高中新课标A数学必修2课件：2.3.4 45页

2.3.4平面与平面垂直的性质\n自学导引(学生用书P55)\n1.掌握两个平面垂直的性质定理,并会将面面垂直转化为线面垂直来处理.2.掌握二面角的平面角的作法,会进行简单二面角的计算.3.结合水坝､人造地球卫星运行轨道等具体实例再一次体会数学在日常生活中的广泛应用.\n课前热身(学生用书P)55\n1.两个平面垂直,则一个平面内__________垂直于交线的直线与另一个平面垂直.2.三个两两垂直的平面的交线__________两两垂直.\n名师讲解(学生用书P)55\n1.两个平面垂直的性质定理性质定理:若两个平面垂直,在一个平面内垂直于它们交线的直线必垂直于另一个平面.l符号表示:aaal图形表示:\n应用两个平面垂直的性质定理时,要注意以下三点:(1)两个平面垂直;(2)直线必须在一个平面内;(3)直线必须垂直它们的交线.\n第9页共54页\n典例剖析(学生用书P55)\n题型一面面垂直性质的应用例1:如图所示,P是四边形ABCD所在平面外的一点,ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形.侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.(1)若G为AD边的中点,求证:BG⊥平面PAD;(2)求证:AD⊥PB.\n分析:解答本题可先由面面垂直得线面垂直,再进一步得出线线垂直.证明:(1)连接PG,由题知△PAD为正三角形,G是AD的中点,∴PG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD,∴PG⊥平面ABCD,∴PG⊥BG.又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB=60°.∴△ABD是正三角形,∴BG⊥AD.又AD∩PG=G,∴BG⊥平面PAD.\n(2)由(1)可知BG⊥AD,PG⊥AD.所以AD⊥平面PBG,所以AD⊥PB.规律技巧:应用线面关系的性质定理或判定定理时,都要把条件写清楚､凑齐,才能确保证明准确无误.\n变式训练1:如右图,在△ABC中,∠ABC=90°,PA⊥平面ABC,AF⊥PC于F,AE⊥PB于E,求证:EF⊥PC.\n证明:∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC,又AB⊥BC,∴BC⊥平面PAB,∵AE平面PAB,∴AE⊥BC,又AE⊥PB,且PB∩BC=B,∴AE⊥平面PBC,∵PC面PBC,∴AE⊥PC,又PC⊥AF,AE∩AF=A,∴PC⊥平面AEF,∴PC⊥EF.\n题型二线面关系定理的综合应用例2:已知:如下图,平面PAB⊥平面ABC,平面PAC⊥平面ABC,AE⊥平面PBC,E为垂足.(1)求证:PA⊥平面ABC;(2)当E为△PBC的垂心时,求证:△ABC是直角三角形.\n分析:已知条件“平面PAB⊥平面ABC,…”,使我们想到面面垂直的性质定理,便有如下证法.证明:(1)在平面ABC内取一点D,作DF⊥AC于F.平面PAC⊥平面ABC,且交线为AC,∴DF⊥平面PAC.PA平面PAC.∴DF⊥AP.作DG⊥AB于G.同理可证DG⊥AP.DG､DF都在平面ABC内,∴PA⊥平面ABC.\n规律技巧:(1)已知两个平面垂直时,过其中一个平面内的一点作交线的垂线,则由面面垂直的性质定理可得此直线垂直于另一个平面,于是面面垂直转化为线面垂直,由此得到结论:两个相交平面同时垂直于第三个平面,则它们的交线也垂直于第三个平面.(2)的关键是要灵活利用(1)题的结论.\n变式训练2:如图,α⊥β,α∩β=AB,CDβ,CD⊥AB,CE,EFα,∠FEC=90°,求证:平面EFD⊥平面DCE.\n证明:∵α⊥β,α∩β=AB,CDβ,CD⊥AB,∴CD⊥α,EFα,∴CD⊥EF.又∠FEC=90°,∴CE⊥EF.又CD∩CE=C,∴EF⊥平面DCE,又EF平面EFD,∴平面EFD⊥平面DCE.\n题型三折叠问题例3:如下图,在矩形ABCD中,AB=2AD,E是AB的中点,沿DE将△ADE折起,(1)如果二面角A—DE—C是直二面角,求证:AB=AC;(2)如果AB=AC,求证:平面ADE⊥平面BCDE.\n分析:(1)已知平面ADE⊥平面BCDE,过A作AM⊥DE于M,则AM⊥平面BCDE.(2)已知AB=AC,取BC中点N,连结AN,则AN⊥BC.证明:(1)过A作AM⊥DE于M,则AM⊥平面BCDE.又AD=AE,∴M是DE中点,取BC中点N,连结MN,则MN⊥BC,∴BC⊥平面AMN,∴AN⊥BC.又N是BC中点,∴△ABC为等腰三角形,∴AB=AC.\n变式训练3:把正方形ABCD沿对角线AC折起,当以A､B､C､D四点为顶点的三棱锥体积最大时,直线BD和平面ABC所成角的大小为()A.90°B.60°C.45°D.30°\n解析:当三棱锥D—ABC体积最大时,平面ABC⊥平面ADC,取AC的中点E,连结BE,DE,∵△ADC为等腰直角三角形,∴DE⊥AC,∴DE⊥面ABC,即∠DBE为直线BD与平面ABC所成的角,而△DBE为等腰直角三角形,∴∠DBE=45°,故选C.