初中二级数学教案 146页

备课本（2010年—2011学年第一学期）学校富源县农广校专业现代农业课程数学年级2010级班次教师毛雄云南省农业广播电视学校编制\n日期2010年4月11日上午下午晚上授课内容简单的二元二次方程组教学时数6重点一元一次方程、一元二次方程及二元一次方程组的解法.难点掌握了用消元法解二元一次方程组．教学内容及过程设计第一讲简单的二元二次方程组一元一次方程、一元二次方程及二元一次方程组的解法，掌握了用消元法解二元一次方程组．高中新课标必修2中学习圆锥曲线时，需要用到二元二次方程组的解法．因此，本讲讲介绍简单的二元二次方程组的解法．含有两个未知数、且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程．由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，或由两个二元二次方程组组成的方程组，叫做二元二次方程组．一、由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一般都可以用代入法求解．其蕴含着转化思想：将二元一次方程化归为熟悉的一元二次方程求解．【例1】解方程组分析：由于方程(1)是二元一次方程，故可由方程(1)，得，代入方程(2)消去．解：由(1)得：(3)将(3)代入(2)得：，解得：把代入(3)得：；把代入(3)得：．∴原方程组的解是：．\n说明：(1)解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的步骤：①由二元一次方程变形为用表示的方程，或用表示的方程(3)；②把方程(3)代入二元二次方程，得一个一元二次方程；③解消元后得到的一元二次方程；④把一元二次方程的根，代入变形后的二元一次方程(3)，求相应的未知数的值；⑤写出答案．(2)消，还是消，应由二元一次方程的系数来决定．若系数均为整数，那么最好消去系数绝对值较小的，如方程，可以消去，变形得，再代入消元．(3)消元后，求出一元二次方程的根，应代入二元一次方程求另一未知数的值，不能代入二元二次方程求另一未知数的值，因为这样可能产生增根，这一点切记．【例2】解方程组分析：本题可以用代入消元法解方程组，但注意到方程组的特点，可以把、看成是方程的两根，则更容易求解．解：根据一元二次方程的根与系数的关系，把、看成是方程的两根，解方程得：．∴原方程组的解是：．说明：(1)对于这种对称性的方程组，利用一元二次方程的根与系数的关系构造方程时，未知数要换成异于、的字母，如．(2)对称形方程组的解也应是对称的，即有解，则必有解．\n二、由两个二元二次方程组成的方程组1．可因式分解型的方程组方程组中的一个方程可以因式分解化为两个二元一次方程，则原方程组可转化为两个方程组，其中每个方程组都是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成．【例3】解方程组分析：注意到方程，可分解成，即得或，则可得到两个二元二次方程组，且每个方程组中均有一个方程为二元一次方程．解：由(1)得：∴或∴原方程组可化为两个方程组：用代入法解这两个方程组，得原方程组的解是：说明：由两个二元二次方程组成的方程组中，有一个方程可以通过因式分解，化为两个二元一次方程，则原方程组转化为解两个方程组，其中每一个方程组均有一个方程是二元一次方程．【例4】解方程组分析：本题的特点是方程组中的两个方程均缺一次项，我们可以消去常数项，可得到一个二次三项式的方程．对其因式分解，就可以转化为例3的类型．解：(1)–(2)得：即∴\n∴原方程组可化为两个二元一次方程组：．用代入法解这两个方程组，得原方程组的解是：．说明：若方程组的两个方程均缺一次项，则消去常数项，得到一个二元二次方程．此方程与原方程组中的任一个方程联立，得到一个可因式分解型的二元二次方程组．【例5】解方程组分析：(1)+(2)得：，(1)-(2)得：，分别分解(3)、(4)可得四个二元一次方程组．解：(1)+(2)得：，(1)-(2)得：．解此四个方程组，得原方程组的解是：．说明：对称型方程组，如、都可以通过变形转化为的形式，通过构造一元二次方程求解．2．可消二次项型的方程组【例6】解方程组分析：注意到两个方程都有项，所以可用加减法消之，得到一个二元一次方程，即转化为由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组．解：(1)得：代入(1)得：．\n分别代入(3)得：．∴原方程组的解是：．说明：若方程组的两个方程的二次项系数对应成比例，则可用加减法消去二次项，得到一个二元一次方程，把它与原方程组的任意一个方程联立，解此方程组，即得原方程组的解．二元二次方程组类型多样，消元与降次是两种基本方法，具体问题具体解决．\n日期2010年4月12日至18日上午下午晚上授课内容一元二次方程教学时数20重点1、一元二次方程概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程应用题．2、一元二次方程是在学习《一元一次方程》、《二元一次方程》、分式方程等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法．学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的，是学好高中数学的奠基工程．难点一元二次方程2．本单元在教材中的地位与作用．教学内容及过程设计第二讲一元二次方程教学目标1．知识与技能了解一元二次方程及有关概念；掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法；应用熟练掌握以上知识解决问题．2．过程与方法（1）通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建立数学模型．根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念．（2）结合八册上整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念，如二次项等．（3）通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法──直接开方法，导入用配方法解一元二次方程，又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程．（4）通过用已学的配方法解ax2+bx+c=0（a≠0）导出解一元二次方程的求根公式，接着讨论求根公式的条件：b2-4ac>0，b2-4ac=0，b2-4ac<0．（5）通过复习八年级上册《整式》的第5节因式分解进行知识迁移，解决用因式分解法解一元二次方程，并用练习巩固它．（6）提出问题、分析问题，建立一元二次方程的数学模型，并用该模型解决实际问题．3．情感、态度与价值观\n经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型；经历用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的过程，使同学们体会到转化等数学思想；经历设置丰富的问题情景，使学生体会到建立数学模型解决实际问题的过程，从而更好地理解方程的意义和作用，激发学生的学习兴趣．教学重点1．一元二次方程及其它有关的概念．2．用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程．3．利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题．教学难点1．一元二次方程配方法解题．2．用公式法解一元二次方程时的讨论．3．建立一元二次方程实际问题的数学模型；方程解与实际问题解的区别．教学关键1．分析实际问题如何建立一元二次方程的数学模型．2．用配方法解一元二次方程的步骤．3．解一元二次方程公式法的推导．课时划分本单元教学时间约需16课时，具体分配如下：22．1一元二次方程2课时22．2降次──解一元二次方程7课时22．3实际问题与一元二次方程5课时发现一元二次方程根与系数的关系2课时第1课时22．1一元二次方程教学内容一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念．教学目标了解一元二次方程的概念；一般式ax2+bx+c=0（a≠0）及其派生的概念；应用一元二次方程概念解决一些简单题目．1．通过设置问题，建立数学模型，模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义．2．一元二次方程的一般形式及其有关概念．3．解决一些概念性的题目．4．通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．重难点关键1．重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．\n2．难点关键：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．教学过程一、复习引入 学生活动：列方程．问题（1）古算趣题：“执竿进屋”笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭。有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足。借问竿长多少数，谁人算出我佩服。如果假设门的高为x尺，那么，这个门的宽为_______尺，长为_______尺，根据题意，得________．整理、化简，得：__________．问题（2）如图，如果，那么点C叫做线段AB的黄金分割点．如果假设AB=1，AC=x，那么BC=________，根据题意，得：________．整理得：_________．问题（3）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？如果假设剪后的正方形边长为x，那么原来长方形长是________，宽是_____，根据题意，得：_______．整理，得：________．老师点评并分析如何建立一元二次方程的数学模型，并整理．二、探索新知学生活动：请口答下面问题．（1）上面三个方程整理后含有几个未知数？（2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？（3）有等号吗？还是与多项式一样只有式子？老师点评：（1）都只含一个未知数x；（2）它们的最高次数都是2次的；（3）都有等号，是方程．因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．\n例1．将方程3x（x-1）=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此，方程3x（x-1）=5(x+2)必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等．解：略注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号.例2．（学生活动：请二至三位同学上台演练）将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．分析：通过完全平方公式和平方差公式把（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成ax2+bx+c=0（a≠0）的形式．解：略三、巩固练习教材P32练习1、2补充练习:判断下列方程是否为一元二次方程？(1)3x+2=5y-3(2)x2=4(3)3x2-=0(4)x2-4=(x+2)2(5)ax2+bx+c=0四、应用拓展例3．求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．分析：要证明不论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2-8m+17≠0即可．证明：m2-8m+17=（m-4）2+1∵（m-4）2≥0∴（m-4）2+1>0，即（m-4）2+1≠0∴不论m取何值，该方程都是一元二次方程．•练习:1.方程（2a—4）x2—2bx+a=0,在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？2.当m为何值时,方程(m+1)x／4m／-4+27mx+5=0是关于的一元二次方程五、归纳小结（学生总结，老师点评）本节课要掌握：（1）一元二次方程的概念；（2）一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其它们的运用．六、布置作业1．教材P34习题22．11(2)(4)(6)、2．2．选用作业设计．补充:若x2-2xm-1+3=0是关于x的一元二次方程,求m的值作业设计一、选择题\n1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（）．①3x2+7=0②ax2+bx+c=0③（x-2）（x+5）=x2-1④3x2-=0A．1个B．2个C．3个D．4个2．方程2x2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为（）．A．2，3，-6B．2，-3，18C．2，-3，6D．2，3，63．px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程，则（）．A．p=1B．p>0C．p≠0D．p为任意实数二、填空题1．方程3x2-3=2x+1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为_________．2．一元二次方程的一般形式是__________．3．关于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，则a的取值范围是________．三、综合提高题1．a满足什么条件时，关于x的方程a（x2+x）=x-（x+1）是一元二次方程？2．关于x的方程（2m2+m）xm+1+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？3．一块矩形铁片，面积为1m2，长比宽多3m，求铁片的长，小明在做这道题时，是这样做的：设铁片的长为x，列出的方程为x（x-3）=1，整理得：x2-3x-1=0．小明列出方程后，想知道铁片的长到底是多少，下面是他的探索过程：第一步：x1234x2-3x-1-3-3所以，________0，4a2＞0,当b2-4ac≥0时≥0∴（x+）2=()2直接开平方，得：x+=±即x=∴x1=，x2=由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，将a、b、c代入式子x=就得到方程的根．(公式所出现的运算，恰好包括了所学过的六中运算，加、减、乘、除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性。)（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．\n公式的理解（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．例1．用公式法解下列方程．（1）2x2-x-1=0（2）x2+1.5=-3x(3)x2-x+=0（4）4x2-3x+2=0分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可．补:（5）（x-2）（3x-5）=0三、巩固练习教材P42练习1．（1）、（3）、（5）或(2)、(4)、(6)四、应用拓展例2．某数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）+（m-2）x-1=0提出了下列问题．（1）若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程．（2）若使方程为一元二次方程m是否存在？若存在，请求出．你能解决这个问题吗？分析：能．（1）要使它为一元二次方程，必须满足m2+1=2，同时还要满足（m+1）≠0．（2）要使它为一元一次方程，必须满足:①或②或③解：（1）存在．根据题意，得：m2+1=2m2=1m=±1当m=1时，m+1=1+1=2≠0当m=-1时，m+1=-1+1=0（不合题意，舍去）∴当m=1时，方程为2x2-1-x=0a=2，b=-1，c=-1b2-4ac=（-1）2-4×2×（-1）=1+8=9x=x1=，x2=-因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根x1=1，x2=-．（2）存在．根据题意，得：①m2+1=1，m2=0，m=0因为当m=0时，（m+1）+（m-2）=2m-1=-1≠0所以m=0满足题意．②当m2+1=0，m不存在．\n③当m+1=0，即m=-1时，m-2=-3≠0所以m=-1也满足题意．当m=0时，一元一次方程是x-2x-1=0，解得：x=-1当m=-1时，一元一次方程是-3x-1=0解得x=-因此，当m=0或-1时，该方程是一元一次方程，并且当m=0时，其根为x=-1；当m=-1时，其一元一次方程的根为x=-．五、归纳小结本节课应掌握：（1）求根公式的概念及其推导过程；（2）公式法的概念；（3）应用公式法解一元二次方程的步骤:1）将所给的方程变成一般形式，注意移项要变号，尽量让a>0.2)找出系数a,b,c,注意各项的系数包括符号。3)计算b2-4ac，若结果为负数，方程无解，4）若结果为非负数，代入求根公式，算出结果。（4）初步了解一元二次方程根的情况．六、布置作业1．教材P45复习巩固4．2．选用作业设计:一、选择题1．用公式法解方程4x2-12x=3，得到（）．A．x=B．x=C．x=D．x=2．方程x2+4x+6=0的根是（）．A．x1=，x2=B．x1=6，x2=C．x1=2，x2=D．x1=x2=-\n3．（m2-n2）（m2-n2-2）-8=0，则m2-n2的值是（）．A．4B．-2C．4或-2D．-4或2二、填空题1．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是________，条件是________．2．当x=______时，代数式x2-8x+12的值是-4．3．若关于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0有一根为0，则m的值是_____．三、综合提高题1．