高中数学高考知识点总结附有经典例题-高中课件精选 101页

\n集合集合与元素⑵⑶(4)关系集合与集合高一数学必修1知识网络集合元素与集合的关系：属于(w)和不属于(E)集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集集合的表示方法：列举法、描述法(自然语言描述、特征性质描述)、图示法、区间法了集：若xwA=>xe贝ijAyB,即A是B的了集。若集合4中有n个元素，则集合朋勺子集有2"个，真子集有(2”・1)个。任何一个集合是它本身的子集，即AcA对于集合A,B,C,如果AqB,且BqC,那么AcC.空集是任何集合的(真)子集。1、2、3、4、运算真子集：若即至少存在/任3但jc°gA),则4是別勺真子集。集合相等：AcBRABoA=B定义：性质：定义:性质：交集并集Ar\B=[x!xe.A且xgB]Ar\A=A,Ac0=0,AcB=BcA,AcByA,4cBuB,AcB<=>AnB=A={兀/xw涸&wB}=Au0=AAAuB=BCard(AtB)=Card(A)+Card(B)-Card(Ar\B)补集定义：CbA=[x!xeU^.xA]=A性质A)nA=0,(QA)kJA=UtCU(CUA)=A,Cu(Ar\B)=(CuA)u(CuB),G(AuB)=(%)*〃)\n函数1映射定义：设人3是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个元素儿在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应八T3为从集合A到集合B的一个映射"专统定义：如果在某变化屮有两个变量兀，儿并且对于兀在菜个范围内的每一个确定的值,定义按照某个对应关系/,y都冇唯-・确定的值和它对应。那么y就是兀的函数。记作y=/(x).迈i代定义：函数是从一个数集到另一个数集的映射。立义域函数及其表示$函数的三要素5值域对应法则解析法函数的表示方法<列表法图彖法传统定义:在区间S，切上，若a0,贝ij/(x)在［°0］上递增屈问是递增区间:i0/(x)<0贝|J/(Q衬上递减,［°0］是的递减区间。函数的基本性质“函数图彖的画法(最大值：设函数y=f(x)的定义域为人如果存在实数M满足：(1)对于任意的氏人都W/(x)/V；(2)存在xqeI,使得/(xo)=M则称N是函数尸/(兀)的最小值d)/(-x)=-/(x),xe定义域D贝厅(兀)叫做奇函数•其图象关于原点对称。奇偶性(2)/(-小=/(兀)应定义域O贝iJ/(x)HH做偶函数，其图彖关于)，轴对称。奇偶函数的定义域关于原点对称周期性：在函数：/(兀)的定义域上恒冇/(兀+7>/(x)(7V0的常数)则/(.丫)叫做周期函数，T为周期；7TI勺最小止值叫做£(兀)的最小正周期，简称周期(1)描点连线法：列表、描点、连线向左平移a个单位：y^=y,x\-a=x=>y=f(x+d)向右平移。个单位：y\=y,X］+a=x=>y=f(x-a)向上平移方个单位：X［=x.+b=y=>y-b=f(x)向下平移方个单位：X［=x,y|-/?=y=>y+b=f(x)'横坐标变换：把各点的横坐标X］缩技(当w>l日寸)或伸长(当0W时)到原束白勺1/w倍(纵巫标不变)，Wx\=wx=>y=f(wx)纵坐标变换：把各点的纵坐标”伸长(A>1)或缩短(0y=f(x)关于点(沖)对称馅:裟H第谿；关于直线eq对称卜丁旦“/勺“"-兀>1关于直线沖对称忻匚沪［护2心关于直线),=兀对称：(^=>y=f~1(兀)一〉1最值平移变换丿伸缩变换(2)变换浓对称变换<关于直线对称:关于线尸$0对称:二>2yo_y=/・(2耳)_牙)y[=y=尸/(2"-小^=X=>2yo-y=/(x)附:\n一、函数的定义域的常用求法：1、分式的分母不等于零；2、偶次方根的被开方数大于等于零；3、对数的真数大于零；4、指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1:5、三角函数正切函数y=tanr+TT兀北比龙+―伙wZ)；余切函数y=cotx屮；6、如果函数是由实际意义确定的解析式，应依据自变量的实际意义确定其取值范围。二、函数的解析式的常用求法：1、定义法；2、换元法；3、待定系数法；4、函数方程法；5、参数法；6、配方法三、函数的值域的常用求法：1、换元法；2、配方法；3、判别式法；4、几何法；5、不等式法；6、单调性法；7、直接法四、函数的最值的常用求法：1、配方法；2、换元法；3、不等式法；4、几何法；5、单调性法五、函数单调性的常用结论：1、若/(x),g(x)均为某区间上的增(减)函数，则/(x)+g(兀)在这个区间上也为增(减)函数2、若/(兀)为增(减)函数，贝'J-/(%)为减(增)函数3、若/(兀)与g(x)的单调性相同，则y=f[g(x)]是增函数；若/(x)与g(x)的单调性不同，则y=f[gM]是减函数。4、奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反。5、常用函数的单调性解答：比佼大小、求值域、求最值、解不等式、证不等式、作函数图象。六、函数奇偶性的常用结论：1、如果一个奇函数在x=Q处有定义，则/(0)=0，如果一个函数y=f(x)既是奇函数又是偶函数，则/(x)=0(反之不成立)2、两个奇(偶)函数之和(差)为奇(偶)函数；之积(商)为偶函数。3、一个奇函数与一个偶函数的积(商)为奇函数。4、两个函数y=/(w)和u=复合而成的函数，只要其中有一个是偶函数，那么该复合函数就是偶函数；当两个函数都是奇函数时，该复合函数是奇函数。5、若函数/(%)的定义域关于原点对称,则/(%)可以表示为f(x)=—[f(x)+/(-x)J+—[/(x)-/(-x)J，该式的特点是：右端为一个奇函数和一个偶函数的和。\n零点：对于函数y=f(x\我们把便f(Q=()的实如叫做函数y=/(x)的零点。定理：如果函数y=/(x)在区间|心纠上的图象是连续不断的一条曲线，并且Hf(a)-f(b)<0,零点与根的关系、函数与方程<那么，函数y=/(X)在区间［心纠内冇零点。即存在cg(a、b),使得：/(i・)=0•这个c・也是方程/心)=0的根。(反之不成立)关系：方程f(x)=0有实数根o函数y=/(小有零点0函数)，/⑴的图彖与兀轴有交点(1)确定区间［4bl验町⑷・f(b)<0,给定精确度£；函数的应用s二分法求方程的近似解S①若/&・)=0就是函数的零点;(2)求区间(a")的中点c;②若/(d)・/(c)<0,则令b=c(此时零点兀°e(心方))：③若于(c)•f(b)<0,则令a=c(此时零点G(C,方))；(4)判断是否达到精确度£:即若«-bvG则得到零点的近似值。(或b);否则重复2〜4o几类不同的增长函数模型函数模型及其应用丨用已知函数模塑解决问题建立实际问题的函数模型扌旨数白勺运箕彳根代皿小为根扌旨数，"为被开方数分数扌旨数恭\cir121=6/”扌旨数函数〈“厂十'（6/aO,r,seQ）（"yy=ars（6/aO,厂9$eQ）=a7bs（a>O、Z?aO,厂wQ）壬匕痢一卿「定义：一般土也扌巴函数，=门"(“》()!1“工1)叫(故扌旨数函数o扌tr数1羽数V…一亠I性丿贡:见表1「X寸数=乂=log"2,a为丿氐数，2为真数垂本初等函数〈log6Z(A7•/V)=log6ZM+log6ZTV;M1%77=log«M~log"N；logrzMn=nlog6ZM;(a>6“H1,7V7>6TV>O)换丿氐么、式二logr/b='Cu《乃(/caO.IILsc工1,/?>O)log©a足义=—般丄也扌巴函数》=log6/x(^aa0.0.H1)ML|寸数函数『生丿贡：见表1定义二—般上也'函数，=乂"叫彳故慕函数'乂是自变量‘c是常数。f生质:见表2\n表1指数函数歹=0“(d>0,dH1)对数数函数y=log"x{a>0,a工1)定义域xeRXG(0,+oO)值域^g(0,+oo)yeR图彖101■I\0b■t1ab表2幕函数y=xa{agR)a=Pqa<001a=1p为奇数g\(1,1)•厂(bl)'*/)/•/a,n”丿tIt•/Zaj：\n为奇数i1—(-L-1)///■11\n°为奇数g为偶数1Ja.i）――0；当6ze（90,180）时，^<0；当a=90a时，鸟不存在。②过两点的直线的斜率公式：£二巴二A（坷工左）x2-Xj注意下面四点：（1）当坷=勺时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°:（2M与竹、戶2的顺序无关；（3）以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；（4）求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。（3）直线方程①点斜式：y-yi=k{x-xx）直线斜率乩且过点（兀],必）注意：当直线的斜率为0。时，k二0,直线的方程是y=yio当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示.但因/上每一点的横坐标都等于兀】，所以它的方程是x=xlo②斜截式：y=kx^b,直线斜率为直线在y轴上的截距为b③两点式：—一=一—（斗工尼,廿工”）直线两点（幷,）[），（左』2）〉‘2一必兀2一曲--_④截矩式：兰+丄=1ab其中直线Z与兀轴交于点（。,0）,与y轴交于点（0,b）,即I与兀轴、y轴的截距分别为。⑤一般式：Ax+By+C=Q（A,B不全为o）注意：①各式的适用范围Q特殊的方程如：平行于x轴的直线：y=b（b为常数）；平行于y轴的直线：x=a（a为常数）；（5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系平行于已知直线Ad+B（）y+Co=0（是不全为0的常数）的直线系：Ax+B°y+C=0（C为常数）（二）过定点的直线系（i）斜率为k的直线系：=k（x-xQ）f直线过定点（x（pyo）；（ii）过两条直线厶：£x+Bj+C]=0,厶：舛兀+场歹+“？=0的交点的直线系方程为（Aix+Bly+Cl）+A（A2x+B2y+C2）=0（2为参数），其屮直线厶不在直线系中。（6）两直线平行与垂直〜■当lx:y=kxx+bx,l2-y=k2x+b2时,/,//1?ok、=k：2，b严b?；A丄仏o冏心=—1注意「利用斜率判j断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。（7）两条直线的交点\nI、:Ax+By+G=0/2:A2x+B2y+C2=0相交\n交点坐标即方程组恥G=°的一组解。人2兀+y+C?=0方程组无解O厶///2;方程组有无数解O/|与心重合(8)两点间距离公式：设A(xp>9,B(x2,y2)是平面直角坐标系中的两个点,则|AB|=y/(x2-X])2+(y2-y\)2(9)点到直线距离公式：一点P(x°,y。)到直线A：Ax+3y+C=0的距离—I加叮◎叮c|ylA2+B2(10)两平行直线距离公式在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。的方程1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。2、圆的方程(1)标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,圆心仏b),半径为r；(2)一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0当D2+E2-4F>0时，方程表示圆，此时圆心为(-2-勻，半径为r=^lD2+E2-4F当D2+E2-4F=0时，表示一个点；当D，+E?—4F<0时，方程不表示任何图形。(3)求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a,b,r；若利用一般方程，需要求出D,E,F；另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断：(1)设直线l:Ax+By-t-C=Of圆c：(x-a)2-i-(y-b)2=r2f圆心C(a,b)到I的距离为|加+劭+c|,则有d>roI与(7相离；〃=厂0/与C相切；dl与C相交(2)设直线l:Ax+By+C=0,圆C:(兀―疔+(y-砧=宀先将方程联立消元，得到一个一元二次方程之后，令其中的判别式为△,则有AvOo/与Cffi离；4=()0/与C相切；A>0<=>/-^Cl目交注：如果圆心的位置在原点，可使用公式+yy0=r2去解直线与圆相切的问题，其中(兀。』。)表示切点坐标，「表示半径。(3)过圆上一点的切线方程：①圆疋+乃二丿，圆上一点为(xo，y°),则过此点的切线方程为xr()+yyQ=r2(课本命题).