世纪金榜 高考数学 高中全程复习方略课件 新人教 65页

第一节集合\n\n\n\n\n\n\n\n集合{}是空集吗?它与集合{0}有什么区别?提示:集合{}不是空集,空集是不含任何元素的集合,而集合{}有一个元素,集合{}与集合{0}的区别是它们的元素不同,其中集合{}有一个元素,集合{0}有一个元素0.\n\n\n1.下列关于的叙述正确的个数是（）①0∈;②∈{};③={0}.（A）0（B）1（C）2（D）3【解析】选B.空集不含任何元素,故①错;是集合{}的元素,故②正确;不含任何元素,集合{0}是含有一个元素0的集合,两个集合不相等,故③错.所以选B.\n2.已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={3,4,5},B={1,3,6},那么集合{2,7,8}是（）（A）A∪B（B）A∩B（C）（D）【解析】选C.∵={1,2,6,7,8},={2,4,5,7,8},∴={2,7,8}.\n3.满足{1，2，3}{1，2，3，4，5，6}的集合M的个数是（）（A）8（B）7（C）6（D）5【解析】选C.由已知可得M中一定有1,2,3且含有4,5,6中的一个或两个,则共有6种情况,故选C.\n4.已知集合A={-1,1},B={x|mx=1},且A∪B=A,则m的值为_____.【解析】若A∪B=A,则B=或B≠,当m=0时,B=,符合题意,当m≠0时,B={x|x=},则解得m=-1或m=1.答案:0或-1或1\n5.某班共30人,其中15人喜爱篮球运动,10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为______人.【解析】设两者都喜爱的人数为x人,则只喜爱篮球的有(15-x)人,只喜爱乒乓球的有（10-x）人，由此可得（15-x）+（10-x）+x+8=30，解得x=3，所以15-x=12，即所求人数为12人.答案:12\n6.已知全集U=R,集合A={x|-2≤x≤3},B={x|x＜-1或x＞4},那么集合等于______.【解析】={x|-1≤x≤4},={x|-1≤x≤3}.答案:{x|-1≤x≤3}\n1.注意区分几种常见集合研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么.\n2.子集、真子集个数集合A中元素的个数记为n,则它的子集的个数为2n,真子集的个数为2n-1,非空真子集的个数为2n-2.\n3.集合基本运算的一些结论:（1）（2）（3）（4）（5）（6）若A∩B=A,则AB,反之也成立,（7）若A∪B=B,则AB,反之也成立,（8）若x∈(A∩B),则x∈A且x∈B,（9）若x∈(A∪B),则x∈A或x∈B.\n\n集合的概念【例1】已知集合A是由方程ax2-3x+2=0的所有实根组成的集合,若A是空集,求实数a的取值范围.【审题指导】此题以集合A是空集为突破口,对方程ax2-3x+2=0进行讨论.【自主解答】因为A是空集,所以方程ax2-3x+2=0无实根,∴a≠0,Δ=(-3)2-8a＜0,所以a＞,所以a的取值范围是(,+∞).1\n【规律方法】空集是一个特殊的集合,它不含任何元素,在不同的题目中它可以表达不同的意思.此题中A是空集也就是说“方程ax2-3x+2=0无实根”.这样转化后问题就好解决了.\n【互动探究】若本例中的集合A改为只有一个元素,再求a的值.【解析】若集合A只有一个元素,则方程ax2-3x+2=0只有一个根,当a=0时,x=,符合题意,当a≠0时,由Δ=(-3)2-8a=0得a=,所以a的值为0或.\n【变式训练】已知集合A={a+2,(a+1)2,a2+3a+3},且1∈A,求实数a的值.【解析】若a+2=1,则a=-1,此时A={1,0,1}不满足互异性,舍去.若(a+1)2=1,则a=0或-2,当a=0时,此时A={2,1,3},当a=-2时,此时A={0,1,1}不满足互异性,舍去.若a2+3a+3=1,则a=-1(舍去)或a=-2(舍去),综上可知a=0.\n集合间的基本关系【例2】(2011·锦州模拟）已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1＜x＜2m-1}，若BA,求实数m的取值范围.【审题指导】若BA,则B=或B≠,故分两种情况讨论.2\n【自主解答】当B=时,有m+1≥2m-1,得m≤2,当B≠时,有解得2＜m≤4,综上:m≤4.\n【规律方法】已知两集合的关系求参数时,关键是将两集合的关系转化为元素间的关系,进而转化为参数满足的关系,解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图帮助分析,而且经常要对参数进行讨论.\n【变式训练】已知集合A={-1,3,2m-1},集合B={3,m2},若BA,求实数m.【解析】由BA,且m2不可能等于-1,可知m2=2m-1,解得:m=1.