用公式法解关于x的方程：x2-2ax-b2+a2=0．2．设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，（1）试推导x1+x2=-，x1·x2=；（2）求代数式a（x13+x23）+b（x12+x22）+c（x1+x2）的值．3．某电厂规定：该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过A千瓦时，那么这户居民这个月只交10元电费，如果超过A千瓦时，那么这个月除了交10元用电费外超过部分还要按每千瓦时元收费．（1）若某户2月份用电90千瓦时，超过规定A千瓦时，则超过部分电费为多少元？（用A表示）（2）下表是这户居民3月、4月的用电情况和交费情况月份用电量（千瓦时）交电费总金额（元）3802544510根据上表数据，求电厂规定的A值为多少？课后反思:第7课时22.2.4判别一元二次方程根的情况教学内容用b2-4ac大于、等于0、小于0判别ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情况及其运用．教学目标掌握b2-4ac>0，ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等的实根，反之也成立；b2-4ac=0，ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根，反之也成立；b2-4ac<0，ax2+bx+c=0（a≠0）没实根，反之也成立；及其它们关系的运用．通过复习用配方法解一元二次方程的b2-4ac>0、b2-4ac=0、b2-4ac\n<0各一题，分析它们根的情况，从具体到一般，给出三个结论并应用它们解决一些具体题目．重难点关键1．重点：b2-4ac>0一元二次方程有两个不相等的实根；b2-4ac=0一元二次方程有两个相等的实数；b2-4ac<0一元二次方程没有实根．2．难点与关键从具体题目来推出一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的b2-4ac的情况与根的情况的关系．教具、学具准备小黑板教学过程一、复习引入（学生活动）用公式法解下列方程．（1）2x2-3x=0（2）3x2-2x+1=0（3）4x2+x+1=0老师点评，（三位同学到黑板上作）老师只要点评（1）b2-4ac=9>0，有两个不相等的实根；（2）b2-4ac=12-12=0，有两个相等的实根；（3）b2-4ac=│-4×4×1│=<0，方程没有实根.二、探索新知方程b2-4ac的值b2-4ac的符号x1、x2的关系（填相等、不等或不存在）2x2-3x=03x2-2x+1=04x2+x+1=0请观察上表，结合b2-4ac的符号，归纳出一元二次方程的根的情况。证明你的猜想。从前面的具体问题，我们已经知道b2-4ac>0（<0，=0）与根的情况，现在我们从求根公式的角度来分析：求根公式：x=，当b2-4ac>0时，根据平方根的意义，等于一个具体数，所以一元一次方程的x1=≠x1=，即有两个不相等的实根．当b2-4ac=0时，根据平方根的意义=0，所以x1=x2=，即有两个相等的实根；当b2-4ac<0时，根据平方根的意义，负数没有平方根，所以没有实数解．因此，（结论）（1）当b2-4ac>0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠\n0）有两个不相等实数根即x1=，x2=．（2）当b-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等实数根即x1=x2=．（3）当b2-4ac<0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根．例1．不解方程，判定方程根的情况（1）16x2+8x=-3（2）9x2+6x+1=0（3）2x2-9x+8=0（4）x2-7x-18=0分析：不解方程，判定根的情况，只需用b2-4ac的值大于0、小于0、等于0的情况进行分析即可．解：（1）化为16x2+8x+3=0这里a=16，b=8，c=3，b2-4ac=64-4×16×3=-128<0所以，方程没有实数根．三、巩固练习不解方程判定下列方程根的情况:（1）x2+10x+26=0（2）x2-x-=0（3）3x2+6x-5=0（4）4x2-x+=0（5）x2-x-=0（6）4x2-6x=0（7）x（2x-4）=5-8x四、应用拓展例2．若关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3>0的解集（用含a的式子表示）．分析：要求ax+3>0的解集，就是求ax>-3的解集，那么就转化为要判定a的值是正、负或0．因为一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根，即（-2a）2-4（a-2）（a+1）<0就可求出a的取值范围．解：∵关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根．∴（-2a）2-4（a-2）（a+1）=4a2-4a2+4a+8<0a<-2∵ax+3>0即ax>-3∴x<-∴所求不等式的解集为x<-五、归纳小结本节课应掌握：b2-4ac>0一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实根；b2-4ac=0一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实根；b2-4ac<0一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠\n0）没有实数根及其它的运用．六、布置作业1．教材P46复习巩固6综合运用9拓广探索1、2．2．选用课时作业设计．第7课时作业设计一、选择题1．以下是方程3x2-2x=-1的解的情况，其中正确的有（）．A．∵b2-4ac=-8，∴方程有解B．∵b2-4ac=-8，∴方程无解C．∵b2-4ac=8，∴方程有解D．∵b2-4ac=8，∴方程无解2．一元二次方程x2-ax+1=0的两实数根相等，则a的值为（）．A．a=0B．a=2或a=-2C．a=2D．a=2或a=03．已知k≠1，一元二次方程（k-1）x2+kx+1=0有根，则k的取值范围是（）．A．k≠2B．k>2C．k<2且k≠1D．k为一切实数二、填空题1．已知方程x2+px+q=0有两个相等的实数，则p与q的关系是________．2．不解方程，判定2x2-3=4x的根的情况是______（填“二个不等实根”或“二个相等实根或没有实根”）．3．已知b≠0，不解方程，试判定关于x的一元二次方程x2-（2a+b）x+（a+ab-2b2）=0的根的情况是________．三、综合提高题1．不解方程，试判定下列方程根的情况．（1）2+5x=3x2（2）x2-（1+2）x++4=02．当c<0时，判别方程x2+bx+c=0的根的情况．3．不解方程，判别关于x的方程x2-2kx+（2k-1）=0的根的情况．4．某集团公司为适应市场竞争，赶超世界先进水平，每年将销售总额的8%作为新产品开发研究资金，该集团2000年投入新产品开发研究资金为4000万元，2002年销售总额为7.2亿元，求该集团2000年到2002年的年销售总额的平均增长率．第8课时22.2.5因式分解法教学内容用因式分解法解一元二次方程．教学目标掌握用因式分解法解一元二次方程．通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法──\n因式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题．重难点关键1．重点：用因式分解法解一元二次方程．2．难点与关键：让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题简便．教学过程一、复习引入（学生活动）解下列方程．（1）2x2+x=0（用配方法）（2）3x2+6x=0（用公式法）老师点评：（1）配方法将方程两边同除以2后，x前面的系数应为，的一半应为，因此，应加上（）2，同时减去（）2．（2）直接用公式求解．二、探索新知（学生活动）请同学们口答下面各题．（老师提问）（1）上面两个方程中有没有常数项？（2）等式左边的各项有没有共同因式？（学生先答，老师解答）上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解:因此，上面两个方程都可以写成：（1）x（2x+1）=0（2）3x（x+2）=0因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是（1）x=0或2x+1=0，所以x1=0，x2=-．（2）3x=0或x+2=0，所以x1=0，x2=-2．（以上解法是如何实现降次的？）因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．例1．解方程（1）10x-4.9x2=0（2）x（x-2）+x-2=0(3)5x2-2x-=x2-2x+(4)(x-1)2=(3-2x)2思考：使用因式分解法解一元二次方程的条件是什么？解：略（方程一边为0，另一边可分解为两个一次因式乘积。）练习：1．下面一元二次方程解法中，正确的是（）．A．（x-3）（x-5）=10×2，∴x-3=10，x-5=2，∴x1=13，x2=7B．（2-5x）+（5x-2）2=0，∴（5x-2）（5x-3）=0，∴x1=，x2=C．（x+2）2+4x=0，∴x1=2，x2=-2\nD．x2=x两边同除以x，得x=1三、巩固练习教材P45练习1、2．例2．已知9a2-4b2=0，求代数式的值．分析：要求的值，首先要对它进行化简，然后从已知条件入手，求出a与b的关系后代入，但也可以直接代入，因计算量比较大，比较容易发生错误．解：原式=∵9a2-4b2=0∴（3a+2b）（3a-2b）=03a+2b=0或3a-2b=0，a=-b或a=b当a=-b时，原式=-=3当a=b时，原式=-3．四、应用拓展例3．我们知道x2-（a+b）x+ab=（x-a）（x-b），那么x2-（a+b）x+ab=0就可转化为（x-a）（x-b）=0，请你用上面的方法解下列方程．（1）x2-3x-4=0（2）x2-7x+6=0（3）x2+4x-5=0分析：二次三项式x2-（a+b）x+ab的最大特点是x2项是由x·x而成，常数项ab是由-a·（-b）而成的，而一次项是由-a·x+（-b·x）交叉相乘而成的．根据上面的分析，我们可以对上面的三题分解因式．解（1）∵x2-3x-4=（x-4）（x+1）∴（x-4）（x+1）=0∴x-4=0或x+1=0∴x1=4，x2=-1下略。上面这种方法，我们把它称为十字相乘法．五、归纳小结本节课要掌握：（1）用因式分解法，即用提取公因式法、十字相乘法等解一元二次方程及其应用．\n（2）因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0．六、布置作业教材P46复习巩固5综合运用8、10拓广探索11．第8课时作业设计一、选择题1．下面一元二次方程解法中，正确的是（）．A．（x-3）（x-5）=10×2，∴x-3=10，x-5=2，∴x1=13，x2=7B．（2-5x）+（5x-2）2=0，∴（5x-2）（5x-3）=0，∴x1=，x2=C．（x+2）2+4x=0，∴x1=2，x2=-2D．x2=x两边同除以x，得x=12．下列命题①方程kx2-x-2=0是一元二次方程；②x=1与方程x2=1是同解方程；③方程x2=x与方程x=1是同解方程；④由（x+1）（x-1）=3可得x+1=3或x-1=3，其中正确的命题有（）．A．0个B．1个C．2个D．3个3．如果不为零的n是关于x的方程x2-mx+n=0的根，那么m-n的值为（）．A．-B．-1C．D．1二、填空题1．x2-5x因式分解结果为_______；2x（x-3）-5（x-3）因式分解的结果是______．2．方程（2x-1）2=2x-1的根是________．3．二次三项式x2+20x+96分解因式的结果为________；如果令x2+20x+96=0，那么它的两个根是_________．三、综合提高题1．用因式分解法解下列方程．（1）3y2-6y=0（2）25y2-16=0（3）x2-12x-28=0（4）x2-12x+35=02．已知（x+y）（x+y-1）=0，求x+y的值．3．今年初，湖北武穴市发生禽流感，某养鸡专业户在禽流感后，打算改建养鸡场，建一个面积为150m2的长方形养鸡场．为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一条墙，墙长am，另三边用竹篱围成，如果篱笆的长为35m，问鸡场长与宽各为多少？（其中a≥20m）课后反思第9课时一元二次方程的解法复习课\n教学内容习题课教学目标能掌握解一元二次方程的四种方法以及各种解法的要点。会根据不同的方程特点选用恰当的方法，是解题过程简单合理，通过揭示各种解法的本质联系，渗透降次化归的思想方法。重难点关键1．重点：会根据不同的方程特点选用恰当的方法，是解题过程简单合理。2．难点：通过揭示各种解法的本质联系，渗透降次化归的思想。教学过程1．用不同的方法解一元二次方程3x2-5x-2=0(配方法，公式法，因式分解发)教师点评：三种不同的解法体现了同样的解题思路——把一元二次方程“降次”转化为一元一次方程求解。2把下列方程的最简洁法选填在括号内。(A)直接开平方法(B)配方法(C)公式法(D)因式分解法（1）7x-3=2x2()(2)4(9x-1)2=25()(3)(x+2)(x-1)=20()(4)4x2+7x=2()(5)2(0.2t+3)2-12.5=0()(6)x2+2x-4=0()说明:一元二次方程解法的选择顺序一般为因式分解法、公式法，若没有特殊说明一般不采用配方法。其中，公式法是一般方法，适用于解所有的一元二次方程，因式分解法是特殊方法，在解符合方程左边易因式分解，右边为0的特点的一元二次方程时，非常简便。3．将下列方程化成一般形式，在选择恰当的方法求解。(1)3x2=x+4(2)(2x+1)(4x-2)=(2x-1)2+2(3)(x+3)(x-4)=-6（4）(x+1)2-2(x-1)2=6x-5说明：将一元二次方程化成一般形式不仅是解一元二次方程的基本技能，而节能为揭发的选择提供基础。4.阅读材料，解答问题：材料：为解方程(x2-1)2-5(x2-1)2+4=0,我们可以视（x2-1）为一个整体，然后设x2-1=y,原方程可化为y2-5y+4=0①.解得y1=1,y2=4。当y1=1时，x2-1=1即x2=2，x=±.当y2=4时，x2-1=4即x2=5,x=±√5。原方程的解为x1=,x2=-,x3=√5,x4=-√5解答问题：（1）填空：在由原方程得到①的过程中利用_______法，达到了降次的目的，体现_______的数学思想。（2）解方程x4—x2—6=0.5.小结(1)说说你对解一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程的认识(消元、降次、化归的思想)(2)三种方法（配方法、公式法、因式分解法）的联系与区别：联系①降次，即它的解题的基本思想是：将二次方程化为一次方程，即降次．②公式法是由配方法推导而得到．③配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法适用于某些一元二次方程．\n区别：①配方法要先配方，再开方求根．②公式法直接利用公式求根．③因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0．作业P58复习题221.第10课时22.3实际问题与一元二次方程(1)教学内容由“倍数关系”等问题建立数学模型，并通过配方法或公式法或分解因式法解决实际问题．教学目标掌握用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决一些具体问题．通过复习二元一次方程组等建立数学模型，并利用它解决实际问题，引入用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决实际问题．重难点关键1．重点：用“倍数关系”建立数学模型2．难点与关键：用“倍数关系”建立数学模型教学过程一、复习引入（学生活动）问题1：列一元一次方程解应用题的步骤？①审题，②设出未知数.③找等量关系.④列方程，⑤解方程，⑥答.二、探索新知上面这道题大家都做得很好，这是一种利用一元一次方程的数量关系建立的数学模型，那么还有没有利用其它形式，也就是利用我们前面所学过的一元二次方程建立数学模型解应用题呢？请同学们完成下面问题．（学生活动）探究1:有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?分析:1第一轮传染1+x第二轮传染后1+x+x(1+x)解:设每轮传染中平均一个人传染了x个人,则第一轮后共有人患了流感,第二轮后共有人患了流感.列方程得1+x+x(x+1)=121x2+2x-120=0解方程,得x1=-12,x2=10根据问题的实际意义,x=10答:每轮传染中平均一个人传染了10个人.思考:按照这样的传染速度,三轮传染后有多少人患流感?(121+121×10=1331)通过对这个问题的探究,你对类似的传播问题中的数量关系有新的认识吗?（后一轮被传染的人数前一轮患病人数的x倍）烈已于\n四.巩固练习.1.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干,支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支?解:设每个支干长出x个小分支,则1+x+x.x=91即x2+x-90=0解得x1=9,x2=－10(不合题意,舍去)答:每个支干长出9个小分支.2.要组织一场篮球联赛,每两队之间都赛2场,计划安排90场比赛,应邀请多少个球队参加比赛?五、归纳小结本节课应掌握：1.利用“倍数关系”建立关于一元二次方程的数学模型，并利用恰当方法解它．2.列一元二次方程解一元二次方程的一般步骤（1）审（2）设（3）列（4）解（5）验——检验方程的解是否符合题意，将不符合题意的解舍去。（6）答六、布置作业1．教材P58复习题226．P347第11课时22.3实际问题与一元二次方程(2)教学内容建立一元二次方程的数学模型，解决增长率与降低率问题。教学目标掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题。重难点关键1．重点：如何解决增长率与降低率问题。2．难点与关键：解决增长率与降低率问题的公式a(1±x)n=b,其中a是原有量,x增长（或降低）率,n为增长（或降低）的次数,b为增长（或降低）后的量。