②圆(x-a)2+(y-b)2=^f圆上一点为偏，y0),贝U过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(yo-b)(y-b)=/(课本命题的推广).4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和(差)，与圆心距(d)之间的大小比较來确定。设圆C]:(x-a{)2+(丿-勺尸=r2,C2:(x—a2)2+(歹一=R2两圆的位置关系常通过两圆半径的亦(差)，兮圆心距(2)之间的大小比较來确定。当d>R+r时两圆外离，此时有公切线四条;当d=/?+r时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条;当R-rAB=l,Pwl公理3的作用：①它是判定两个平面相交的方法。②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。③它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。（5）公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行（6）空间直线与直线之间的位置关系①异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线②异面直线性质：既不平行，又不相交。③异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线④异面直线所成角：直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O,分别引直线a'//a,则把直线/和夕所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。两条异面直线所成角的范闱是（0。，90°],若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直。说明：（1）判定空I、可直线是异面直线方法：①根据界面直线的定义；②界面直线的判定定理（2）在异面直线所成角定义中，空间一点O是任取的，而和点O的位置无关。②求异面直线所成角步骤：A、利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上。B、证明作出的角即为所求角C、利用三角形来求角\n（7）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补。（8）空间直线与平面之间的位置关系直线在平面内——有无数个公共点.直线不在平面内J相交一一只有一个公共点.（或直线在平面外）（平行一一没有公共点•三种位置关系的符号表示：auaaAa=Aa〃a（9）平面与平面之间的位置关系：平行一一没有公共点；a〃B相交一一有一条公共直线。anP5、空间中的平行问题（1）直线与平面平行的判定及其性质线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行。线线平行二＞线面平行线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个半面相交，那么这条直线和交线平行。线面平行=线线平行＜2）平面与平面平行的判定及其性质两个平面平行的判定定理（1）如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（线面平行面面平行），（2）如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行。（线线平行一面面平行），（3）垂直于同一条直线的两个平面平行，两个平面平行的性质定理（1）如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。（面面平行-＞线面平行）（2）如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（面面平行〜线线平行）7、空间中的垂直问题（1）线线、面面、线面垂直的定义①两条界面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。②线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂直。③平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直。（2）垂直关系的判定和性质定理①线面垂直判定定理和性质定理判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。②面面垂直的判定定理和性质定理判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。9、空间角问题（1）直线与直线所成的角①两平行直线所成的角：规定为0"。②两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角。③两条异面直线所成的角：过空间任意一点O,分别作与两条异面直线“，b平行的直线a；b\形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。（2）直线和平面所成的角①平面的平行线与平面所成的角：规定为（T。②平面的垂线与平面所成的角：规定为90o③平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的輕，叫做这条直线和这个平面所成的角。求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算”。\n在“作角”吋依定义关键作射影，由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线，在解题时，注意挖掘题设中两个主要信息：（1）斜线上一点到面的垂线；（2）过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直，由面面垂直性质易得垂线。（3）二面角和二面角的平面角①二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。•••••③直二面角：平血角是直角的二面角叫直二面角。两相交平血如果所组成的二血角是直二血角，那么这两个平血垂直；反过来，如果两个平血垂直，那么所成的二血角为直二血角④求二面角的方法定义法：在棱上选择有关点，过这个点分别在两个血内作垂直于棱的射线得到平面角垂面法：已知二面角内一点到两个血的垂线吋，过两垂线作平面与两个血的交线所成的角为二血角的平面角7、空间直角坐标系（1）定义：如图，OBCD-DABC是单位正方体.以A为原点，分别以0D,OA,OB的方向为正方向，建立三条数轴x轴.y轴.z轴。这吋建立了一个空间直角坐标系Oxyz.1）0叫做樂标原点2）x轴，y轴，z轴叫做坐标轴.3）过每两个坐标轴的平血叫做坐标血。（2）右手表示法：令右手大拇指、食指和屮指相互垂直时，可能形成的位置。大拇指指向为x轴正方向，食指指向为y轴正向，中指指向则为z轴正向，这样也可以决定三轴间的相位置。（3）任意点坐标表示：空间一点M的坐标可以用有序实数组d,y,z）来表示，有序实数组（尢，”z）叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作（x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标）（4）空间两点距离坐标公式：^=7（x2-xi）2+（j2-j1）2+（z2-z1）2\n高一数学必修3公式总结以及例题§1尊泾初步O秦九韶算法：通过一次式的反复计算逐步得出高次多项式的值，对于一个n次多项式，只要作n次乘法和n次加法即可。表达式如下：anxn+an_xxn~]+…+®=((((a打兀+aH_x)x+色一？)兀+••・)兀+ai)x+a\例题：秦九韶算法计算多项式3x6+4x5+5x4+6x3+7x2+8x+l,当x=0.4时，需要做几次加法和乘法直算？答案：6,6即：(((((3x+4)x+5)x+6)x+7)x+8)x+1❷理解算法的含义：一般而言，対于一类问题的机械的、统一的求解方法称为算法，其意义具有广泛的含义，如：广播操图解是广播操的算法，歌谱是一首歌的算法，空调说明书是空调使用的算法…(algorithm)1.描述算法有三种方式：自然语言，流程图，程序设计语言(本书指伪代码).2.算法的特征：①有限性：算法执行的步骤总是有限的，不能无休止的进行下去②确定性：算法的每一步操作内容和顺序必须含义确切，而且必须有输出，输出可以是一个或多个。没有输出的算法是无意义的。③可行性：算法的每一步都必须是可执行的，即每一步都可以通过手工或者机器在一定时间内可以完成，在时间上有一个合理的限度3.算法含有两大要素：①操作：算术运算，逻辑运算，函数运算，关系运算等②控制结构:顺序结构，选择结构，循环结构❸流程图：(flowchart):是用一些规定的图形、连线及简单的文字说明表示算法及程序结构的一种图形程序，它直观、清晰、易懂，便于检查及修改。注意：1・画流程图的时候一定要清晰，用铅笔和直尺画，要养成有开始和结束的好习惯2.拿不准的时候可以先根据结构特点画出大致的流程，反过来再检查，比如：遇到判断框时，往往临界的范围或者条件不好确定，就先给出一个临界条件，画好大致流程，然后检查这个条件是否正确，再考虑是否取等号的问题，这时候也就可以有几种书写方法了。3.在输出结果时，如果有多个输出，一定要用流程线把所有的输出总结到一起，一起终结\n\n当型循环直到型循环I•顺序结构(sequencestructure)：是--种最简单最基本的结构它不存在条件判断、控制转移和重复执行的操作，一个顺序结构的各部分是按照语句出现的先后顺序执行的。II•选择结构(selectionstructure)：或者称为分支结构。其中的判断框，书写时主要是注意临界条件的确定。它有一个入口，两个出口，执行吋只能执行一个语句，不能同吋执行，其中的A,B两语句可以有一个为空，既不执行任何操作，只是表明在某条件成立时，执行某语句，至于不成立时，不执行该语句，也不执行其它语句。III.循环结构(cyclestructure)：它用来解决现实生活中的重复操作问题，分直到型(until)和当型(while)两种结构(见上图)。当事先不知道是否至少执行一次循环体时(即不知道循环次数吋)用当型循环。❺基本算法语句：本书中指的是伪代码(pseudocode),且是使用BASIC语言编写的，是介于自然语言和机器语言之间的文字和符号，是表达算法的简单而实用的好方法。伪代码没有统一的格式，只要书写清楚，易于理解即可，但也要注意符号要相对统一，避免引起混淆。女口：赋值语句中可以用x=y,也可以用xjy;表示两变量相乘时可以用“*”，也可以用“x”I・赋值语句(assignmentstatement)：用<—表示，如1：兀<—y,表示将y的值赋给x,其中x是一个变量，y是一个与x同类型的变量或者表达式.一般格式：“变量〜表达式”，有时在伪代码的书写时也可以用“兀二歹”，但此时的“二”不是数学运算屮的等号，而应理解为一个赋值号。注：1.赋值号左边只能是变量，不能是常数或者表达式，右边可以是常数或者表达式。“二”具有计算功能。如：3=a,b+6=a,都是错误的，而8二3*5-1,a=2a+3都是正确的。2.—个赋值语句一次只能给一个变量赋值。如：a二b二c二2,a,b,c=2都是错误的，而a二3是正确的.例题：将x和y的值交换同样的如果交换三个变量X,y,z的值：x<-yV<-zzipII.输入语句(inputstatement):Reada,b表示输入的数一次送给a,b输出语句(outstatement):Printx,y表示一次输出运算结果x,y注：1•支持多个输入和输出，但是中间要用逗号隔开！2.Read语句输入的只能是变量而不是表达式3.Print语句不能起赋值语句，意旨不能在Print语句屮用“二”4.Print语句可以输出常量和表达式的值.5•有多个语句在一行书写时用“；”隔开.例题：当x等于5吋，Print“x二"；x在屏幕上输出的结果是x=5HI•条件语句(conditionalstatement)：1.行If语句：IfAThenB注：没有EndIf\n1.块If语句：注：①不要忘记结束语句EndIf,当有If语句嵌套使用时，有儿个If,就必须要有儿个EndIf②.ElseIf是对上一个条件的否定，即已经不属于上面的条件，另外ElseIf后面也要有EndIf③注意每个条件的临界性，即某个值是属于上一个条件里，还是属于下一个条件。④为了使得书写清晰易懂，应缩进书写。