教师培训课件：有效改进高中数学教学 52页

有效改进数学教学\n一、课改中形成的基本共识核心：以学生的全面、和谐与可持续发展为本——教育中的“科学发展观”教学目标——全面关注学生的认知、能力和理性精神，以学生最近发展区为定向，促进学生全面、和谐、可持续发展——数学育人。\n教学要求——个性差异与统一要求的辩证统一，但以个性差异为出发点和基础教学设计——不仅从内容的教学需要预设提问、讲授、训练等，而且特别强调课堂“生成”，预设能引发学生独立思考、自主探究的“开放性问题”，乃至强调“看过问题三百个，不会解题也会问”教学方法——讲授、问答、训练的综合，不再是单一的讲授或活动，是教师主导取向的讲授式和学生自主取向的活动式的融合，强调“启发式讲授”的重要性\n学习方式——接受与探究的融合，强调学生学习主动性、积极性，独立思考和合作学习的结合教学过程——知识发生发展过程（自然、水到渠成）为载体的学生认知过程，以学生为主体的数学活动过程，强调学生数学思维的展开、深度参与（教学的有效性）\n教学评价——教师根据教学进程进行教学反馈、调节，学生通过自我监控调节学习进程，重视形成性评价——发展的眼光教学媒体——追求“必要性”“平衡性”“广泛性”“实践性”“有效性”，服务于数学概念、原理的实质理解\n教改只能成功不能失败，因为人才的成长没有重复机会，教育要绝对避免“折腾”。教改必须“大胆创新，谨慎实践”。当前，与教育的本质相悖的“功利化”现象还占据主导地位，需要我们共同努力，为教育的理想而奋斗。\n二、提高“理解数学”的水平老师理解好数学是提高教学质量的前提。理解数学概念的几个方面：从表面到本质—把握概念的深层结构上的进步；从抽象到具体—对抽象概念的形象描述，解读概念关键词，更多的典型、精彩的例子；\n从孤立到系统—对概念之间的关系、联系的认识，有层次性、立体化的认识；等。提高解读概念所反映的数学思想方法的能力是教师专业化发展的抓手。\n例1几个数学概念的解读如何理解诱导公式？推导等差数列前n项求和公式的思想方法是什么？如何理解两个变量的线性相关问题？\n三、课堂教学的高立意与低起点立意不高是普遍问题，许多教师的“匠气”太浓，课堂上题型、技巧太多，弥漫着“功利”，缺少思想、精神的追求，严重影响数学育人。\n数学的“育人”功能如何体现？——挖掘数学知识蕴含的价值观资源，在教学中将知识教学与价值观影响融为一体。关键：提高思想性。“技术”：加强“先行组织者”的使用。\n例2不等式基本性质“立意”比较以往做法：数轴上点的顺序定义数的大小关系，再到“基本事实”（考察两个实数的大小，只要考察它们的差），再由“利用比较实数大小的方法，可以推出下列不等式的性质”：性质1，2，3……——证明——例题——练习、习题\n人教A版的教学设计数轴上点的顺序定义数的大小关系，再到“基本事实”（考察两个实数的大小可以统一化归为比较它们的差与0的大小）；从“数及其运算”的高度出发，以“运算中的不变性、规律性就是性质”为思想指导，以等式的基本性质为起点，通过类比等式的基本性质，得到不等式基本性质的猜想；\n回到从“基本事实”到“基本性质”的推理过程，给出证明；引导学生用不同语言表述“基本性质”；从实例中概括基本不等式的作用——明确概括出思想方法。核心：将等式与不等式纳入数及其运算的系统中，成为用运算律推导出的“性质”。既要讲逻辑，更要讲思想，加快学生领悟思想的进程。\n教学设计可以这样做先行组织者：解方程要以等式的基本性质为依据；解决不等式的问题要以不等式的基本性质为依据。请叙述等式的基本性质。你能说说讨论等式的基本性质的思想方法吗？