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- 2022-08-09 发布
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2016年全国高中数学联赛（B卷）试题及答案一、选择题：（每小题8分，共64分）1.等比数列&｝的各项均为正数，且％/3+色你+2色2=36,则①+4的值为•答案：6.解：由于36=q@+冬匕6+血2=a2+2^2。4=（^2+。4）2,且。2+4>。、故色+4=$另解：设等比数列的公比为q,贝恆+。6=%+诂•又因36=再偽+a2a(y+2a；=aA・axq2+ci、q・qg'+2=+2•gq•a、q'+(g”)_=(%+)"=仏+。J‘而a2+a4>0从而a2^a4=6.2.设A=｛a\-\0,解得6/=2,故GG的圆心分别是o,（（）,（））,a（-1,2）.直线/就是线段qq的垂直平分线，它通过qa的中点刈（-丄,1],由此可得直线/的方程是2x-4y+5=0.I2丿7.已知正四棱锥《・ABCD的高等于A3长度的一半，M是侧棱VB的中点，N是侧棱2上点，满足DN=2VNf则异面直线AM,BN所成角的余弦值为•解：如图，以底面ABCD的屮心0为坐标原点，AB.BC.0V的方向为x,y,z轴的正向,X建立空间直角坐标系.不妨设AB=2,此时高VO=1,从而4(—1,—1,0),3(1,—1,0),D(—1,1,0),U(0,0,1).因此'_442"设异面直线所成的角为〃，则\ncos<9=AM・BNAM・BN\n8•设正整数〃满足心2016这样的〃的个数为・这里｛x｝=x-[x],其屮卜]表示不超过兀的最大整数.、n、n、n/n—+—+—>+<—246112J解：市于对任意整数n,有丄呻+—3,24612等号成立的充分必要条件是〃三-l(modl2),结合15^52016知，满足条件的所有正整数为、X—>=Vymmn=\2k-\{k=\^,168）,共有168个・这是因为，当兀三modin)时,另解：首先注意到，若加为正整数，则对任意整数兀』，若兀歹(ndm)，则XX>—Xy+mty+tnta+一A=上_=mmmm■mm■ml^Jx=y+mt,这里/是一个整数,故因此，当整数满足q=/?2(modl2)ff'J\护+匕扛竺1=丿纠+四1+岀1+岀I1212n12才成立.而2016=12x168,故当1SV2016时,满足計+n123正整数“的容易验证，当正整数满足1/23b~6^~~等号成立当且仅当a:b:c=血:厉.因此cosC的最小值为返.39.(20分)在平面直角坐标系xOy中，双曲线C的方程为x2-y2=\.求符合以下要求的所有大于1的实数0：过点(G,0)任意作两条互相垂直的直线人与厶，若厶与双曲线C交于P,Q两点，【2与C交于R,S两点,则总有|也=罔成立.解过点(G,o)作两条互相垂直的直线ll:x=a^l2:y=0.易知，厶与C交于点佗匚T),Q)(a,_x/7=T)(注意这里a>\),心与C交于点&(1,0),So(-1,0),由条件知2如亠關|=|啓|=2,解得a=^2.这意味着符合条件的a只可能为V2.下面验证a=j2符合条件.事实上，当厶,厶屮有某条直线斜率不存在时，则可设ll:x=aJ2:y=0,就是前面所讨论的厶仏的情况,这时有|P0T田•若厶仏的斜率都存在,不妨设I、:y=k(x-\[2^,l2:y=_丄(x-血)("0),k注意这里^±1(否则厶将与C的渐近线平行，从而厶与C只有一个交点).联立厶与C的方程知，x2-Z:2(x->/2)2-1=0,即(1-疋”2_2屈2兀一2疋一1=°,这是一个二次方程式，其判别式为△=4疋+4>0.故厶与C有两个不同的交点P,Q.同样,\n厶与C也有两个不同的交点R、S.由弦长公式知,代替同理可得|RS|=2・.于是『0=1旳.综上所述，a=^2为符合条件的值.加试一、（40分）非负实数西宀，，七0]6和实数刃,『2，，歹2016满足：（1）不2+片2=],£=1,2,,2016；（2）y\+y2++）加6是奇数•求舛十兀2十+七016的最小值.解：由已知条件（1）可得：|xj0）20162016201620162016Z^^Zv=Z（l-y/）=2O16-Xy/^2OI6-^|y,|.①*=1*=1*=1*=1*=1不妨设X,,儿>o,几屮，,y201fi<0,0<^?<2016,则加2016工儿5,-工yk<2016-zn.k-[k=m^\加2016若为开〉加-1，并且-Y儿>2015令Jt=l&=加+1m2016工儿=〃2-1+°,-丫yk=2015-必+厲则OvaQvl,于是2016m2016工％=工儿+工％—1+0一（2015-加+b）A=1k=\Ar=m+1=2加一2016+a-b,2016由条件（2）知，£九是奇数，所以a-b是奇数，这与017.考虑到将A中的所有元素均变为原來的相反数时，集合B不变，故不妨设A中正数个数不少于负数个数.下面分类讨论：情况一：4屮没有负数.设a}0,«2>0,于是a}a218.情况二：A屮至少有一个负数.设是A中的全部非负元素，g,吗是A中的全部负元素.不妨设c,<l,故k>6.于是有cfy>>>c”k>c2bk>>(:収,它们是B中的k+l-l=\0个元素，且非正数；又有b2b31()+7=17.由此可知,|B|>17.另一方面,令A={0,±l,±2,±22,±2\±24},则B={0,-l,±2,±22,±2\,±2\±27,-28}是个17元集合.综上所述，3的元素个数的最小值为17.
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