高中数学必修1_总复习课件 199页

总复习课件\n1．集合与元素(1)集合元素的三个特性：_______、________、_________．(2)元素与集合的关系：_______、________、反映个体与整体之间的关系．(3)集合的表示法：_______、_______、_______、________．确定性互异性无序性列举法描述法图示法区间法属于∈不属于∉数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集复数记法(4)常用数集的记法(5)集合的分类：______、______、______.有限集无限集空集\n(1)子集、真子集及其性质①对任意的x∈A，都有x∈B，则A___B(或B__A).②若A⊆B，且在B中至少有一个元素x∈B，但x∉A，则A____B(或B____A).③∅___A；A___A；A⊆B，B⊆C⇒A_____C.④若A含有n个元素，则A的子集有___个，A的非空子集有______个，A的非空真子集有_______个.2.集合间的基本关系(2)集合相等若A⊆B且B⊆A，则A___B.2n2n-12n-2\n全集为U，集合A的补集为_______(1)集合的交集、并集、补集的定义集合的并集集合的交集集合的补集符号表示图形表示意义{x|x∈A且x∈B}∁UAA∩BA∪B{x|x∈A或x∈B}∁UA＝{x|x∈U且x∉A}3.集合的运算及其性质\n1)并集性质2)交集性质(2)集合的运算性质3)补集性质(1)∁UU=(2)∁U=U(3)∁U(∁UA)=A(4)A(∁UA)=(5)A(∁UA)=U(6)∁U(AB)=(∁UA)(∁UB)(7)∁U(AB)=(∁UA)(∁UB)\n集合的基本概念若集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}的子集只有两个，则实数a＝________.\n集合间的基本关系\n集合的基本运算\n集合中的新定义问题已知集合S＝{0,1,2,3,4,5}，A是S的一个子集，当x∈A时，若有x－1∉A，且x＋1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，那么S中无“孤立元素”的4个元素的子集共有________个，其中的一个是____________．\n01忽略空集致误\n1.空集在解题时有特殊地位，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解.2.解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系.3.解答集合题目,认清集合元素的属性(点集、数集或其它情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.4.Venn图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心.5.要注意A⊆B,A∩B＝A,A∪B＝B,∁UA⊇∁UB,A∩(∁UB)＝∅这五个关系式的等价性.\n4．重要结论(4)六个关系式的等价性(A,B⊆U)∅⊆AA≠∅(1)∅A(∁UB)⊆(∁UA)(∁UA)∪B=UA∩(∁UB)=∅(5)易混的解集{x|y=f(x)}定义域值域点集方程的解集不等式的解集{y|y=f(x)}{(x,y)|y=f(x)}{x|f(x)=0}{x|f(x)<0}\n例1.已知:Ａ={x|y=x2-2x+1},B={y|y=x2-2x+1},C={x|x2-2x+1=0},D={x|(x-1)2<0},E={(x,y)|y=x2-2x+1},则下面结论正确的有…………………()C.A=ED.A=BA.ABCD题型一集合的概念B.DCBA\n(1)若A={(x,y)||x+2|+=0}，B={-2,-1}，则必有()A.ABB.ABC.A=BD.A∩B=(2)集合A＝{y∈R|y＝lgx,x>1},B＝{－2,－1,1,2}，则下列结论中正确的是()A．A∩B＝{－2，－1}B．(∁RA)∪B＝(－∞，0)C．A∪B＝(0,＋∞)D．(∁RA)∩B＝{－2，－1}练一练\n例2.设A={x|x＞4或x<-2},B={x|a≤x0}，对应关系f：对P中三角形求面积与集合Q中元素对应．\n(2)已知映射f：A→B.其中A＝B＝R，对应关系f：x→y＝－x2＋2x，对于实数k∈B，在集合A中不存在元素与之对应，则k的取值范围是()A．k>1B．k≥1C．k<1D．k≤1\n函数的表示方法【例3】如图，有一直角墙角，两边的长度足够长,在P处有一棵树与两墙的距离分别是am(0g[f(x)]的x的值是________．例2x123f(x)131x123g(x)321\n【1】设集合A＝{a,b}，B＝{c，d，e}，则从A到B的映射共有________个．【总结】(1)函数的定义中应注意A，B是两个非空的数集，函数的值域C与B的关系是C⊆B.(2)在映射中，集合A与B的地位是不对等的，在集合B中不要求每个元素在集合A中都有元素与之对应，即集合B中可以有空闲的元素．\n\n1.（2008·山东）设函数的值为（）2.（2008·陕西）定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R),f(1)=2,则f(-3)等于()A.2B.3C.6D.9\n1．