教学过程探究2两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元,生产1吨乙种药品的成本是6000元,随着生产技术的进步,现在生产1吨甲种药品的成本是3000元,生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大?分析:甲种药品成本的年平均下降额为(5000-3000)÷2=1000(元)乙种药品成本的年平均下降额为(6000-3600)÷2=1200(元)乙种药品成本的年平均下降额较大.但是,年平均下降额(元)不等同于年平均下降率解:设甲种药品成本的年平均下降率为x,则一年后甲种药品成本为5000(1-x)元,两年后甲种药品成本为5000(1-x)2元,依题意得5000（1-x）2=3000解方程,得答:甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%.\n算一算:乙种药品成本的年平均下降率是多少?比较:两种药品成本的年平均下降率(22.5%,相同)思考：经过计算,你能得出什么结论?成本下降额较大的药品,它的成本下降率一定也较大吗?应怎样全面地比较对象的变化状况?（经过计算,成本下降额较大的药品,它的成本下降率不一定较大,应比较降前及降后的价格.）小结：类似地这种增长率的问题在实际生活普遍存在,有一定的模式若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的是a,增长(或降低)n次后的量是b,则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=b(中增长取+,降低取－)二巩固练习（1）某林场现有木材a立方米，预计在今后两年内年平均增长p%，那么两年后该林场有木材多少立方米?（2）某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨，通过优化管理，产量逐年上升，第一季度共生产化工原料60万吨，设二、三月份平均增长的百分率相同，均为x，可列出方程为__________．(3)公司2001年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．4.某种细菌，一个细菌经过两轮繁殖后，共有256个细菌，每轮繁殖中平均一个细菌繁殖了多少个细菌？三应用拓展例2．某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率．分析：设这种存款方式的年利率为x，第一次存2000元取1000元，剩下的本金和利息是1000+2000x·80%；第二次存，本金就变为1000+2000x·80%，其它依此类推．解：设这种存款方式的年利率为x则：1000+2000x·80%+（1000+2000x·8%）x·80%=1320整理，得：1280x2+800x+1600x=320，即8x2+15x-2=0解得：x1=-2（不符，舍去），x2==0.125=12.5%答：所求的年利率是12．5%．四归纳小结本节课应掌握：增长率与降低率问题五作业1。P53-7P58-82．选用作业设计:一、选择题1．2005年一月份越南发生禽流感的养鸡场100家，后来二、三月份新发生禽流感的养鸡场共250家，设二、三月份平均每月禽流感的感染率为x，依题意列出的方程是（）．\nA．100（1+x）2=250B．100（1+x）+100（1+x）2=250C．100（1-x）2=250D．100（1+x）22．一台电视机成本价为a元，销售价比成本价增加25%，因库存积压，所以就按销售价的70%出售，那么每台售价为（）．A．（1+25%）（1+70%）a元B．70%（1+25%）a元C．（1+25%）（1-70%）a元D．（1+25%+70%）a元3．某商场的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，售价的折扣（即降低的百分数）不得超过d%，则d可用p表示为（）．A．B．pC．D．二、填空题1．某农户的粮食产量，平均每年的增长率为x，第一年的产量为6万kg，第二年的产量为_______kg，第三年的产量为_______，三年总产量为_______．2．某糖厂2002年食糖产量为at，如果在以后两年平均增长的百分率为x，那么预计2004年的产量将是________．3．我国政府为了解决老百姓看病难的问题，决定下调药品价格，某种药品在1999年涨价30%后，2001年降价70%至a元，则这种药品在1999年涨价前价格是__________．三、综合提高题1．为了响应国家“退耕还林”，改变我省水土流失的严重现状，2000年我省某地退耕还林1600亩，计划到2002年一年退耕还林1936亩，问这两年平均每年退耕还林的平均增长率2．洛阳东方红拖拉机厂一月份生产甲、乙两种新型拖拉机，其中乙型16台，从二月份起，甲型每月增产10台，乙型每月按相同的增长率逐年递增，又知二月份甲、乙两型的产量之比是3：2，三月份甲、乙两型产量之和为65台，求乙型拖拉机每月的增长率及甲型拖拉机一月份的产量．2．某商场于第一年初投入50万元进行商品经营，以后每年年终将当年获得的利润与当年年初投入的资金相加所得的总资金，作为下一年年初投入的资金继续进行经营．（1）如果第一年的年获利率为p，那么第一年年终的总资金是多少万元?（用代数式来表示）（注：年获利率=×100%）（2）如果第二年的年获利率多10个百分点（即第二年的年获利率是第一年的年获利率与10%的和），第二年年终的总资金为66万元，求第一年的年获利率．课后反思\n第12课时22.3实际问题与一元二次方程(3)教学内容根据面积与面积之间的关系建立一元二次方程的数学模型并解决这类问题．教学目标掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．利用提问的方法复习几种特殊图形的面积公式来引入新课，解决新课中的问题．重难点关键1．重点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题．2．难点与关键：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型．教具、学具准备小黑板教学过程一、复习引入（一）通过上节课的学习，大家学到了哪些知识和方法？（二）上一节，我们学习了解决“平均增长(下降)率问题”，现在，我们要学习解决“面积、体积问题。1．直角三角形的面积公式是什么？一般三角形的面积公式是什么呢？2．正方形的面积公式是什么呢？长方形的面积公式又是什么？3．梯形的面积公式是什么？4．菱形的面积公式是什么？5．平行四边形的面积公式是什么？6．圆的面积公式是什么？（学生口答，老师点评）二、探索新知现在，我们根据刚才所复习的面积公式来建立一些数学模型，解决一些实际问题．例1．某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m2，上口宽比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m．（1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？（2）如果计划每天挖土48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？分析：因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深为xm，则上口宽为x+2，渠底为x+0.4，那么，根据梯形的面积公式便可建模．\n解：（1）设渠深为xm则渠底为（x+0.4）m，上口宽为（x+2）m依题意，得：（x+2+x+0.4）x=1.6整理，得：5x2+6x-8=0解得：x1==0.8m，x2=-2（舍）∴上口宽为2.8m，渠底为1.2m．（2）=25天答：渠道的上口宽与渠底深各是2.8m和1.2m；需要25天才能挖完渠道．学生活动：例2．如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1cm）？思考：(1)本体中有哪些数量关系？（2）正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形如何理解？（3）如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？老师点评：依据题意知：中央矩形的长宽之比等于封面的长宽之比＝9：7，由此可以判定：上下边衬宽与左右边衬宽之比为9：7，设上、下边衬的宽均为9xcm，则左、右边衬的宽均为7xcm，依题意，得：中央矩形的长为（27-18x）cm，宽为（21-14x）cm．因为四周的彩色边衬所点面积是封面面积的，则中央矩形的面积是封面面积的．所以（27-18x）（21-14x）=×27×21整理，得：16x2-48x+9=0解方程，得：x=，x1≈2.8cm，x2≈0.2所以：9x1=25.2cm（舍去），9x2=1.8cm，7x2=1.4cm因此，上下边衬的宽均为1.8cm，左、右边衬的宽均为1.4cm．分析:这本书的长宽之比是9:7,依题知正中央的矩形两边之比也为9:7解法二:设正中央的矩形两边分别为9xcm，7xcm。依题意得解方程，得：\n故上下边衬的宽度为:左右边衬的宽度为:思考：对比几种方法各有什么特点？四、应用拓展例3某校为了美化校园,准备在一块长32米,宽20米的长方形场地上修筑若干条道路,余下部分作草坪,并请全校同学参与设计,现在有两位学生各设计了一种方案(如图),根据两种设计方案各列出方程,求图中道路的宽分别是多少?使图(1),(2)的草坪面积为540米2.（2）（1）练习如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上，修筑同样宽的两条平行且与另一条相互垂直的道路，余下的六个相同的部分作为耕地，要使得耕地的面积为500m2，道路的宽为多少？解法一:设道路的宽为x，我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的道理，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）则可列方程：（20-x）（32-2x）=500整理，得：x2-36x+70=0解法二:20×32-2×20x-32x+2x2=500例4．如图（a）、（b）所示，在△ABC中∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度运动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度运动．（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒钟，使S△PBQ=8cm2．（2）如果P、Q分别从A、B同时出发，并且P到B后又继续在BC边上前进，Q到C后又继续在CA边上前进，经过几秒钟，使△PCQ的面积等于12.6cm2．（友情提示：过点Q作DQ\n⊥CB，垂足为D，则：）分析：（1）设经过x秒钟，使S△PBQ=8cm2，那么AP=x，PB=6-x，QB=2x，由面积公式便可得到一元二次方程的数学模型．（2）设经过y秒钟，这里的y>6使△PCQ的面积等于12.6cm2．因为AB=6，BC=8，由勾股定理得：AC=10，又由于PA=y，CP=（14-y），CQ=（2y-8），又由友情提示，便可得到DQ，那么根据三角形的面积公式即可建模．解：（1）设x秒，点P在AB上，点Q在BC上，且使△PBQ的面积为8cm2．则：（6-x）·2x=8整理，得：x2-6x+8=0解得：x1=2，x2=4∴经过2秒，点P到离A点1×2=2cm处，点Q离B点2×2=4cm处，经过4秒，点P到离A点1×4=4cm处，点Q离B点2×4=8cm处，所以它们都符合要求．（2）设y秒后点P移到BC上，且有CP=（14-y）cm，点Q在CA上移动，且使CQ=（2y-8）cm，过点Q作DQ⊥CB，垂足为D，则有∵AB=6，BC=8∴由勾股定理，得：AC==10∴DQ=则：（14-y）·=12.6整理，得：y2-18y+77=0解得：y1=7，y2=11即经过7秒，点P在BC上距C点7cm处（CP=14-y=7），点Q在CA上距C点6cm处（CQ=2y-8=6），使△PCD的面积为12.6cm2．经过11秒，点P在BC上距C点3cm处，点Q在CA上距C点14cm>10，∴点Q已超过CA的范围，即此解不存在．∴本小题只有一解y1=7．五、归纳小结\n本节课应掌握：利用已学的特殊图形的面积公式建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．六、布置作业1．教材P53综合运用5、6拓广探索全部．2．选用作业设计:一、选择题1．直角三角形两条直角边的和为7，面积为6，则斜边为（）．A．B．5C．D．72．有两块木板，第一块长是宽的2倍，第二块的长比第一块的长少2m，宽是第一块宽的3倍，已知第二块木板的面积比第一块大108m2，这两块木板的长和宽分别是（）．A．第一块木板长18m，宽9m，第二块木板长16m，宽27m;B．第一块木板长12m，宽6m，第二块木板长10m，宽18m;C．第一块木板长9m，宽4.5m，第二块木板长7m，宽13.5m;D．以上都不对3．从正方形铁片，截去2cm宽的一条长方形，余下的面积是48cm2，则原来的正方形铁片的面积是（）．A．8cmB．64cmC．8cm2D．64cm2二、填空题1．矩形的周长为8，面积为1，则矩形的长和宽分别为________．2．长方形的长比宽多4cm，面积为60cm2，则它的周长为________．3．如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35m，所围的面积为150m2，则此长方形鸡场的长、宽分别为_______．图22-10三、综合提高题1．如图所示的一防水坝的横截面（梯形），坝顶宽3m，背水坡度为1：2，迎水坡度为1：1，若坝长30m，完成大坝所用去的土方为4500m2，问水坝的高应是多少?（说明：背水坡度=，迎水坡度）（精确到0.1m）2．在一块长12m，宽8m的长方形平地中央，划出地方砌一个面积为8m2的长方形花台，要使花坛四周的宽地宽度一样，则这个宽度为多少?3．谁能量出道路的宽度:\n如图22-10，有矩形地ABCD一块，要在中央修一矩形花辅EFGH，使其面积为这块地面积的一半，且花圃四周道路的宽相等，今无测量工具，只有无刻度的足够长的绳子一条，如何量出道路的宽度?请同学们利用自己掌握的数学知识来解决这个实际问题，相信你一定能行．第13课时22.3实际问题与一元二次方程(4)教学内容运用速度、时间、路程的关系建立一元二次方程数学模型解决实际问题．教学目标掌握运用速度、时间、路程三者的关系建立数学模型并解决实际问题．通过复习速度、时间、路程三者的关系，提出问题，用这个知识解决问题．重难点关键1．重点：通过路程、速度、时间之间的关系建立数学模型解决实际问题．2．难点与关键：建模．教具、学具准备小黑板教学过程一、复习引入（老师口问，学生口答）路程、速度和时间三者的关系是什么？二、探究新知我们这一节课就是要利用同学们刚才所回答的“路程＝速度×时间”来建立一元二次方程的数学模型，并且解决一些实际问题．请思考下面的二道例题．例1．某辆汽车在公路上行驶，它行驶的路程s（m）和时间t（s）之间的关系为：s=10t+3t2，那么行驶200m需要多长时间?分析：这是一个加速运运，根据已知的路程求时间，因此，只要把s=200代入求关系t的一元二次方程即可．解：当s=200时，3t2+10t=200，3t2+10t-200=0解得t=（s）答：行驶200m需s．例2．一辆汽车以20m/s的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行25m后停车．（1）从刹车到停车用了多少时间?（2）从刹车到停车平均每秒车速减少多少?（3）刹车后汽车滑行到15m时约用了多少时间（精确到0.1s）?分析：（1）刚刹车时时速还是20m\n/s，以后逐渐减少，停车时时速为0．因为刹车以后，其速度的减少都是受摩擦力而造成的，所以可以理解是匀速的，因此，其平均速度为=10m/s，那么根据：路程=速度×时间，便可求出所求的时间．（2）很明显，刚要刹车时车速为20m/s，停车车速为0，车速减少值为20-0=20，因为车速减少值20，是在从刹车到停车所用的时间内完成的，所以20除以从刹车到停车的时间即可．（3）设刹车后汽车滑行到15m时约用除以xs．由于平均每秒减少车速已从上题求出，所以便可求出滑行到15米的车速，从而可求出刹车到滑行到15m的平均速度，再根据：路程=速度×时间，便可求出x的值．解：（1）从刹车到停车所用的路程是25m；从刹车到停车的平均车速是=10（m/s）那么从刹车到停车所用的时间是=2.5（s）（2）从刹车到停车车速的减少值是20-0=20从刹车到停车每秒平均车速减少值是=8（m/s）（3）设刹车后汽车滑行到15m时约用了xs，这时车速为（20-8x）m/s则这段路程内的平均车速为=（20-4x）m/s所以x（20-4x）=15整理得：4x2-20x+15=0解方程：得x=x1≈4.08（不合，舍去），x2≈0.9（s）答：刹车后汽车行驶到15m时约用0.9s．三、巩固练习（1）同上题，求刹车后汽车行驶10m时约用了多少时间．（精确到0.1s）（2）刹车后汽车行驶到20m时约用了多少时间．（精确到0.1s）四、应用拓展例3．如图，某海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C，小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头：小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向，一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一般补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰．（1）小岛D和小岛F相距多少海里?（2）已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里?（结果精确到0.1海里）\n分析：（1）因为依题意可知△ABC是等腰直角三角形，△DFC也是等腰直角三角形，AC可求，CD就可求，因此由勾股定理便可求DF的长．（2）要求补给船航行的距离就是求DE的长度，DF已求，因此，只要在Rt△DEF中，由勾股定理即可求．解：（1）连结DF，则DF⊥BC∵AB⊥BC，AB=BC=200海里．