类似的，你能猜想一下不等式的基本性质吗？\n阅读教科书，看看还有哪些性质没有想到？根据“基本事实”证明自己的猜想。你能总结一下等式的基本性质和不等式的基本性质蕴含的数学思想方法吗？\n四、提高概念的教学水平问题：不重视概念教学，“一个定义，三项注意”式的抽象讲解，很快进入概念的综合应用。概念教学的核心——概括：将凝结在数学概念中的数学家的思维打开，以典型丰富的实例为载体，引导学生展开观察、分析各事例的属性、抽象概括共同本质属性，归纳得出数学概念。\n概念教学的基本环节典型丰富的具体例证——属性的分析、比较、综合；概括共同本质特征得到概念的本质属性；下定义（准确的数学语言描述）；\n概念的辨析——以实例（正例、反例）为载体分析关键词的含义；用概念作判断的具体事例——形成用概念作判断的具体步骤；概念的“精致”——建立与相关概念的联系。\n例3三角函数定义的教学过程设计复习请回答下列问题：前面学了任意角，你能说说任意角概念与平面几何中的角的概念有什么不同吗？引进象限角概念有什么好处？在度量角的大小时，弧度制与角度制有什么区别？我们是怎样简化弧度制的度量单位的？设计意图：从为学习三角函数概念服务的角度复习；关注的是思想方法。\n先行“组织者”：我们知道，函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。例如指数函数描述了“指数爆炸”，对数函数描述了“对数增长”等。圆周运动是一种重要的运动，其中最基本的是一个质点绕点O做匀速圆周运动，其变化规律该用什么函数模型描述呢？“任意角的三角函数”就是一个刻画这种“周而复始”的变化规律的函数模型。设计意图：解决“学习的必要性”问题，明确要研究的问题。\n问题1对于三角函数我们并不陌生，初中学过锐角三角函数，你能说说它的自变量和对应关系各是什么吗？任意画一个锐角α，你能借助三角板，根据锐角三角函数的定义找出sinα的值吗？设计意图：从函数角度重新认识锐角三角函数定义，突出“与点的位置无关”。问题2你能借助象限角的概念，用直角坐标系中点的坐标表示锐角三角函数吗？设计意图：比值“坐标化”。\n问题3上述表达式比较复杂，你能设法将它化简吗？设计意图：为“单位圆法”作铺垫。学生答出“取点P(x，y)使x2+y2=1”后追问“为什么可以这样做？”教师讲授：类比上述做法，设任意角α的终边与单位圆交点为P(x，y)，定义正弦函数为y=sinα，余弦函数为x=cosα。设计意图：“定义”是一种“规定”；把精力放在定义合理性的理解上。\n问题4你能说明上述定义符合函数定义的要求吗？设计意图：让学生用函数的三要素说明定义的合理性，以此进一步明确三角函数的对应法则、定义域和值域。例1用定义分别求自变量π/2，π，－π/3所对应的正弦函数值和余弦函数值。设计意图：让学生熟悉定义，从中概括出用定义解题的步骤。例2角α的终边过P(1/2，－/2)，求它的三角函数值。\n三角函数概念的“精致”函数值的符号问题；终边与坐标轴重合时的三角函数值；终边相同的角的同名三角函数值；与锐角三角函数的比较：因袭与扩张；从“形”的角度看三角函数——三角函数线，联系的观点；终边上任意一点的坐标表示的三角函数；\n把实数轴想象为一条柔软的细线，原点固定在单位点A（1，0），数轴的正半轴逆时针缠绕在单位圆上，负半轴顺时针缠绕在单位圆上，那么数轴上的任意一个实数（点）t被缠绕到单位圆上的点P（cost，sint）．