函数的定义域(1)函数的定义域是指__________________________________．(2)求定义域的步骤①写出使函数式有意义的不等式(组)；②解不等式组；③写出函数定义域．(3)常见基本初等函数的定义域①分式函数中分母不等于零．②偶次根式函数、被开方式大于或等于0.③一次函数、二次函数的定义域为___.④y＝ax(a>0且a≠1),y＝sinx,y＝cosx,定义域均为__.⑤y＝tanx的定义域为________________________.⑥函数f(x)＝x0的定义域为_________________．使函数有意义的自变量的取值范围RR{x|x∈R且x≠0}\n2．函数的值域(1)在函数y＝f(x)中,与自变量x的值相对应的y的值叫________，_____________叫函数的值域．(2)基本初等函数的值域函数值函数值的集合基本初等函数值域①y＝kx＋b(k≠0)②y＝ax2＋bx＋c(a≠0)③④y＝ax(a>0且a≠1)⑤y＝logax(a>0且a≠1)⑥y＝sinx,y＝cosx⑦y＝tanx\n(1)换元法：若已知f(g(x))的表达式，求f(x)的解析式,通常是令g(x)＝t，从中解出x＝φ(t)，再将g(x)、x代入已知解析式求得f(t)的解析式，即得函数f(x)的解析式，这种方法叫做换元法，需注意新设变量“t”的范围．(2)待定系数法：若已知函数类型，可设出所求函数的解析式，然后利用已知条件列方程(组)，再求系数．(3)消去法：若所给解析式中含有f(x),或f(x),f(－x)等形式，可构造另一个方程，通过解方程组得到f(x)．(4)配凑法或赋值法：依据题目特征，能够由一般到特殊或由特殊到一般寻求普遍规律，求出解析式．3．函数解析式的求法\n求函数的定义域(2)若函数f(x)＝x－4mx2＋4mx＋3的定义域为R，则实数m的取值范围是_______．\n(1)求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集，其准则一般是：①分式中，分母不为零；②偶次根式，被开方数非负；③对于y＝x0，要求x≠0；④对数式中，真数大于0，底数大于0且不等于1；⑤由实际问题确定的函数,其定义域要受实际问题的约束.(2)抽象函数的定义域要看清内、外层函数之间的关系．\n抽象函数的定义域【例2】若函数f(2x)的定义域是[－1,1],求f(log2x)的定义域．\n求函数的值域\n(1)当所给函数是分式的形式，且分子、分母是同次的，可考虑用分离常数法；(2)若与二次函数有关，可用配方法；(3)若函数解析式中含有根式,可考虑用换元法或单调性法;(4)当函数解析式结构与基本不等式有关，可考虑用基本不等式求解；(5)分段函数宜分段求解；(6)当函数的图象易画出时，还可借助于图象求解．\n求函数的解析式\n函数解析式的求法(1)凑配法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(4)方程思想：已知关于f(x)与或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．\n01(14分)已知f(x)＝2＋log3x，x∈[1,9]，试求函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的值域．函数问题首先要考虑定义域答题规范\n(1)本题考查了函数的定义域、值域的概念及求法，是函数的重点知识．(2)本题易错原因是忽略对定义域的研究，致使函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的讨论范围扩大．(3)解答有关函数的问题要规范，研究函数问题，首先研究其定义域，这是解答的规范，也是思维的规范.\n方法与技巧1.函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质的基础．因此，我们一定要树立函数定义域优先意识．求函数的定义域关键在于列全限制条件和准确求解方程或不等式(组)；对于含有字母参数的函数定义域,应注意对参数取值的讨论;对于实际问题的定义域一定要使实际问题有意义.2.函数值域的几何意义是对应函数图象上点的纵坐标的变化范围.利用函数几何意义,数形结合可求某些函数的值域.3.函数的值域与最值有密切关系，某些连续函数可借助函数的最值求值域，利用配方法、判别式法、基本不等式求值域时，一定注意等号是否成立，必要时注明“＝”成立的条件．\n失误与防范1．求函数的值域，不但要重视对应关系的作用，而且还要特别注意定义域对值域的制约作用．函数的值域常常化归为求函数的最值问题，要重视函数单调性在确定函数最值过程中的作用．特别要重视实际问题的最值的求法．2．对于定义域、值域的应用问题，首先要用“定义域优先”的原则，同时结合不等式的性质．\n三、解答题\n1．给定函数的解析式，求函数的定义域的依据是以函数的解析式所含运算有意义为准则,列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集，其准则一般是：①分式中,分母不等于零，②偶次根式中,被开方数为非负数，③对于y=x0，要求x≠0,④对数式中,真数大于0,且底数为不等于1的正数，⑤正切函数等．