要点梳理1.两个实数比较大小的方法（1）作差法不等式>=<\n(2)作商法2.不等式的性质单向性：(1)传递性：a>b,b>c______.(2)同向相加性：a>b,c>d_________.>=
ca+c>b+d\n(3)乘法单调性：a>b,c>0_______;a>b,c<0________;a>b>0,c>d>0_______;a>b>0(n∈N+)an>bn;a>b>0(n∈N+,n≥2)双向性：a>b________.3.不等式的一些常用性质(1)倒数性质①a>b,ab>0②a<0bcacbdbb>0,0b>0,m>0,则①真分数的性质：②假分数的性质：\n要点梳理1.一元二次不等式与相应的一元二次函数及一元二次方程的关系如下表：§7.2一元二次不等式及其解法判别式Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象\n2.用程序框图来描述一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的求解的算法过程为一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根有两相异实根x1,x2(x10(a>0)的解集_______ ___________________________ax2+bx+c<0(a>0)的解集__________________________{x|x≠x1}{x|x∈R}{x|xx2}{x|x10(<0)中的a均大于0,若a<0,则可先进行转化，使x2的系数为正,但一定注意在转化过程中，不等号的变化.\n要点梳理1.二元一次不等式(组)表示平面区域作二元一次不等式Ax+By+C>0(或Ax+By+C<0)表示的平面区域的方法步骤：(1)在平面直角坐标系中作出直线Ax+By+C=0.(2)在直线的一侧任取一点P(x0,y0),特别地,当C≠0时,常把______作为此特殊点.§7.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题原点\n(3)若Ax0+By0+C>0,则包含点P的半平面为不等式__________所表示的平面区域,不包含点P的半平面为不等式____________所表示的平面区域.2.线性规划的有关概念(1)线性约束条件——由条件列出一次不等式(或方程)组.(2)线性目标函数——由条件列出一次函数表达式.(3)线性规划问题:求线性目标函数在约束条件下的最大值或最小值问题.(4)可行解:满足_____________的解(x,y).(5)可行域:所有________的集合.Ax+By+C>0Ax+By+C≤0线性约束条件可行解\n（6）最优解:使_________取得最大值或最小值的可行解.3.利用线性规划求最值,一般用图解法求解,其步骤是(1)在平面直角坐标系内作出可行域.(2)作出目标函数的等值线.(3)确定最优解:在可行域内平行移动目标函数等值线,从而确定_________.(4)求最值:将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.目标函数最优解\n4.线性规划实质上是“________”数学思想方法在一个方面的体现，将最值问题借助图形直观、简便地寻找出来，是一种较快地求最值的方法.5.在求解应用问题时要特别注意题意中的________________，不可将范围盲目扩大.数形结合变量的取值范围\n要点梳理1.基本不等式(1)基本不等式成立的条件:____________.(2)等号成立的条件:当且仅当______时取等号.§7.4基本不等式:a>0,b>0a=b\n2.几个重要的不等式(1)a2+b2≥_______(a,b∈R).(2)≥____(a,b同号).(3)(a,b∈R).(4)(a,b∈R).3.算术平均数与几何平均数设a>0,b>0，则a,b的算术平均数为,几何平均数为______，基本不等式可叙述为：_____________________________________________.2ab2术平均数不小于它们的几何平均数两个正数的算\n4.利用基本不等式求最值问题已知x>0,y>0,则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当_____时，x+y有最___值是______.（简记：积定和最小）(2)如果和x+y是定值p,那么当且仅当____时,xy有最____值是______.（简记：和定积最大）x=y小x=y大\n题型一不等式的性质【例1】使不等式a>b成立的充要条件是（）A.a2>b2B.C.lga>lgbD.可用特殊值代入验证，也可用不等式的性质推证.解析方法一取a=1,b=-2，可验证A、B、C均不正确，故选D.方法二a>b2a>2b>0思维启迪D\n题型二一元二次不等式的解法【例2】解下列不等式：(1)2x2+4x+3<0;(2)-3x2-2x+8≤0;(3)8x-1≥16x2.首先将二次项系数转化为正数，再看二次三项式能否因式分解，若能,则可得方程的两根,大于号取两边,小于号取中间,若不能,则再看“Δ”,利用求根公式求解方程的根,而后写出解集.思维启迪\n解（1）∵Δ=42-4×2×3=16-24=-8<0.∴方程2x2+4x+3=0没有实根.∴2x2+4x+3<0的解集为.