2013年全国高中数学联赛一试试题-高中课件精选 11页

2013年全国高中数学联赛一试试题一.填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分。1.设集合A=｛2,0,l,3｝,集合B=\^\-x^A,2-x2则集合B屮所有元素的和为2.在平面直角坐标系xOy^，点A、B在抛物线y2=4x上，满足丽•丽=-4,F是抛物线的焦点，则S、ofb3•在AABC中,已sinA=1OsinB-sinC,cosA=1OcosB-cosC,则tanA的值为4.已知正三棱锥P-ABC的底面边长为1,高为忑，则其内切球半径为5.设&、b为实数，函数f（x）=ax+b满足：对任意xg[0,1],有\f（x）\<1,则"的最大值为6.从1,2,…,20中任取5个不同的数，其中至少有2个是相邻数的概率为7.若实数x,y满足X-4J7=力X_y,则X的取值范围是8.已知数列仏｝共有9项，其中吗=色=1,II对每个怡｛1,2,…,8｝均有组』2,1，-丄4I2则这样的数列的个数为二.解答题：本大题共3小题，共56分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9.（本题满分16分）给定正数数列&”｝满足,n=2,3/-•,这里为=西+•••+%证明：存在常数C>0,使得xnnC•2",/I=12…10.（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆的方程为—+^-=l（6z>Z?>0）,atrA，生分别为椭圆的左、右顶点，耳分别为椭圆的左右焦点，p为椭圆上不同于A和冬的任意一点•若平面屮有两个点Q,R满足QA丄PA,QA2丄P^RF.丄PF；,RF2丄PF2,试确定线段0/?的长度与〃的大小关系，并给出证明。□.（本题满分20分）设函数/（兀）=0”+4求所有的正实数对（a,b）,使得对任意实数无,y均有f(xy)+/(乂+刃>fMf(y)2013年全国高中数学联合竞赛加试试题一.（本题满分40分）如图，AB是圆Q的一条眩，P为弧AB内一点，E、F为线段AB上两点，满足AE=EF=F8.连接PE、PF并延长，与圆0分别项交于点C、D.求证：\nEF・CD=AC・BD（解题时请将图画在答卷纸上）P二.（本题满分40分）给定正整数"、讥数列&”｝的定义如下：+对整数m>1,\a2fn=am^^[a2m+\=am+V*记S”,+色+…+仏（加=1,2,•…）.证明：数列｛S”｝中有无穷多项是完全平方数。一.（本题满分50分）一次考试共有加道试题，n个学生参加，其中m,77>2为给定的整数•每道题的得分规则是：若该题恰有X个学生没有答对，则每个答对盖提的学生得X分，未答对的学生得0分.每个学生的总分为其加道题的得分总和.将所有的学生总分从高到低排列为Pn,求卩+血的最大可能值。二.（本题满分50分）设仏£为大于1的整数，n<2k.证明：存在”个不被n整除的整数，若将他们任意分成两组，则总有一组有若干个数的和被〃整除。\n2013年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准说明：1•评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设8分和0分；其他各题的评阅，请严格按照本标准评分档次给给分，不要增加其他中间档次。2.如杲考生的解答和木解答的不同，只要给合理的思路、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9题4分为一个档次.第10、11小题5分为一个档次,不要增加其他中间档次.一.填空题：本大题共8小题，没小题8分，共64分.1.答案：・5【解答】易知3匸{一2,0,—1,一3}.当兀=—2,—3吋，2-x2=-2,-7,有2—严纟人；而当x=0,-l时，2—+=2,1,有2-x2eA.S此，根据3的定义可知B={-2,-3）.所以，集合B屮所有元素的和为・5.2.答案：222【解答】点F的坐标为（1,0）.设心J）,%,%），则西二普，兀2=号，故一4=oa•os二尢丿2+y1y2=77（y】y2）2+xy216即丄⑷2+叩=0,故沁=一816i]i9s如.SgFB=用餌・血|）・（彳0尸|・卜2|）=才0日・|加2卜23.答案：11【解答】由于sinA-cosA=10(sinBsinC-cosBcosC)=-10cos(B+C)=lOcosA,所以sinA=11cosA,故tanA=11pm=^mh2+ph2=MH~PM4.