2.由实际问题确定的函数，其定义域要受实际问题的约束.3.抽象函数的定义域要看清内、外层函数之间的关系.考点一求函数的定义域\n例1(3)已知y=f(2x+1)的定义域为[-1,1],求f(x)的定义域；(4)已知f(x)的定义域为[0,2],求f(2x)的定义域.考点一求函数的定义域\n【1】(08·湖北)函数的定义域为()A.(-∞,-4]∪[2,+∞)B.(-4,0)∪(0,1)C.[-4,0)∩(0,1]D.[-4,0)∪(0,1)\n例1课堂互动讲练\n【1】f(x)为二次函数，且满足f(0)＝0，f(x＋1)－f(x)＝x＋1，求f(x)．例2解:由题意【2】已知函数f(x)满足求f(x)的解析式.考点二求函数的解析式\n(3)已知f(x)是R上的函数,且f(0)=1,对任意x,y∈R恒有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),求f(x).例2（4）方法一:∵f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)，令y=x，得f(0)=f(x)-x(2x-x+1)，∵f(0)=1，∴f(x)=x2+x+1.方法二令x=0，得f(-y)=f(0)-y(-y+1)=y2-y+1,再令y=-x,得f(x)=x2+x+1.考点二求函数的解析式\n【1】设定义在R上的函数f(x)对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+2y(x+y),且满足f(1)=1,求f(0)及f(x)的表达式.考点二求函数的解析式\n(4)如图是函数f(x)的图象,OC段是射线,而OBA是抛物线的一部分,试写出f(x)的表达式.解:(1)当x≤0时,∵直线OC经过(-2,-2),∴直线方程为y=x;(2)当x≥0时,抛物线过B(1,-1),A(2,0)易求得抛物线的解析式为:y=x2-2x.∴解析式为例2考点二求函数的解析式\n1．函数的单调性增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1,x2当x1f(x2)上升的下降的(1)单调函数的定义\n2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足条件(1)对于任意x∈I，都有_________；(2)存在x0∈I,使得_________.(3)对于任意x∈I,都有__________；(4)存在x0∈I,使得__________.结论M为最大值M为最小值(2)单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是_______或________,则称函数f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，________叫做y＝f(x)的单调区间．增函数减函数区间Df(x)≤Mf(x)≥Mf(x0)＝Mf(x0)＝M\n函数单调性的判断及应用\n(1)证明函数的单调性用定义法的步骤是:取值—作差—变形—确定符号—下结论.(2)利用导数证明的一般步骤为：求导，判断导函数在区间上的符号，下结论．导数法是比较常用的一种方法．\n求函数的单调区间求函数的单调区间与确定单调性的方法一致．(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．(2)定义法:先求定义域，再利用单调性定义．(3)图象法:如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．(4)导数法:利用导数取值的正负确定函数的单调区间．(5)本题的易错点是忽视函数的定义域．\n抽象函数的单调性及最值\n\n02函数的单调性与不等式(1)对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义．应该构造出f(x2)－f(x1)并与0比较大小．(2)将函数不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性“去掉”,是本小题的切入点.要构造出f(M)x2)；(2)作差f(x1)－f(x2)，然后变形；(3)判定f(x1)－f(x2)的符号；(4)根据定义得出结论．2.求函数的单调区间首先应注意函数的定义域，函数的单调区间都是其定义域的子集；其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间．常用方法：根据定义，利用图象和单调函数的性质，还可以利用导数的性质．3.复合函数的单调性对于复合函数y＝f(g(x))，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数，若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同(同时为增或减)，则y＝f(g(x))为增函数；若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f(g(x))为减函数．简称为：同增异减．\n1．