格式如下：IfAThenBElseCEndIfIfAThenBElseIfCThenDEndIfReada,b,cIfa$bThenIfaMeThonPrintaElse或者PrintcEndIfElseIfbMcThenPrintbElse注：1.Printc2.EndIfEndIfReada,b,cIfa^bandaNcThenPrintaElseIfb2cThenPrintbElsePrintcEndIf同样的你可以写出求三个数中最小的数。也可以类似的求出四个数川最小、人的数例题：用条件语句写出求三个数种最大数的一个算法.!WhileA;:!•••;EndWhileWhile循环；LIIDoi:!•••;LoopUntilp直到型Do循环；IV•循环语句(cyclestatement)：❶当事先知道循环次数时用For循环，即使是N次也是已知次数的循环❷当循环次数不确定时用While循环❸Do循环有两种表达形式，与循环结构的两种循环相对应.■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■I\ForIFrom初值to终值Step步长IIJ;EndForFor循环DoWhilepIi!…;Loop当型Do循环i说明：1.While循环是前测试型的，即满足什么条件才进入循环，其实质是当型循环，一般在解决有关问题时，可以写成While循坏，较为简单，因为它的条件相对好判断.2・凡是能用While\n循环书写的循环都能用Foi•循环书写3.While循环和Do循环可以相互转化4.Do循环的两种形式也可以相互转化，转化时条件要相应变化5.注意临界条件的判定.例题：设计计算Ix3x5x...x99的一个算法（见课本厲）SJlS<-15<-1Z<-1Z<-1ForIFrom3To99Step2WhileI<97WhileI<99S<-SxlIjI+2SjSxIEndForS〜SxlI<-I+2PrintSEndWhileEndWhilePrintSPrintS❶❷❸S<-1S<-1Z<-1/<-lDoDoS<-SxlI<-I+2IjI+2SjSxILoopUntilI>100（或者I〉99）LoopUntilI>99PrintSPrintS❹❺SJlS<-1Z<-1DoWhileI<99（或者I<100）DoWhileI<97（或者Iv99）SjSxI1<-1+2I<-I+2S<-SxlLoopLoopPrintSPrintS❻❼颜老师友情提醒：1・一定要看清题意，看题目让你干什么，有的只要写出算法，有的只要求写出伪代码，而有的题目则是既写出算法画出流程还要写出伪代码。2.在具体做题时，可能好多的同学感觉先画流程图较为简单，但也有的算法伪代码比较好写,你也可以在草稿纸上按照你自己的思路先做出来，然后根据题目要求作答。一般是先写算法，后画流程图，最后写伪代码。3.书写程序时一定要规范化，使用统一的符号，最好与教材一致，由于是新教材的原因，再加上各种版本，可能同学会看到各种参考书上的书写格式不一样，而且有吋还会碰到我们没有见过的语言,希望大家能以课本为依据，不要被铺天盖地的资料所淹没！\n高中数学必修4知识点正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角<负角:按顺时针方向旋转形成的角零角：不作任何旋转形成的角2、角a的顶点与原点重合，角的始边与兀轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称Q为第几象限角.第一象限角的集合为｛&阻360vavR360+90,kwZ｝第二象限角的集合为｛qR・360+90<4360+180,ZZ｝第三象限角的集合为｛诽・360+180三角函数线：sina=MP,cosa=OM,tana=AT.12^同角三角函数的基本关系:(l)sin2a+cos2a=l/.?[?21•少\sina(sirra=l—cos~a，cos~a=l-sin"a\；(2)=tana'7cosa/・、.sinasm&=tancrcoscr.cosez=.Itan&丿13、三角函数的诱导公式:(l)sin(2k;r+a)=sina,cos(2k7r+a^=cosa,tan(2£7r+a)=tana(£wZ)•(3)sin(-(2)=-sin(2,cos(-a)=cosatan(—a)=—tana•(2)sin(^+cr)=-sintz，cos(^+a)=-cosa,tan(^+cr)=tan^z.(1)sin-cr)=sina,cos(^-6z)=-coscr，tan(^-cz)=-tan«.口诀：函数名称不变，符号看象限.71(5)sina/、71•cosa=sma.1271(6)sin—+a12=cosa,/、71•cos—+a=-sina.2口诀：正弦与余弦互换，符号看象限.14＞函数y=sinx的图象上所有点向左（右）平移咧个单位长度，得到函数y=sin（x+0）的图象；再将函数y=sin（x+0）的图彖上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的+倍（纵坐标不变），得到函数y=sin（s:+0）的图象；再将函数y=sin（亦+0）的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A倍（横坐标不变），得到函数y=Asin（岔+勿的图象.函数y二sin兀的图象上所有点的横坐标仲长（缩短）到原来的丄倍（纵坐标不变），得（O到函数y=sincox的图熟再将函数y=sincox的图象上所有点向左（右）平移回•个单位长度,co得到函数y=sin（亦+0）的图象；再将函数y=sin（亦+。）的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A倍（横坐标不变），得到函数y=Asin（ex+0）的图象.\n函数y=Asin(69x+^?)(A>0,69>0)的性质：①振幅：A；②周期：T=—；③频率：/=丄=皀；④相位：亦+°；⑤初相：(p・coT2/r函数y=Asin(Qx+0)+B,当x=x｛时，取得最小值为歹简；当x=x2时，取得最大值1JT为儿ax，则人二空(几ax-儿J，B=-(>^+>'min),㊁=吃一坷(西<吃)・定义域当兀=2£兀+彳(kwZ)时'沧T；当最值X=2k7T2(£詔)时，血=一1・周期5性奇偶奇函数性在2k7r-—.2k7i-\-—22单调(kwZ)上是增函数；在性「21c丫兀ClS兀2K7T+—,2K7T+——22当兀=2比兀(kgZ)H寸,Xnax=l；当兀=2Qr+7F(RwZ)时，ymin=-l.2兀偶函数在［2炽一兀,2乃r|(kwZ)上是增函数；在\2k7v,2丘龙+刃(kwZ)上是减函数.既无最大值也无最小值71奇函数/、在k7r-—,k7i+—I22丿()1eZ)上是增函数.xx工k7i+—,kwZ2[71]("Z)上是减函数.\n对称中心（炽，0）（£gZ）对称对性称轴JTx-k/r+—[keZ)jr炽+_,0gz)<2丿X寸称轴1x=k兀业gZ)对称中心—,o（kwZ）I2丿无对称轴16、向量：既有大小，又有方向的量.数量：只有大小，没有方向的量.有向线段的三要素：起点、方向、长度.零向量：长度为0的向量.单位向量：长度等于1个单位的向量.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行.相等向量：长度相等忖方向相同的向量.a+b=AB+AZ)=AC17、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连.⑵平行四边形法则的特点：共起点.⑶三角形不等式：\ai-HI(1)运算性质：①交换律：d+b=b+a；②结合律：(d+b)+c=a+(b+cj；③a+0=0+d=a.a-b=AC-AB=BC⑸坐标运算：设a=（若,刃），b=（x2,y2）,则a+b=（西+兀2，X+旳）・18＞向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量.⑵坐标运算：设°=（石，刃），b=（x2,y2）,则a-h=-x2,y\-y2）.设A、B两点的坐标分别为（西，刃），（乞,力），则俚=（有花片儿）•19＞向量数乘运算：⑴实数2与向量d的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作2。・®|Atz|=|/||tz|；①当几〉0时，/U的方向与d的方向相同；当几＜0时，/U的方向与d的方向相反；当几=0时,(2)运算律：①2(“a)=(2“)a；②(/1+“)幺=加+/血；®>2(d+b)=2a+/lZ?・(3)坐标运算:设a=(x,y)，则Aa=2(x9y)=(2x,2y)・20、向量共线定理：向量q(ghO)与b共线，当且仅当有唯一一个实数2,使b=Aa・\n设匕=(无］,廿)，b=(x2,y2),其屮b$0,则当且仅当占力一兀2刃=0时，向量。、b(bHO)共线.21、平面向量基本定理：如果弓、勺是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量G，有且只有一对实数入、入，使Q=入弓+&幺2・(不共线的向量弓、§作为这一平面内所有向量的一组基底)22、分点坐标公式：设点P是线段Pf?上的一点，片、P?的坐标分别是(心刃)，(勺小)，当P,P=2PP.时，点P的坐标是仆+兀勺”+心叮.12I1+21+2丿23、平面向量的数量积：(1)qT=|q|”|cos0(qhO"hO,O<^<180).零向量与任一向量的数量积为0.⑵性质：设a和b都是非零向量，则①d丄b<=>ab=0.②当d与b同向时，a-b=ab；当a与b反向时，a-h=-|tz||/?|；q=/=a『或问=・③ahc\则C<90；③若a2+b290.7、数列：按照一定顺序排列着的一列数.8、数列的项：数列中的每一个数.9、有穷数列：项数有限的数列.10、无穷数列：项数无限的数列.11、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列.12、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列.13、常数列：各项相等的数列.14、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列.15、数列的通项公式：表示数列｛匕｝的第斤项与序号刃2间的关系的公式.16、数列的递推公式：表示任一项色与它的前一项（或前儿项）间的关系的公式.17、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差.18、由三个数a,»,b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则A称为q与b的等差中项.若a+cb=^~,则称〃为a与c的等差中项.219、若等差数列｛an｝的首项是4,公差是d,则色=坷+（〃—l）d.20、通项公式的变形:®an=am+（n-m）d;②角二％-（〃一1）〃；\nan-aA._勺f②兀二丄十+1；⑤d_.dn-m21>若｛q?｝是等差数列，且?n+n=p+q(m>n.p>gwN’)，则耳“+色二州+勺；若｛%｝是等差数列，且2n=p+q5、p、gwNJ,则2d〃二弓+勺.23、等差数列的前斤项和的性质：①若项数为2h(hgn9,则S2ll=n(atl+an+｝)f且c②若项数为2n-l(/?eN*)，则5^=(2^-1)^，且S奇书偶礁”，」=丄(其中冷奇=叫,S偶=(兀-1)陽)•24、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比.25、在d与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列，则G称为a与b的等比中项.若G—ab,则称G为。与〃的等比中项.26、若等比数列｛色｝的首项是吗，公比是g,则afl=a,qn-｛・n—tn—(71—1).a27、通项公式的变形：①色=如；②4=anq丿；③qn~x=玉；④28^若｛色｝是等比数列，且m+n=p+q(m>n.pgwN"),则am-an=ap-aq:若｛%｝是#2等比数列，JL2n=p+5、p、gwN),则Clf1=ap-aq.29、等比数列匕｝的前〃项和的公式:30、等比数列的前斤项和的性质：①若项数为2h(7/gN*),则如=q.\n②Sn+fn=Sn+qn・Sm•③S”，Sg-SjS.,-S2n成等比数列•31、a-b>0<=>a>b；a-b=0<=>a=b；a-b<0<=>a不等式的性质：①a>bobb,b>c=>a>c；③d>b=>a+c>/?+c；®a>b,c>O^ac>bcfa>b,cacb,c>dna+c>Z?+〃；⑥a>b>0,c>d>0me>bd；⑦a>/?