\n课堂小结：（1）问题的提出——自然、水到渠成，思想高度——函数模型；（2）研究的思想方法——与锐角三角函数的因袭与扩张的关系，化归为最简单也是最本质的模型，数形结合；（3）归纳概括概念的内涵，明确自变量、对应法则、因变量；（4）用概念作判断的步骤、注意事项等。\n五、提高对抓“基础”的认识我国“双基”的优势正在丧失；现象：（1）数学教学=解题教学=题型教学=刺激—反应（记忆、模仿型学习）；（2）缺少知识的发生发展过程，以训练代替概念教学——应用可以促进理解，但没有理解的应用是盲目的；\n（3）过分关注“题型”及对应的技巧——技巧，雕虫小技也，不足道也；技巧无法穷尽，教技巧的结果可能是“讲过练过的不一定会，没讲没练的一定不会”；等。\n如何改变？要强调知识及其蕴含的思想方法教学的重要性——无知者无能；不断回到概念去，从基本概念出发思考问题、解决问题——解题训练应该针对概念的理解和应用；\n加强概念的联系性，从概念的联系中寻找解决问题的新思路——解题的灵活性来源于概念的实质性联系，技巧是不可靠的。应追求解决问题的“根本大法”——基本概念所蕴含的思想方法，强调思想指导下的操作。\n例4向量加法运算及几何意义的教学设计先行组织者：类比数及其运算，引进一个量就要研究运算，引进一种运算就要研究运算律。位移、力的合成、速度的合成等物理原理的回顾。学生带着问题看书：向量的加法法则的关键词是什么？你如何理解？\n汇报对定义和三角形法则、平行四边形法则的理解，其中特别要注意对“关键词”的理解，要求用自己的语言描述。向量a，b不共线，作出a+b，要求说明作法。如果向量a，b共线，如何作a+b？与有理数加法运算有什么关系？从三角形法则我们有，变形有，你怎么看变形？平行四边形法则的代数意义是什么？\n六、探究式教学的天时地利人和天时：建设创新型社会，教育“以培养学生的创新精神和实践能力为重点”；地利：教学内容是否适合于“探究”——有的内容不适宜，如公理、定义名称、规定等；但更多的内容可采用探究式教学；\n例5直线与平面垂直的定义先“直观感受”、举例，再给出定义，并把主要精力放在对“合理性”的认识上，通过正、反例理解定义的关键词。提示学生：用“说得清道得明”的几何关系（即“直线与直线垂直”）来定义“无法说清”的几何关系（即“直线与平面垂直”）是一种公理化思想，学生则只要采用接受式学习方式即可。\n例6两个平面平行的判定问题指导思想：类比两条直线平行的判定，提出两个平面平行的判定的猜想，再给出证明。问题1回顾已经得到的两个平面平行的判定定理，你能说说得到这些判定定理的思想方法吗？——定义法（原始，不容易说清楚），化归为线面平行（用已知想未知，与平面三公理联系等）。\n问题2从前面学习线、面位置关系的判定可知，判定方法不唯一。你有没有想过别的判定方法？问题3在研究问题时，类比、推广、特殊化等是获得研究成果的常用方法。例如，类比两条直线相互平行的判定，能否得到一些猜想？学生可能得到：a，b∥c，则a∥b——α，β∥γ，则α∥β；\na，b⊥c，则a∥b——α，β⊥γ，则α∥β；α，β⊥c，则α∥β；两条直线与第三条直线相交，同位角（内错角）相等，或同旁内角互补，两直线平行——能否类比？\n人和：师生共同营造的“探究氛围”，有赖于学生“探究式学习的心向”，也有赖于教师的“探究型教学的意识”。数学思想方法在自主探究中有关键作用，需要教师的启发引导——注意使用“先行组织者”。\n七、怎样才算“教完了”？舍不得在概念、原理的发生发展过程上花时间——“这样能教完吗？”给学生吃“压缩饼干”：基础知识——“一个定义，三项注意”；解题教学——“题型教学”，解题技巧大杂烩，“一步到位”。\n问题在那里？