高中新课标A数学必修2课件：3.2.3 41页

自学导引(学生用书P)72\n1.掌握直线方程的一般式.2.能根据条件熟练地求出直线的方程.\n1.在平面直角坐标系中,对于任何一条直线,都有一个表示这条直线的关于x、y的____________;二元一次方程任何关于x、y的二元一次方程都表示______________一条直线.方程_________________________________Ax+By+C=0(其中A､B不同时为零)叫做直线方程的一般式.\nA2.对于直线Ax+By+C=0.当B≠0时,其斜率为__________,B在yC轴上的截距为_________;B当B=0时,在x轴上的截距为C_____________;A当AB≠0时,在两轴上的截距分别为CC____________､____________.BA\n直线和二元一次方程的关系因为在直角坐标系中,每一条直线都有倾斜角α.(1)当α≠90°,如右图所示,直线斜率存在,方程可写成y=kx+b,它可变形为kx-y+b=0,与二元一次方程一般形式Ax+By+C=0比较,有A=k,B=-1,C=b.\n(2)当α=90°时,如右图,直线斜率不存在,其方程可写成x=x,1与二元一次方程Ax+By+C=0比较有A=1,B=0,C=-x(显然A､1B不同时为0).\n所以,在平面直角坐标系中,对于任何一条直线有一个表示这条直线的关于x,y的二元一次方程.反过来,任何关于x,y的二元一次方程都能表示一条直线吗?二元一次方程的一般形式Ax+By+C=0,①其中A､B不同时为0.ACA(1)当B≠0时,方程①可化为y=-x,它表示斜率为在,CBBBy轴上截距为的直线(斜截式方程).B\n典例剖析(学生用书P)72\n题型一直线与方程例1:求直线l:3x+5y-15=0的斜率以及它在x轴,y轴上的截距,并画图.3解:将直线l的方程3x+5y-15=0写成y=-x+3,53因此,直线l的斜率k=-.5在方程3x+5y-15=0中,当x=0时,y=3;当y=0时,x=5.所以,直线l在y轴上的截距为3,在x轴上的截距为5.\n画一条直线时,只要找出这条直线上的任意两点就可以了.通常是找出直线与两个坐标轴的交点.上面已经求得直线l与x轴,y轴的交点分别为(5,0),(0,3),过这两点作直线,就得直线l,如下图.\n变式训练1:用一般式或斜截式写出下图中各条直线的方程.\n解:(1)x-y+2=0(或y=x+2);(2)x+y-1=0(或y=-x+1);1(3)x+3y-3=0(或y=-x+1);31(4)x+2y+2=0(或y=-x-1).2\n题型二直线平行与垂直例2:已知两条直线方程l:mx+2y+8=0,l:x+my+3=0,当m12为何值时:(1)两直线互相平行;(2)两直线互相垂直.分析:因为直线方程中x,y的系数含有字母m,所以要分m=0和m≠0讨论解答.\n解:(1)当m=0时,l:y+4=0,l:x+3=0,12显然l与l不平行;12m当m0时,l的斜率k,在y轴上的截距b4.111213l的斜率k,.在y轴上的截距b222mmQl//,lkk,且bb(否则两直线重合).121212m13即,且4m,2.2mm综上知,,当m2时l与l互相平行.12\n(2)由(1)知,当m=0时,显然有l⊥l;12当m≠0时,若l⊥l,则有m112g()1,2m此时m不存在.综上知,当m=0时,l与l互相垂直.12\n规律技巧:对于两直线l:Ax+By+C=0,l:Ax+By+C=0.有11112222以下结论:(1)l∥l⇔AB-AB=0且AC-AC≠0(或BC-121221122112BC≠0).21(2)l⊥l⇔AA+BB=0.121212(3)l与l重合⇔AB-AB=0且AC-AC=0(或BC-121221122112BC=0).21\n变式训练2:已知三直线l:2x-4y+7=0,l:x-2y+5=0,l:4x+2y-1231=0,求证:l∥l,l⊥l.1213证明:把l、l、l的方程写成斜截式得12317l:;yx12415l:;yx2221l:y2x.32175Qkk,,bb1212242ll//.Qk2,123kkg1,ll.1313\n题型三综合问题例3:求证:不论m取什么实数,直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5总过某一定点.分析:由题意知,不论m取什么值,直线总是通过定点,也就是说与m的取值无关,因此可将方程变形为m的方程,令m的系数为0,解方程组得出定点坐标.