>0da">b"(nwN,n>1)；®a>Z?>0=>yfa>\/b（heN,/?>1）.33、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式.34、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：二次函数y=ax2+bx+c(tz>0)的图象冇两个相异实数根一元二次方程ax?+bx+c=O（a>0）的根兀1.2—z?±Va2a有两个相等实数根云没有实数根（K<兀2）一元二次不等式的解集ax2+/zr+c>0(a>0)ax2+/z¥+c<0(a>0)xx[x\xy0,Ax（）+By0+C>0,则点P（占）,％）在直线Ax+By+C=0的上方.②若B>0,Ax0+Bx）+C<0,则点P（x0,y0）在直线Ax+By+C=0的下方.39、在平面直角坐标系中，已知直线Ar+By+C=0.①若B>0,则Ar+By+C>0表示直线Av+Ey+C=0上方的区域；Av+By+C<0表示直线Ax+By+C=0下方的区域.②若B<0,则Ar+By+C>0表示直线Ar+By+C=0下方的区域；Ax+By+C<0表示直线Ar+By+C=0上方的区域.40、线性约束条件：由兀，y的不等式（或方程）组成的不等式组，是兀，y的线性约束条件.目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量兀，y的解析式.线性目标函数：目标函数为兀，y的一次解析式.线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题.可行解：满足线性约束条件的解（x,y）・可行域：所有可行解组成的集合.最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解.41、设b是两个正数，则皿称为正数a、b的算术平均数，屁称为正数b的几何平2均数.42、均值不等式定理：若a〉0,b>0,则a+b>2y[^bf即陌.22>243、常用的基本不等式：（Dcr+b^lab^bER）；②ab<^-^-（a,beR）；44.极值定理：设x、y都为正数，则有2（1）若x+y=$（和为定值），则当x=j时，积兀y取得最大值4⑵若xy=p（积为定值），则当x=y时，和x+y取得最小值2打.\n高中数学常用公式及常用结论1.元素与集合的关系xgAox^C(jA,x^CC!AoA・2.德摩根公式Cfj(AB)=CCuB;Cu(AB)=CVACVB.3.包含关系AB=A<^>AB=BoAyBoCuBuCuA\noACi；B=0AB=R1.容斥原理card(4B)=cardA+cardB一card(AB)card(ABC)=cardA+cardB+cardC一card(AB)—card(AB)—card(BC)一card(CA)+card(ABC).2.集合{%,$,,色}的子集个数共有2"个；真子集有2"-1个；非空子集有2〃-1个；非空的真子集有2”-2个.3.二次函数的解析式的三种形式⑴一般式/(%)=cue+/?x+c(qhO);(1)顶点式/(x)=a(x-h)2+k(a0);(2)零点式f(x)=a(x一兀-兀2)(Q工0).4.解连不等式N[/(x)-N]<0<=>I/(-r)・l>/(x)-NM-N5.方程/(x)=0在&,心)上有且只有一个实根，与/%)/(©)<0不等价，前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地，方程处2+4c+c=0(dH0)有且只有一个实根在伙|,焉)内，等价于/&)/%)<0,或/&)=0且心<—刍<竺乞，或/伙2)=0且斗乞<一刍<他.2a2〜22a6.闭区间上的二次函数的最值二次函数/(兀)二处2+Zzx+c(ghO)在闭区间[pg]上的最值只能在x=~—处及区间的两端2a点处取得，具体如下：⑴当a>0时'若兀=一£e[p9q]t则/(x)min=/(—£),/⑴喻=nm{/(")，/S)}；2a2a兀=-茲纟［卩‘g］，/(X)唤=max{/*(")，/⑷}，/(%=min{/(")，/©)}-(2)当a<0时,若x=-—e[p9q]f则/(x)nin=nin{/(A7(^}，若兀=_需纟[。乩则/(x)nw=max{/(A}‘/(兀)仙=価{于(卩)，馆)}・7.一元二次方程的实根分布依据：若<0,则方程/(X)=0在区间(加/)内至少有一个实根.设/(x)=Xj+/zx+q，则p2-4(y>0(1)方稈/(兀)=0在区问(加,+◎内有根的充要条件为f(m)=0或]卩；>m2/（加）>0fW>0（2）方程/（%）=0在区间（加m）内有根的充要条件为/（m）/（/i）<0或\p2-4q>0或m<-—0”>0p1-4^>0（3）方程f（x）=0在区间（-8/）内有根的充要条件为/（加）vO或］卩0（r为参数）恒成立的充要条件是/（X,/）伽>0（%电L）•⑵在给定区间（-00,4-00）的子区间上含参数的二次不等式/（x,r）>O（f为参数）恒成立的充要条件是/（无叽”50（"厶）.a>0（°（3）f（x）=ax4+b^+c>0恒成立的充要条件是或］:v八\b2-4ac<0c>0J2.真值表Pq非pP或qp且q真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假13•常见结论的否定形式原结论反设词原结论反设词是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有斤个至多有（斤-1）个小于不小于至多有n个至少有（72+1）个对所有兀,成立存在某兀，不成立P或g—'P且rq对任何X,不成立存在某兀，成立p且q-yp或-iQ\n若非P则非q互逆若非q则非P15.充要条件(1)充分条件：若pnq、则〃是q充分条件.(2)必要条件：若qnP，则“是g必要条件.(3)充要条件：若pdq,且qnp,则〃是q充要条件.注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.16.函数的单调性⑴设兀]・兀2H花那么3-吃)[/(丙)一/(召)]>0O/(兀J[/(X2)>oo/(兀)在[a,切上是增函数；3-坨)[/\西)一/\£)]<00/(坷)_/(乞)/⑴在肚切上是减函数.西一尢2(1)设函数y=/(x)在某个区间内可导,如果f\x)>0,则/⑴为增函数；如果f\x)<0,则/(兀)为减函数.17•如果函数/(力和g(Jt)都是减函数，则在公共定义域内，和函数/(x)+g(x)也是减函数;如果函数j=/(况)和u=g(x)在其对应的定义域上都是减函数，则复合函数y=/[g(x)|是增函数.18.奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如杲一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数.19.若函数y=/(x)是偶函数,则f(x4-a)=f(-x-d)；若函数y=/(x+a)是偶函数，则y(x+a)=/(-x4-^).20.对于函数y=/(x)(xe/?),f(x+a)=f(b-x)恒成立，则函数/(x)的对称轴是函数x=¥；两个函数),=f(x+Cl)与y=f(b一x)的图象关于直线x=¥对称.JJ21.若/(x)=-f(-x+a),则函数y=/(x)的图象关于点(彳,0)对称；若(兀)=一/(兀+a),贝I」函数y=)为周期为2a的周期函数.22.多项式函数=++a°的奇偶性多项式函数P(x)是奇函数oP(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零.多项式函数P(x)是偶函数oP(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零.23.函数y=f(x)的图象的对称性⑴函数y=/(X)的图象关于直线x=a对称o/(a+x)=f(a-x)o/(2g—x)=/(x).(2)函数y=/(x)的图象关于直线x=a；对称of(a+nvc)=f(b-mx)<=>f(a+b-mx)-f(nvc).24.两个函数图象的对称性⑴函数y=/(x)与函数y=f(-x)的图象关于直线兀=0(即y轴)对称.(2)函数y=f(nvc-a)与函数y=f(b-nix)的图象关于直线x=^^~对称.2m(3)函数y=/(兀)和y=f~x(x)的图象关于直线y二x对称.25.若将函数y=/(兀)的图象右移上移方个单位，得到函数y=f(x-a)+b的图象；若将\n曲线/(x,y)=0的图象右移上移b个单位，得到曲线f(x-a9y-b)=0的图象.18.互为反函数的两个函数的关系f(d)=bof](b)=a.19.若函数y=fg+b)存在反函数，则其反函数为〉，=丄，并不是ky=[f\kx-^bY而函数y=[f-x(kx+b)My=-[f(x)-b]的反函数.k2&儿个常见的函数方程⑴正比例函数/(%)=ex,f(x+y)=f(x)+/(y),/(l)=c.(2)指数函数/(兀)=ax,/(x+y)=/(x)/(j),/(l)=qh0.(3)对数函数/(X)=log“x,f(xy)=f(x)+f(y\f(a)=1(q>0,dH1).⑷幕函数/(x)=屮,f(xy)=/(x)/(>'),/'(l)=a•(1)余弦函数f(x)=cos兀,正弦函数g(x)=sinx,f(x-y)=f(x)/(y)+g(x)g(y)，/(0)=l,lim^^=l.xtO%29.几个函数方程的周期(约定a>0)(1)/(x)=/(x+a),则/(兀)的周期Tf；(2)f(x)=f(x+a)=0,或f(X+Q)=(/(兀)北0)或f(x+a)=17w(/(兀)主0),或g+Jf(x)-.f2(Q=/(x+tz),(/(x)e[o,l]),则/(x)的周期T二2a；(3)f(x)=1(/(x)H0),则f(x)的周期T=3a；/(x+a)(4)f{xx+%)=/(不)+/(◎1-/(西)/(兀2)且/(0)=1(/(西)・/(兀2)工1,0<1兀]一兀2l<2a),则/(%)的周期T=4a；⑸/⑴+/U+。)+/(兀+2a)f(x+3a)+/(x+4a)=fMf(x^a)/(x+2^z)/(x+3a)/(x+4a),则f(x)的周期T=5a；(2)f(x+a)=f(x)-f(x+a),则f(x)的周期T=6a.30.分数指数幕-1(1)an-.——(67>0,m,neN*,且斤>1).血"-巴1(2)cin=—(6f>0,m,he?/*,且刃〉1).an31.根式的性质(1)(畅”=a・(2)当〃为奇数时，历=a；\n当比为偶数时,a,a>0-a,a<032.有理指数幕的运算性质(1)几/=严@>0,厂,swQ).(2)(ar)s=ars(a>O,r,seQ).(3)(ab)r=arbr(a>0,方>0,厂wQ).注：若a>0,p是一个无理数，则｛表示一个确定的实数.上述有理指数無的运算性质，对于无理数指数幕都适用.33.指数式与对数式的互化式log“N=/?o/=N(a>0,dHl,N>0).34.对数的换底公式logNlogaN=——-—(6?>0,且QH1,加>0,且加Hl,N>0).log〃「an推论log,bn=—\ogab(6f>0,n^7>l,n^\yN>0)・"m35.对数的四则运算法则若a>0,a^l,M>0,N>0,贝I」(l)log“(MN)=log“M+log“N;M⑵loga—=logaM-loga2V;(3)log“Mn=A/log“M(ngR).36.设函数f(x)=log/H(ax2+Z?x+c)(aH0),记△=Z??-4ac.若f(x)的定义域为R,则d>0,且△<();若/(兀)的值域为/?,则a〉0,且A>0.对于a=0的情形，需要单独检验.37.对数换底不等式及其推广若。>0,/?>0,x>0,无工丄，则函数_y=log©(加)a⑴当a>b时，在(0,—)和(—,+00)上y=log^.(/zr)为增函数.aa(2)当am>\，p>0,a〉0，且°工1，贝9(1)logwS+P)vlog〃"/、、i、2m+n(2)log“加log“nl.45.同角三角函数的基本关系式sin26^+cos2&=1,tan",tan0-cotO=1.cos。46.正弦、余弦的诱导公式H(-1)2sincr,几一1(-1)2cosa,sin(—+€/)=<2（n为偶数）（n为奇数）（n为偶数）（n为奇数）cos(—+a)2n(-1)2cosa.〃+i(-1)2sina,47.和角与差角公式\nsin(a±0)=sinacos/3±cosasin0;cos(a±0)=cosacos/3sinasinp;tan(o±0)=壕2±血01tanatan0sin(cr+/?)sin(a-/?)=sin2«-sin2/?(平方正弦公式);cos(cr+0)cos(a-/?)=cos2cr-sin2/?