人教版高中数学课件：高二数学课件-数列的极限 23页

数列的极限\n一类数列的变化特征数列极限的定义几个基本数列的极限问题讨论数列极限概念的小结数列的极限\n通过图像观察数列的特性数列的图像（点击按钮调用图像）\n通过图表定量观察(1)数列:0.9,0.99,0.999,0.9999,0.99999,0.999999,...........对ε=0.001与ε=0.000001,则n>3与n>6后满足|an-A|<ε\n通过图表定量观察(2)数列:1/2,1/4,1/8,1/16,1/32,1/64,1/128,...........对ε=0.1与ε=0.01,则n>3与n>6后满足|an-A|<ε\n数列极限定义1.描述性定义:如果对数列{an},存在常数A,当数列序号n无限增大时,数列的项an无限接近常数A,称常数A是数列{an}的极限.2.ε-N定义任意给定正数ε>0,如果总存在自然数N,当n>N时,不等式|an-A|<ε恒成立,则数列{an}的极限是A.记作:|an-A|<εε>0\n对数列极限定义的说明若数列{an}的极限是A,则an可能小于A无限的趋近于A;也可能大于A无限的趋近于A;还可能时而大于A,时而小于A而无限的趋近于A.在极限的全过程中,ε必须具有绝对的任意性,但在该过程的某一瞬间,ε又是相对固定的.N的不唯一性.虽然N与ε有关,但N不是ε的单值函数,若自然数N满足极限定义的条件,则N+1,N+2,...也必满足该条件.\n例1:(1)举出两个以0为极限的数列;(2)举出两个以1为极限的数列;(3)举出两个以A为极限的数列.解:(1)an=1/n2bn=(1/2)n,...........(2)an=(n+1)/nbn=1+(1/3)n,.......(3)an=A+1/nbn=(-1)n(1/n)+A,.......\n问题1根据极限定义,猜想下列数列的极限(1)____(2)____(3)____(4)____0000\n问题2判断下列命题的正确性:①数列{an}的极限是A,则A一定是该数列中的一项;②任何一个无穷数列必存在极限;③无穷数列的极限是A,指的是:对任意的ε>0,总能在{an}中找到一项aN,使aN以后有无限项满足|an-A|<ε.④数列{(-1)n}的极限存在,且偶数项的极限为1,奇数项的极限为-1.\n几个基本数列的极限1.2.3.\n证明：任给ε>0,由的证明:所以故取N=(注:表示1/ε的整数部分）所以，当n〉N时，不等式恒成立，故数列{1/n}的极限：\n证明：的证明任给ε>0,则由|q|<1lg|q|nN时,不等式|qn-0|<ε恒成立;当|q|=0,显然|0-0|=0<ε恒成立;\n证明:的证明任给ε>0,由|c-c|=0<ε,取N=任意自然数,那么当n>N时,,|c-c|=0<ε恒成立所以,数列{c}的极限是c.\n问题讨论选择题:1.已知非常数的数列{an}当n－>∞时极限为M,则在区间(M-ε,M+ε)外,这个数列的项数为:(A)无限项(B)有限项(C)零项(D)有限项与无项项都有可能2.记a1+a2+......+an=Sn,则数列{an}有极限是数列{Sn}有极限的(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)不充分也不必要条件BB\n问题讨论填空题1.数列{an}中,已知an=(n+2)/2n,则|an-1/2|=_______,要使n>N时,有|an-1/2|<0.001,则N的最小值是________2.数列的极限是:__3.数列a,a,a,......,a,......的极限是:________1/n10000a\n问题讨论推测下列数列的极限,并用极限定义证明你的结论.1.数列2.|q|<1,a1,q≠0,数列3.数列的极限是_______;的极限是____;的极限是_______.1-1\n证明:任给ε>0,由证明的极限为1取则n>N时,不等式恒成立,所以\n证明:证明的极限为任给ε>0,由|q|n<ε|1-q|lg|q|nN时,不等式恒成立,所以\n证明证明的极限为-1任给ε>0,由\n证明的极限为-1恒成立,所以数列的极限是-1.则当n>N时,不等式\n对《数列极限》我们要把握“序号无限增大，数列的项无限接近一个常数”的含义，正确理解它的定义；掌握应用数列极限定义证明数列极限的方法，记住三个基本数列的极限，能应用它们求比较简单的数列的极限。小结\n再见