\n集合的基本运算【例3】(2010·全国Ⅱ）设全集U={x∈N*|x＜6}，集合A={1，3},B={3,5},则（）（A）{1,4}（B）{1,5}（C）{2,4}（D）{2,5}【审题指导】先求出全集U,再求出集合A、B的并集,最后求出补集.\n【自主解答】选C.由已知得U={1,2,3,4,5},∵A={1,3},B={3,5},∴A∪B={1,3,5},∴{2,4},故选C.\n【规律方法】求集合的并、交、补是集合间的基本运算,运算结果仍然是集合,区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，并结合Venn图或数轴进行直观表达，达到解题的目的.\n【变式训练】设集合A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集U=A∪B,则集合中的元素共有（）（A）3个（B）4个（C）5个（D）6个【解析】选A.∵U=A∪B={3,4,5,7,8,9},A∩B={4,7,9},∴={3,5,8},故集合中有3个元素.\n集合在实际生活中的应用【例】某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组,每名同学至多参加两个小组,已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13,同时参加数学和物理小组的有6人,同时参加物理和化学小组的有4人,则同时参加数学和化学小组的有______人.【审题指导】本题关键是把握同时参加各小组的人数,借助Venn图求解.\n【规范解答】由题意知,同时参加三个小组的人数为0,设同时参加数学和化学小组的人数为x,Venn图如图所示:∴(20-x)+6+5+4+(9-x)+x=36,解得x=8.答案:8\n【规律方法】1.解决此类问题,常借助Venn图列方程求解,利用Venn图时,一定分清Venn图中的每一部分代表的实际意义.2.求元素的个数问题常用公式card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)来求解.(其中card(A)表示集合A中的元素个数)\n【变式备选】已知50名学生参加跳远和铅球两项测验,跳远及格的有40人,铅球及格的有31人,两项都不及格的有4人,则两项都及格的人数是______.【解析】由公式card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)得两项都及格的人数为40+31+4-50=25.答案:25\n\n忽略隐含条件的挖掘【典例】(2010·天津高考改编）设集合A={x||x-a|＜1,x∈R},B={x|1＜x＜5,x∈R},若A∩B=,则a的取值范围为_______.【审题指导】利用绝对值的性质求出集合A,再结合数轴进行分类求解.\n【规范解答】由|x-a|＜1得-1＜x-a＜1,即a-1＜x＜a+1,当a+1≤1时，得a≤0；当a-1≥5时，得a≥6，所以a≤0或a≥6.答案:{a|a≤0或a≥6}\n【误区警示】本题易出现的误区是对于当a+1≤1时,得a≤0;当a-1≥5时,得a≥6，很容易漏掉等号而成为a+1＜1,a-1＞5,从而导致结果出错.解不等式型集合问题的常见误区是:不等式型集合的交、并集问题通常可以利用数轴进行解决,解题时易忽略验证区间端点是否符合题意,从而导致漏掉等号是否成立的情况.\n【变式训练】（2011·济宁模拟）集合A={x|log2x≤2}，B=（-∞，a），若AB,则实数a的取值范围是（c，+∞），其中c=______.【解析】由log2x≤2得0＜x≤4，∴A={x|0＜x≤4}.∵AB，结合数轴，∴a＞4，∴c=4.答案:4\n\n1.(2010·湖北高考）设集合M={1,2,4,8},N={x|x是2的倍数},则M∩N=（）（A）{2,4}（B）{1,2,4}（C）{2,4,8}（D）{1,2,8}【解析】选C.M中2的倍数有2,4,8,故M∩N={2,4,8}.\n2.(2010·湖南高考）已知集合M={1，2，3}，N={2，3，4}，则（）（A）MN（B）NM（C）M∩N={2,3}（D）M∪N={1,4}【解析】选C.M∩N={1，2，3}∩{2，3，4}={2，3}，故选C.\n3.（2010·湖南高考）已知集合A={1，2，3}，B={2,m，4}，A∩B={2，3}，则m=_______.【解析】∵A∩B={2，3}，∴m=3.答案:3\n4.(2011·北京模拟）设全集U=A∪B={x∈N*|lgx＜1},若={m|m=2n+1,n=0,1,2,3,4},则集合B=______.【解题提示】利用对数函数的性质先求出全集U,再求集合B.【解析】∵U=A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9},={1,3,5,7,9},∴B={2,4,6,8}.答案:{2,4,6,8}\n\n一、选择题（每小题4分，共20分）1.给出下列说法:①较小的自然数组成一个集合;②集合{1,-2,,π}与集合{π,-2,,1}是同一个集合;③若a∈R,则aQ;④已知集合{x,y,z}与集合{1,2,3}是同一个集合,则x=1,y=2,z=3.