高中全程复习方略配套课件：5.4数列的求和 67页

第四节数列的求和\n三年25考高考指数:★★★★1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式.2.掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法.\n1.高考考查的重点是等差、等比数列的求和公式，错位相减法求和，及裂项相消法求和.2.数列求和常与函数、方程、不等式等诸多知识联系在一起，以复杂多变、综合性强、解法灵活等特征而成为高考的中档题或压轴题.\n1.公式法与分组求和法(1)公式法直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和①等差数列的前n项和公式:Sn=②等比数列的前n项和公式:\n(2)分组求和法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法,分别求和而后相加减.\n【即时应用】(1)(2)若数列{an}的通项公式为an=2n+2n-1，则数列{an}的前n项和Sn=_______.\n【解析】答案：(1)(2)2n+1+n2-2\n2.倒序相加法与并项求和法(1)倒序相加法如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的.\n(2)并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如an=(-1)nf(n)类型，可采用两项合并求解.例如，Sn=1002-992+982-972+…+22-12=(100+99)+(98+97)+…+(2+1)=5050.\n【即时应用】(1)函数y=f(x)的图像关于点(1)对称，则f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)=______.(2)若Sn=1-2+3-4+…+(-1)n-1·n，则S17+S33+S50等于____.\n【解析】(1)由题意知f(1-x)+f(x)=2,设S=f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6),则S=f(6)+f(5)+…+f(0)+…+f(-4)+f(-5),∴2S=12×2,∴S=12.(2)由题意知∴S17=9,S33=17,S50=-25,∴S17+S33+S50=1.答案：(1)12(2)1\n3.裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.\n【即时应用】(1)数列的前n项和为______.(2)已知数列{an}的通项公式是若Sn=10,则n=_______.\n【解析】答案：(1)(2)120\n4.错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和就是用此法推导的.\n【即时应用】(1)已知数列{an}的前n项和为Sn，且an=n·2n,则Sn=_______.(2)已知则Sn=________.\n【解析】(1)∵Sn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n,∴2Sn=1×22+2×23+…+(n-1)×2n+n×2n+1,∴-Sn=2+22+23+…+2n-n·2n+1=·2n+1=2n+1-n·2n+1-2,∴Sn=(n-1)·2n+1+2.\n答案：(1)(n-1)·2n+1+2\n分组转化求和【方法点睛】1.分组转化求和的通法数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列或可求数列的前n项和的数列求和．\n2．常见类型及方法(1)an＝kn＋b，利用等差数列前n项和公式直接求解；(2)an＝a·qn－1，利用等比数列前n项和公式直接求解；(3)an＝bn±cn或{cn}是等比数列或等差数列，采用分组求和法求{an}的前n项和．\n【例1】(1)已知数列:1,则其前n项和Sn=_______.(2)已知①求数列{an}的前10项和S10;②求数列{an}的前2k项和S2k.\n【解题指南】(1)先求数列的通项公式，再根据通项公式分组求和.(2)把奇数项和偶数项分开求和.\n【规范解答】(1)答案：\n(2)①S10=(6+16+26+36+46)+(2+22+23+24+25)=②由题意知,数列{an}的前2k项中,k个奇数项组成首项为6，公差为10的等差数列，k个偶数项组成首项为2,公比为2的等比数列.∴S2k=［6+16+…+(10k-4)］+(2+22+…+2k)=5k2+k+2k+1-2.