・dsina+bcosQ=Jo2sin(a+0)(辅助角/所在象限由点(aQ的象限决宀b、定,tan^=—)・a48.二倍角公式sin2a=sin&cosa・cos2a=cos67-sina=2cos「q-1=l-2sirra・宀2tanatan2a=；—.1-tanker49.三倍角公式sin30=3sin^-4sin30—4sin0sin(—-0)sin(—+0).tan30-3tan^-tan31-3tan20cos3&=4cos3&一3cos0=4cos0cos(—-&)cos(—+&).TTTTtan0tan(y一&)tan(—十0).50.三角函数的周期公式函数y=sin(or+0),x^R及函数y=cos(69X4-(p),xWR(A,3,卩为常数，且AHO,3>0)9777T的周期丁=—；函数y=tan(69X+^),k7r+—,keZ(A,o,cp为常数，且AHO,o>o)的(i)271周期T=-.co51.正弦定理亠丄二亠皿sinAsinBsinC52.余弦定理a2=b2+c2一2Z?ccosA;b2=c2+a2一2cacosB;c2=a2一2dbcosC.53.面积定理(1)S=—aha——bhb——chc(ha>%、.分别表示a、b、c边上的咼).(2)S=—absinC=—bcsinA=—casinB.222(3)=I^\OA\^\OB\)2-(OAOB)2.54.三角形内角和定理在ZXABC屮，有A+B+C=7roC=7r—(A+B)C7tA+B—cz4o—=o2C=2/r—2(A+B)・22255.简单的三角方程的通解sinx=a<^x=k7i+(~1)Aarcsina(kgZJa\<1).cosx=ax=2k7r±arccosei(kwZ」a|<1)\n・tanx=a^>x=k7i+arctana(kwZ卫wR)・特别地，有sina=sin卩<^a=k7v+(-1/f3(kgZ).cosa=cos[3u>a=2k7T土卩(kwZ).tana=tan0=>a=炽+0伙gZ).48.最简单的三角不等式及其解集sinx>a(\a|W1)oxe(2k7r+arcsina,2kzr+兀一arcsina),keZ.sinxa(\a\a(ag/?)=>xg(kn+arctana.kn+—),keZ.271tanxxg(kji,k兀+arctana)、kwZ.249.实数与向量的积的运算律设入、u为实数，那么(1)结合律：A(ua)=(Xu)a;(2)第一分配律：(X+P)a=Xa+pa;(3)第二分配律：X(a+b)=Xa+Xb.50.向量的数量积的运算律：(1)a•b=b•a(交换律)；(2)(2a)・b二2(a•b)=Aa・b二$・(2b);(3)(a+b)•c=a•c+b•c・51.平面向量基本定理如果e】、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数入1、入2,使得a二入ie)+X，e2.不共线的向量3、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.52.向量平彳亍的坐标表示设a二3，yJ,b二(兀2，歹2)，且bHO,则ab(b^0)<=>x{y2-x2y}=0・53.日与b的数量积(或内积)a9b=\a\b|cos0.53.a•b的儿何意义数量积a•b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投彫|b|cos9的乘积.54.平面向量的坐标运算⑴设a=(x1,yl),b=(x2,y2),则a+b二(兀]+%2，刃+%)•(2)设a=(兀1,开),b二(x2,y2),则a-b=(西一花,％-％)・(3)设A(X),,B(吃,％)，则AB=OB-OA=(x2一西,％-牙)・(4)设a=(兀,y),九wR,则2a二(加,Ay).(5)设a二3，yJ,b二也，％)，则a・b=(A：lx2+^>\).55.两向量的夹角公式cos0=-=^-^=(干3，yJ,b二也,％))・侶+井•屈+64.平面两点间的距离公式dAB=\AB\=jABAB=伙兀2-兀1)2+(%-必)2(A(X],yJ，B(x2,y2)).65.向量的平行与垂直设a=(x1,y1),b=(x2,>,2),且bHO,则A||b<^>b=XaOX】％_花刃=0.a丄b(aHO)・b=0oX]召+刃％=。・\n65.线段的定比分公式设片3，y),£(兀2，儿)，P(S)是线段片马的分点，2是实数，且P.P=^PP2,则<=>0P=oop=/o片+(i_°o&(心—!—).1+几66.三角形的重心坐标公式△ABC三个顶点的坐标分别为A(X],yJ、B(x2,y2)C(x3,y3),MAABC的重心的坐标是x,+x2+x3)}+%+%)3367.点的平移公式x=x+h\x=x-h.,-.o*，oOP=OP+PPy=y+k卜=y注：图形E上的任意一点P(x,y)在平移后图形F上的对应点为P(x,y),HPP的坐标为(/?,£).68.“按向量平移”的儿个结论(1)点P(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到点P(x+方,y+k).(2)函数y=f(x)的图象C按向量a=(h,k)平移后得到图象C',则C'的函数解析式为y=f(x-h)+k.(3)图象C'按向量护(h,k)平移后得到图象C,若C的解析式y=/(x),则C•的函数解析式为y=f(x+h)-k.(4)曲线C:f(x,y)=O按向量a二(h,k)平移后得到图象C',则C的方程为fgh严炉.(5)向量m=(x,y)按向量a二(h,k)平移后得到的向量仍然为m=(x,y).69.三角形五“心”向量形式的充要条件设0为\ABC所在平面上一点，角A,5C所对边长分别为ci,b,c,则(1)0为AABC的外心oOA=OB~=OC.(2)0为AABC的重心oOA+OB+OC=Q.(3)0为\ABC的垂心oOAOB=OBOC=OCOA.\n(1)0为AABC的内心Od0A+/?0B+c0C=0・(2)0为\ABC的上4的旁心^aOA=hOB^cOC・65.常用不等式：(1)Q0W/?=>，+，二2“(当且仅当a=b时取“二”号).(2)a,bwR~出■、而(当且仅当a=b时取“二”号).2(3)ci3+戻+c3>3cibc@>0,b>0,c>0).(4)柯西不等式(a2+Z?2)(c2加冗a、b、c,dgR.(5)|6z|—|Z?|0(或<0)(tz^0,A=Z?2-4dc>0),如果a与ctx2+Z?x+c同号，则其解集在两根之外；如果d与a?+加+c异号,则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.X,召0(兀一兀］)(兀一兀2)>()(西-«<%<«.ax1>crx>a或xv—a.75.无理不等式fM>0(1)>Jg(x)og(x)(2)>g(x)7«>oo[g(x)]2fM>0g(x)vOfM>0J/(X>vg(x)o0y(x)l时,af(x)>a8(x)o/(x)>g(x);\n7U)>0log“/(x)>log“g(x)o«g(x)>0./(x)>g(x)(1)当0vac1时，af{x}>a^x}u>/(x)olog“/(X)>log“g(x)ogCr)〉0fM+C2=0,人4+3］32h0)・TT直线厶丄厶时，直线与b的夹角是-280.厶到厶的角公式(l)tana=伦_代1+也(A：y=/x+b］,l2:y=k2x+b2ykxk2^-1)\nA5—AB〕(2)tana-——.A+B]Br(/,:Ax+Bj+C|=0,4：4兀+32丁+°2=0,A4+B|B?HO).直线厶丄厶时，直线厶到?2的角是彳・76.四种常用直线系方程（1）定点直线系方程：经过定点£（兀,％）的直线系方程为y-yQ=Kx-xJ（除直线x=x0）,其中R是待定的系数；经过定点晒，％）的直线系方程为A（x-xo）+B（y-yo）=Of其中是待定的系数.（2）共点直线系方程：经过两直线厶：人兀+Bj+G=0,/2：Ax+B2y+C2=0的交点的直线系方程为（Alx+Bly+Cl）+A（A2x+B2y+C2）=0（除厶），其中入是待定的系数.（3）平行直线系方程：直线y=kx+b屮当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程.与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是心+心+2=0（兄工0）,入是参变量.（4）垂直直线系方程：与直线Ar+By+C=O（AHO,BHO）垂直的直线系方程是Bx-Ay+A=O,入是参变量.77.点到直线的距离〃=|Ar+3儿竺（点戶（勺,儿）,直线/：Ax+3y+C=0）.V/42+B278.Ax^By+C>0或<0所表示的平面区域设直线/:Ar+Qy+C=O,则Av+By+C>0或<0所表示的平面区域是：若〃工0,当B与Ar+Qy+C同号时，表示直线/的上方的区域；当B与Ar+By+C异号时,表示直线/的下方的区域.简言之，同号在上，异号在下.若B=0,当A与Ar+Qy+C同号时，表示直线/的右方的区域；当A与Ar+By+C异号时,表示直线/的左方的区域.简言之，同号在右，异号在左.79.（V+Bly+Q）（A2x-^B2y+C2）>0或<0所表示的平面区域设曲线C:（Aix+B］y^Q）（A2x+B2y+C2）=O（人心㊁场北。），则（Ax+qy+CJG^x+^y+C?）〉0或<0所表示的平面区域是：GVr+qy+CJG^x+^y+C?）〉0所表示的平面区域上下两部分；（Aix+Bly^Cl）（A2x^B2y^C2）<0所表示的平面区域上下两部分.80.圆的四种方程(1)圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2.(2)圆的一般方程x2+y2+Z^+£^+F=O(D2+E2-4F>0).(3)圆的参数方程（4）圆的直径式方程（x—舛）（x—召）+（丁一刃）（歹一刃）=0（圆的直径的端点是AO】」）、fi（x2,y2））.87.圆系方程⑴过点4（兀］,必），B（x2,y2）的圆系方程是（兀一无|）（无一兀2）+（歹一必）（丿一丿2）+刀（无一舛）（刃一夕2）一（丿一必）（州一无2）］=（）«>（x-Xj）（x-a：2）+（y-y］）（y-y2）+A（6tr+/?y+c）=0,其中ax^-by+c=0是直线AB的方程,入是待定的系数.（2）过直线/:At+B>+C=0与圆C:x2+y2^Dx+Ey+F=O的交点的圆系方程是\n兀2+歹2+血+巧，+尸+；1(如；+0》，+0=0,入是待定的系数.(3)过圆C]:兀-+)，+2)]兀+Ey+斥=0与圆C?:x~+y2+D^x-\-耳y+鬥=0的交点的圆系方程是x~+y~4-D}x+厶y+片+A(x~+y24-D、x4-E^y+坊)=0,入是待定的系数.8&点与圆的位置关系「~「点P(x(),y())与圆(x-a)2+(y-/?)2=厂2的位置关系有三种若d=J(d—兀°)?+(〃一丁0)2，贝gJ>r<=>点、P在圆夕卜；d=ro点P在圆上；点P在圆内.89.直线与圆的位置关系直线Ax^By^C=0与圆(兀一a)?+(y-仞$=r2的位置关系有三种：〃>厂O相离o△V();J=r<=>相切u>△=0;d<厂0相交0/\>0.\Aa+劭+C其屮d=7a2+B290.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为Oi,。2,半径分别为□,1*2,\0^02\=d〃>斤+勺0外离o4条公切线；〃=斤+Eo外切o3条公切线；斤一引<〃<斤+存<=>相交u>2条公切线；d=\r}-r2\0内切ol条公切线；03；+Q+刃+F=0表示过两个切点的切点弦方程.②过圆外一点的切线方程可设为y-y0=/c(x-x0)f再利用相切条件求k,这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线.③斜率为k的切线方程可设为y=kx+b，再利用相切条件求b,必有两条切线.(2)已知圆%2+y2=r2・①过圆上的^)(x0,y0)点的切线方程为xox+yoy=r2;②斜率为k的圆的切线方程为y=kx±N\+k2.{x=acos0[y=hsin02292.椭圆刍+与=1(0〉b〉0)的参数方程是crtr2293.椭圆二+爲二l(d〉b〉0)焦半径公式crtr\n\PF}\=e(x+94.椭圆的的内外部2222(1)点P(x0,y0)在椭圆刍+養=1(。">0)的内部o电+专><1.crcrtr2222(2)点P(x0,y0)在椭圆刍+召二l(d〉b〉O)的外部o第+啓〉1.crcrtr95.椭圆的切线方程22(1)椭圆2+・=l(d>b〉0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是辱+学=1.crItatr22(2)过椭圆二+占=1@>方>0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是crb_兀。