∴AC=AB=200海里，∠C=45°∴CD=AC=100海里DF=CF，DF=CD∴DF=CF=CD=×100=100（海里）所以，小岛D和小岛F相距100海里．（2）设相遇时补给船航行了x海里，那么DE=x海里，AB+BE=2x海里，EF=AB+BC-（AB+BE）-CF=（300-2x）海里在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程x2=1002+（300-2x）2整理，得3x2-1200x+100000=0解这个方程，得：x1=200-≈118.4x2=200+（不合题意，舍去）所以，相遇时补给船大约航行了118.4海里．五、归纳小结本节课应掌握：\n运用路程＝速度×时间，建立一元二次方程的数学模型，并解决一些实际问题．六、布置作业1．教材P53综合运用9P58复习题22综合运用9．2．选用作业设计:一、选择题1．一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数为（）．A．25B．36C．25或36D．-25或-362．某种出租车的收费标准是：起步价7元（即行驶距离不超过3km都需付7元车费）；超过3km以后，每增加1km，加收2.4元（不足1km按1km计），某人乘出租车从甲地到乙地共支付车费19元，则此人从甲地到乙地经过的路程（）．A．正好8kmB．最多8kmC．至少8kmD．正好7km二、填空题1．以大约与水平成45°角的方向，向斜上方抛出标枪，抛出的距离s（单位：m）与标枪出手的速度v（单位：m/s）之间大致有如下关系：s=+2如果抛出40m，那么标枪出手时的速度是________（精确到0.1）2．一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s（m）与时间t（s）的数据如下：时间t（s）1234……距离s（m）281832……写出用t表示s的关系式为_______．三、综合提高题1．一个小球以10m/s的速度在平坦地面上开始滚动，并且均匀减速，滚动20m后小球停下来．（1）小球滚动了多少时间?（2）平均每秒小球的运动速度减少多少?（3）小球滚动到5m时约用了多少时间（精确到0.1s）?2．某军舰以20节的速度由西向东航行，一艘电子侦察船以30节的速度由南向北航行，它能侦察出周围50海里（包括50海里）范围内的目标．如图，当该军舰行至A处时，电子侦察船正位于A处正南方向的B处，且AB=90海里，如果军船和侦察船仍按原速度沿原方向继续航行，那么航行途中侦察船能否侦察到这艘军舰?如果能，最早何时能侦察到?如果不能，请说明理由．\n课后反思第14课时22.3实际问题与一元二次方程(5)教学内容建立一元二次方程的数学模型，解决如何全面地比较几个对象的变化状况．教学目标掌握建立数学模型以解决如何全面地比较几个对象的变化状况的问题．复习一种对象变化状况的解题过程，引入两种或两种以上对象的变化状况的解题方法．重难点关键1．重点：如何全面地比较几个对象的变化状况．2．难点与关键：某些量的变化状况，不能衡量另外一些量的变化状况．教具、学具准备小黑板教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们独立完成下面的题目．问题：某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元?老师点评：总利润=每件平均利润×总件数．设每张贺年卡应降价x元，则每件平均利润应是（0.3-x）元，总件数应是（500+×100）\n解：设每张贺年卡应降价x元则（0.3-x）（500+）=120解得：x=0.1答：每张贺年卡应降价0.1元．二、探索新知刚才，我们分析了一种贺年卡原来平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了减少库存降价销售，并知每降价0.1元，便可多售出100元，为了达到某个目的，每张贺年卡应降价多少元?如果本题中有两种贺年卡或者两种其它东西，量与量之间又有怎样的关系呢?即绝对量与相对量之间的关系．例1．某商场礼品柜台春节期间购进甲、乙两种贺年卡，甲种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，乙种贺年卡平均每天可售出200张，每张盈利0.75元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果甲种贺年卡的售价每降价0.1元，那么商场平均每天可多售出100张；如果乙种贺年卡的售价每降价0.25元，那么商场平均每天可多售出34张．如果商场要想每种贺年卡平均每天盈利120元，那么哪种贺年卡每张降价的绝对量大．分析：原来，两种贺年卡平均每天的盈利一样多，都是150元；，从这些数目看，好象两种贺年卡每张降价的绝对量一样大，下面我们就通过解题来说明这个问题．解：（1）从“复习引入”中，我们可知，商场要想平均每天盈利120元，甲种贺年卡应降价0.1元．（2）乙种贺年卡：设每张乙种贺年卡应降价y元，则：（0.75-y）（200+×34）=120即（-y）（200+136y）=120整理：得68y2+49y-15=0y=∴y≈-0.98（不符题意，应舍去）y≈0.23元答：乙种贺年卡每张降价的绝对量大．三、巩固练习\n新华商场销售甲、乙两种冰箱，甲种冰箱每台进货价为2500元，市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台．乙种冰箱每台进货价为2000元，市场调研表明：当销售价为2500元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低45元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这两种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，那么两种冰箱的定价应各是多少?四、应用拓展例3．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题：（1）当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润．（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的关系式．（3）商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少?分析：（1）销售单价定为55元，比原来的销售价50元提高5元，因此，销售量就减少5×10kg．（2）销售利润y=（销售单价x-销售成本40）×销售量[500-10（x-50）]（3）月销售成本不超过10000元，那么销售量就不超过=250kg，在这个提前下，求月销售利润达到8000元，销售单价应为多少．解：（1）销售量：500-5×10=450（kg）；销售利润：450×（55-40）=450×15=6750元（2）y=（x-40）[500-10（x-50）]=-10x2+1400x-40000（3）由于水产品不超过10000÷40=250kg，定价为x元，则（x-400）[500-10（x-50）]=8000解得：x1=80，x2=60当x1=80时，进货500-10（80-50）=200kg<250kg，满足题意．当x2=60时，进货500-10（60-50）=400kg>250kg，（舍去）．五、归纳小结本节课应掌握：建立多种一元二次方程的数学建模以解决如何全面地比较几个对象的变化状况的问题．六、布置作业1．教材P53复习巩固2综合运用7、9．2．选用作业设计：作业设计一、选择题1．一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共（）．A．12人B．18人C．9人D．10人2．某一商人进货价便宜8%，而售价不变，那么他的利润（按进货价而定）可由目前x增加到（x+10%），则x是（）．A．12%B．15%C．30%D．50%\n3．育才中学为迎接香港回归，从1994年到1997年四年内师生共植树1997棵，已知该校1994年植树342棵，1995年植树500棵，如果1996年和1997年植树的年增长率相同，那么该校1997年植树的棵数为（）．A．600B．604C．595D．605二、填空题1．一个产品原价为a元，受市场经济影响，先提价20%后又降价15%，现价比原价多_______%．2．甲用1000元人民币购买了一手股票，随即他将这手股票转卖给乙，获利10%，乙而后又将这手股票返卖给甲，但乙损失了10%，最后甲按乙卖给甲的价格的九折将这手股票卖出，在上述股票交易中，甲盈了_________元．3．一个容器盛满纯药液63L，第一次倒出一部分纯药液后用水加满，第二次又倒出同样多的药液，再加水补满，这时容器内剩下的纯药液是28L，设每次倒出液体xL，则列出的方程是________．三、综合提高题1．上海甲商场七月份利润为100万元，九月份的利率为121万元，乙商场七月份利率为200万元，九月份的利润为288万元，那么哪个商场利润的年平均上升率较大?2．某果园有100棵桃树，一棵桃树平均结1000个桃子，现准备多种一些桃树以提高产量，试验发现，每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个，如果要使产量增加15.2%，那么应多种多少棵桃树?3．某玩具厂有4个车间，某周是质量检查周，现每个车间都原有a（a>0）个成品，且每个车间每天都生产b（b>0）个成品，质量科派出若干名检验员周一、周二检验其中两个车间原有的和这两天生产的所有成品，然后，周三到周五检验另外两个车间原有的和本周生产的所有成品，假定每名检验员每天检验的成品数相同．（1）这若干名检验员1天共检验多少个成品?（用含a、b的代数式表示）（2）若一名检验员1天能检验b个成品，则质量科至少要派出多少名检验员?课后反思第15课时发现一元二次方程根与系数的关系(1)教学目标1.掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用．2.培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力．3.渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律；4.培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神．教学重点根与系数的关系及其推导教学难点正确理解根与系数的关系．一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和，两根的积与系数的关系．教学过程\n一、复习引入1.已知方程x2-ax-3a=0的一个根是6,则求a及另一个根的值。2．有上题可知一元二次方程的系数与根有着密切的关系。其实我们已学过的求根公式也反映了根与系数的关系，这种关系比较复杂，是否有根简洁的关系？3．有求根公式可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1=，x2=.观察两式左边，分母相同，分子是-b+√b2-4ac与-b-√b2-4ac。两根之间通过什么计算才能得到更简洁的关系？二、探索新知解下列方程，并填写表格：方程x1x2x1+x2x1.x2x2-2x=0x2+3x-4=0x2-5x+6=0观察上面的表格，你能得到什么结论？（1）关于x的方程x2+px+q=0(p,q为常数,p2-4q≥0)的两根x1，x2与系数p，q之间有什么关系？（2）关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根x1，x2与系数a，b，c之间又有何关系呢？你能证明你的猜想吗？解下列方程，并填写表格：方程x1x2x1+x2x1.x22x2-7x-4=03x2+2x-5=05x2-17x+6=0小结:1.根与系数关系：（1）关于x的方程x2+px+q=0(p,q为常数,p2-4q≥0)的两根x1，x2与系数p，q的关系是：x1+x2=－p,x1.x2=q(注意：根与系数关系的前提条件是根的判别式必须大于或等于零。)（2）形如的方程ax2+bx+c=0（a≠0），可以先将二次项系数化为1，再利用上面的结论。即：对于方程ax2+bx+c=0（a≠0）∵∴∴，\n（可以利用求根公式给出证明）例1：不解方程，写出下列方程的两根和与两根积：例2：不解方程，检验下列方程的解是否正确？例3：已知一元二次方程的两个根是-1和2，请你写出一个符合条件的方程.（你有几种方法？）例4：已知方程的一个根是，求另一根及k的值.变式一：已知方程的两根互为相反数，求k；变式二：已知方程的两根互为倒数，求k；三、巩固练习1.已知方程的一个根是1，求另一根及m的值.2.已知方程的一个根为，求另一根及c的值.四、应用拓展1.已知关于x的方程的一个根是另一个根的2倍，求m的值.2.已知两数和为8，积为9，求这两个数.3.x2-2x+6=0的两根为x1，x2，则x1+x2=2，x1x2=6.是否正确？五、归纳小结1.根与系数的关系：2.根与系数关系使用的前提是：（1）是一元二次方程；（2）判别式大于等于零.六、布置作业\n1．不解方程，写出下列方程的两根和与两根积。（1）x2-5x-3=0(2)9x+2=x2(3)6x2-3x+2=0(4)3x2+x+1=02.已知方程x2-3x+m=0的一个根为1,求另一根及m的值.3.已知方程x2+bx+6=0的一个根为-2求另一根及b的值.第16课时发现一元二次方程根与系数的关系(2)教学目标1.熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系；2.灵活运用一元二次方程根与系数的关系解决实际问题；3.渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律；4.提高学生综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力．教学重点:一元二次方程根与系数关系的灵活运用教学难点:某些代数式的变形教学过程一、复习引入一元二次方程的根与系数的关系：结论1．如果ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么：结论2．如果方程x2+px+q＝0的两个根是x1，x2，那么x1＋x2＝-p，x1·x2=q．一元二次方程根与系数的关系充分刻化了两根和与两根积和方程系数的关系，它的应用不仅在验根，已知一根求另一根及待定系数k的值，还在其它数学问题中有广泛而又简明的应用二、探索新知例1.已知是方程的两个根，不解方程，求下列代数式的值.小结：运用根与系数的关系，求某些代数式的值，关键是将所求的代数式恒等变形为用x1+x2和x1x2表示的代数式．三、巩固练习1.已知方程的两个根为，求的值.2.若m，n是方程的两个实数根,求代数式的值.\n例2已知关于x的方程的两个实数根的平方和是11，求k的值.提示：使用根与系数关系的前提是判别式大于等于零.练习：若关于x的方程的两根是，且满足，求实数m的值.四、应用拓展m为何值时,（1）方程有两个不相等的正数根？（2）方程的两根异号？五、归纳小结1.利用根与系数的关系求代数式的值；（关键是将所求代数式用含有两根和与两根积的式子表示出来）2.已知两根满足某种关系式，求字母的值.（注意判别式要大于等于零）六、布置作业已知x1，x2是方程5x2-7x+2=0的两个根，不解方程，求下列代数式的值.(1)x12+x22(2)(x1+x2)2(3)\n日期201年月日上午下午晚上授课内容分式方程教学时数10重点解增根的意义及解分式方程可能产生增根的原因，明确验根是解分式方程的一个重要且必要的步骤。难点能化分式方程为整式方程，体验转化的数学思想方法。教学内容及过程设计分式方程例：解方程=解：方程两边同乘x(x-2)，得x=3(x-2)解这个一元一次方程，得x=3检验：将x=3代入原方程，得左边=右边所以，x=3是原方程的根解分式方程的基本思路是：_________________________________一般步骤是：_____________________________________________学生活动：（口答）解分式方程的基本思路是：方程两边都乘以最简公分母，把分式方程转化为整式方程。一般步骤是：去分母、解整式方程、检验、下结论。教师活动：（1）引导学生回顾解一元一次方程时有没有必须检验？\n（没有，这个步骤可以在演草本上进行）（2）引入正题：其实，这里的检验也不仅是为了验证我们求得的根是否是原方程的根，而更重要的目的是为了验证它是否是原方程的增根。二．预习检测：在方程变形的过程中，产生的___________的根叫做方程的增根，增根应当舍去。验根就是把求出的根代入原方程检验，如果求出的根使原方程的一个__________的值是0，那么这个根就是方程的增根。三．课内探究（一）在解方程-=8时，小亮的解法如下：解：方程两边同乘（x－7）,得x－8＋1=8(x－7)解这个一元一次方程，得X=7思考：（1）你认为x=7是原方程的根吗？学生观察后口答：x=7不是原方程的根，因为它使方程中分母为0，分式没有意义。\n（2）产生增根的原因是什么？教师媒体动画提示：“我”是（x-7）？奇怪？为什么方程两边同乘了“我”就变质了呢？学生活动：小组交流、讨论并口头展示若有困难，教师作适当提示：等式变形的条件是两边同乘以非零数或整式，而x-7可能为零。师生共同总结产生增根的原因及验根方法：原分式方程与变形后的整式中未知数的取值范围不同，我们在方程的两边同乘了一个可能令分母等于0的整式。因此解分式方程可能产生增根。所以,解分式方程必须验根，目的在于检验整式方程的根是否是原方程的增根。验根的方法是代入到原分式方程的各分母或最简公分母中，只要有一个分母为0或最简公分母为0，则为增根，应舍去。典例剖析：例1解方程－=1师生活动：一生口述过程，教师板书，其他生观察并适时补充与矫正，教师再次强调解分式方程的步骤，特别是验根一步不能掉去相应练习：\n1．解方程：（1）=（2）-1=各一生板演，其他生做在练习本上，做完后小组内交流答案，优生给予学困生适当辅导，然后师生共同反馈矫正。2．下列关于x的方程若有增根，增根可能是几？(1)-=0(2)－=0学生活动：思考后口答增根的值（三）变式训练例2．若方程－=0有增根，求m值.学生活动：先交流解题思路，然后自主解答，并有一生板演教师：与生反馈矫正后总结解题步骤（1）去分母化分式方程为整式方程（2）把可能的增根代入整式方程（3）求出字母系数的值四．课堂小结：学生谈本节课的收获与存在困惑教师作适时点拨五．当堂检测：\n1.解方程+=，分以下四步，其中错误的一步是（）A.确定各分母的最简公分母(x-1)(x+1)B.方程两边都乘以(x-1)(x+1)得，2(x-1)+3(x+1)=6C.