函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减．单调区间要分开写，即使在两个区间上的单调性相同，也不能用并集表示．2．两函数f(x),g(x)在x∈(a，b)上都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)也为增(减)函数,但f(x)·g(x),等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比．\n三、解答题\n\n设函数y＝f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1、x2,当x1f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数.\n①任取x1,x2∈D,且x10时，f(x)>1,且对任意的a,b∈R,f(a+b)=f(a)·f(b).(1)求f(0)的值；(2)判断f(x)的单调性.一、抽象函数的单调性与最值\n【1】若对一切实数x,y都有(1)求f(0)的值;(2)判定f(x)的奇数偶性.【2】若函数f(x)对任意a,b∈R都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x>0时,有f(x)>1.求证:f(x)是R上的增函数.【3】已知函数f(x)对于任何实数x,y都有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)且f(0)≠0．求证:f(x)是偶函数.\n例2.判断函数在区间(-1,1)上的单调性.二、函数单调性的判定及证明例3.设为奇函数,且定义域为R.(1)求b的值；(2)判断函数f(x)的单调性；(3)若对于任意t∈R,不等式恒成立，求实数k的取值范围．\n【1】\n\n二、高考热点聚焦热点一：函数概念与抽象函数\n\n（09山东）\n一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有_______________，那么函数f(x)就叫做偶函数．一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有______________，那么函数f(x)就叫做奇函数．奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称．1．奇、偶函数的概念f(－x)＝－f(x)f(－x)＝f(x)2．奇、偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性_____，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性_____．(2)在公共定义域内，①两个奇函数的和是______，两个奇函数的积是偶函数；②两个偶函数的和、积都是_________；③一个奇函数，一个偶函数的积是________．相反相同奇函数偶函数奇函数\n(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝______，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中_____________的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.3．周期性存在一个最小f(x)\n函数奇偶性的判断\n判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域对解决问题是有利的；(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数，分段函数奇偶性的判断，要分别从x>0或x<0来寻找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性.\n函数的单调性与奇偶性\n函数的奇偶性与周期性\n02等价转换要规范(1)从f(1)联想自变量的值为1，进而想到赋值x1＝x2＝1.(2)判断f(x)的奇偶性,就是研究f(x),f(－x)的关系.从而想到赋值x1＝－1，x2＝x.即f(－x)＝f(－1)＋f(x)．(3)就是要出现f(M)N的形式求解．答题规范\n02等价转换要规范答题规范\n\n数学解题的过程就是一个转换的过程．解题质量的高低，取决于每步等价转换的规范程度．如果每一步等价转换都是正确的、规范的，那么这个解题过程就一定是规范的．等价转化要做到规范，应注意以下几点：(1)要有明确的语言表示．如“M”等价于“N”，“M”变形为“N”．(2)要写明转化的条件．如本例中：∵f(x)为偶函数，∴不等式(*)等价于f(|(3x＋1)(2x－6)|)≤f(64)．(3)转化的结果要等价．如本例：由于f(|(3x＋1)(2x－6)|)≤f(64)⇒|(3x＋1)(2x－6)|≤64，且(3x＋1)(2x－6)≠0.若漏掉(3x＋1)(2x－6)≠0，则这个转化就不等价了.\n1．正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式.2．奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据．为了便于判断函数的奇偶性,有时需要先将函数进行化简,或应用定义的等价形式:f(－x)＝±f(x)⇔f(－x)±f(x)＝0⇔＝±1(f(x)≠0)．3．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也真．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性．\n1．判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．2．判断函数f(x)是奇函数，必须对定义域内的每一个x，均有f(－x)＝－f(x)，而不能说存在x0使f(－x0)＝－f(x0)．对于偶函数的判断以此类推．3．分段函数奇偶性判定时，要以整体的观点进行判断，不可以利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性．\n\n\n1.奇函数、偶函数的概念一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有_______________，那么函数f(x)就叫做偶函数.一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有_______________，那么函数f(x)就叫做奇函数.f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)\n定义法利用性质2.函数奇偶性的判定图象法:画出函数图象①考查函数定义域是否关于原点对称；②判断f(-x)＝±f(x)之一是否成立；③作出结论.\n一个函数为奇函数⇔它的图象关于原点对称.一个函数为偶函数⇔它的图象关于y轴对称.3.性质:奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.(2)在定义域的关于原点对称的公共区间内奇±奇=奇;偶±偶=偶;奇±偶=非奇非偶.偶×偶=偶；奇×奇=偶；偶×奇=奇.(1)奇函数、偶函数的图象特点(3)奇偶性与单调性的关系\n（1）设函数f(x)的定义域关于原点对称,判断下列函数的奇偶性：4.任意一个定义域关于原点对称的函数,总可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和.5.对于奇函数f(x),若x能取到零,则f(0)=__.06.若f(x)为偶函数，则\n\n\n09年\n()\n∴f(x)既是偶函数,又是奇函数.解:函数的定义域为{-1,1},例1.判断下列函数的奇偶性(2)f(x)=|x+1|-|x-1|所以函数f(x)为奇函数.\n∴定义域为[-1,0)∪(0,1].即f(-x)=-f(x).所以函数f(x)为奇函数.点评:判断函数是否具有奇偶性,先看定义域是否关于原点对称,其次要对解析式进行化简.\n例2.定义在[-1,1]上的函数f(x)是奇函数,并且在[-1,1]上f(x)是增函数,求满足条件f(1-a)+f(1-a2)≤0的a的取值范围.【1】定义在［－2,2］上的偶函数f(x),当x≥0时,f(x)单调递减,若f(1-m)＜f(m)成立,求m的取值范围．【2】若函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间（-∞，0]上是减函数，又f(2a-1)＞f(3-a),则a的取值范围是______________.[变式练习]\n例4.已知f(x)是奇函数,当x≥0时,f(x)=x2－2x,求当x＜0时,f(x)的解析式,并画出此函数f(x)的图象.【1】已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x＞0时,f(x)=x2+x-1,求函数f(x)的表达式．【2】已知f(x)是偶函数,g(x)是奇函数，x∈[0,3]上的图象如图所示，则不等式的解集是_______________.[练习]\n【3】f(x)是R上偶函数,且在[0,+∞)上是增函数,f(0.5)=0,则不等式的解集为__________.[练习]【1】\n1.二次函数的定义与解析式①一般式：__________________.②顶点式：__________________,顶点为______.③零点式：____________________,其中_______是方程ax2+bx+c=0的两根.y=ax2+bx+c(a≠0)y=a(x-m)2+n(a≠0)y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)(m,n)(1)二次函数的定义形如:f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫做二次函数.(2)二次函数解析式的三种形式x1,x2\n①对称轴:______②顶点:_________2．二次函数的图象和性质图象函数性质定义域x∈R(个别题目有限制的,由解析式确定)值域a>0a<0奇偶性b＝0时为偶函数，b≠0时既非奇函数也非偶函数单调性a>0a<0图象特点上递减上递增上递增上递减\n3.