兀亠y()ya2b222(3)椭圆二+£=l(d〉b〉O)与直线Ax+By+C=0相切的条件是ficcr+B2b2=c2.cr2296.双曲线二一务=1(。>0,b〉0)的焦半径公式cr/r22\PF}\=\e(x+—)\,\PF.\=\e(--x)\.cc97.双曲线的内外部2222⑴点P(x(),)在双曲线—厶~=\(ci>0,Z?>0)的内部<=>—y—>1•cr/rcrZr2222(1)点P(x0,y0)在双曲线一^—厶■=1(g>0,Z?>0)的夕卜部o—<1•a~b~a~b~98.双曲线的方程与渐近线方程的关系2222(1)若双曲线方程为二一匚=1=>渐近线方程：二―.=0oy=±-x・a2b2a2b2-a22(2)若渐近线方程为尸±的。兰±f=0n双曲线可设为亠——=九.aabXtrX2y2X2y2⑶若双曲线与二——=1有公共渐近线，可设为二—一=九(九〉0,焦点在x轴±,Z<0,crtratr焦点在y轴上)•99.双曲线的切线方程22(1)双曲线=1(。〉0,"〉0)上一点P(尢0,)'o)处的切线方程是~^r一；；=1・22(2)过双曲线二-■=l(a〉0,b〉0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是aV_2o2=i9.2—丄.cr22(3)双曲线二—芈=1(°〉0/>0)与直线Ar+By+C=0相切的条件是A2^2-B2b2=c2.crb~'100.抛物线/=2px的焦半径公式抛物线y2=2px(p>0)焦半径|CF|=兀+必•过焦点眩长|C£>|=旺+彳+兀2+彳=X]+兀2+“.2\n94.抛物线y~-2px上的动点可设为P(?|—乂)或P(2pt2,2pt)或P(x,y),其中=2px•ya>295.二次函数y=ax2+bx+c=a(x+—)2+—(ghO)的图象是抛物线：(1)顶点坐标2a4a“/b4ac-b2.“、八/b4ac-b2+1“、、—仆口4购一戻一1为(——,)；(2)焦点的坐标为(——,)；(3)准线方程是y=.2a4a2a4a'4a96.抛物线的内外部⑴点P(x0,y0)在抛物线y2=2px(p>0)的内部oy?<2/x(°>0).点P(x0,y0)在抛物线y1=2px{p>0)的外部oy2>2px(p>0).(2)点P(x°,%)在抛物线y2=-2px(p〉())的内部o才v-2px(p>0).点P(x0,y0)在抛物线y2=-2px(p>0)的外部oy2>-2px(p>0).(3)点P(x0,y0)在抛物线+=2py(p>0)的内部oF<2“y(#>()).点P(x0,^0)在抛物线F=2py(p>0)的外部u>兀2>2py(p>())・(4)点P(x0,^0)在抛物线兀2=2py(p>0)的内部ox?<2py(p>0).点P(x0,A。)在抛物线x2=-2py(p>0)的外部oF>~2py(p>0).97.抛物线的切线方程(1)抛物线y2=2/zr上一点POo，%)处的切线方程是yoy=p(x+x0).(2)过抛物线y2=2px外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是yoy=p(x+xo).(3)抛物线y2=2px(p>0)与直线Ar+By+C=0相切的条件是pB1=2AC.98.两个常见的曲线系方程⑴过曲线/；(兀,刃=0,f2(x,y)=0的交点的曲线系方程是>1(x9y)+Af2(x,>')=0(2为参数).22(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程+=1,其中kmin{tz2,Z?2}时,表示椭圆;当min{tz2,^2}0,q为直线的F(x,y)=0倾斜角，k为直线的斜率).100.圆锥曲线的两类对称问题(1)曲线F(x,y)=0关于点P(x0,%)成中心对称的曲线是尸(2兀。■兀,2%-y)=Q.(2)曲线F(x,y)=0关于直线Ar+By+C=0成轴对称的曲线是一2A(Ax+By+C)2B(Ar+By+C)、八F(x―——-,y~=3——-)=0.A2+B2a2+b210&“四线”一方程对于一般的二次曲线Ax1^Bxy+Cy+Dx+Ey+F^G,用兀。兀代扌，用代尸，用\n址严代厂，用冲代兀，用冲代护卩得方程2*22Ar（/+B•如土％+Cy（）y+D•汕竺+E•如空+尸=0,曲线的切线，切点眩，中点弦，眩中222点方程均是此方程得到.109.证明直线与直线的平行的思考途径（1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行.110.证明直线与平面的平行的思考途径（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行.111•证明平面与平面平行的思考途径（1）转化为判定二平面无公共点；（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直.112.证明直线与直线的垂直的思考途径（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直；（4）转化为线与形成射影的斜线垂直.113•证明直线与平面垂直的思考途径（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.114.证明平面与平面的垂直的思考途径（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直.115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律（1）加法交换律：a+b二b+a.（2）加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c）.（3）数乘分配律：入（a+b）二Xa+入b.116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量.117.共线向量定理对空间任意两个向量a、b（bHO）,a〃bu>存在实数入使a=Xb.P、A、B三点共线AP\\ABAP=tAB<=>OP=（l-t）OA-^-tOB.AB||CDoAB、CD共线且力B、CD不共线oAB=tCD且AB、CD不共线.11&共面向量定理向量p与两个不共线的向量a>b共面的u>存在实数対兀,y,使p=ax+by.\n推论空间一点P位于平面MAB内的o存在有序实数对兀,y，使MP=xMA+yMB,或对空间任一定点0,有序实数对x,y,使=OM^xMA+yMB.119.对空间任一点O和不共线的三点A、B、C,满足OP=xOA+yOB+zOCCx-^-y+z=k\则当£=1时，对于空间任一点0,总有P、A、B、C四点共面；当£工1时，若Ow平面ABC,则P、A、B、C四点共面；若平面ABC,则P、A、B、C四点不共面.A、B、C、D四点共而oAP与AB、4C共面=+OD=（1-%-y）OA+xOB^yOC（O纟平面ABC）.120.空间向量基本定理如果三个向量a、b、c不共面，那么对空I'可任一向量p,存在一个唯一的有序实数组x,y,z,使p=xa+yb+zc.推论设0、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P,都存在唯一的三个有序实数x,y,z,使OP=xOA4-yOB+zOC.121.射影公式已知向^AB=a和轴/,e是/上与/同方向的单位向量•作A点在/上的射影A,作B点在/上的射影B',则AB=\AB|coscos2+cos2ft+cos203=1osin?0x+sin202+sin2仇=2.（立体几何中衣方体对角线长的公式匾其特例）.~'141.面积射影定理COS0（平面多边形及其射影的而积分别是S、S',它们所在平面所成锐二面角的为&）・142.斜棱柱的直截面已知斜棱柱的侧棱长是1,侧面积和体积分别是S斜棱柱侧和岭册上，它的直截面的周长和面积分别是q和S「则①s斜棱柱侧f②喀棱柱=s/.143.作截面的依据三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行.144.棱锥的平行截而的性质如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比.145.欧拉定理（欧拉公式）V+F-E=2（简单多而体的顶点数V、棱数E和面数F）.（1）E二各面多边形边数和的一半.特别地，若每个面的边数为n的多边形，则面数F与棱数E的关系：E=-nF；2（2）若每个顶点引出的棱数为加，则顶点数V与棱数E的关系：E=^-mV.2146.球的半径是R,则4其体积V=-7rR\3其表面积S=4/rR2.\n147.球的组合体(1)球与长方体的组合体：长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.(2)球与正方体的组合体：正方体的内切球的直径是正方体的棱长，正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长，正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.(3)球与正四面体的组合体：棱长为Q的正四面体的内切球的半径为—a,外接球的半径为—a.124148.柱体、锥体的体积V柱体=hh(S是柱体的底面积、力是柱体的高).瞬体(S是锥体的底面积、力是锥体的高).149.分类计数原理(加法原理)N=甲+加2++mn・150.分步计数原理(乘法原理)N=x卑厂151.排列数公式J2!=n(n—1)•••(h-m+1)=——•(/?,加(n一加)！注：规定0!=1.152.排列恒等式(1)A；：=伍_冲+1)曙；⑵聲=——鹉;n一m⑶聲=阴;⑷m；w；⑸僞=&：+呐「(1)1!+2・2!+3・3!++比•加=(n+l)!—1.153.组合数公式tnwN,且mm+1时，无解；当nk(keN\20(/=1,2,);(2)人+鬥+=1.165.数学期望砖二兀£+{£++兀尤+166.数学期望的性质(1)E(硝+b)=aE(g)+b.(2)若g〜B®,p),则ERp.(3)若歹服从几何分布，且P^=k)=g(k9p)=qk~lp,则Eg丄P167.方差Dg=(%!-Eg)2•P\+(兀2-砖)2•“2++(兀-Eg)，•Pn+168.标准差169.方差的性质⑴D(磅+/?)=/砖；(2)若g〜B(n,p),则=np(l-p).⑶若歹服从几何分布，且P^=k)=g(k.p)=qk-Xp,则Dg=2P170.方差与期望的关系171.正态分布密度函数](pF式中的实数口，cr9>0)是参数，分别表示个体的f(^x)=-j=^e26?，兀w(—oo,+8),平均数与标准差.172.标准正态分布密度函数/(x)=-^=^e2,兀w(-00,+oo).173.对于M/AO-2),取值小于x的概率F(x)=O/、X-JU(J\nP(X}))‘b=£(兀-无)2/=1a=y-bx；=1为Xf2-72X2心】179.相关系数£（兀-元）（y厂刃In川\£（兀厂才£（兀-刃2V?=1/=!kiwi,且|r|越接近于1,180.特殊数列的极限了0乞（兀-元）（x-刃1=1（£时一辰2）（£开2一穷2）/=!/=!相关稈度越大:|r|越接近于0,相关程度越小.(1)lim/=舁T8不存在1^1<1q—1|9|<1或9=一1(kf)S=lim讥)=且-(S无穷等比喽"T8\-q\-q181.函数的极限定理limf(x)=au>limf(x)=limf(x)=a.XT旳"一>勺_2182.函数的夹逼性定理如果函数f(x),g(x),h(x)在点X。的附近满足：⑴g(x)x0x—>x0则lim/(x)=a..Du本定理对于单侧极限和兀Too的情况仍然成立.183.几个常用极限(1)lim—=0,"TOC(3)7?-1(2)limx=xGliman=0(|<7|<1)；HT8r11lim—=—.XX()184.两个重要的极限\nsinx(1)lim=1；/■、兀e(e=2.718281845-).(2)lim1+—兀丿185.函数极限的四则运算法则若limf(x)=a,limg(Q=b,则(l)lim[/(x)±g(x)]=a±Z?；⑵lim[/(x)-g(x)]=tz-/?;(3)lim/W=—(Z?^0).x-Mog(x)b186.数列极限的四则运算法则若liman-a.limbn=bf贝!|?：—>00XT8(\)hm(an±bf}=a±b；n->oo、⑵hm(an-b}=a-b；〃一>8\・XT8⑶lim^=-(b^O}"xbnb')(4)lim(c・qJ=lime-lim=c・a(c是常数)./I—\/|->O0"一>00187./(x)在无()处的导数(或变化率或微商)188.