解这个方程得x=1D.原方程的解是x=12.解方程+=学生独立完成后教师出示答案并反馈目标达成度课后提升：a为何值时,关于x的方程+=会产生增根？．日期201年月日上午下午晚上授课内容分式方程的解法教学时数重点了解增根的意义及解分式方程可能产生增根的原因，明确验根是解分式方程的一个重要且必要的步骤。\n难点能化分式方程为整式方程，体验转化的数学思想方法。教学内容及过程设计分式方程的解法一．旧知回顾例：解方程=解：方程两边同乘x(x-2)，得x=3(x-2)解这个一元一次方程，得x=3检验：将x=3代入原方程，得左边=右边所以，x=3是原方程的根解分式方程的基本思路是：_________________________________一般步骤是：_____________________________________________学生活动：（口答）解分式方程的基本思路是：方程两边都乘以最简公分母，把分式方程转化为整式方程。一般步骤是：去分母、解整式方程、检验、下结论。教师活动：（1）引导学生回顾解一元一次方程时有没有必须检验？（没有，这个步骤可以在演草本上进行）（2）引入正题：其实，这里的检验也不仅是为了验证我们求得的根是否是原方程的根，而更重要的目的是为了验证它是否是原方程的增根。\n二．预习检测：在方程变形的过程中，产生的___________的根叫做方程的增根，增根应当舍去。验根就是把求出的根代入原方程检验，如果求出的根使原方程的一个__________的值是0，那么这个根就是方程的增根。三．课内探究（一）在解方程-=8时，小亮的解法如下：解：方程两边同乘（x－7）,得x－8＋1=8(x－7)解这个一元一次方程，得X=7思考：（1）你认为x=7是原方程的根吗？学生观察后口答：x=7不是原方程的根，因为它使方程中分母为0，分式没有意义。（2）产生增根的原因是什么？教师媒体动画提示：“我”是（x-7）？奇怪？为什么方程两边同乘了“我”就变质了呢？学生活动：小组交流、讨论并口头展示若有困难，教师作适当提示：等式变形的条件是两边同乘以非零数或整式，而x-7可能为零。师生共同总结产生增根的原因及验根方法：\n原分式方程与变形后的整式中未知数的取值范围不同，我们在方程的两边同乘了一个可能令分母等于0的整式。因此解分式方程可能产生增根。所以,解分式方程必须验根，目的在于检验整式方程的根是否是原方程的增根。验根的方法是代入到原分式方程的各分母或最简公分母中，只要有一个分母为0或最简公分母为0，则为增根，应舍去。典例剖析：例1解方程－=1师生活动：一生口述过程，教师板书，其他生观察并适时补充与矫正，教师再次强调解分式方程的步骤，特别是验根一步不能掉去相应练习：1．解方程：（1）=（2）-1=各一生板演，其他生做在练习本上，做完后小组内交流答案，优生给予学困生适当辅导，然后师生共同反馈矫正。2．下列关于x的方程若有增根，增根可能是几？(1)-=0(2)－=0学生活动：思考后口答增根的值（三）变式训练\n例2．若方程－=0有增根，求m值.学生活动：先交流解题思路，然后自主解答，并有一生板演教师：与生反馈矫正后总结解题步骤（1）去分母化分式方程为整式方程（2）把可能的增根代入整式方程（3）求出字母系数的值四．课堂小结：学生谈本节课的收获与存在困惑教师作适时点拨五．当堂检测：1.解方程+=，分以下四步，其中错误的一步是（）A.确定各分母的最简公分母(x-1)(x+1)B.方程两边都乘以(x-1)(x+1)得，2(x-1)+3(x+1)=6C.解这个方程得x=1D.原方程的解是x=12.解方程+=学生独立完成后教师出示答案并反馈目标达成度课后提升：a为何值时,关于x的方程+=\n会产生增根？．日期201年月日上午下午下午晚上授课内容一元一次不等式教学时数重点一元一次不等式与一元一次方程、一次函数的内在联系难点一元一次不等式与一元一次方程、一次函数的内在联系教学内容及过程设计一元一次不等式7.7一元一次不等式与一元一次方程、一次函数教学目标1、经历实际问题中的数量关系的分析、抽象初步体会一元一次不等式与一元一次方程、一次函数的内在联系。2、了解不等式、方程、函数在解决问题过程中的作用和联系。3、通过解决实际问题，使学生认识数学与人类生活的密切联系以及对人类历史发展的作用.并以此激发学生学习数学的信心和兴趣.教学重点：一元一次不等式与一元一次方程、一次函数的内在联系教学难点：一元一次不等式与一元一次方程、一次函数的内在联系教学方法：讨论探索法.教学过程一、创设问题情境，引入新课1、已知，当取何植时，（1）（2）（3）2、一根长20cm的弹簧，一端固定，另一端挂物体。在弹簧伸长后的长度不超过30cm的限度内，每挂1㎏质量的物体，弹簧伸长0.5cm.如果所挂物体的质量为x㎏，弹簧的长度是ycm。（1）、求y与x之间的函数关系式，并画出函数的图象。（2）、求弹簧所挂物体的最大质量是多少？3、某人点燃一根长25cm的蜡烛，已知蜡烛每小时缩短5cm，社xh后蜡烛剩下的长度为ycm.\n（1）求y与x之间的函数关系式。（2）所以3小时后蜡烛的长度不足几小时后，蜡烛的长度不足10cm？解：（1）根据题意，得即y与x之间的函数关系为（2）当时解这个不等式，得问题：1、你可以用其他方法解决这个问题吗？2、能否用一元一次方程和一次函数的性质来求解？练习巩固1、x取什么值时，函数的值是正数？负数？非负数？2、声音在空气中的传播速度km/h（简称音速）与气温满足关系式：.求：（1）音速为340m/s时的气温。（2）音速超过340m/s时的气温。（3）你可以得到什么规律？说说看。补充例题：一艘轮船以20km/h的速度从甲港驶往160km远的乙港，2h后，一艘快艇以40km/h的速度也从甲港驶往乙港。分别列出轮船和快艇行驶的路程ykm与时间xh的函数关系式，并在直角坐标系中画出函数的图象，观察图象回答下列问题：（1）何时轮船行驶在快艇的前面？（2）何时快艇行驶在轮船的前面？（3）哪一艘船先驶过60km？哪一艘船先驶过100km？。练习巩固：某学校计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一型号电脑每台报价均为6000元，并且多买都有一定的优惠。甲商场的优惠条件是：第一台按原价收费，其余每台优惠25%；乙商场的优惠条件是：每台优惠20%。（1）分别写出两家商场的收费与所买电脑台数之间的关系式；（2）什么情况下到甲商场购买更优惠？（3）什么情况下到乙商场购买更优惠？（4）什么情况下两家商场的收费相同？二、探索新知\n一元一次方程、一次函数的关系由于任何一元一次方程都可以转化为的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当时，求的值。从图象上看，这相当于已知，确定的值。答：一次函数，函数值确定，与之对应的自变量。纵坐标，横坐标。一元一次不等式与一次函数的关系（1）一元一次不等式ax+b>0或ax+b<0（a≠0）是一次函数y=ax+b（a≠0）的函数值的情形．（2）直线y=ax+b上使函数值y>0（x轴上方的图像）的x的取值范围是ax+b0的解集；使函数值y<0（x轴下方的图像）的x的取值范围是ax+b0的解集．答：（1）不等于0；（2）>，<。三、例题精选例1如图是一个一次函数，请根据图像回答问题：（1）当x＝0时，y＝，当y＝0时，x＝；（2）写出直线对应的一次函数的表达式；（3）一元一次方程和一次函数有什么联系？例2、画出函数y=-3x+12的图像，利用图像求：（1）不等式-3x+12>0的解集．（2）不等式-3x+12≤0的解集．例3、某用煤单位有煤吨，每天烧煤吨，现已知烧煤三天后余煤102吨，烧煤8天后余煤72吨.(1)求该单位余煤量吨与烧煤天数之间的函数解析式；(2)当烧煤12天后，还余煤多少吨？(3)预计多少天后会把煤烧完？四、随堂演练1、在一次函数中，已知则；若已知则；2、当自变量　　　　时，函数的值大于0；当　　　　时，函数的值小于0。3、已知函数，当　　　　时，；当　　　　时，。4、如图，直线是一次函数的图象，观察图象，可知：（1）　　　　　；　　　　。（2）当时，　　　　　。5、已知函数y1=2x–4与y2=-2x+8的图象，观察图象并回答问题：（1）x取何值时，2x-4>0?（2）x取何值时，-2x+8>0?（3）x取何值时，2x-4>0与-2x+8>0同时成立？（4）你能求出函数y1=2x–4与y2=-2x+8的图象与X轴所围成的三角形的面积吗？\n6、x取什么值时，函数的值是正数？负数？非负数？7、声音在空气中的传播速度km/h（简称音速）与气温满足关系式：.求：（1）、音速为340m/s时的气温。（2）、音速超过340m/s时的气温。（3）、你可以得到什么规律？说说看。五、总结思考请回答一元一次不等式与一元一次方程、一次函数的内在联系。六、作业1、一艘轮船以20km/h的速度从甲港驶往160km远的乙港，2h后，一艘快艇以40km/h的速度也从甲港驶往乙港。分别列出轮船和快艇行驶的路程ykm与时间xh的函数关系式，并在直角坐标系中画出函数的图象，观察图象回答下列问题：（1）何时轮船行驶在快艇的前面？（2）何时快艇行驶在轮船的前面？（3）哪一艘船先驶过60km？哪一艘船先驶过100km？2、某学校计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一型号电脑每台报价均为6000元，并且多买都有一定的优惠。甲商场的优惠条件是：第一台按原价收费，其余每台优惠25%；乙商场的优惠条件是：每台优惠20%。（1）分别写出两家商场的收费与所买电脑台数之间的关系式；（2）什么情况下到甲商场购买更优惠？（3）什么情况下到乙商场购买更优惠？（4）什么情况下两家商场的收费相同？日期201年月日上午下午晚上授课内容教学时数重点探索一次函数与二元一次方程（组）的关系难点综合运用方程（组）、不等式和函数的知识解决实际问题教学内容及过程设计\n．“一次函数与二元一次方程（组）”教学流程安排活动流程图活动内容和目的活动1提出问题，探索关系通过设置几个小问题，帮助学生探索二元一次方程和一次函数之间的关系活动2操作交流，再次探索通过动手操作和相互交流，探索二元一次方程组与一次函数之间的关系活动3解决问题，综合运用通过综合运用一次函数、一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程（组）解决实际问题，让学生学会用函数的观点认识问题活动4巩固练习，深化理解通过用函数的方法解决实际问题，让学生进一步理解方程、不等式、函数之间的联系活动5归纳小结，布置作业师生共同小结本节内容教学过程设计问题与情境师生行为设计意图［活动1］问题1二元一次方程3x+5y=8可以转化成y=思考：是不是任意的二元一次方程都能进行这样的转化呢？2在坐标系中画出一次函数的图象思考：在直线上任取一点（x,y），则x,y学生独立思考问题1、2.教师巡视，师生共同归纳：（1）由问题1得到每个二元一次方程都对应着一个一次函数，于是也对应一条直线.（2）由问题2得到直线上的每个点的坐标都是对应的二元一次方程的解.在此活动中，教师应重点关注：（1）学生是否能通过问题1和2体会到一次函数与二元一次方程（组）在数及形两个方面的联系.（2）学生独立思考及参与解决问题的积极性通过设置问题1，帮助学生体会二元一次方程与一次函数的对应关系；通过设置问题2，帮助学生感受一次函数图象上的点与二元一次方程的解的对应关系，为探究二元一次方程组的解与直线交点坐标的关系作好铺垫\n一定是方程3x+5y=8的解吗？为什么？［活动2］1在同一坐标系中画出二元一次方程2x-y=1所对应的直线观察：这两条直线有交点吗？思考：这个交点坐标是方程组的解吗？为什么？2当自变量x取何值时，函数与y=2x-1的值相等？这个函数值是什么？思考：这个问题与解方程组是同一个问题吗？学生独立完成画图，相互交流观察与思考的结果.教师巡视，对学生在交流过程中可能出现的疑问给予帮助.师生共同归纳得到，每个二元一次方程组对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从形的角度看，解二元一次方程组相当于确定两条直线交点的坐标.学生独立完成问题2，然后师生共同归纳得到，从数的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是何值.在此活动中，教师应重点关注：（1）学生是否能通过探究从“数”和“形”两个角度去认识一次函数与解二元一次方程组.（2）学生是否能意识到图象法求二元一次方程组的优点和缺点通过设置问题1，让学生通过画图去探索，从形的角度去认识一次函数与解二元一次方程组的关系.通过设置问题2，帮助学生从数的角度去认识一次函数与解二元一次方程组的关系\n［活动3］问题一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式：方式A以每分0.1元的价格按上网时间计费；方式B除收月基费20元外再以每分0.05元的价格按上网时间计费.如何选择收费方式使上网者更合算？ 学生分组讨论后发表见解，相互交流.教师首先引导学生分析得到收费方式的选择与每月上网时间x（分）有关，然后深入小组参与讨论，帮助学生建立函数模型，得到不同的解决方法，并展示规范解答（1）若按方式A收则y=0.1x元；若按方式B收则y=0.05x+20元.然后画出图象，计算出两条直线的交点坐标，结合图象求解；（2）方式B与方式A两种计费的差额为y元，则y随x变化的函数关系式为y=(0.05x+20)－0.1x=－0.05x+20.然后画出图象，计算出直线与x轴的交点坐标，结合图象求解.在此活动中，教师应重点关注：（1）学生是否能建立方程和函数模型；（2）学生能否利用作差的方法去比较两个函数值的大小；（3）学生是否能得到所画的函数图象是射线；（4）学生是否能利用图象，从函数的角度去分析，从而选择合适的收费方式通过综合运用一次函数、一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程（组）解决实际问题，让学生体会方程组、不等式与函数之间的相互联系，学会用函数的观点认识问题.解决问题时，应根据具体情况灵活地选择数学模型并把它们有机地结合起来.通过让学生独立思考、分组讨论和互相补充，培养学生的合作意识和多角度解决问题的能力\n［活动4］练习下面有两种移动电话计费方式：全球通神州行月租费50元/月0本地通话费0．40元/分0．60元/分你知道如何选择计费方式更省钱吗？学生讨论并展示成果.教师引导学生采用不同的方法解答.在此活动中，教师应重点关注：（1）学生是否能写出两种计费方式的函数模型；（2）学生是否能灵活地结合方程组和不等式的有关知识解决问题通过这个活动让学生进一步理解方程组、不等式与函数之间的联系［活动5］小结和作业1你对本节课的内容有哪些认识？2作业:第46页第5、6、11题学生思考后充分发表自己的意见，然后相互补充.师生共同归纳得到：（1）二元一次方程（组）与一次函数的关系；（2）从“数”和“形”两个方面去看二元一次方程组；（3）方法：从函数的观点来认识问题、解决问题，图象法解二元一次方程组.在此活动中，教师应重点关注：（1）积极评价不同层次的学生对本节内容的不同认识.（2）学生对本节内容的整体感受，能否从不同角度去理解一次函数与二元一次方程（组）的关系通过小结明确本节的主要内容、思想和方法，培养学生善于反思的良好习惯.巩固本节所学知识，并能解决实际问题教学设计说明\n本节课是学生在学习完一次函数、一元一次方程与一元一次不等式的联系之后对一次函数和一元一次方程(组)关系的探究，是对一次函数及其相关内容更深入更全面的学习。根据教材内容特点对教学设计作如下说明：一次函数和二元一次方程(组)安排了两个内容：一是探索一次函数与二元一次方程（组）的关系，二是综合运用函数与方程、不等式的关系解决简单的实际问题。由于学生已具备了初步的数形结合的思想解决问题的能力，因此教师在引导学生得到一次函数与二元一次方程(组)关系的基础上，让学生自己从数和形两个角度去探究一次函数与解二元一次方程的关系。考虑到学生已经可以建立一次函数模型来解决简单的实际问题，因此在命题教学中应着重引导学生利用图象，结合方程(组)、不等式及函数的关系来解决问题。教学反思本节课安排了两个内容：一是探索一次函数与二元一次方程（组）的关系，这是本节的重点；二是综合运用函数与方程、不等式的关系解决简单的实际问题，这是本节的难点。　　教学中先让学生把一个具体的二元一次方程转化成一次函数，再通过画图来揭示二元一次方程与一次函数之间的关系，然后在同一坐标系中画出另一条直线，观察、思考得到二元一次方程组与一次函数之间的关系，进而得到二元一次方程组的解与两条直线交点坐标之间的关系，这些都为从函数的观点认识解方程组作好了铺垫。学生经历了前面的探究学习后，很自然从“形”的角度来认识解方程组。为了帮助学生从“数”的角度来认识解方程组，教师设计一个练习，先让学生体验再引导学生归纳结论，使学生的思维活跃起来。这种呈现知识的形式符合学生的认知规律。在例题的教学中，引导学生分析题意，建立函数模型，然后让学生讨论交流比较大小的方法.对于利用图象比较大小的两种方法，第一种是让学生独立画图，分析比较，然后强调自变量的取值范围；对于第二种方法，着重引导学生作差得到一个新函数，并把要解决的问题设计成填空的形式，让学生结合画图分析完成。本节课作者主要在把握教材的编写意图下功夫，并结合实际，不误时机地对学生进行“数形结合”思想方法的教学，让学生在动口、动手、动脑的过程中体会四个“一次”之间的关系。同时注重知识形成过程的教学，突出学生活动这条主线，辅以多媒体教学，师生互动、生生互动，来体现了“以人为本”的教学理念。日期201年月日上午下午晚上授课内容教学时数重点1.初步理解集合的概念，熟练掌握常用数集及其记法；2.理解“属于”关系的意义；\n3.了解有限集、无限集、空集的意义；难点掌握列举法和描述法表示集合，对集合的灵活应用。教学内容及过程设计集合的概念：有某些确定的对象组成的整体叫做集合，简称集。组成集合的对象叫做集合的元素。集合一般有大写字母来表示，元素用小写字母来表示。集合的性质：1、确定性2、无序性3、互异性集合与元素的关系：A是集合A的元素，就是a属于A记作a∈A.如果a不属于A就说a∈A例1下列对象能否组成集合(1)所有小于10的自然数(2)某班个子高的同学(3)方程x2-1=0的所有解(4)不等式x-2＞0的所有解数集的概念：由数组成的集合解集：由方程的接组成的集合特定的数集：N自然数集N*正整数集Z整数集Q有理数集R全体实数空集有限集：集合中含有限个元素无限集：集合中含无限个元素一、课外作业2、下列各组对象能确定一个集合吗？（1）所有很大的实数。（不确定）（2）好心的人。（不确定）（3）1，2，2，3，4，5．（有重复）1.1.2集合的表示方法\n[教学目的]   使学生达到以下目的：1、掌握列举法和描述法表示集合2会区别列举法和描述法[重点难点] 描述法表示集合[教学过程]1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法。