗R•01B-:・B，9诩I评，厶生之调评1洵F159半反生至三社获k-淘金全全全全全全全全全全全全全儒评三利虻鸵m亠生谁评1B，・}B，・诩I谱诩附诩朋订B'B，生宽评竺—W-151三Wm"生至评B，・}1B，•评;I评IB，生瓏评里空液囉全全全全全全秘评11隼蠢国高中数学联赛闽西着预赛试题三考成r美该c纳19结上科B@.s::@.总得求履密题M甚题生每题分生余谕分总:求两选试有0•图正该虚封单若生h方0:・0:•119].0•满使核时展发发发发发发海F1求下1{＞}{＞图正该：}:}1}}意：下1{＞满£试x,——生下1{〉满£试■发发发发发发淘ff咸形下0-满时【展发发发发发发海ff9求右】文点*B满取根痔得任《过,I满焦点牛其n】文点封}二根牛.椭左展发发发发发发綁,举于穷于8生图正丁n2t0•生.T3满使提时，发发发发发发j娜解等穷六行满明A2内外，：生.钢5左满使核时,发发发发发发海F评评评评评评评评评W＜：}1}}c办福卷黑建实等a8满40的》中生钢复随穷下生复1穷下必上汰矩分必省汰建会三入待暨下1满超过发发发发发发淘平评评\n扁考扌胸大元素{:}1}满市情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