高中数学专题复习课件：等比数列 19页

等比数列\n一、概念与公式1.定义2.通项公式3.前n项和公式二、等比数列的性质1.首尾项性质:有穷等比数列中,与首末两项距离相等的两项积相等,即:特别地,若项数为奇数,还等于中间项的平方,即:a1an=a2an-1=a3an-2=….若数列{an}满足:　=q(常数),则称{an}为等比数列.an+1anan=a1qn-1=amqn-m.na1(q=1);Sn=a1-anq1-q=(q≠1).a1(1-qn)1-qa1an=a2an-1=a3an-2=…=a中2.\n特别地,若m+n=2p,则aman=ap2.2.若p+q=r+s(p、q、r、s∈N*),则apaq=aras.3.等比中项如果在两个数a、b中间插入一个数G,使a、G、b成等比数列,则G叫做a与b的等比中项.5.顺次n项和性质4.若数列{an}是等比数列,m,p,n成等差数列,则am,ap,an成等比数列.6.若数列{an},{bn}是等比数列,则数列{anbn},{　}也是等比数列.anbnG=ab.若{an}是公比为q的等比数列,则ak,ak,ak也成等比数列,且公比为qn.k=2n+13nk=1nk=n+12n\n7.单调性8.若数列{an}是等差数列,则{ban}是等比数列;若数列{an}是正项等比数列,则{logban}是等差数列.三、判断、证明方法1.定义法;2.通项公式法;3.等比中项法.a1>0,q>1,a1<0,00,01,{an}是递减数列;q=1{an}是常数列;q<0{an}是摆动数列.\n典型例题1.设数列{an}的前n项和为Sn,若S1=1,S2=3,且Sn+1-3Sn+2Sn-1=0(n≥2),试判断{an}是不是等比数列.2.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3+S6=2S9,求数列的公比q.3.三个数成等比数列,若将第三项减去32,则成等差数列,再将此等差数列的第二项减去4,又成等比数列,求原来的三个数.4.已知数列{an}的各项均为正数,且前n和Sn满足:6Sn=an2+3an+2.若a2,a4,a9成等比数列,求数列的通项公式.a1=1,a2=2,Sn+1-Sn=2(Sn-Sn-1),an=2n-1,{an}是等比数列.设三数为a,b,c,得b=2+4a,c=7a+36.2,10,50或,,.933892629an+1-an=3,a1=1,an=3n-2.12-43\n6.已知{an}是首项为a1,公比为q的等比数列.(1)求和:a1C2-a2C2+a3C2,a1C3-a2C3+a3C3-a4C3;(2)由(1)的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论,并加以证明;(3)设q≠1,Sn是{an}的前n项和,求S1Cn-S2Cn+S3Cn-S4Cn+…+(-1)nSn+1Cn.00011122233n(1)a1(1-q)2,a1(1-q)3;(2)a1Cn-a2Cn+a3Cn-a4Cn+…+(-1)nan+1Cn=a1(1-q)n(nN*);0123n(3)-a1q(1-q)n-1.(2)bn=3qn-1.5.数列{an}中,a1=1,a2=2.数列{anan+1}是公比为q(q>0)的等比数列.(1)求使anan+1+an+1an+2>an+2an+3(nN*)成立的q的取值范围;(2)若bn=a2n-1+a2n(nN*),求{bn}的通项公式.(1)00.∵后三数成等比数列,其最后一个数是25,解得:a=16,d=4.故所求四数分别为12,16,20,25.∴a-d+a+a+d=48,且(a+d)2=25a.∴a-d=12,a+d=20.课后练习题\n2.在等比数列{an}中,a1+a6=33,a3a4=32,an+10,bn>0,∴由②式得an+1=bnbn+1.(1)证:依题意有:2bn=an+an+1,①an+1=bnbn+1.②2222从而当n≥2时,an=bn-1bn,代入①得2bn=bn-1bn+bnbn+1.2∴2bn=bn-1+bn+1(n≥2).∴{bn}是等差数列.(2)解:由a1=1,b1=2及①②两式易得a2=3,b2=2.32从而bn=b1+(n-1)d=(n+1).22故an+1=(n+1)(n+2).12∴an=n(n+1)(n≥2).12而a1=1亦适合上式,∴an=n(n+1)(nN*).12∴Sn=…=2(1-+-+…+-)n11212131n+12nn+1=.\n8.设数列{an}的前n项和为Sn(其中,nN*),若Sn=(c+1)-can,其中c为不等于-1和0的常数.(1)求证{an}是等比数列;(2)设数列{an}的公比q=f(c),数列{bn}满足:b1=,bn=f(bn-1)(其中,nN*,且n≥2).求数列{bn}的通项公式.13(1)证:∵Sn=(c+1)-can(nN*),∴a1=(c+1)-ca1.∴(c+1)a1=c+1.∵c-1,∴a1=1.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=can-1-can(c+1)an=can-1.anan-1cc+1∴=,这是一个与n无关的常数.∵c-1且c0,(2)解:由(1)知q=f(c)=,cc+1∴bn=f(bn-1)=(nN*,且n≥2).bn-1bn-1+1bn-11bn1∴=+1.bn-11bn1即-=1.∴{}是以=3为首项,1为公差的等差数列.bn1b11bn1∴=3+(n-1)1=n+2.∴{an}是以1为首项,为公比的等比数列.c+1c∴bn=.n+21\n