例如，由方程x2-1=0的所有解组成的集合，可以表示为{-1，1}注：（1）有些集合亦可如下表示：从51到100的所有整数组成的集合：{51，52，53，…，100}所有正奇数组成的集合：{1，3，5，7，…}（2）a与{a}不同：a表示一个元素，{a}表示一个集合，该集合只有一个元素。例2用列举法表示下列集合（1）大于-4且小于12的所有偶数组成的集合（2）方程x2-5x-6=0组成的集合描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法。格式：{x∈A|P（x）}含义：在集合A中满足条件P（x）的x的集合。例如，不等式x-2＞0的解集可以表示为：{x|x>2}所有直角三角形的集合可以表示为：注：（1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分。如：{直角三角形}；{大于104的实数}（2）错误表示法：{实数集}；{全体实数}例3用描述法表示下列集合（1）不等式2x+1《=0的解集（2）所有奇数组成的集合（3）由第一象限内所有的点组成的集合3、文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法。注：何时用列举法？何时用描述法？（1）有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法。如：集合{1000以内的质数}（2）有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法。如：集合；集合{1000以内的质数}一、小结回顾小结\n本节课学习了以下内容：1.集合的有关概念——集合、元素、属于、不属于、有限集、无限集、空集；2.常用数集的定义及记法。3.集合的表示方法．日期201年月日上午下午晚上授课内容教学时数重点知识点：子集、真子集的概念能力点：集合子集的理解难点集合子集的应用教学内容及过程设计复习问题：集合的概念及表示方法导入新课：集合与集合之间是什么关系？有没有集合的大小，或者相等呢？教学内容1、元素与集合之间什么关系呢？元素与集合是从属关系，即对一个元素x是某集合A中的元素时，它们的关系为x∈A．若一个对象x不是某集合A中的元素时，它们的关系为xA．2.集合有哪些表示方法？列举法，描述法，语言叙述．数与数之间存在着大小关系，那么，两个集合之间是不是也存在着类似的关系呢？先看下面两个集合：A＝｛1，2，3｝，B＝｛1，2，3，4，5｝．它们之间有什么关系呢？3引导学生分析讨论集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素．集合B中的元素4，5不是集合A中的元素．4与学生共同归纳，明晰子集的定义对于上述问题，教师点拨，A是B的子集，B不是A的子集．子集：对于两个集合A，B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，记作AB（或BA），就说集合A是集合B的子集．用符号语言可表示为：如果任意元素x∈A，都有x∈B，那么AB．规定：空集是任何集合的子集，即对于任意一个集合A，有A．5提出问题，组织学生讨论给出三个集合：A＝｛1，2，3｝，B＝｛1，2，3，4，5｝，C＝｛1，2，3｝．（1）A是B的子集吗？B是A的子集吗？\n（2）A是C的子集吗？C是A的子集吗？6教师给出真子集与两集合相等的定义上述问题中，集合A是集合B的子集，并且集合B中有元素不属于集合A，这时，我们就说集合A是集合B的真子集；集合A是集合C的子集，且集合A与集合C的元素完全相同，这时，我们就说集合A与集合C相等．真子集：如果集合A是集合B的子集，即AB，并且B中至少有一个元素不属于集合A，那么集合A叫作集合B的真子集，记作AB或BA．两集合相等：如果集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，即AB，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A中的元素，即B》A，那么就说集合A等于集合B，记作A＝B．思考：设A，B是两个集合，AB，AB，A＝B三者之间的关系是怎样的？7、子集、真子集的有关性质由子集、真子集的定义可推知：（1）对于集合A，B，C，如果AB，BC，那么AC．（2）对于集合A，B，C，如果AB，BC，那么AC．（3）AA．（4）空集是任何非空集合的真子集．练习1.用适当的符号（∈，，＝，，）填空．（1）3___________｛1，2，3｝．（2）5___________｛5｝．（3）4___________｛5｝．（4）｛a｝___________｛a，b，c｝．（5）0___________．（6）｛a，b，c｝___________｛b，c｝．2.写出集合｛a，b｝的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集．3.说出下列每对集合之间的关系．（1）A＝｛1，2，3，4，｝，B＝｛3，4｝．（2）P＝｛x｜x2＝1｝，Q＝｛-1，1｝．（3）N，N*．（4）C＝｛x∈R｜x2＝-1｝，D＝｛0｝．小结1、子集的概念2、真子集的表述集合相等的性质．\n日期201年月日上午下午晚上授课内容教学时数重点1、交集，并集交集，并集的定义集合的运算\n难点集合的灵活应用教学内容及过程设计1．交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的交集，记作：（读作“A交B”），即：可用左图阴影部分表示显然有：，，。思考AB=A，AB=可能成立吗？仿照上面可得并集的概念2．并集：一般的，由所有属于集合A或属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的并集，记做AB。（读作A并B），即AB=如图显然有AB=BA，AAB，BAB思考：AB=A能成立吗？A是什么集合？练习；2一．数学运用例1．设，A={-1，0,1}B={0,1,2,3}求解：练习：3、4、5小结1、理解两个集合的交集、并集的概念；2、求交集、并集常用数形结合。．\n日期201年月日上午下午晚上授课内容教学时数重点知识点：四个条件能力点：由四个条件解不等式\n难点对集合的灵活应用教学内容及过程设计1.思考:下列两题中α是β的什么条件?1)α:三角形中两个内角相等β:三角形是等腰三角形2)α:½a－b½=0β:a=b解:1）和2）中，αÞβ，且βÞα,所以，α既是β的充分条件，α又是β的必要条件。充要条件:如果既有αÞβ，又有βÞα，即有αÛβ，即α既是β的充分条件，又是β的必要条件，则α是β的充分且必要条件，简称充要条件。2.思考：已知α是β的充要条件，把“如果α，那么β”作为原命题所得的四种命题的真假如何？已知α是β的充分非必要条件呢？已知α是β的必要非充分条件呢？解：α是β的充要条件时，四个命题都为真命题。α是β的充分非必要条件时，原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题。α是β的必要非充分条件时，逆命题和否命题为真命题，原命题和逆否命题为假命题。例3：三个数x、y、z不都是负数的充要条件是()（A）x、y、z中至少有一个是正数（B）x、y、z都不是负数（C）x、y、z中只有一个是负数（D）x、y、z中至少有一个是非负数例4：“x1＞0，且x2＞0”是“x1＋x2＞0,且x1x2＞0”的()（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充要条件（D）既非充分又非必要条件例5：“x1＞3，且x2＞3”是“x1＋x2＞6且x1x2＞9”的()（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充要条件（D）既非充分又非必要条件例6：设A是B的充分非必要条件，B是C的充要条件，D是C的必要非充分条件，则D是A的()（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充要条件（D）既非充分又非必要条件例7：设A是B的充分非必要条件，B是C的必要非充分条件，同时B是D的充分非必要条件，C是D的必要非充分条件，则C是A的(）（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充要条件（D）既非充分又非必要条件小结：\n四个逻辑条件及运算方法。日期201年月日上午下午晚上授课内容教学时数重点会解一元一次不等式，灵活掌握不等式的性质。\n难点会解一元一次不等式，灵活掌握不等式的性质。教学内容及过程设计复习问题：5与9那个大？为什么？导入新课：我们先来比较两个数的大小教学内容：1、比较两个数的大小作差法a-b>0a>ba-b=0a=ba-b<0a1a>ba/b=1a=ba/b<1abab2与ba22、不等式性质1a>bb>c则a>c不等式性质2a>ba+-c>b+-c不等式性质3a>bc>da+c>b+d不等式性质4a>bc<0ac0ac>bc不等式性质5a>b>0c>d>0ac>bd让学生用语言叙述5各基本性质例1a>b3a3b-2a-2ba+3b+3例219,当n=9,\n故所以,数列{an}有最大项,为第9,10项[点评]求数列{an}的最大项,最小项,考虑数列的单调性,即通过对an的单调性进行讨论练习:已知则在数列{an}中的前30项中,最大项和最小项分别为什么?解:最大a10最小a9【课堂小结】1、了解数列的概念、分类与表示法；2、重点理解数列的通项公式，会求一些简单数列的通项公式，会根据通项公式和递推公式求数列的项；3、任意数列{an}的前n项和的性质Sn=a1+a2+a3+……+an4、求数列中最大最小项的方法：最大最小考虑数列的单调性【作业布置】优化设计．日期201年月日上午下午晚上授课内容教学时数重点难点教学内容及过程设计\n数列的概念【知识点精讲】1、数列：按照一定次序排列的一列数（与顺序有关）2、通项公式：数列的第n项an与n之间的函数关系用一个公式来表示an=f(n)。（通项公式不唯一）3、数列的表示:(1)列举法:如1,3,5,7,9……;(2)图解法:由(n,an)点构成;(3)解析法:用通项公式表示,如an=2n+1(4)递推法:用前n项的值与它相邻的项之间的关系表示各项,如a1=1,an=1+2an-14、数列分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列5、任意数列{an}的前n项和的性质Sn=a1+a2+a3+……+an6、求数列中最大最小项的方法：最大最小考虑数列的单调性【例题选讲】例1、根据下面各数列前几项，写出一个通项（1）-1,7,-13,19,…;(2)7,77,777,777,…;(3)(4)5,0,-5,0,5,0,-5,0,…;(5)1,0,1,0,1,0,…;解：（1）an=(-1)n(6n-5);(2)(3)(4);(5);[点评]根据数列前几项的规律，会写出数列的一个通项公式。练习:⑴⑵3,5,9,17,33,……⑶1,2,2,4,3,8,4,16,5,……..解：\n例2、已知数列（1）求这个数列的第10项；（2）是不是该数列中的项，为什么？（3）求证：数列中的各项都在区间（0，1）内；（4）在区间内有无数列中的项？若有，有几项？若无，说明理由。解：设（1）令n=10,得第10项；（2）令，此方程无自然数解，所以不是其中的项（3）证明：（4）令[点评]数列问题转化为解方程和不等式问题，注意正整数解例3、下面各数列的前n项和Sn的公式,求{an}的通项公式.(1)Sn=2n2-3n(2)Sn=3n-2解:(1)当n≥2时,由于a1也适合此等式,所以\n(2)当n≥2时,[点评]已知数列前n项和Sn,相当于知道了n≥2时候an,但不可忽视n=1.即练习:已知数列的前n项和Sn满足log2(Sn+1)=n+1,求{an}的通项公式解:由题意例4、有一数列{an}，a1=a，由递推公式an+1=，写出这个数列的前4项，并根据前4项观察规律，写该数列的一个通项公式。详见优化设计P37典例剖析之例2，解答过程略。（理科班学生可要求通项公式的推导：倒数法）变式：在数列{an}，a1=1，an+1=，求an。详见优化设计P37典例剖析之例1，解答过程略。[点评]对递推公式，要求写出前几项，并猜想其通项公式，此外了解常用的处理办法，如：迭加、迭代、迭乘及变形后结合等差（比）数列公式，也很必要。例5、已知数列{an}的通项公式试问数列{an}有没有最大项?若有,求最大项和最大项的项数;若无,说明理由.解:当n<9,当n>9,当n=9,故\n所以,数列{an}有最大项,为第9,10项[点评]求数列{an}的最大项,最小项,考虑数列的单调性,即通过对an的单调性进行讨论练习:已知则在数列{an}中的前30项中,最大项和最小项分别为什么?解:最大a10最小a9【课堂小结】1、了解数列的概念、分类与表示法；2、重点理解数列的通项公式，会求一些简单数列的通项公式，会根据通项公式和递推公式求数列的项；3、任意数列{an}的前n项和的性质Sn=a1+a2+a3+……+an4、求数列中最大最小项的方法：最大最小考虑数列的单调性【作业布置】优化设计日期201年月日上午下午晚上授课内容教学时数重点理解等差数列的概念，建立函数思想难点理解等差数列的概念，建立函数思想\n教学内容及过程设计等差数列（1）数列定义：数列是一类特殊的函数，它的定义域是正整数集或的有限子集，通项公式就是这一函数的解析表达式。数列的各项即是自变量（项数）从1开始自小到大依次取自然数时对应的一系列函数值。数列的一般形式：简记为数列项数有限的数列叫有穷数列，项数无限的数列叫无穷数列。数列的图象是一些孤立的点（2）等差数列的定义：数列中，若（常数），对都成立，则数列叫等差数列，常数叫等差数列的公差。等差数列的通项公式为通项公式推广：（3）等差数列的一些简单性质：1、对于任意正整数n，都有2、数列是等差数列对于任意的正整数，有3、对于任意的整数，如果，那么4、已知、是等差数列，则也是等差数列5、已知是等差数列，则…等都是等差数列（4）等差中项的概念三数a,b,c成等差，即b是a,c的等差中项；【课前预习】1．数列中，若对都成立，则数列叫等差数列，等差数列的通项公式为.2.根据下列数列的前项的值，写出满足反映给出规律的一个通项公式。\n(1)3，5，9，17，33，……（2）0，3，8，15，24，（3）（4）0，-1，0，-1，0，-1，3．在1和4之间插入5个数，使它们组成等差数列，则插入的第四个数为.4在等差数列中，(1)若，则=；(2)若,则d=；(3)若，则的等差中项为.【典型例题】题型一：递推公式的应用例1根据下列数列的递推公式，写出它的前5项，并归纳出通项公式：（1）；（2）；（3）。题型二：等差数列的基本量的计算例2(1)已知等差数列中，，求数列的通项公式.(2)等差数列中，，,则此数列前20项和等于A.160B.180C.200D.220\n例3已知等差数列的首项为-20，且从第8项开始为正数，求公差d的取值范围.题型三：等差数列的判定例4已知数列的前n项和为，且，又，（1）求证：是等差数列；★(2）求数列的通项公式；判断数列是否为等差数列？题型四：等差数列的性质的应用★例5在和之间插入n个正数，使这个数依次成等差数列，求所插入的n个数之和；【巩固练习】1．已知等差数列中，若.2．.已知数列满足，求数列的通项公式.\n★3.等差数列中，＝－5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下10项的平均值是4，则抽取的是：A．B．C．D．★4.将正偶数按下表排成4列：第1列第2列第3列第4列第1行2468第2行16141210第3行18202224……2826则2008在行列.【本课小结】【课后作业】1．已知等差数列满足，求数列的前11项和.2．已知数列为等差数列，且，问1025是否为数列中的项，说明理由；3．已知数列{an}的通项公式an=9-2n，则Hn=|a1|+|a2|+…+|an|=．4.函数f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+……+anxn(nN*),且y=f(x)的图象经过点（1，n2）,求证：数列｛an｝(nN*)为等差数列；★5．★6．已知函数f(x)=,数列的各项均为负数，且满足,求数列的通项公式;日期201年月日上午下午晚上授课内容教学时数\n重点难点教学内容及过程设计．课题：等比数列的概念教学目标1.通过教学使学生理解等比数列的概念，推导并掌握通项公式.2.使学生进一步体会类比、归纳的思想，培养学生的观察、概括能力.3.培养学生勤于思考，实事求是的精神，及严谨的科学态度.教学重点，难点重点、难点是等比数列的定义的归纳及通项公式的推导.教学用具投影仪，多媒体软件，电脑.教学方法讨论、谈话法.教学过程一、提出问题给出以下几组数列，将它们分类，说出分类标准.（幻灯片）①－2，1，4，7，10，13，16，19，…\n②8，16，32，64，128，256，…③1，1，1，1，1，1，1，…④243，81，27，9，3，1，，，…⑤31，29，27，25，23，21，19，…⑥1，－1，1，－1，1，－1，1，－1，…⑦1，－10，100，－1000，10000，－100000，…⑧0，0，0，0，0，0，0，…由学生发表意见（可能按项与项之间的关系分为递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列，也可能分为等差、等比两类），统一一种分法，其中②③④⑥⑦为有共同性质的一类数列（学生看不出③的情况也无妨，得出定义后再考察③是否为等比数列）.二、讲解新课请学生说出数列②③④⑥⑦的共同特性，教师指出实际生活中也有许多类似的例子，如变形虫分裂问题.假设每经过一个单位时间每个变形虫都分裂为两个变形虫，再假设开始有一个变形虫，经过一个单位时间它分裂为两个变形虫，经过两个单位时间就有了四个变形虫，…，一直进行下去，记录下每个单位时间的变形虫个数得到了一列数这个数列也具有前面的几个数列的共同特性，这是我们将要研究的另一类数列——等比数列.（这里播放变形虫分裂的多媒体软件的第一步）等比数列（板书）1.等比数列的定义（板书）根据等比数列与等差数列的名字的区别与联系，尝试给等比数列下定义.学生一般回答可能不够完美，多数情况下，有了等差数列的基础是可以由学生概括出来的.教师写出等比数列的定义，标注出重点词语.请学生指出等比数列②③④⑥⑦各自的公比，并思考有无数列既是等差数列又是等比数列.学生通过观察可以发现③是这样的数列，教师再追问，还有没有其他的例子，让学生再举两例.而后请学生概括这类数列的一般形式，学生可能说形如的数列都满足既是等差又是等比数列，让学生讨论后得出结论：当时，数列既是等差又是等比数列，当时，它只是等差数列，而不是等比数列.教师追问理由，引出对等比数列的认识：2.