不“准”——或者是没有围绕概念的核心，或者教错了；不“简”——在细枝末节上下功夫，把简单问题复杂化了；不“精”——让学生在知识的外围重复训练，耗费学生大量时间、精力却达不到对知识的深入理解。\n例7函数概念的“注意事项”集合A，B都是数集；任意性；唯一性；可以一对一、多对一，但不能一对多；y﹦f(x)是一个整体，不是f与x的乘积；值域C={f(x)|x∈A}是集合B的子集；函数的三要素三者缺一不可，值域可由定义域和对应法则唯一确定。\n在不适当的时候、用不适当的方法强调细节，把学生“教糊涂了”。如何让学生体会“定义域”的重要性：抽象强调“定义域很重要”，“解析式相同，定义域不同就是不同的函数”没有作用。有实际意义的具体例子最有效：例如：某商品每件5元，总价y与件数x之间的函数关系；步行速度5km/h，步行距离y与时间x之间的函数关系；等。先让学生写出函数，再问“为什么？”“如何区别”等。\n“教完了”应该以学生是否理解为准，以学生是否达成教学目标为准，特别是学生达到的数学双基的理解和熟练水平为标准（注意，双基包括由内容反映的数学思想方法），而不是教师在课堂上有没有把内容“讲完”。广种薄收是懒汉的做法。\n八、重结果轻过程的危害数学是思维的科学。数学思想方法孕育于知识的发生发展过程中。“思想”是概念的灵魂，是“数学素养”的源泉，是从技能到能力的桥梁；“过程”是“思想”的载体，是领悟概念本质的平台，是思维训练的通道，是培养数学能力的土壤。\n没有过程=没有思想；没有思想就难以理解概念的实质；缺乏数学思想方法的纽带，概念间的关系无法认识、联系也难以建立，导致学生的数学认知结构缺乏整体性，其可利用性、可辨别性和稳定性等“功能指标”都会大打折扣。没有“过程”的教学把“思维的体操”降格为“刺激—反应”训练，是教育功利化在数学教学中的集中表现。\n例8“递推数列”的教学常见做法——归纳题型，总结技巧：1．利用a1=S1，an=Sn－Sn-12．an+1=kan+b型，分k=1和k≠1讨论，k≠1时，设an+1+m=k（an+m），……3．an+1=kan+f(n)型，分k=1、f(n)是否可求和，k≠1、f(n)=an+b，f(n)=qn(q≠0，1)，等；4．an+1=f(n)an型；5.an+2=pan+1+qan(p、q为常数)型；……题型套题型，题型何其多，没有思想方法作为主线，杂乱无章。\nan+1=pan+q型通项公式的教学设计求an+1=pan+q型数列通项公式问题，一般地，抽象问题具体化、一般问题特殊化是研究问题的基本策略。问题1已知a1=1，an+1=2an+1（n∈N*），求通项公式。问题2已知a1=1，an+1=2an+3（n∈N*），求通项公式。问题3已知a1=1，an+1=2an+q（n∈N*），求通项公式。\n问题4已知a1=1，an+1=3an+1（n∈N*），求通项公式。问题1、2、3可以“凑”，但问题4不能，怎么办？注意观察前三个问题的解决过程，转化得到的结构有什么共性？对解决问题4有什么启发？结论：都转化为an+1+t=k(an+t)的形式。问题5一般地，对于a1=a，an+1=pan+1+q，如何求通项公式？——因为推广到了“同类事物”，所以要注意“完备性”，细节、特例的追究。\n结束语教育改革需要一定的理想化色彩；教育包括“生命的教育”和“生活的教育”，不要忘记“教学生做人、做事”的双重职责；教研应该成为我们的生活方式，学而时习之，思想到了极致则开悟；\n能力的来源：信心，精进，正念，定力，智慧；为人师表——默而识之，学而不厌，诲人不倦。\n敬请批评指正谢谢