其中正确说法的个数是（）（A）1（B）2（C）3（D）4【解析】选A.由集合的定义和集合中元素的性质可知只有②正确.\n2.(2011·济南模拟）已知集合A={x|x＜3},B={1,2,3,4},则=（）（A）{4}（B）{3,4}（C）{2,3,4}（D）{1,2,3}【解析】选B.∵A={x|x＜3},={x|x≥3},∴()∩B={3,4}.\n3.已知全集U=R，集合A={y|y=sinx,x∈R},B={x|x2-x＜0},则如图所示阴影部分所表示的集合是（）（A）{x|-1≤x＜1}（B）{x|-1＜x＜1}（C）{x|0＜x＜1}（D）{x|0＜x≤1}【解析】选C.集合A={y|-1≤y≤1},B={x|0＜x＜1},则阴影部分表示集合A∩B={x|0＜x＜1}.\n4.(2011·青岛模拟）设全集U={x∈Z|0≤x≤5},集合A={3,1},B={y|x∈A},则集合U(A∪B)=()（A）{0,4,5,2}（B）{0,4,5}（C）{2,4,5}（D）{4,5}【解析】选D.由于B={0,2},则A∪B={0,1,2,3},则U(A∪B)={4,5}.\n5.（2011·深圳模拟）定义AB={z|z=xy+，x∈A,y∈B}.设集合A={0，2}，B={1，2}，C={1}.则集合（AB）C的所有元素之和为（）（A）3（B）9（C）18（D）27【解析】选C.由题意可求（AB）中所含的元素有0，4，5，则（AB）C中所含的元素有0，8，10，故所有元素之和为18.\n二、填空题（每小题4分，共12分）6.已知全集U={1,2,3,4},集合P={1,2},Q={2,3},则P∩=______.【解析】∵={1,4},∴P∩={1}.答案:{1}\n7.(2011·江苏四市联考）已知集合A={x|x2-x≤0,x∈R},设函数f(x)=2-x+a(x∈A)的值域为B,若BA,则实数a的取值范围是______.【解析】∵A={x|x2-x≤0,x∈R}={x|0≤x≤1，x∈R}，∴-x∈［-1,0］2-x∈［,1］B=［+a,1+a］.∴解得≤a≤0.答案:［,0］\n8.(2011·台州模拟)设集合A={5，log2(a+3)}，集合B={a,b}，若A∩B={2}，则A∪B=__________.【解析】∵A∩B={2},∴log2（a+3）=2.∴a=1,∴b=2.∴A={5,2},B={1,2}.∴A∪B={1,2,5}.答案:{1，2，5}\n三、解答题（每小题9分，共18分）9.已知集合A={a,a+b,a+2b},B={a,ac,ac2},若A=B,求c的值.【解题提示】要解决c的求值问题,关键是要有方程的数学思想,此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性、无序性建立关系式.\n【解析】分两种情况进行讨论:(1)若a+b=ac且a+2b=ac2,消去b得:a+ac2-2ac=0,a=0时,集合B中的三元素均为零,与元素的互异性相矛盾,故a≠0.∴c2-2c+1=0,即c=1,但c=1时,B中的三元素又相同,此时无解.(2)若a+b=ac2且a+2b=ac,消去b得:2ac2-ac-a=0,∵a≠0,∴2c2-c-1=0,即(c-1)(2c+1)=0,又c≠1,故c=.综上知c=.\n10.关于x的不等式的解集为P,不等式|x-1|≤1的解集为Q.(1)若a=3,求P;(2)若QP,求正数a的取值范围.【解析】(1)由,得P={x|-1＜x＜3}.(2)Q={x||x-1|≤1}={x|0≤x≤2},由a＞0,得P={x|-1＜x＜a},又QP,所以a＞2,即a的取值范围是(2,+∞).\n【方法技巧】集合问题求解技巧1.解答集合问题,首先要正确理解集合有关概念,特别是集合中元素的三个特性,对于用描述法给出的集合{x|x∈P},要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以及它所具有的性质P;要重视发挥图示法的作用,通过数形结合直观地解决问题.2.注意的特殊性,在解题中,若未能指明集合非空时,要考虑到空集的可能性,如AB,则有A=或A≠两种可能,此时应分类讨论.\n【探究创新】（10分）已知集合A={x||x-a|=4},集合B={1,2,b},（1）问是否存在实数a,使得对于任意实数b都有A是B的子集?若存在,求a;若不存在,说明理由.（2）若A是B的子集成立,求出对应的实数对(a,b)?\n【解析】(1)要使得对于任意实数b都有A是B的子集,除非A是{1,2}的子集.而因A={x||x-a|=4}的两个元素之差总是8,故而A不可能是{1,2}的子集,即不存在实数a,使得对于任意实数b都有A是B的子集.\n(2)若A是B的子集成立,则必有|b-1|=8或|b-2|=8,解得b=-7,9,-6,10.当b=-7时,a=-3;当b=9时,a=5;当b=-6时,a=-2;当b=10时,a=6.即对应的实数对(a,b)为(-3,-7),(5,9),(-2,-6),(6,10).\nThankyou!\n