瞬时速度恤0=］曲如空匕如.AyAx讥、rAsr$(/+△『)一$(/)u=s(t)=lim—=lim———•△/tOArAr->0Ar189.瞬吋加速度-、vAvv(z+Ar)-v(Z)a=v(t)=lim——=lim.△/t()△/Ar->()△/190./(x)在(a,历的导数=/=^=<=lim^=limdxdx山r°Ar山~>oAr191.函数y=/(兀)在点竝处的导数的几何意义函数y=/(x)在点如处的导数是曲线y=/(兀)在P(x0,/U0))处的切线的斜率/'(兀())，相应的切线方程是y-y()=/'(兀)0-兀)・192.几种常见函数的导数(1)Cf=0(C为常数).(2)(xn)=nxn~l(neQ).(3)(sinx)r=cos%.(4)(cosx/=-sinx.(5)(InxY=-；OogaxY=-log/.\n(1)(exy=ex;(axy=ax\na.\n193.导数的运算法则(1)±V)=U±V.1f1(2)(wv)=wv+wv•uv-uv(心0)194.复合函数的求导法则设函数M=（p（x）在点X处有导数=（P（X）,函数y=/（«）在点工处的对应点u处有导数yu=/（w），则复合函数y=j^（p（X在点x处有导数，且儿=x；i，或写作194.常用的近似计算公式（当|x|充小时）(1)J1+XU1+—X；V1+x«1+—X;2n(2)(1+兀)°u1+ax{aeR)；—-—«1-%；1+x⑶Hu1+兀；(1)厶(1+兀)«x；(2)sinx«x(兀为弧度)；(3)tanx«x(兀为弧度)；(4)aictanx«x(兀为弧度)195.判别/(忑)是极大(小)值的方法当函数/(x)在点兀处连续时,(1)如果在勺附近的左侧f(x)>0,右侧f\x)<0,则/(勺)是极大值;(2)如果在兀附近的左侧f(x)<0,右侧f\x)>0,则/(如)是极小值.196.复数的相等a+bi=c+diu>a=c,b=d.(a.b.c.dgR)197.复数z=a+bi的模(或绝对值)Iz\=\a-^-bi\=\la2+b2.198.复数的四则运算法则(1)(a+bi)+(c+di)=(d+c)+(/?+〃),；(2)(a+bi)一(c+di)=(d—c)+(Z?-d)i;(3)(°+bi)(c十di)=(ac一bd)+(be十ad)i;(4)(a+bi)4-(c+di)=ac+bdbe-adc1+d2*c2+d2199.复数的乘法的运算律对于任何zpz2,z3eC,有交换律:Zj•z2=z2•z,.结合律：(zl-z2)-z3=Z[-(z2-z3).分配律:Zj・（Z2+%）=可・Z2+Zl-Z3・200.复平面上的两点间的距离公式d=\z{-z21=丁（兀2—兀[）2+（力一〉i）2（Z]=西+yxi,z2=x2+y2i）.201.向量的垂直非零复数Z严a+bi,z2=c+di对应的向量分别是OZ2,则\nOZ]丄OZ"o£・z，的实部为零o玉为纯虚数O|Z]+zj2Wz』+|Z2|2~■可U>|Zj-z212=|Zj|2+1z212oIZ[+Z21=1zt-z21oac+bd=00z〕=Aiz2(入为非零实数).194.实系数一元二次方程的解实系数一元二次方程or?+/zr+C=0,①若A=Z?2-4ac>0,贝ij兀］卫=-b±\lb2-4ac■•2a②若△=戻一4gc=0,则兀|=无=一-—;-2a③若4心0,它在实数集/?内没有实数根；在复数集C内有且仅有两个共轨复数根-b±^b2-4ac)i4ac2a高中数学高考知识练习1.对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。如:集合A={x|y=lgx},B={y|y=lgx},C={(x,y)|y=lgx},A、B、C中元素各表示什么？2.进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集0的特殊情况。注重借助于数轴和文氏图解集合问题。空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。如:集合A=|x|x2-2x-3=0|,B={x|ax=1}若BuA,则实数a的值构成的集合为\n•*（答：1-1,（）,丄b31.注意下列性质：（1）集合{纳，a2,……,aj的所有子集的个数是2J（3）德摩根定律：Cu（AUB）=（CuA）n（CuB）,Cu（AAB）=（CuA）U（CuB）2.你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）的取值范围。3.可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”（v）,“且”（△）和“非”（「）.若p/\q为真，当且仅当p、q均为真若p\/q为真，当且仅当p、q至少有_个为真若Jp为真，当且仅当p为假4.命题的四种形式及其相互关系是什么？（互为逆否关系的命题是等价命题。）原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。5.对映射的概念了解吗？映射f：A-B,是否注意到A中元素的任意性和B中与Z对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。）6.函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？\n(定义域、对应法则、值域)1.求函数的定义域有哪些常见类型？2.如何求复合函数的定义域？如：函数f(x)的定义域是[a,b],b>-a>0,则函数F(x)=f(x)+f(-x)的定义域是(答：[a,-a])3.求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗?4.反函数存在的条件是什么？(一一对应函数)求反函数的步骤掌握了吗？(①反解x；②互换x、y；③注明定义域)如：求函数f(x)=<6®>-l)(xvO)13.反函数的性质有哪些？①互为反函数的图象关于直线y=x对称;②保存了原来函数的单调性、奇函数性；14.如何用定义证明函数的单调性?(取值、作差、判正负)\n如何判断复合断数的单调性？・・・……)14.如何利用导数判断函数的单调性？(在个别点上导数等于在区间(a,b)内，若总有F(x)XO则f(x)为增函数。零，不影响函数的单调性)，反之也对，若f(x)<()ng?值是()A.OB.1C.2D.3由已知f(x)在［1,+00)上为增函数，则^|<1,即a<3・・・a的最大值为3)15.函数/U)具有奇偶性的必耍(非充分)条件是什么？(f(x)定义域关于原点对称)若f(-x)=-f(x)总成立of(x)为奇函数O函数图象关于原点对称若f(-x)=f(x)总成立of(x)为偶函数o函数图象关于y轴对称\n注意如下结论：(1)在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。\n17•你熟悉周期两数的定义吗?函数，T是一个周期。)如:18.你掌握常用的图象变换了吗？f(x)与f(-x)的图彖关于y轴对称f(x)与-f(x)的图象关于x轴对称f(x)与-f(-x)的图象关于原点对称f(x)与f"(x)的图彖关于直线y=x对称f(x)与f(2a-x)的图象关于直线x=a对称f(x)与一f(2a-x)的图象关于点(a,0)对称\n将y=f(x)图象左移垃>0)个单位>尸f°右移a(a>0)个单位y=f(x-a)上移b(b>0)个单位丁y=f(x+a)+b下移b(b>0)个单位y=f(x+a)-b注意如下“翻折”变换：18.你熟练裳握常用函数的图彖和性质了吗?(1)一次函数：y=kx+b(kH0)(2)反比例函数：y=-(k0)推广为y=b+——(kHO)是中心O'(a,b)的双曲线。(3)二次函数『=&火2+bx+c(aH())=a(x+£~)图象为抛物线\n应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系一一二次方程②求闭区间［m,n］上的最值。③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。④一元二次方程根的分布问题。A＞0如：二次方程ax2+bx+c=0的两根都大于＞k2af（k）＞0市图象记性质!（注意底数的限定！）\n(6)“对勾函数”y=x+-(k>0)X利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？20.你在基本运算上常出现错误吗?Mloga—=logaM-logaN,]ogaVK4=-]ogaM21.如何解抽象函数问题？(赋值法、结构变换法)\n(2)xwR,f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y),证明f(x)是偶函数。21.掌握求函数值域的常用方法了吗？（二次函数法（配方法），反函数法，换元法，均值定理法，判别式法，利用函数单调性法，导数法等。）如求下列函数的最值：22.你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为ci,半径为R的弧长公式和扇形面积公式吗?23.熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义\n又如：求函数y=J1-血cos(^_x)的定义域和值域。(T1一V2cos中-x))=1-V2sinx>0/.sinx<,如图：225.你能迅速画出正弦.余弦、止切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、对称点.对称轴吗?y=sinx的增区间为2k兀一匹，2k7i+—(keZ)减区间为「2k7t+Z,2kK+—l(keZ).22」'丿图象的对称点为(k?i,0),对称轴为x=kK+^(keZ)y=cosx的增区间为［2k7c,2kn+兀］(keZ)减区间为［2kK+7i,2k;u+2tc］(keZ)图象的对称点为k7i+¥，o］,对称轴为x=kiu(keZ)\ny=tanx的增区间为|kiu-—,kir+—keZI22丿25.正弦型函数y=Asin(cox+2ab(a,bgR')；a+b>2Vab；ab0,42-3x——的最大值为x当且仅当3x=—,又x>0,.•.x=N^时，『］叶=2-4侖）x3(72x+22y>272x+2y=2a/2?,・••最小值为2血)26.不等式证明的基本方法都掌握了吗？(比较法、分析法、综合法、数学归纳法等)并注意简单放缩法的应用。\n25.解分式不等式空〉a（a工0）的一般步骤是什么？g（x）（移项通分，分子分母因式分解，X的系数变为1,穿轴法解得结果。）26.用“穿轴法”解高次不等式一一“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始27.解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论28.对含有两个绝对值的不等式如何去解？（找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。）例如：解不等式|x-3|-|x+l|vl（解集为｛x|x>*｝）29.会用不等式|a|-|b|<|a±b|<|a|+lb|证明较简单的不等问题如：设f(x)=x2-x+13,实数a满足|x—a|vl证明:(按不等号方向放缩)30.不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？(可转化为最值问题，或“△”问题)如I：af(x)恒成立oa>f(x)的最大值a>f(x)能成立on>f(x)的最小值例如：对于一切实数x,若廉-3|+用+2|>打亘成立，贝蚣的取值范围是(设u=|x-3+|x+B，它表示数轴上到两定点-2和3距离之和\n25.等差数列的定义与性质定义：a”]-a“(d为常数)，a.=a〕+(n_l)d等差中项：x,A,y成等差数列o2A=x+y前n项和S/色旦匚呵+心dn212性质：｛a“｝是等差数列(2)数列{a2n_.},{a2n},{kan4-b}仍为等差数列;(1)若三个数成等差数列，可设为a-d,a,a+d；(2)若％,5是等差数列Sn，Tn为前n项和，则仏二沁；叽T2m-1(3)｛an｝为等差数列oSn=an2-f-bn(a,b为常数，是关于n的常数项为()的二次函数)S,、的最值可求二次函^Sn=an2+bn的最值；或者求出｛%｝中的正、负分界项，即：\na>0当％>0,d<0,解不等式组”一c可得S.达到最大值时的n值。a<0当a】v（）,d>0,由n八可得S“达到最小值时的口值。囤山>0如：等差数列（an},Sn=18,an+an_j+an_2=3,S3=1,则n=25.