\n【互动探究】若本例(1)中数列改为:3,33,333,…,试求其前n项和Sn.【解析】数列3,33,333,…的通项公式\n【反思·感悟】解答本例(2)时应注意，其奇数项组成的等差数列和偶数项组成的等比数列的通项公式并不是题目中所给的解析式，可写出前几项寻找规律或将n=2k-1,n=2k代入求解.\n【变式备选】求和:【解析】(1)当x=±1时，Sn=4n.(2)当x≠±1时，\n\n裂项相消法求和【方法点睛】1.应用裂项相消法应注意的问题使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时,消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的.\n2.常见的拆项公式\n【例2】(2012·大连模拟)已知数列{an}各项均为正数，其前n项和为Sn,且满足4Sn=(an+1)2,(1)求{an}的通项公式;(2)设数列{bn}的前n项和为Tn,求Tn的最小值.【解题指南】(1)利用Sn+1-Sn=an+1寻找an+1与an的关系.(2)先用裂项相消法求Tn,再根据数列{Tn}的单调性求最小值.\n【规范解答】(1)因为(an+1)2=4Sn,所以2(an+1+an)=(an+1+an)·(an+1-an).因为an+1+an≠0，所以an+1-an=2，即{an}为公差等于2的等差数列.由(a1+1)2=4a1，解得a1=1,所以an=2n-1.\n(2)由(1)知∴Tn=b1+b2+…+bn\n∴Tn+1＞Tn，∴数列{Tn}为递增数列,∴Tn的最小值为\n【反思·感悟】1.在对bn进行裂项时,易犯的错误,可通过通分验证.2.在用裂项相消法求和时,消项后并不一定只剩下第一项和最后一项,也可能剩下前几项和后几项.\n【变式训练】（2012·咸阳模拟）已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1=a,a∈N*,设数列的前n项和为Sn,且成等比数列.（1）求数列{an}的通项公式；（2）设求a的值.\n【解析】（1）设等差数列{an}的公差为d,由得因为d≠0,所以d=a,所以an=na.\n错位相减法求和【方法点睛】应用错位相减法应注意的问题(1)一般地,如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求数列{an·bn}的前n项和时,可采用错位相减法求和,一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比,然后作差求解.(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式.\n【提醒】在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解.\n【例3】数列{an}的前n项和为Sn,a1=1，an+1=2Sn(n∈N+).(1)求数列{an}的通项公式;(2)求数列{nan}的前n项和Tn.【解题指南】(1)根据an与Sn的关系求an.(2)用错位相减法求Tn.\n【规范解答】(1)由an+1=2Sn得an=2Sn-1(n≥2),∴an+1-an=2an,即an+1=3an(n≥2).∴数列{an}从第2项起是公比为3的等比数列.又a2=2S1=2,(2)Tn=a1+2a2+3a3+…+nan.当n=1时,T1=1；当n≥2时,Tn=1+4·30+6·31+…+2n·3n-2,①3Tn=3+4·31+6·32+…+2n·3n-1,②\n①-②得:-2Tn=-2+4+2(31+32+…+3n-2)-2n·3n-1又∵T1=a1=1也满足上式,\n【反思·感悟】解答本题(1)时，易把an错写成解答本题(2)求Tn时，易盲目利用错位相减法直接求和，忽视了讨论n=1的情形.\n【变式训练】(2011·辽宁高考)已知等差数列{an}满足a2=0,a6+a8=-10.(1)求数列{an}的通项公式;(2)求数列的前n项和.\n【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,故数列{an}的通项公式为an=2-n.(2)设数列{}的前n项和为Sn，\n\n【变式备选】已知单调递增的等比数列{an}满足:a2+a3+a4=28，且a3+2是a2,a4的等差中项.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若bn=Sn=b1+b2+…+bn，求使Sn+n·2n+1＞50成立的正整数n的最小值.\n【解析】(1)设等比数列{an}的首项为a1，公比为q,依题意，有2(a3+2)=a2+a4,代入a2+a3+a4=28,得a3=8，∴a2+a4=20.