答案：—6【解答】如图，设球心0在面ABC与面ABP内的摄影分别为H和K,AB中点为M,内切球半径为F,则P、K、M共线，ZPHMTT=/PKO=-,2且OH=OK=r,PO=PH-OH=/l-“口巧"V3r.MH=——AB=——66\n解得:5.答案：1【解答】易知a=/(1)-/(0),/?=/(0),贝IJ19191912444232323当2f(0)=f(1)=±1即a=b=±丄吋，ab=—f故ab的最大值为丄【解答】设qvab0),此时x=y+(x-y)=a2-hb2,且条件中等式化^ja2+b2-4a=bf从而满足方程：(a-2)2+(b—l)2=5(a,bnO)如图所示，在dOb平面内，点(a,b)的轨迹是以(1,2)为圆心，为半径的圆在ayb>0的部分，即点o与弧ACB的并集，因此^a2+b2e{0}U[2,2V5],从而\n兀=/+化{o}u[4,2O]bi8.答案:491.88【解答】令®=如(1GV8),则对每个符合条件的数列血｝，有亓勺=『|如=毁=1®Ir%req且勺*｝(l2时,Sn>2Sn_｛等价于兀弋旺+•••+£_】对常数C=用数学归纳法证明：xn>C-2\/i=l,2,---n=1时结论显然成立.又花>x,=C-22Mn>3f假设忑nC・2&,E=l,2,…必一1,则由式①可知XnXj+(兀。HF无”—)n兀］+(C•2?+…+C•2"")=C•2"所以，由归纳法可知上式成立。10.【解答】令C=^cr-b1,则A（—d,0）,4（d,0）,£（—c,0）,笃（c,0）.设PO（）,y（））,\n0(兀1‘yj，人(吃，％)‘其中气+离=1，%工由QA丄PA，Q4丄卩4可矢口:CTDAQ・AP=(旺+a)(x0+a)+yjo=°①A2Q•A2P=(X)-(2)(x0-a)+y}y0=0②将①、②相减得：2z2(X]+xo)=O,即Xj=-x0,将其代入①可得：一兀：+c『+xy=02222故y严汕2，于是Q(-心迢口-)>0儿根据/?畀丄pf^rf2丄pf2，同理可得R(—%如二d)>0>0由于|%上(0,切，故\Qf\>b(其屮等号成立的充分必要条件是卜o|=b,即点P的坐标是(0,±&))11.【解答】已知条件可以转化为：对任意实数x,y,有(a^y2+Z?)+(d(x+y)24-/?)>(tzx+b)(a)，+Z?)①先寻求a、b所满足的必要条件，在①屮令y=0得：b+{ajc+Z?)>+b)b即对任意的实数x,有：(l_b)d+b(2-b)n0由于d〉0,故a?可以取到任意大的值，因此必有1一〃》0,即：00②将②式的左边记作为g(x),显然。一/工0(否则，由Q〉0可知G=l,此时g(x)=—2/?X+(2b—夕)，其中b>0,故g(x)可取到负值，矛盾)，于是g(x)=(a-a2)(x2-^T)2--^y+2b-b2\nbh=(a-a2\x2)2+——(2—2a—b)nO对一切实数x成立，从而必有：a-a2>0,l-a\-a即0vav1进一步考虑至U丄>0,再根据g(J上)=丄(2-2口-恥0,可得：2a+b<21—ciVI—a\—ci至此，求得d"满足的必要条件如下：00,——(2—2a—b)no\-a再结合x2+y2>-2^,可得：A(x,y)>{a-cr)x2y2+a(l-b)(-2xy)+2axy+(2b-b2)=(a-ci2)x2y2+2abxy+2b-b1=(g-/)(期+丄卄丄(2—2a—b)n0l-al-a综上所述，所求的正实数对(a,b)全体为{(Q,b)|0t_x=q2l2-2k-^l\注意到g是奇数，故：E-1+q尸三£一1+厂三£一1+(比一1)2=k｛k-1)=0(mod2)所以，S?却是完全平方数.由于/有无穷多个，故数列｛S〃｝中有无穷多项是完全平方数。二.【解答】对任意的比=1,2,…,"设第R题没有答对者有无人，则第£答对者有n-xk人，由得分规则知，这n-xk个人在第k题均得到忑分.设兀个学生的得分和为S,则有Ea=^=工母5一母)二吃母一工毎/=1^=1k=lk=l因为每一个人在第R道题上至多得耳分，故k=\由于］心・5,故有卩邛“…+―血,所以1n—\n—\Pl+Pn5+s_P\n-1n-2n-1Sn-1n-2n-\•乞忑A=1n-\•⑺工无-工球)A:=l*=1mim二2£无・£球A=ln~1"1加1〃】由柯西不等式可得：Yxl>-(Yxk)2&=imk=x加1M1加于是门+p,n52工耳_—-~--(£x,)2=_—-~~-•(£耳一m{n_I))?+m(/i-1)k=\m(n-l)k=im(n-l)k=l