二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)与轴两交点的距离当Δ＝b2－4ac>0时，图象与x轴有两个交点M1(x1,0),M2(x2,0)，4.二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)在[m,n]上的最值(2)若[m,n],则①当x0n时,f(x)min=f(n),f(x)max=f(m).(1)若∈[m,n],则f(x)min=f(x0)=\n求二次函数的解析式【例1】已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1,且f(x)的最大值是8,试确定此二次函数．二次函数的解析式有三种形式：(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)；(3)两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．已知函数的类型(模型),求其解析式,用待定系数法,根据题设恰当选用二次函数解析式的形式,可使解法简捷．\n\n二次函数的图象与性质【例2】已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围,使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数；(3)当a＝1时,求f(|x|)的单调区间．已知函数f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2在区间[0,1]内有一个最大值－5，求a的值．\n二次函数的综合应用【例3】若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式；(2)若在区间[－1,1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立,求实数m的取值范围．\n02分类讨论在二次函数中的应用(1)求a的取值范围，是寻求关于a的不等式，解不等式即可；(2)求f(x)的最小值，由于f(x)可化为分段函数，分段函数的最值分段求，然后综合在一起．(3)对a讨论时，要找到恰当的分类标准．\n分类讨论的思想是高考重点考查的数学思想方法之一.本题充分体现了分类讨论的思想方法.在解答本题时有两点容易造成失分:一是求实数a的值时，讨论的过程中没注意a自身的取值范围，易出错；二是求函数最值时，分类讨论的结果不能写在一起，不能得出最后的结论.除此外,解决函数问题时，以下几点容易造成失分：1.含绝对值问题，去绝对值符号，易出现计算错误；2.分段函数求最值时要分段求，最后写在一起时，没有比较大小或不会比较出大小关系；3.解一元二次不等式时,不能与一元二次函数、一元二次方程联系在一起,思路受阻.02分类讨论在二次函数中的应用\n\n\n\n三、解答题\n涉及方程f(x)=ax2+bx+c=0(a≠0)的实根分布问题,一般情况下要从四个方面考虑:①f(x)图象的开口方向;②方程f(x)=0的判别式;④区间端点处函数值的符号.③f(x)图象的对称轴与区间的关系;1.二次方程ax2+bx+c=0(a>0)实根分布问题\n①方程f(x)=0有两正根②方程f(x)=0有两负根③方程f(x)=0有一正根一负根记f(x)=ax2+bx+c(a>0)1.二次方程ax2+bx+c=0(a>0)实根分布问题\n根的分布图象充要条件\n根的分布图象充要条件\n根的分布图象充要条件两个实根有且仅有一根在区间内\n2.二次函数图象和性质二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)(1)开口方向:a>0时,开口____,a<0时,开口_____．向上向下(2)顶点、对称轴：顶点坐标为_____________;对称轴方程为________.(3)与坐标轴的交点①与y轴的交点是________;②当Δ>0时，与x轴两交点的横坐标x1、x2分别是方程ax2＋bx＋c＝0的两根．且|x1-x2|=______;③当Δ＝0时,与x轴切于一点________;④当Δ<0时，与x轴_______．不相交(0,c)(4)在对称轴的两侧单调性相反.(5)当b=0时为偶函数,当b≠0时为非奇非偶函数.\nΔ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象方程ax2+bx+c=0的根ax2+bx+c>0(a>0)的解集ax2+bx+c<0(a>0)的解集有两不等实根x1,x2{x|xx2}有两相等实根x1=x2无实根{x|x≠x1}R3.二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的关系{x|x10恒成立问题①ax2+bx+c>0在R上恒成立③f(x)=ax2+bx+c>0(a>0)在[m,n]上恒成立f(x)min>0(x∈[m,n])②ax2+bx+c<0在R上恒成立④f(x)=ax2+bx+c<0(a>0)在[m,n]上恒成立\n对勾函数奇偶性:奇函数xyo单调性\n【例1】已知函数在区间[0,1]上的最大值是2，求实数a的值.[练一练]已知函数f(x)=-x2+8x,求函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值h(t).