对定义的认识（板书）\n（1）等比数列的首项不为0；（2）等比数列的每一项都不为0，即；问题：一个数列各项均不为0是这个数列为等比数列的什么条件？（3）公比不为0.用数学式子表示等比数列的定义.是等比数列①.在这个式子的写法上可能会有一些争议，如写成，可让学生研究行不行，好不好；接下来再问，能否改写为是等比数列？为什么不能？式子给出了数列第项与第项的数量关系，但能否确定一个等比数列？（不能）确定一个等比数列需要几个条件？当给定了首项及公比后，如何求任意一项的值？所以要研究通项公式.3.等比数列的通项公式（板书）问题：用和表示第项.①不完全归纳法.②叠乘法，…，，这个式子相乘得，所以.（板书）（1）等比数列的通项公式得出通项公式后，让学生思考如何认识通项公式.（板书）（2）对公式的认识由学生来说，最后归结：①函数观点；②方程思想（因在等差数列中已有认识，此处再复习巩固而已）.\n这里强调方程思想解决问题.方程中有四个量，知三求一，这是公式最简单的应用，请学生举例（应能编出四类问题）.解题格式是什么？（不仅要会解题，还要注意规范表述的训练）如果增加一个条件，就多知道了一个量，这是公式的更高层次的应用，下节课再研究.同学可以试着编几道题.三、小结1.本节课研究了等比数列的概念，得到了通项公式；2.注意在研究内容与方法上要与等差数列相类比；3.用方程的思想认识通项公式，并加以应用.四、作业 （略）五、板书设计三.等比数列                                                   1.等比数列的定义2.对定义的认识3.等比数列的通项公式（1）公式（2）对公式的认识日期201年月日上午下午晚上授课内容教学时数重点加法原理，乘法原理。解决方法：利用简单的举例得到一般的结论．难点加法原理，乘法原理的区分。解决方法：运用对比的方法比较它们的异同．\n教学内容及过程设计排列与组合一、教学过程1．新课导入随着社会发展，先进技术，使得各种问题解决方法多样化，高标准严要求，使得商品生产工序复杂化，解决一件事常常有多种方法完成，或几个过程才能完成。排列组合这一章都是讨论简单的计数问题，而排列、组合的基础就是基本原理，用好基本原理是排列组合的关键．2．新课我们先看下面两个问题．(l)从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船．一天中，火车有4班，汽车有2班，轮船有3班，问一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？板书：图因为一天中乘火车有4种走法，乘汽车有2种走法，乘轮船有3\n种走法，每一种走法都可以从甲地到达乙地，因此，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有4十2十3=9种不同的走法．一般地，有如下原理：加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1十m2十…十mn种不同的方法．(2)我们再看下面的问题：由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条．从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法？板书：图这里，从A村到B村有3种不同的走法，按这3种走法中的每一种走法到达B村后，再从B村到C村又有2种不同的走法．因此，从A村经B村去C村共有3X2=6种不同的走法．一般地，有如下原理：乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1m2…mn种不同的方法．\n例1书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书．1）从中任取一本，有多少种不同的取法？2）从中任取数学书与语文书各一本，有多少的取法？解：（1）从书架上任取一本书，有两类办法：第一类办法是从上层取数学书，可以从6本书中任取一本，有6种方法；第二类办法是从下层取语文书，可以从5本书中任取一本，有5种方法．根据加法原理，得到不同的取法的种数是6十5=11．答：从书架L任取一本书，有11种不同的取法．（2）从书架上任取数学书与语文书各一本，可以分成两个步骤完成：第一步取一本数学书，有6种方法；第二步取一本语文书，有5种方法．根据乘法原理，得到不同的取法的种数是N＝6X5＝30．答：从书架上取数学书与语文书各一本，有30种不同的方法．练习：一同学有4枚明朝不同古币和6枚清朝不同古币1）从中任取一枚，有多少种不同取法？2）从中任取明清古币各一枚，有多少种不同取法？例2：(1)由数字l，2，3，4，5可以组成多少个数字允许重复三位数？\n(2)由数字l，2，3，4，5可以组成多少个数字不允许重复三位数？(3)由数字0，l，2，3，4，5可以组成多少个数字不允许重复三位数？解：要组成一个三位数可以分成三个步骤完成：第一步确定百位上的数字，从5个数字中任选一个数字，共有5种选法；第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复，这仍有5种选法，第三步确定个位上的数字，同理，它也有5种选法．根据乘法原理，得到可以组成的三位数的个数是N=5X5X5=125．答：可以组成125个三位数．练习：1、从甲地到乙地有2条陆路可走，从乙地到丙地有3条陆路可走，又从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走．（1）从甲地经乙地到丙地有多少种不同的走法？（2）从甲地到丙地共有多少种不同的走法？2．一名儿童做加法游戏．在一个红口袋中装着2O张分别标有数1、2、…、19、20的红卡片，从中任抽一张，把上面的数作为被加数；在另一个黄口袋中装着10张分别标有数1、2、…、9、1O的黄卡片，从中任抽一张，把上面的数作为加数．这名儿童一共可以列出多少个加法式子？\n3．题2的变形4．由0－9这10个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？小结：要解决某个此类问题，首先要判断是分类，还是分步？分类时用加法，分步时用乘法其次要注意怎样分类和分步，以后会进一步学习练习1．（口答）一件工作可以用两种方法完成．有5人会用第一种方法完成，另有4人会用第二种方法完成．选出一个人来完成这件工作，共有多少种选法？2．在读书活动中，一个学生要从2本科技书、2本政治书、3本文艺书里任选一本，共有多少种不同的选法？3．乘积（a1+a2+a3）（b1+b2+b3+b4）（c1+c2+c3+c4+c5）展开后共有多少项？4．从甲地到乙地有2条路可通，从乙地到丙地有3条路可通；从甲地到丁地有4条路可通，从丁地到丙地有2条路可通．从甲地到丙地共有多少种不同的走法？5．一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同．（1）从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？\n（2）从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？作业：排列【复习基本原理】1.加法原理做一件事，完成它可以有n类办法，第一类办法中有m1种不同的方法，第二办法中有m2种不同的方法……，第n办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…mn种不同的方法.2.乘法原理做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，.那么完成这件事共有N=m1´m2´m3´…´mn种不同的方法.3.两个原理的区别：【练习1】1.北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线，需要准备多少种不同的机票？\n2.由数字1、2、3可以组成多少个无重复数字的二位数？请一一列出.【基本概念】1.什么叫排列？从n个不同元素中，任取m()个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列2.什么叫不同的排列？元素和顺序至少有一个不同.3.什么叫相同的排列？元素和顺序都相同的排列.4.什么叫一个排列？【例题与练习】1.由数字1、2、3、4可以组成多少个无重复数字的三位数？2.已知a、b、c、d四个元素，①写出每次取出3个元素的所有排列；②写出每次取出4个元素的所有排列.【排列数】1.定义：从n个不同元素中，任取m()个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m元素的排列数，用符号表示.用符号表示上述各题中的排列数.2.排列数公式：=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)；；；；计算：=；=；=；\n【课后检测】1.写出：①从五个元素a、b、c、d、e中任意取出两个、三个元素的所有排列；②由1、2、3、4组成的无重复数字的所有3位数.③由0、1、2、3组成的无重复数字的所有3位数.2.计算：①②③④排列课题：排列的简单应用(1)目的：进一步掌握排列、排列数的概念以及排列数的两个计算公式，会用排列数公式计算和解决简单的实际问题．过程：一、复习：（引导学生对上节课所学知识进行复习整理）1．排列的定义，理解排列定义需要注意的几点问题；2．排列数的定义，排列数的计算公式或（其中m≤nm,nÎZ）3．全排列、阶乘的意义；规定0!=1\n4．“分类”、“分步”思想在排列问题中的应用．二、新授：例1：⑴7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？解：问题可以看作：7个元素的全排列——＝5040⑵7位同学站成两排（前3后4），共有多少种不同的排法？解：根据分步计数原理：7×6×5×4×3×2×1＝7！＝5040⑶7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？解：问题可以看作：余下的6个元素的全排列——=720⑷7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？解：根据分步计数原理：第一步甲、乙站在两端有种；第二步余下的5名同学进行全排列有种则共有=240种排列方法⑸7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？解法一（直接法）：第一步从（除去甲、乙）其余的5位同学中选2位同学站在排头和排尾有种方法；第二步从余下的5位同学中选5位进行排列（全排列）有种方法所以一共有＝2400种排列方法．　解法二：（排除法）若甲站在排头有种方法；若乙站在排尾有\n种方法；若甲站在排头且乙站在排尾则有种方法．所以甲不能站在排头，乙不能排在排尾的排法共有－＋=2400种．小结一：对于“在”与“不在”的问题，常常使用“直接法”或“排除法”，对某些特殊元素可以优先考虑．例2：7位同学站成一排．⑴甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？解：先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素（同学）一起进行全排列有种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有种方法．所以这样的排法一共有＝1440⑵甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？解：方法同上，一共有＝720种．⑶甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？解法一：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾，有种方法；将剩下的4个元素进行全排列有种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有种方法．所以这样的排法一共有＝960种方法．解法二：将甲、乙两同学“捆绑”\n在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，若丙站在排头或排尾有2种方法，所以丙不能站在排头和排尾的排法有种方法．解法三：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个位置选择共有种方法，再将其余的5个元素进行全排列共有种方法，最后将甲、乙两同学“松绑”，所以这样的排法一共有＝960种方法．小结二：对于相邻问题，常用“捆绑法”（先捆后松）．例3：7位同学站成一排．⑴甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？解法一：（排除法）解法二：（插空法）先将其余五个同学排好有种方法，此时他们留下六个位置（就称为“空”吧），再将甲、乙同学分别插入这六个位置（空）有种方法，所以一共有种方法．⑵甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？解：先将其余四个同学排好有种方法，此时他们留下五个“空”，再将甲、乙和丙三个同学分别插入这五个“空”有种方法，所以一共有＝1440种．小结三：对于不相邻问题，常用“插空法”（特殊元素后考虑）．\n三、小结：1．对有约束条件的排列问题，应注意如下类型：⑴某些元素不能在或必须排列在某一位置；⑵某些元素要求连排（即必须相邻）；⑶某些元素要求分离（即不能相邻）；2．基本的解题方法：⑴有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元素或特殊位置，称为优先处理特殊元素（位置）法（优限法）；⑵某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为“捆绑法”；⑶某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些不相邻元素插入空挡，这种方法称为“插空法”；⑷在处理排列问题时，一般可采用直接和间接两种思维形式，从而寻求有效的解题途径，这是学好排列问题的根基．四、作业：《课课练》之“排列课时1—3”课题：排列的简单应用(2)目的：使学生切实学会用排列数公式计算和解决简单的实际问题，进一步培养分析问题、解决问题的能力，同时让学生学会一题多解．\n过程：一、复习：1．排列、排列数的定义，排列数的两个计算公式；2．常见的排队的三种题型：⑴某些元素不能在或必须排列在某一位置——优限法；⑵某些元素要求连排（即必须相邻）——捆绑法；⑶某些元素要求分离（即不能相邻）——插空法．3．分类、分布思想的应用．二、新授：示例一：　从10个不同的文艺节目中选6个编成一个节目单，如果某女演员的独唱节目一定不能排在第二个节目的位置上，则共有多少种不同的排法？解法一：（从特殊位置考虑）解法二：（从特殊元素考虑）若选：若不选：则共有＋＝136080解法三：（间接法）136080示例二：⑴八个人排成前后两排，每排四人，其中甲、乙要排在前排，丙要排在后排，则共有多少种不同的排法？\n略解：甲、乙排在前排；丙排在后排；其余进行全排列．所以一共有＝5760种方法．⑵不同的五种商品在货架上排成一排，其中a,b两种商品必须排在一起，而c,d两种商品不排在一起,则不同的排法共有多少种？略解：（“捆绑法”和“插空法”的综合应用）a,b捆在一起与e进行排列有；此时留下三个空，将c,d两种商品排进去一共有；最后将a,b“松绑”有．所以一共有＝24种方法．⑶6张同排连号的电影票，分给3名教师与3名学生，若要求师生相间而坐，则不同的坐法有多少种？略解：（分类）若第一个为老师则有；若第一个为学生则有所以一共有2＝72种方法．示例三：⑴由数字1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字的正整数？略解：⑵由数字1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字，并且比13000大的正整数？解法一：分成两类，一类是首位为1时，十位必须大于等于3有\n种方法；另一类是首位不为1，有种方法．所以一共有个数比13000大．解法二：（排除法）比13000小的正整数有个，所以比13000大的正整数有＝114个．示例四：用1，3，6，7，8，9组成无重复数字的四位数，由小到大排列．⑴第114个数是多少？⑵3796是第几个数？解：⑴因为千位数是1的四位数一共有个，所以第114个数的千位数应该是“3”，十位数字是“1”即“31”开头的四位数有个；同理，以“36”、“37”、“38”开头的数也分别有12个，所以第114个数的前两位数必然是“39”,而“3968”排在第6个位置上，所以“3968”是第114个数．⑵由上可知“37”开头的数的前面有60＋12＋12＝84个，而3796在“37”开头的四位数中排在第11个（倒数第二个），故3796是第95个数．示例五：用0，1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，其中⑴能被25整除的数有多少个？⑵十位数字比个位数字大的有多少个？解：⑴\n能被25整除的四位数的末两位只能为25，50两种，末尾为50的四位数有个，末尾为25的有个，所以一共有＋＝21个．注：能被25整除的四位数的末两位只能为25，50，75，00四种情况．⑵用0，1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，一共有个．因为在这300个数中，十位数字与个位数字的大小关系是“等可能的”，所以十位数字比个位数字大的有个．三、小结：能够根据题意选择适当的排列方法，同时注意考虑问题的全面性，此外能够借助一题多解检验答案的正确性．四、作业：“3＋X”之排列练习组合⑴课题：组合、组合数的概念目的：理解组合的意义，掌握组合数的计算公式．过程：一、复习、引入：1．复习排列的有关内容：定义特点相同排列公式\n排列以上由学生口答．2．提出问题：示例1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？示例2：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？引导观察：示例1中不但要求选出2名同学，而且还要按照一定的顺序“排列”，而示例2只要求选出2名同学，是与顺序无关的．引出课题：组合问题．二、新授：1．组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．注：1．不同元素2．“只取不排”——无序性3．