\n证明:方法1:把原方程变形得(x+2y-1)m-(x+y-5)=0,此式对于m的任意实数都成立,∴x+2y-1=0,x+y-5=0.∴x=9,y=-4.即直线过定点(9,-4).\n方法2:取m=1,得y=-4,取m=,得x=9.把点(9,-4)代入直线方程,右边=(m-1)×9+(2m-1)(-4)=m-5=右边.所以不论m取什么实数,点(9,-4)总在直线上,故该直线过定点(9,-4).\n易错探究例4:已知直线l:x+my+6=0,l:(m-2)x+3y+2m=0,当l∥l时,1212求m的值.m2,错解:∵l的斜率k=-223由l∥l,∴l的斜率k也一定存在,12111由l的方程得k=,11m由k=k,得m21,123m解得m=3或m=-1.∴m的值为3或-1.\n2m2正解:方法1:∵l的斜率k=,纵截距b=-m.22233∵l∥l,∴l的斜率必存在,12116即m0,又l的斜率k,.纵截距b111mm21m,3m由ll12//得26m.3m解得m1,1m的值为.\n方法2:由l∥l⇔AB-AB=0,且AC-AC≠0,1212211221得1×3-m(m-2)=0,且1×2m-6(m-2)≠0.解得m=-1,∴m的值为-1.\n技能演练(学生用书P)74\n基础强化1.直线y-1=4(x+2)化为一般式方程为()A.4(x+2)-y+1=0B.y=4x+9y1C.4x-y+9=0D.4x2答案:C\n2.直线2x-y+3=0化为斜截式方程为()13Ay.2x3Bx.y22y2Cy.32xD.x133答案:A\n第27页共49页\n3.直线ax+2y+1=0与直线x+y-2=0互相垂直,则a等于()21A.2B.C.D.133答案:A\n4.直线l的方程为Ax+By+C=0,若直线l过原点和二､四象限,则()A.C=0,B>0B.A>0,B>0,C=0C.AB<0,C=0D.AB>0,C=0解析:∵l过原点,∴C=0.又l过二､四象限,则其斜率小于0,即A-<0.∴AB>0.B答案:D\n5.直线l过点P(1,3),且与x、y轴正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是()A.3x+y-6=0B.x+3y-10=0C.3x-y=0D.x-3y+8=0\nxy解析:设所求直线l的方程为1(ab0,0),ab113则有ab6,且1.2abab12,a2,由131b6.abxy直线l的方程为1,即为3xy60.26答案:A\n7.已知直线(a+2)x+(a2-2a-3)y-2a=0在x轴上的截距为3,则该4直线在y轴上的截距为________.15解析:把(3,0)代入已知方程得:(a+2)×3-2a=0,∴a=-6.∴直线方程为-4x+45y+12=0,4令x=0,得y.15\n8.直线方程Ax+By+C=0的系数A､B､C满足什么条件时,这条直线具有如下性质?(1)与x轴垂直;(2)与y轴垂直;(3)与x轴和y轴都相交;(4)过原点.答案:(1)B=0,(2)A=0,(3)AB≠0,(4)C=0\n能力提升9.求满足下列条件的直线方程:(1)过点A(1,-4),与直线2x+3y+5=0平行;(2)过点A(1,-4),与直线2x-3y+5=0垂直.\n2解:(1)直线2x+3y+5=0的斜率为,3∵所求直线和已知直线平行,22∴它的斜率也是,由点斜式得所求方程为y+4=-(x-1),33即2x+3y+10=0.\n2(2)2x-3y+5=0的斜率为,所求直线和已知直线垂直,所以333所求直线的斜率为,由点斜式方程得y+4=-(x-1),即223x+2y+5=0.\n(1)AB所在直线的方程;(2)AC和BC所在直线的方程;(3)AC,BC所在直线与y轴的交点间的距离.分析:求AB的方程时,先观察两点坐标易得,AC,BC通过画图易求其斜率,然后点斜式写出即可.\n11解:(1)因为k==0,AB51所以AB所在直线方程为y=1.(2)k=tan60°=,3AC所以AC所在直线方程为y-1=3(x-1),即3x-y+1-3=0,又k=tan(180°-45°)=-tan45°=-1,BC所以BC所在直线方程为y-1=-(x-5),即x+y-6=0.(3)由直线AC的方程3xy130,令x=0,则y13.\n由直线BC的方程x+y-6=0,令x=0,则y=6.所以两交点间的距离为|613|53.\n品味高考(学生用书P)74\n12.(上海高考)已知两条直线l:ax+3y-3=0,1l:4x+6y-1=0,若l∥l,则a=________2.212aa22解析:l的斜率k,l的斜率k,Ql//l,,1122123333a2.验证知,a2适合题意.a2.