（2）原不等式等价于3x2+2x-8≥0(x+2)(3x-4)≥0x≤-2或x≥∴不等式的解集为(-∞,-2]∪[,+∞).（3）原不等式等价于16x2-8x+1≤0(4x-1)2≤0.∴只有当4x-1=0,即时不等式成立，故不等式解集为\n题型三一元二次不等式的恒成立问题【例3】（12分）已知不等式mx2-2x-m+1<0.（1）若对所有的实数x不等式恒成立，求m的取值范围；（2）设不等式对于满足|m|≤2的一切m的值都成立,求x的取值范围.（1）由于二次项系数含有字母，所以首先讨论m=0的情况，而后结合二次函数图象求解.（2）转换思想将其看成关于m的一元一次不等式，利用其解集为［-2，2］，求参数x的范围.思维启迪\n解（1）不等式mx2-2x-m+1<0恒成立，即函数f(x)=mx2-2x-m+1的图象全部在x轴下方.当m=0时，1-2x<0,即当x>时，不等式恒成立,不满足题意；3分当m≠0时，函数f(x)=mx2-2x-m+1为二次函数，需满足开口向下且方程mx2-2x-m+1=0无解，即综上可知不存在这样的m.6分\n(2)从形式上看，这是一个关于x的一元二次不等式,可以换个角度，把它看成关于m的一元一次不等式，并且已知它的解集为[-2,2],求参数x的范围.7分设f(m)=(x2-1)m+(1-2x),则其为一个以m为自变量的一次函数,其图象是直线,由题意知该直线当-2≤m≤2时线段在x轴下方，\n\n题型四求目标函数的最值问题【例4】（2009·海南，宁夏，6）设x,y满足则z=x+y（）A.有最小值2，最大值3B.有最小值2，无最大值C.有最大值3，无最小值D.既无最小值，也无最大值先作出可行域，然后作出与直线x+y=0平行的直线，通过平移，在可行域内找到最优解，从而求出最大、最小值.思维启迪\n解析如下图作出不等式组表示的可行域，由于z=x+y的斜率大于2x+y=4的斜率，因此当z=x+y过点(2,0)时，z有最小值，但z没有最大值.答案B\n知能迁移2（2009·浙江理,13）若实数x,y满足不等式组则z=2x+3y的最小值是_____.解析作出不等式表示的可行域如图所示，由于2x+3y=z的斜率故z=2x+3y在点(2,0)处取得最小值4.4\n题型五线性规划的综合应用【例5】（12分）实数x,y满足（1）若求z的最大值和最小值，并求z的取值范围；（2）若z=x2+y2，求z的最大值与最小值,并求z的取值范围.(1)表示的是区域内的点与原点连线的斜率.故的最值问题即为直线的斜率的最大值与最小值.（2）z=x2+y2的最值表示的是区域内的点与原点的两点距离的平方的最大值、最小值.思维启迪\n解作出可行域如图阴影部分所示.表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，4分因此的范围为直线OB的斜率到直线OA的斜率(OA斜率不存在）.∴zmax不存在，zmin=2,∴z的取值范围是［2，+∞）.7分\n(2)z=x2+y2表示可行域内的任意一点与坐标原点的两点间距离的平方.9分因此x2+y2的范围最小为|OA|2（取不到），最大为|OB|2.由得A(0，1)，∴|OA|2=02+12=1，|OB|2=12+22=5.∴zmax=5，z无最小值.故z的取值范围是（1，5］.12分\n探究提高本例与常规线性规划不同，主要是目标函数不是直线形式，此类问题常考虑目标函数的几何意义，常见代数式的几何意义主要有以下几点：(1)表示点（x,y）与原点（0，0）的距离;表示点（x,y）与（a,b）的距离.(2)表示点(x，y)与原点(0，0)连线的斜率;表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率.理解这些代数式的几何意义,往往是解决问题的关键.\n题型六利用基本不等式求最值【例6】求下列各题的最值.（1）已知x>0,y>0,lgx+lgy=1,求的最小值；（2）x>0,求的最小值；（3）x<3，求的最大值；\n思维启迪（1）由lgx+lgy=1得xy=10,故可用基本不等式.（2）由x>0,是常数，故可直接利用基本不等式.（3）由于不是常数，故需变形.又x-3<0，故需变号.\n解（1）方法一由x>0,y>0,lgx+lgy=1,可得xy=10.当且仅当2y=5x,即x=2,y=5时等号成立.方法二由x>0,y>0,lgx+lgy=1,可得当且仅当即x=2,y=5时等号成立.\n(2)∵x>0,等号成立的条件是即x=2,∴f(x)的最小值是12.(3)∵x<3,∴x-3<0,∴3-x>0,当且仅当即x=1时，等号成立.故f(x)的最大值为-1.\n知能迁移（1）已知x>0,y>0，且求x+y的最小值；（2）已知x<求函数的最大值;（3）若x,y∈(0,+∞)且2x+8y-xy=0,求x+y的最小值.\n解（1）∵x>0,y>0,当且仅当时，上式等号成立，∴x=4,y=12时，(x+y)min=16.\n(2)∵x<∴5-4x>0,≤-2+3=1,当且仅当即x=1时，上式等号成立，故当x=1时，ymax=1.\n(3)由2x+8y-xy=0,得2x+8y=xy,当且仅当即x=2y时取等号，又2x+8y-xy=0,∴x=12,y=6,∴当x=12,y=6时，x+y取最小值18.
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