\n例2.设不等式mx2-2x-m+1<0对于满足|m|≤2的一切值都恒成立，求实数x的取值范围.解：设f(m)=mx2-2x-m+1,【点评】解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数.一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数.则f(m)是一个以m为自变量的一次函数，其图象是直线，由题意知该直线当-2≤m≤2时，线段在x轴下方,所以实数x的取值范围是\n【1】【2】若方程x2-2x=k在区间[-1,1]上有解,则实数k的取值范围为_____________.【3】方程x2-mx+1=0的两根为α,β且则实数m的取值范围是____________.练一练例3.已知函数f(x)＝|x2－4x＋3|.(1)求函数f(x)的单调区间，并指出其增减性；(2)求集合M＝{m|使方程f(x)＝mx有四个不相等的实根}.\n则问题转化为m≤g(x)min解：m≤-2x2+9x在区间［2，3］上恒成立，（1）变量分离法(分离参数)例4.关于x的不等式在区间[2,3]上恒成立,则实数m的取值范围是_______.【评注】对于一些含参数的不等式恒成立问题，如果能够将不等式中的变量和参数进行剥离，即使变量和参数分别位于不等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化归为解关于参数的不等式的问题．不等式恒成立问题\n问题等价于f(x)max≤0,解：构造函数23y..xo（2）转换求函数的最值例4.关于x的不等式在区间[2,3]上恒成立,则实数m的取值范围是_______.不等式恒成立问题\n则解：构造函数23y..xo例4.关于x的不等式在区间[2,3]上恒成立,则实数m的取值范围是_______.（３）数形结合思想不等式恒成立问题\n解：据题意，由已知得:不等式解集为：23A例4.关于x的不等式在区间[2,3]上恒成立,则实数m的取值范围是_______.（４）不等式解集法不等式恒成立问题\n22.(14分)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c.(1)若f(-1)=0，试判断函数f(x)零点个数；(2)是否存在a,b,c∈R，使f(x)同时满足以下条件：i.对x∈R,f(x-4)=f(2-x),且f(x)≥0，ii.对x∈R，都有0≤f(x)-x≤(x-1)2,若存在，求出a,b,c的值；若不存在，请说明理由。\n走进高考\n1.根式的概念根式的概念符号表示备注n>1,且n∈N*.如果xn=a,那么x叫做a的n次方根.n为奇数时,正数的奇次方根是正数;负数的奇次方根是负数.零的n次方根是零负数没有偶次方根n为偶数时,正数的偶次方根有两个且互为相反数.适用范围:①当n为大于1的奇数时,a∈R.②当n为大于1的偶数时,a≥0.公式(2)公式(1)2.两个重要公式\n幂指数定义条件正整数指数零指数负整数指数正分数指数负分数指数a＞0,m,n∊N*,n＞1a＞0,m,n∊N*,n＞13.幂的有关概念规定:0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义.\n4.有理数指数幂的运算性质:(a＞0,b＞0,r,s∊Q)\na>100,且a≠1)的性质：yxoy=1(0,1)yx(0,1)y=1o当x<0时,00时,00时,y>1.当x<0时,y>1.\n6.第一象限中,指数函数底数与图象的关系图象从下到上,底数逐渐变大.\n指数式与根式的计算问题\n指数函数的图象及应用\nA(2)k为何值时，方程|3x－1|＝k无解？有一解？有两解？\n【例3】设a＞0且a≠1，函数y=a2x+2ax-1在[-1,1]上的最大值为14，求a的值.指数函数的性质及应用\n03方程思想及转化思想在求参数中的应用\n(1)根据f(x)的奇偶性，构建方程求参数体现了方程的思想；在构建方程时，利用了特殊值的方法，在这里要注意的是：有时利用两个特殊值确定的参数，并不能保证对所有的x都成立．所以还要注意检验．(2)数学解题的核心是转化，本题的关键是将f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0等价转化为：t2－2t>－2t2＋k恒成立．这个转化考生易出错．其次，不等式t2－2t>－2t2＋k恒成立，即对一切t∈R有3t2－2t－k>0，也可以这样做：k<3t2－2t,t∈R,只要k比3t2－2t的最小值小即可,而3t2－2t的最小值为－1/3,所以k<－1/3.\n1．单调性是指数函数的重要性质，特别是函数图象的无限伸展性，x轴是函数图象的渐近线．当01时，x→－∞，y→0；当a>1时，a的值越大，图象越靠近y轴，递增的速度越快；当00，a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a),(0,1),.3．在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中，要注意运用方程的观点处理问题，通过解方程(组)来求值，或用换元法转化为方程来求解．\n1．