又数列{an}单调递增,∴q=2,a1=2,∴an=2n.\n(2)bn=2n·=-n·2n,∴-Sn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n①∴-2Sn=1×22+2×23+…+(n-1)×2n+n×2n+1②①-②得Sn=2+22+23+…+2n-n·2n+1又Sn+n·2n+1＞50,即2n+1-2＞50,∴2n+1＞52,\n又当n≤4时，2n+1≤25=32＜52,当n≥5时，2n+1≥26=64＞52,故使Sn+n·2n+1＞50成立的正整数n的最小值为5.\n【创新探究】耳目一新的数列求和【典例】(2011·安徽高考)在数1和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积记作Tn,再令an=lgTn,n≥1.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=tanan·tanan+1，求数列{bn}的前n项和Sn.\n【解题指南】(1)用“倒序相乘法”求Tn,再求an.(2)根据两角差的正切公式表示出tanan·tanan+1，然后求Sn.\n【规范解答】(1)设t1,t2，…，tn+2构成等比数列，其中t1=1,tn+2=100,则Tn=t1·t2·…·tn+1·tn+2,①Tn=tn+2·tn+1·…·t2·t1,②①×②并利用titn+3-i=t1tn+2=102(1≤i≤n+2)，得Tn2=(t1tn+2)·(t2tn+1)·…·(tn+1t2)·(tn+2t1)=102(n+2),∴an=lgTn=n+2,n≥1,n∈N+.\n(2)由题意和(1)中计算结果，知bn=tan(n+2)·tan(n+3),n≥1.另一方面，利用tan1=tan［(k+1)-k］=得tan(k+1)·tank=所以\n【阅卷人点拨】通过对本题的深入研究，可以得到以下创新点拨和备考建议:创新点拨本题有以下两个创新点:(1)根据等比数列的性质,利用“倒序相乘法”求等比数列的前n项之积；(2)数列与三角函数知识相结合考查学生分析问题、解决问题的能力，解题时根据两角差的正切公式，把tan(k+1)tank变形为再用裂项相消法求Sn.\n备考建议在解决有关数列求和的创新问题时，要注意以下几点：(1)已知等比数列的首项与末项求前n项之积，很自然想到等比数列的性质“与首末两项距离相等的两项之积相等”，但因无法确定项数，故采取“倒序相乘法”.(2)根据两角差的正切公式tan(α-β)=可把tanαtanβ用tanα-tanβ表示出来，即\n1.(2011·安徽高考)若数列{an}的通项公式是an=(-1)n(3n-2)，则a1+a2+…+a10=()(A)15(B)12(C)-12(D)-15【解析】选A.a1+a2=a3+a4=…=a9+a10=3.故a1+a2+…+a10=15.\n2.(2012·温州模拟)若数列{an}满足a1=1，且则a1a2+a2a3+…+a2010a2011=________.\n【解析】由题意知，数列{}是首项为1，公差为1的等差数列,∴=1+(n-1)×1=n,∴an=∴a1a2+a2a3+…+a2010a2011答案：\n3.(2012·成都模拟)把公差d=2的等差数列{an}的各项依次插入等比数列{bn}中，将{bn}按原顺序分成1项，2项，4项，…，2n-1项的各组，得到数列{cn}:b1,a1,b2,b3,a2,b4,b5,b6,b7,a3，…，数列{cn}的前n项和为Sn.若c1=1,c2=2,S3=则数列{cn}的前100项之和S100=_____.\n【解析】由已知得b1=1,a1=2,b2=令Tn=1+2+22+…+2n-1=2n-1，则T6=63,T7=127,∴数列{cn}的前100项中含有数列{an}的前6项，含有数列{bn}的前94项，\n故S100=(b1+b2+…+b94)+(a1+a2+…+a6)答案：\n4.(2011·新课标全国卷)等比数列{an}的各项均为正数,且2a1+3a2=1,a32=9a2a6.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=log3a1+log3a2+…+log3an，求数列{}的前n项和.\n【解析】(1)设数列{an}的公比为q，由a32=9a2a6得a32=9a42，所以由条件可知an＞0,故q=由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1,所以故数列{an}的通项公式为\n(2)bn=log3a1+log3a2+…+log3an=-(1+2+…+n)所以数列{}的前n项和为\n\n