答案:C\n易错探究\n错因分析:在错解中,应用平面几何中的定理“同垂直于一条直线的两条直线平行”,得a∥a′导致错误,该定理要求涉及的三条直线都在同一平面内,而现在仅有a和a′在平面β内,直线b不能保证也在平面β内,因而不能满足使用定理的条件,从而给出了错误的证明.\n正解:(1)若直线a与b相交(如图(1)所示).设a∩b=P,则由a､b可确定平面β,设β∩α=a′,则由b⊥α知b⊥a′,在平面β内,由b⊥a,b⊥a′知a∥a′.∵aα,a′α,∴a∥α.\n(2)若a与b不相交,如图(2)所示,在直线b上任取一点P,过P作直线a′∥a(在点P和直线a确定的平面内,过点P作a′∥a).∵a⊥b,∴a′⊥b.同理,设过a′和b的平面β∩α=l,则a′∥l,∴a∥l,又aα,lα,∴a∥α.\n基础强化1.(2006·广东)给出下列四个命题,其中真命题的个数是()①如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行.②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面.③如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线相互平行.④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面相互垂直.\n2.用α表示一个平面,l表示一条直线,则平面α内至少有一条直线与l()A.平行B.相交C.异面D.垂直解析:排除法.当l与α相交时,A不成立,当l∥α时,B不成立,当lα时,C不成立.因此排除A､B､C,故D正确.答案:D\n4.设平面α⊥平面β,在平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b,则()A.直线a必垂直于平面βB.直线b必垂直于平面αC.直线a不一定垂直于平面βD.过a的平面与过b的平面垂直答案:C\n5.在正四面体P-ABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,下面四个结论中不成立的是()A.BC∥平面PDFB.DF⊥平面PAEC.平面PDF⊥平面ABCD.平面PAE⊥平面ABC\n解析:如图所示:(1)∵DF∥BC,DF平面PDF,BC平面PDF,∴BC∥平面PDF.故A成立;(2)∵BC⊥PE,BC⊥AE,∴BC⊥平面PAE,又DF∥BC,∴DF⊥平面PAE,故B成立;(3)由(2)知,平面PAE⊥平面ABC,故D成立.综上知,不成立的应是C.答案:C\n解析:∵m∥α,m∥β,∴m∥l.∵AB∥l,∴AB∥m.∴AC⊥l,∴AC⊥m.AB∥l,lβ,ABβ,∴AB∥β.综上知,A､B､C成立,故选D.答案:D\n7.在正方体ABCD—ABCD中,平面ACD与平面BBDD1111111的位置关系是__________垂直.解析:由底面ABCD是正方形知,AC⊥BD,又AC⊥BB,∴AC⊥平面BBDD,又AC在平面ACD内,∴平1111面ACD⊥平面BBDD.111\n8.如图,已知点M是菱形ABCD所在平面外的一点,且MA=MC,求证:AC⊥平面BDM.分析:要证AC⊥平面BDM,只要证明AC垂直于平面BDM内的两条相交直线.\n证明:连结BD,AC,设BD∩AC=O,连结MO,\n能力提升\n9.已知:如右图,平面α⊥平面β,α∩β=l,在l上取线段AB=4,AC､BD分别在平面α和平面β内,且AC⊥AB,DB⊥AB,AC=3,BD=12,求CD长.\n解:连结BC.∵AC⊥AB,∴AC⊥β,AC⊥BD.∵BD⊥AB,∴BD⊥α,BD⊥BC.∴△CBD是直角三角形.在Rt△BAC中,2222,BCACAB345在Rt△CBD中,22.CD51213∴CD长为13.\n证明:如右图,作AE⊥SB于E,∵平面SAB⊥平面SBC,∴AE⊥平面SBC,∴AE⊥BC,∵SA⊥平面ABC,∴SA⊥BC又SA∩AE=A,∴BC⊥平面SAB,∴AB⊥BC.\n11.(2009·山东)如图,在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,底面ABCD为等腰梯形,AB∥CD,AB=4,BC=CD=2,AA1=2,E,E1分别是棱AD,AA1的中点.(1)设F是棱AB的中点,证明:EE1∥平面FCC1;(2)证明:平面D1AC⊥平面BB1C1C.\n又EE∥AD,得EE∥FC,1111而EE平面FCC,FC平面FCC,1111故EE∥平面FCC.11\n证法2:因为F为AB的中点,CD=2,AB=4,AB∥CD,所以CDAF,因此四边形AFCD为平行四边形,所以AD∥FC.又CC1∥DD1,FC∩CC1=C,FC平面FCC1,CC1平面FCC,1所以平面ADDA∥平面FCC,111又EE1平面ADD1A1,所以EE∥平面FCC.11\n(2)证明:连结AC,在△FBC中,FC=BC=FB,又F为AB的中点,所以AF=FC=FB,因此∠ACB=90°,即AC⊥BC.又AC⊥CC1,且CC1∩BC=C,所以AC⊥平面BB1C1C,故AC平面D1AC,故平面D1AC⊥平面BB1C1C.