指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意区分a>1与00且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数,记作_________,其中____叫做对数的底数,____叫做真数.Nx=logaNa对数形式特点记法一般对数底数为a(a>0且a≠1)_______常用对数底数为__________自然对数底数为__________lnNlgNlogaN(2)几种常见对数10e\n2.对数的性质与运算法则(1)对数的性质①负数和零没有对数;②logaa=1；③loga1=0.(2)积、商、幂的对数运算法则：(a>0,且a1,M>0,N>0)\n2.对数的性质与运算法则(3)对数的重要公式1)对数的换底公式3)四个重要推论2)对数恒等式\n函数y=logax(a＞0且a≠1)图象定义域值域单调性过定点趋势取值范围(0,+∞)R增函数(1，0)底数越大，图象越靠近x轴01时,y>000x>1时,y<0底数越小，图象越靠近x轴(1，0)减函数R(0,+∞)3.对数函数图象与性质\n指数函数y=ax与对数函数_________互为反函数,它们的图象关于直线_________对称.y=logaxy=x4.反函数5.第一象限中,对数函数底数与图象的关系图象从左到右,底数逐渐变大.\n对数式的化简与求值\n对数函数的图象与性质作出函数y＝log2x的图象,将其关于y轴对称得到函数y=log2|x|的图象,再将图象向左平移1个单位长度就得到函数y=log2|x+1|的图象(如图所示).由图知,作一些复杂函数的图象,首先应分析它可以从哪一个基本函数的图象变换过来.一般是先作出基本函数的图象,通过平移、对称、翻折等方法，得出所求函数的图象.\nA.（1，10）B.（5，6）C.（10，12）D.（20，24）\n对数函数的综合应用已知函数f(x)＝loga(x＋1)(a>1),若函数y＝g(x)图象上任意一点P关于原点对称的点Q的轨迹恰好是函数f(x)的图象.(1)写出函数g(x)的解析式；(2)当x∈[0,1)时总有f(x)＋g(x)≥m成立,求m的取值范围.\n04数形结合思想在对数函数中的应用(14分)已知函数f(x)＝loga(ax－1)(a>0且a≠1)．求证:(1)函数f(x)的图象总在y轴的一侧；(2)函数f(x)图象上任意两点连线的斜率都大于0.\n[8分]\n说到数形结合思想，我们更多的会想到以“形”助“数”来解决问题．事实上，本题是以“数”来说明“形”的问题，同样体现着数形结合的思想．本题的易错点是：①找不到证明问题的切入口．如第(1)问，很多考生不知道求其定义域．②不能正确进行分类讨论．若对数或指数的底数中含有参数，一般要进行分类讨论.\n1．指数式ab＝N与对数式logaN＝b的关系以及这两种形式的互化是对数运算法则的关键．2．指数运算的实质是指数式的积、商、幂的运算，对于指数式的和、差应充分运用恒等变形和乘法公式；对数运算的实质是把积、商、幂的对数转化为对数的和、差、积．3．注意对数恒等式、对数换底公式及等式log,logab＝在解题中的灵活应用.\n1．在运算性质logaMn＝nlogaM时，要特别注意条件，在无M＞0的条件下应为logaMn＝nloga|M|(n∈N*，且n为偶数)．2．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，应从概念、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别．3．明确函数图象的位置和形状要通过研究函数的性质，要记忆函数的性质可借助于函数的图象.因此要掌握指数函数和对数函数的性质首先要熟记指数函数和对数函数的图象．\n3.已知函数f(x)＝lg(ax－bx)(a>1>b>0)．(1)求y＝f(x)的定义域；(2)在函数y＝f(x)的图象上是否存在不同的两点,使得过这两点的直线平行于x轴；(3)当a，b满足什么条件时，f(x)在(1，＋∞)上恒取正值．\n【1】比较大小补偿练习\nA1，解析\n\n例4.方程的解有__个.3xyo12图象应用问题【1】方程的解有__个.2【2】函数的图象恒过点_______.oxy练一练\n【3】已知0＜a＜1，方程a|x|=|logax|的实根个数是_______个．【点评】当判断方程f(x)=g(x)的实根个数时，我们可转化为判断函数y=f(x)与函数y=g(x)的图像的交点的个数．1oxy2练一练\n【4】已知函数是(-∞,+∞)上的减函数,则实数a的取值范围是________．【5】函数y=loga|x+b|(a>0,a≠1,ab=1)的图象只可能是()练一练\n分类讨论思想的应用\n【1】(07上海)方程的解是_________.【3】不等式的解集是____________________.【2】不等式的解集是______________.【4】函数y＝log3x的反函数为g(x),则【5】函数的单调增区间是________,值域是________.练一练\nA.1B.-1C.D.【6】练一练【7】(06山东)设函数则f[f(2)]=.【8】计算9.(09·辽宁)已知函数f(x)满足：当x≥4时，当x<4时，f(x)=f(x+1).则f(2+log23)=()A.B.C.D.