相同组合：元素相同\n判断下列问题哪个是排列问题哪个是组合问题：⑴从A、B、C、D四个景点选出2个进行游览；（组合）⑵从甲、乙、丙、丁四个学生中选出2个人担任班长和团支部书记．（排列）2．组合数的概念：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号表示．例如：示例2中从3个同学选出2名同学的组合可以为：甲乙，甲丙，乙丙．即有种组合．又如：从A、B、C、D四个景点选出2个进行游览的组合：AB，AC，AD，BC，BD，CD一共6种组合，即：在讲解时一定要让学生去分析：要解决的问题是排列问题还是组合问题，关键是看是否与顺序有关．那么又如何计算呢？3．组合数公式的推导⑴提问：从4个不同元素a，b，c，d中取出3个元素的组合数是多少呢？启发：由于排列是先组合再排列，而从4个不同元素中取出3个元素的排列数可以求得，故我们可以考察一下和的关系，如下：组合排列\n由此可知：每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取出3个元素的排列数，可以分如下两步：①考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有个；②对每一个组合的3个不同元素进行全排列，各有种方法．由分步计数原理得：＝，所以：．⑵推广：一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数，可以分如下两步：①先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数；②求每一个组合中m个元素全排列数，根据分布计数原理得：＝⑶组合数的公式：或⑷巩固练习：1．计算：⑴⑵2．求证：\n3．设求的值．解：由题意可得：即：2≤x≤4∵∴x=2或3或4当x=2时原式值为7；当x=3时原式值为7；当x=2时原式值为11．∴所求值为4或7或11．4．例题讲评例1．6本不同的书分给甲、乙、丙3同学，每人各得2本，有多少种不同的分法？略解：例2．4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人实践活动小组，问组成方法共有多少种？解法一：（直接法）小组构成有三种情形：3男，2男1女，1男2女，分别有，，，所以一共有++＝100种方法．解法二：（间接法）5．学生练习：（课本99练习）\n三、小结：定义特点相同组合公式排列组合此外，解决实际问题时首先要看是否与顺序有关，从而确定是排列问题还是组合问题，必要时要利用分类和分步计数原理．四、作业：课堂作业：教学与测试75课课外作业：课课练课时7和8组合⑵课题：组合的简单应用及组合数的两个性质目的：深刻理解排列与组合的区别和联系，熟练掌握组合数的计算公式；掌握组合数的两个性质，并且能够运用它解决一些简单的应用问题．过程：一、复习回顾：1．复习排列和组合的有关内容：\n强调：排列——次序性；组合——无序性．2．练习一：练习1：求证：．（本式也可变形为：）练习2：计算：①和；②与；③答案：①120，120②20，20③792（此练习的目的为下面学习组合数的两个性质打好基础．）3．练习二：⑴平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？⑵平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条？答案：⑴（组合问题）⑵（排列问题）二、新授：1．组合数的性质1：．理解：一般地，从n个不同元素中取出m个元素后，剩下n-m个元素．因为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的n-m个元素的每一个组合一一对应，所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这n个元素中取出n-m个元素的组合数，即：．在这里，我们主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”\n的思想．证明：∵又∴注：1°我们规定2°等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标．3°此性质作用：当时，计算可变为计算，能够使运算简化．例如：＝＝=2002．4°或2．示例一：（课本101例4）一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．⑴从口袋内取出3个球，共有多少种取法？⑵从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？⑶从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？解：⑴⑵⑶引导学生发现：．为什么呢？我们可以这样解释：从口袋内的8个球中所取出的3个球，可以分为两类：一类含有1个\n黑球，一类不含有黑球．因此根据分类计数原理，上述等式成立．一般地，从这n+1个不同元素中取出m个元素的组合数是，这些组合可以分为两类：一类含有元素，一类不含有．含有的组合是从这n个元素中取出m-1个元素与组成的，共有个；不含有的组合是从这n个元素中取出m个元素组成的，共有个．根据分类计数原理，可以得到组合数的另一个性质．在这里，我们主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想．3．组合数的性质2：＝+．证明：∴＝+．注：1°公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与高的相同的一个组合数．2°此性质的作用：恒等变形，简化运算．在今后学习“二项式定理”时，我们会看到它的主要应用．\n4．示例二：⑴计算：⑵求证：＝++⑶解方程：⑷解方程：⑸计算：和推广：5．组合数性质的简单应用：证明下列等式成立：⑴（讲解）⑵（练习）⑶6．处理《教学与测试》76课例题三、小结：1．组合数的两个性质；2．从特殊到一般的归纳思想．四、作业：课堂作业：《教学与测试》76课课外作业：课本习题10.3；课课练课时9组合⑶课题：组合、组合数的综合应用⑴\n目的：进一步巩固组合、组合数的概念及其性质，能够解决一些较为复杂的组合应用问题，提高合理选用知识的能力．过程：一、知识复习：1．复习排列和组合的有关内容：依然强调：排列——次序性；组合——无序性．2．排列数、组合数的公式及有关性质性质1：性质2：＝+常用的等式：3．练习：处理《教学与测试》76课例题二、例题评讲：例1．100件产品中有合格品90件，次品10件，现从中抽取4件检查．⑴都不是次品的取法有多少种？⑵至少有1件次品的取法有多少种？⑶不都是次品的取法有多少种？解：⑴；⑵；⑶．\n例2．从编号为1，2，3，…，10，11的共11个球中，取出5个球，使得这5个球的编号之和为奇数，则一共有多少种不同的取法？解：分为三类：1奇4偶有；3奇2偶有；5奇1偶有所以一共有++．例3．现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作；有4名青年能胜任德语翻译工作（其中有1名青年两项工作都能胜任），现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？解：我们可以分为三类：①让两项工作都能担任的青年从事英语翻译工作，有；②让两项工作都能担任的青年从事德语翻译工作，有；③让两项工作都能担任的青年不从事任何工作，有．所以一共有++＝42种方法．例4．甲、乙、丙三人值周，从周一至周六，每人值两天，但甲不值周一，乙不值周六，问可以排出多少种不同的值周表？解法一：（排除法）解法二：分为两类：一类为甲不值周一，也不值周六，有\n；另一类为甲不值周一，但值周六，有．所以一共有+＝42种方法．例5．6本不同的书全部送给5人，每人至少1本，有多少种不同的送书方法？解：第一步从6本不同的书中任取2本“捆绑”在一起看成一个元素有种方法；第二步将5个“不同元素（书）”分给5个人有种方法．根据分步计数原理，一共有＝1800种方法．变题1：6本不同的书全部送给5人，有多少种不同的送书方法？变题2：5本不同的书全部送给6人，每人至多1本，有多少种不同的送书方法？变题3：5本相同的书全部送给6人，每人至多1本，有多少种不同的送书方法？答案：1．；2．；3．．三、小结：1．组合的定义，组合数的公式及其两个性质；2．组合的应用：分清是否要排序．四、作业：《3+X》组合基础训练《课课练》课时10组合四组合⑷课题：组合、组合数的综合应用⑵\n目的：对排列组合知识有一个系统的了解，掌握排列组合一些常见的题型及解题方法，能够运用两个原理及排列组合概念解决排列组合问题．过程：一、知识复习：1．两个基本原理；2．排列和组合的有关概念及相关性质．二、例题评讲：例1．6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：⑴分给甲、乙、丙三人，每人两本；⑵分为三份，每份两本；⑶分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；⑷分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本；⑸分给甲、乙、丙三人，每人至少一本．解：⑴根据分步计数原理得到：种．⑵分给甲、乙、丙三人，每人两本有种方法，这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有x种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有种方法．根据分步计数原理可得：\n，所以．因此分为三份，每份两本一共有15种方法．注：本题是分组中的“均匀分组”问题．⑶这是“不均匀分组”问题，一共有种方法．⑷在⑶的基础上在进行全排列，所以一共有种方法．⑸可以分为三类情况：①“2、2、2型”即⑴中的分配情况，有种方法；②“1、2、3型”即⑷中的分配情况，有种方法；③“1、1、4型”，有种方法．所以一共有90+360+90＝540种方法．例2．身高互不相同的7名运动员站成一排，甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排列且互不相邻的排法有多少种？解：（插空法）现将其余4个同学进行全排列一共有种方法，再将甲、乙、丙三名同学插入5个空位置中（但无需要进行排列）有种方法．根据分步计数原理，一共有＝240种方法．例3．⑴四个不同的小球放入四个不同的盒中，一共有多少种不同的放法？⑵四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有一个空盒的放法有多少种？\n解：⑴根据分步计数原理：一共有种方法．⑵（捆绑法）第一步从四个不同的小球中任取两个“捆绑”在一起看成一个元素有种方法，第二步从四个不同的盒取其中的三个将球放入有种方法．所以一共有＝144种方法．例4．马路上有编号为1，2，3，…，10的十盏路灯，为节约用电又不影响照明，可以把其中3盏灯关掉，但不可以同时关掉相邻的两盏或三盏，在两端的灯都不能关掉的情况下，有多少种不同的关灯方法？解：（插空法）本题等价于在7只亮着的路灯之间的6个空档中插入3只熄掉的灯，故所求方法总数为种方法．例5．九张卡片分别写着数字0，1，2，…，8，从中取出三张排成一排组成一个三位数，如果6可以当作9使用，问可以组成多少个三位数？解：可以分为两类情况：①若取出6，则有种方法；②若不取6，则有种方法．根据分类计数原理，一共有+＝602种方法．三、小结：\n日期201年月日上午下午晚上授课内容教学时数重点难点教学内容及过程设计．日期201年月日上午下午晚上授课内容教学时数重点难点教学内容及过程设计．一、教材分析\n　　统计的初步知识在日常生产、生活中比较普遍，统计思想是数学教学中的一种重要思想。其实在四年级小学生的思维中，统计的初步知识早就有所涉及，如学校里的循环红旗表，教室里的黑板报中，日常生活中的价目表以及车站、码头的时间表等等。本单元只介绍简单的数据采集整理，简单的统计表和求平均数的简单方法，为今后学习较复杂的统计知识打下牢固的基础。　　在教学时，我们教师应当从学生的学习和生活实际出发，首先介绍统计在社会生产生活、学校学习当中的地位和作用，激发学生的学习积极性和浓厚的学习兴趣，教学时学生在以前对统计图或统计表的认识可以说是熟视无睹，因此，我们应当把现实生产、生活和学习中的素材制成醒目和光彩的图、片（也可以是幻灯、多媒体），渗透“移多补少”的平均数思想方法。　　二、教学目标　　1．初步学会简单的数据处理，会看、会填写比较简单的统计表或统计图。　　2．初步理解求平均数的含义，会在实际生活和学习中求出简单的平均数。　　3．能初步了解数与表格、数与图形的相对应的关系，理解数据与表格、图形相结合的优越性。　　三、教学重点、难点　　教学重点：本单元的重点是数据的合理整理。　　教学难点：求平均数思想的渗透。\n　　（1）简单数据整理和简单统计表　　教学内容　　六年制小学数学第八册第72页例1。　　教学目标　　1．通过活动、观察和讨论，学生会整理简单的数据。　　2．在日常生活和学习中会看简单的统计表并会填写。　　教学重点、难点　　教学重点：数据在工农业生产及科技工作中的作用。　　教学难点：“练一练”中独立数数有一定的难度。　　教学准备：　　投影片、学习用品（多种）、米尺。　　教学过程　　（一）创设场景，进入角色\n　　1．先看我们学校的男、女生人数及全校各年级人数的统计表。（投影出示）　　年级　　一　　二　　三　　四　　五　　六　　　38　　57　　62　　78　　89\n　　75　　女生　　33　　43　　68　　71　　90　　63　　合计　　71　　100　　130　　149\n　　179　　138　　2．动手计算各段（指低、中、高三段）的学生总数，算出后填人表内。　　3．进行小组比赛，算出全校的学生总人数。　　（每个小组以2人为代表，到黑板上写出总人数。不事先指定，由学生自发上来书写答案，快而对者为优胜者）。　　（二）自学例1，指名解释　　1．仔细观察画面的意图并设问：　　（1）画面所呈示的事由是什么？　　（2）为什么要用“正”字来记数？　　（3）“正”字的数据转换用的乘法口诀是哪几句？　　2．依照要求，填人数据。　　（1）看仔细，填正确，把数字填上去以前应当先再次看一遍数据是否正确。\n　　（2）先请中等学生说出最多、最少的车属哪类车。[小精灵儿童网站]男生（3）平均每分钟开过多少辆？　　（三）设计活动，选出队长　　1．教师布置去林场帮助植树，分男、女生两个队；要选出男生和女生中各2名队长。（以无记名投票方式在教室里当场投票）　　男生面向黑板（讲台）由一名培训过的学生唱票。　　女生背朝黑板（讲台）由一名培训过的学生唱票。　　其余同学都作记录。　　2．选出的学生向全班同学表示决心，其余同学拍手表示祝贺。并且教师在最后予以小结。类似这样的选法，要求每位学生都能掌握。　　（四）课内练习，独立完成　　1．做第73页“练一练”中的第一题。　　（1）先明事，再理数。\n　　试问有几种学习用品？　　（2）先检查，再填数。　　2．补充本小组学生的身高、体重表。　　（以小小组为宜）　　3．完成课本第73页的第2题作业。　　（五）回顾，小结　　本节课的内容，实际上是从生活中引人的好方法，必须掌握。　　（六）作业：《作业本》第60页［五十七］。　　（2）平均数的含义和求平均数　　教学内容　　六年制小学数学第八册第74页例2。　　教学目标\n　　1．通过例2的学习，能初步理解“移多补少”或“剪长补短”的简单的教学思想方法，了解平均数的实际含义。　　2．学会求平均数的方法，明确求平均数的方法实质是各数量的和÷数量＝平均数。　　教学重点、难点　　教学重点：理解求平均数的含义。　　教学难点：掌握“移多补少”的实际意义和应用。　　教学准备　　拔河比赛的绳子、秤（称人体重量用的）、投影仪。　　教学过程　　（一）开展活动，导出问题　　1．全班同学都到操场上举行拔河比赛。　　（1）注意挑选一、二组6人、三、四组6人。　　（2）教师挑选一、二组气力，个子最小的6人，挑选三、四组气力，个子最大的6人。\n　　（3）结果有什么不同？第一次交锋胜负不明，持续时间长；第二次交锋时间短，不比亦知胜负。　　（4）宣布比赛规则。（6个人的总体重要相同）（两个队的总重量不变）（相同重6人或轻重搭配）　　（5）自报体重，验证体重。　　一、二组先挑选6人，称好体重的总重量，然后算出平均数，由三、四组的平均体重较接近的6位同学参加比赛。　　2．设问：为什么要求两个参赛队的体重相等？　　（读比赛有关规则）　　（二）自学自问，感知“平衡”　　1．自学课本第73页中的准备题。　　（1）是否只有搬动的惟一办法，即总共有多少，堆成了3堆，每堆有几块？　　（2）可以机械地数出一共有多少块。　　（3）可以把三堆加起来，求共有多少块。　　（4）可以平均分成几份，每份是几块？\n　　2．先算例2，再看结果。　　由投影出示例2，每位同学自己独立计算。　　例2：（1）体育锻炼小组的5个同学，身高分别是146厘米，152厘米，149厘米，147厘米，151厘米，他们的平均身高是多少厘米？[小精灵儿童网站]（2）校对答案：予以评价。　　（每一个组派一名学生介绍计算过程）　　（3）自学课本例2，自我校对，自我评价。　　（三）练习“试一试”，开展“比一比”　　1．出示课本第74页中的“试一试”：　　第一中队的少先队员捡麦穗。各小队捡麦穗的重量是：第一小队845克，第二小队913克，第三小队1014克。平均每个小队捡麦穗多少克？　　（分四组进行比赛。分两步：第一列式，第二计算）　　2．比一比。　　（1）先叙述列式。\n　　（2）再进行计算。　　（3）评出优胜组。　　（四）“练一练”第75页第1、2两题（要求课堂完成）　　（五）课堂小结：平均数=各数量的和÷数量　　（六）作业：《作业本》第61页［五十八］。　　（3）统计初步知识练习课　　教学内容　　六年制小学数学第八册第75页，练习十七。　　教学目标　　1．进一步了解和理解平均数的含义，掌握求平均数的方法。　　2．会看、会填写简单的统计表。　　教学重点、难点　　教学重点：通过练习，学生能感知统计的实际应用极为广泛。\n　　教学难点：平均数的实际求法。　　教学过程　　(一)回顾知识，形成模块　　1．本单元的主要内容是什么？（设问后请全班同学回答）　　2．审视第75页第1一6题，它们的共同之处在哪里？　　3．请每位同学把1一3题都列出算式来。　　（二）小结方法，形成能力　　1．竞赛形式练习第4题。　　2．计时计算第5题，并用投影片进行校对，要求正确、迅速。　　3．对第4题和第5题进行比较，说出异同。　　（三）分组活动，画出表格　　1．以每个小组事先预备的图书为数据，按要求画出统计图。　　2．分组抽样校对，作出评价。\n　　（四）集体讨论，共同提高　　1．出示第7题。（要求独立作业）　　2．巡视课堂中学有困难的学生。　　3．集体讨论，提出解题的最佳方法。　　（五）课堂小结，选做思考题