高中数学必修四课件：《任意角的概念》课件 29页

必修四第一章三角函数\n1.1.1任意角的概念\n1、角的概念初中是如何定义角的？从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形.角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的。初中学过的角的范围是：0º至360º。\n然而生活中有很多实例的角会不在该范围：体操运动员转体720º（即“转体2周”），跳水运动员向内、向外转体1080º（“转体3周”）；经过1小时，时针、分针、秒针各转了多少度？这些例子中有的角不仅不在范围：0º至360º，而且方向不同，有必要将角的概念推广到任意角，那么用什么办法才能推广到任意角？关键是用运动的观点来看待角的变化。\n2．角的概念的推广⑴“旋转”形成角如图：一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角α．旋转开始时的射线OA叫做角α的始边，旋转终止的射线OB叫做角α的终边，射线的端点O叫做角α的顶点．\n⑵．“正角”与“负角”、“零角”我们规定：按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA为始边的角α=210°，β=－150°，γ=660°，\n特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角即零度角（0º）．此时零角的始边与终边重合。角的记法：角α或可以简记成∠α，或简记为：α.如∠α=-1500，α=00，α=6600等等……\n⑶角的概念扩展的意义：用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了①角有正负之分;如：=210,=150,=660.②角可以任意大;实例：体操动作：旋转2周（360×2=720）3周（360×3=1080）③还有零角,一条射线，没有旋转.\n角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角．要注意，正角和负角是表示具有相反意义的旋转量，它的正负规定源于实际的需要，就好象与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好象数零无正负一样．\n用旋转来描述角，需要注意三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转量（2）旋转方向：旋转变换的方向分为逆时针和顺时针两种，这是一对意义相反的量，根据以往的经验，我们可以把一对意义相反的量用正负数来表示，那么许多问题就可以解决了；（1）旋转中心：作为角的顶点.\n（3）旋转量：当旋转超过一周时，旋转量即超过360º，角度的绝对值可大于360º.于是就会出现720º，－540º等角度.旋转方向决定角的符号，旋转量决定角的大小。\n3．象限角为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角。角的顶点重合于坐标原点，角的始边重合于x轴的非负半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角。（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限此时这种角称为：轴线角）例如：30、390、330是第一象限角，300、60是第四象限角，585、1300是第三象限角，135、2000是第二象限角等\n4．终边相同的角⑴观察：390，330角，它们的终边都与30角的终边相同.⑵探究：终边相同的角都可以表示此角与k(k∈Z)个周角的和：390=30+360(k=1),330=30360(k=－1)30=30+0×360(k=0),1470=30+4×360(k=4)1770=305×360(k=－5)\n⑶结论：所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合：{β|β=α+k·360º，k∈Z}即：任何一个与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和。\n⑷注意以下四点：①k∈Z，K>0，表示逆时针旋转，K<0,表示顺时针旋转.②是任意角；③k·360º与之间是“+”号，如k·360º－30º,应看成(－30º)+k·360º；④终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360º的整数倍.所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合：{β|β=α+k·360º，k∈Z}即：任何一个与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和。\n例1.在0º~360º范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角.(1)－120º；(2)640º；(3)－950º12′.解：⑴∵－120º=240º+（-1）×360º，∴－120º的角与240º的角终边相同，它是第三象限角．⑵∵640º=280º+1×360º，∴640º的角与280º的角终边相同，它是第四象限角．即：[00,3600)\n⑶解：∵－950º12’=129º48’+（-3）×360º，∴-950º12’的角与129º48’的角终边相同，它是第二象限角．(3)－950º12′.例1.在0º~360º范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角.\n例2.写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在－360º~720º间的角写出来：(1)60º；(2)－21º；(3)363º14′.解：(1)S={β|β=60º+k·360º，k∈Z},S中在－360º～720º间的角是0×360º+60º=60º；－1×360º+60º=－300º；1×360º+60º=420º．方法二\n(2)S={β|β=－21º+k·360º，k∈Z}S中在－360º～720º间的角是0×360º－21º=－21º；1×360º－21º=339º；2×360º－21º=699º．(3)S=｛β|β=363º14’+k·360º，k∈Z}S中在－360º～720º间的角是0×360º+363º14’=363º14’；－1×360º+363º14’=3º14’；－2×360º+363º14’=－356º46’．例2.写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在－360º~720º间的角写出来：(1)60º；(2)－21º；(3)363º14′.\n例3写出终边分别落在四个象限的角的集合.终边落在坐标轴上的情形xyo0°90°180°270°+K·360°+K·360°+K·360°+K·360°或360°+K·360°\n第一象限的角表示为{|k360<<90+k360,kZ}；第二象限的角表示为{|90+k360<<180+k360，kZ}；第三象限的角表示为{|180+k360<<270+k360，kZ}第四象限的角表示为{|270+k360<<360+k360，kZ}\n例4、写出终边落在y轴上的角的集合.xyo0°90°180°270°+K·360°+K·360°+K·360°+K·360°\n例4解：终边落在ｙ轴非负半轴和非正半轴上的角的集合分别记为为S1，S2S1={β|β=90º+K∙360º,K∈Z}S2={β|β=270º+K∙360º,K∈Z}={β|β=90º+180º+K360º,K∈Z}={β|β=90º+（2K+1）∙180º，K∈Z}即：S2={β|β=90º+180º的奇数倍}同理S1={β|β=90º+180º的偶数倍}终边落在ｙ轴上的角的集合为S=S1∪S2S={β|β=90º+K∙180º，K∈Z}\n课堂练习1．锐角是第几象限的角？第一象限的角是否都是锐角？小于90º的角是锐角吗？区间(0º,90º)内的角是锐角吗？答：锐角是第一象限角；第一象限角不一定是锐角；小于90º的角可能是零角或负角，故它不一定是锐角；区间(0º,90º)内的角是锐角．\n2．已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？(1)420º，(2)－75º，(3)855º，(4)－510º．答：(1)第一象限角；(2)第四象限角，(3)第二象限角，(4)第三象限角.\n3、已知α,β角的终边相同，那么α－β的终边在（）Ax轴的非负半轴上By轴的非负半轴上Cx轴的非正半轴上Dy轴的非正半轴上A4、终边与坐标轴重合的角的集合是（）A{β|β=k·360º(k∈Z)}B{β|β=k·180º(k∈Z)}C{β|β=k·90º(k∈Z)}D{β|β=k·180º+90º(k∈Z)}C\n5、已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是()A第一象限角B第一、二象限角C第一、三象限角D第一、四象限角C6、若α是第四象限角，则180º－α是（）A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角C\n7、在直角坐标系中，若α与β终边互相垂直，那么α与β之间的关系是（）A.β=α+90oBβ=α±90oCβ=k·360o+90o+α,k∈ZDβ=k·360o±90o+α,k∈ZD8、若90º<β<α<135º，则α－β的范围是__________，α+β的范围是___________;(0º,45º)(180º,270º)\n9、若β的终边与60º角的终边相同，那么在[0º,360º）范围内，终边与角的终边相同的角为______________;解：β=k·360º+60º，k∈Z.所以=k·120º+20º，k∈Z.当k=0时，得角为20º，当k=1时，得角为140º，当k=2时，得角为260º.