等比数列的定义与性质等比屮项：x、G、y成等比数列=>G，=xy,或3=±&^na,（q=1）前n项和：Sn=Ja,（l-qn）（要注意!）—;（q工1）[1-q性质：何}是等比数列（2）Sn，S2n-sn,S3n-S2n……仍为等比数列45.rflS“求a」寸应注意什么？（n=l时，a|=S],nh2时，an=Sn-Sn_j）46.你熟悉求数列通项公式的常用方法吗?例如：（1）求差（商）法\n如:{%}满足*站+^a2++—an=2n+5<1>\n解:11—a1+21222+匕叫i=2n-l+52口-1n-l<2>［练习］数列｛aj满足sn+Srl+1=|an+H4=4,求a“(注意到％严S^-Sn代入得：響=4又S|=4,・・・｛Sn｝是等比数列，Sn=422时，an=sn-sn_1=……=3-40-1(2)叠乘法例如：数列仏｝中，a［=3,虫旦=—!】—，求a“ann+1解:(3)等差型递推公式由an_an-l=f(n)»ai=a0»求％，用迭加I法n>2时,a2-a(=f(2)a3_a2=f⑶•两边相加，得：an-an-l=f(n).［练习］数列{an},a(=1,an=3n_,+an_j(n>2),求a.\n(3)等比型递推公式=ca“_］+d(c、d为常数，chO,chI,clh0)可转化为等比数列，设J+x=c(an_,+x)d3一1»是首项为％+d,c为公比的等比数列c-1［练习］数列｛%｝满足纠=9,3an+I+an=4,求知(5)倒数法°2例如：a,=1,an+1=—,求％an+2由已知得：丄=鱼匸!2=丄+丄an+l2an2an计为等差数列，±=L公差吋46.你熟悉求数列前n项和的常用方法吗?\n例如：(1)裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。n1如：他｝是公差为d的等差数列，求k=lakak+l解：［练习］求和：1H!1!1-H1+21+2+31+2+3++n(2)错位相减法：若｛%｝为等差数列，｛"｝为等比数列，求数列｛anbn｝(差比数列)前n项和，可由Sn—qSn求Sn，其中q为｛*｝的公比。(3)倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。Sj,=%+©+…S„=an+an_!+［相加・・+a2+aJ\n［练习］（由3+右）卡(丄)1+X2+1+X2f⑶+f・•・原式二f(l)+f(2)+f(*)++f⑷+f®46.你知道储蓄、贷款问题吗？△零存整取储蓄（单利）本利和计算模型：若每期存入本金P元，每期利率为I*,n期后，本利和为:△若按复利，如贷款问题一一按揭贷款的每期还款计算模型（按揭贷款一一分期等额归还本息的借款种类）若贷款（向银行借款）p元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期（如一年）后为第一次还款日，如此下去，第n次还清。如果每期利率为I•（按复利），那么每期应还x元，满足p一一贷款数，r—一利率，n—一还款期数47.解排列、组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。（为各类办法中的方法数）分步计数原理：N=rri]•叫叫\n（iTij为各步骤屮的方法数）（2）排列：从n个不同元素屮，任取m（mWn）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元索屮取出m个元索的一个排列，所有排列的个数记为A：.（3）组合：从n个不同元素中任取m（mWn）个元素并组成一组，叫做从n个不规定：U=1（4）组合数性质：46.解排列与组合问题的规律是：相邻问题捆绑法；相间隔问题插空法；定位问题优先法；多元问题分类法；至多至少问题间接法；相同元素分组可采用隔板法，数量不大时可以逐一排出结果。如：学号为1,2,3,4的卩q名学生的考试成绩则这四位同学考试成绩的所有可能情况是（）A.24B.15C.12D.10解析：可分成两类：（1）中间两个分数不相等，（2）中间两个分数相等\n相同两数分别取90,91,92,对应的排列可以数出来,分别有3,4,3种，.••有10种。・・・共有5+10=15(种)情况51.二项式定理C：为二项式系数(区别于该项的系数)性质：(1)对称性：(^=(2穿(「=0,1,2,……,n)(2)系数和：C：：+C：+…+C：=2*'(3)最值：n为偶数时，n+1为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第秒+1)项，二项式系数为&n为奇数时，(n+1)为偶数，中间两项的二项式[丄]ivJn+j系数最大即第号项及第号+1项，其二项式系数为C占=cnr如：在二项式(x-l)ufl—A—A—>—>—Ab〃a（bHO）o存在唯一实数九，使b=Xa（7）向量的加、减法如图：（8）平面向量基本定理（向量的分解定理）的一组基底。（9）向量的坐标表示—4—►i,j是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数x,y,使得TT—►—►Ta=xi+yj,称（x,y）为向量a的坐标，记作：a=（x,y）,即为向量的坐标表示。\n52.平面向量的数量积（1）a•b=|a|•|b|cos0叫做向量a与6的数量积（或内积）。数量积的几何意义：a・b等于|a|与6在a的方向上的射影|b|cos0的乘积。（2）数量积的运算法则注意：数量积不满足结合律（a•E）・c工a•（b•c）（3）重要性质：设a=（x],yj,6=（x2，y2）②a〃boa•b=|a|•|b|或a•b=-|a|•|b|—»―A―A<=>a=Xb（bHO,九惟一确定）\n［练习］BC=b,AC=c,则―»—>(1)已知正方形ABCD,边长为1,AB=a答案：T—>—>—>(2)若向量a=(x,1),b=(4,x),Sx=时a与b共线且方向相同答案：2(3)已知；、S均为单位向量，它们的夹角为60。，那^|a+3b|=答案：5&线段的定比分点设P】(X|，yj，P2(x2,y2),分点P(x,y),设R、P?是直线/上两点’P点在—>—>/上且不同于P「P2,若存在一实数儿使P}P=XPP2,则九叫做P分有向线段\n弗2所成的比（九＞0，P在线段RP2内，X＜0,P在RP2外），且如：AABC,A（X],yj,B（x2,y2）,C（x3,y3）则AABC重心G的坐标是+X2+X33y】+y2+『33,海.你能分清三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质吗?59.立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗？平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：线〃线——线〃面——面〃面判定＞线丄线~~线丄面~~面丄面〈性质线〃线——线丄面——面〃面线面平行的判圧:a〃b,bu面a,aa〃面aa线面平行的性质:三垂线定理（及逆定理）：PA丄面a,AO为PO在a内射影，au面a,则\n线面乖直:面面垂直：a丄面a,au面P=>P丄a面a,丄面B，aAp=/,aua,a±/=>a±pa丄面a,b丄jftla=>a//b面a丄a,面［3丄a=>oc〃059.三类角的定义及求法(1)异面直线所成的角()，0°V()W90°\n(1)直线与平面所成的角0,0°6W90°（3）二面角：二面角a-/-卩的平面角9,0°<0<180°（三垂线定理法：AWci作或证AB丄B于B,作BO丄棱于O,连AO,则AO丄棱/,AZAOB为所求。）三类角的求法：①找出或作出有关的角。②证明其符合定义，并指出所求作的角。③计算大小（解直角三角形，或用余眩定理）。［练习］（1）如图，OA为a的斜线OB为其在a内射影，OC为a内过O点任一直线。\n(e为线面成角，zaoc=y，zboc=卩)(2)如图，正四棱柱ABCD—AjBjCiDi中对角线BD,=8,BD】与侧面B】BCC】所成的为30°。①求BD]和底面ABCD所成的角；②求异面直线BD,和AD所成的角；③求二面角C|—BD|—B|的大小。(3)如图ABCD为菱形，ZDAB=60°,PD丄面ABCD,且PD=AD,求面PAB与面PCD所成的锐二面角的大小。(JAB〃DC,P为而PAB与面PCD的公共点，作PF〃AB,则PF为面PCD与而PAB的交线……)59.空间有几种距离？如何求距离？点与点，点与线，点与面，线与线，线与面，面与面间距离。将空I'可距离转化为两点的距离，构造三角形，解三角形求线段的长(如：三垂线定理法，或者用等积转化法)。如：正方形ABCD—A]B】C]D]中,棱长为a,则:(1)点C到面AB]Ci的距离为；(2)点B到面ACB]的距离为；(3)直线AQi到面AB.Ci的距离为:(4)面AB)C与面A|DC)的距离为；\n(1)点B到直线A|C|的距离为o59.你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质？正棱柱一一底面为正多边形的直棱柱正棱锥一一底面是正多边形，顶点在底血的射影是底血的中心。正棱锥的计算集屮在四个直角三角形中：RtASOB,RtASOE,RtABOE和RtASBE它们各包含哪些元素？S正棱锥侧=+°・”(C——底面周长，『为斜高)V锥=丄底面积X高60.球有哪些性质？(1)球心和截面圆心的连线垂直于截面r=VR2-d2(2)球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。为此，要找球心角!(3)如图，9为纬度角，它是线面成角；a为经度角，它是面面成角。“。4a(4)S球=4kR2,V球兀R'(5)球内接长方体的对角线是球的直径。正四面体的外接球半径R与内切球半径r之比为R：\n如：一正四面体的棱长均为VL四个顶点都在同--球面上，则此球的表面积为()A.3兀B.4kC.3a/3kD.6兀答案：A59.熟记下列公式了吗?(1)/直线的倾斜角ag[0,ti)nX"X2R(X],yj,P2(x2,y?)是/上两点，直线/的方向向量a=(l,k)(2)直线方程:点斜式：y-y0=k(x-x0)(k存在)斜截式：y=kx+b截距式：-4-^=1ab一般式：Ax+By+C=0(A、B不同时为零)(1)点P(x°,y°)到直线八Ax+By+C=0的距离cl=虫茸+CVA2+B2⑷割的到角公式：皿冷厶与厶的夹角公式：tanO=*2_匕1-k/,//12(反之不一定成立)AjA2+B]B?=0<=>/)±/261.怎样判断直线/与圆C的位置关系?圆心到直线的距离与圆的半径比较。直线与圆相交时，注意利用圆的“垂径定理”。62.怎样判断直线与圆锥曲线的位置？\n联立方程组n关于x(或y)的一元二次方程n“△”△>0u>相交；△=()<=>相切；AvOo相离59.分清圆锥曲线的定义'椭圆o|PF1|+|PF2|=2a,2a>2c=|F,E第一定义《双曲线o||PF,|-|PF2||=2a,2a<2c=|F,F2抛物线o|PF|=|PK|第二定义：e==-|PK|aOvevlo椭國e>lo双曲线；e=lu>抛物线\n59.与双曲线4-4=lW相同焦点的双曲线系为茸-£=九(九工0)a~b「ab~60.在圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程，要注意其二次项系数是否为零？△$()的限制。(求交点，弦长，中点，斜率，对称存在性问题都在△$()下进行。)弦长公式|叨|=J(l+k?)(X|+x2)2-4XjX2=](1+右)[(力+『2)2_4汨2.61.会用定义求圆锥曲线的焦半径吗？如：\n通径是抛物线的所有焦点弦中最短者；以焦点弦为直径的圆与准线相切。59.有关中点弦问题可考虑用“代点法”。如：椭圆mx2+ny2=1与直线y=l-x交于M、N两点，原点与MN中点连线的斜率为血，则巴的值为2n答案:60.如何求解“对称”问题？(1)证明曲线C：F(x,y)=0关于点M(a,b)成屮心对称，设A(x,y)为曲线C上任意一点，设A，(X',/)为A关于点M的对称点。(由a=*+*,匕=丫+丫=>xr=2a-x,y*=2b-y)22只要证明A*(2a-x,2b-y)也在曲线C上，BPf(x,)=y,(2)点A、A，关于直线/对称oAA」/AA，UP点在/上<=>^AA**匕=-1AA■中点坐标满足I方程[y—v074.圆x2+y2=r2的参数方程为~.八(0为参数)[y=rsin0椭圆与+£=啲参数方程为一―c(0为参数)a2b2y=bsin075.求轨迹方程的常用方法有哪些？注意讨论范围。(直接法、定义法、转移法、参数法)76.对线性规划问题：作出可行域，作出以目标函数为截距的直线，在可行域内平移直线，求出目标函数的最值。Dove\n2、正弦定理的变形公式：①a=2RsinA,Z?=2/?sinB,c=27?sinC: