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- 2022-08-10 发布
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\n1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系.\n\n1.等差数列的定义如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示,定义的表达式为.同一个常数an+1-an=d(n∈N*)\n2.等差数列的通项公式如果等差数列{an}的首项是a1,公差是d,那么通项公式为an=.a1+(n-1)d\n[思考探究1]已知等差数列{an}的第m项为am,公差为d,则其第n项an能否用am与d表示?提示:可以.an=am+(n-m)d.\n3.等差中项如果三个数a,A,b成等差数列,则三数的关系是A=.[思考探究2]三数成等差数列时,一般设为a-d,a,a+d;四数成等差数列呢?提示:可设为a-3d,a-d,a+d,a+3d.\n4.等差数列的前n项和公式已知条件首项和公差首项和末项选取公式\n1.已知{an}是等差数列,a10=10,其前10项和S10=70,则其公差d=()A.-B.C.D.解析:a10=a1+9d=10,S10=10a1+45d=70,d=.答案:D\n2.已知{an}为等差数列,a2+a8=12,则a5等于()A.4B.5C.6D.7解析:∵{an}为等差数列,∴a2+a8=2a5=12,则a5=6.答案:C\n3.设{an}是等差数列,若a2=3,a7=13,则数列{an}前8项的和为()A.128B.80C.64D.56解析:由解得a1=1,d=2,∴S8=8a1+d=64.答案:Ca1+d=3,a1+6d=13,\n4.已知等差数列共10项,其中奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为.解析:由题意知a1+a3+a5+a7+a9=15,①a2+a4+a6+a8+a10=30,②②-①:5d=15,∴d=3.答案:3\n5.数列{an}中,a1=15,3an+1=3an-2(n∈N*),则该数列中乘积是负值的相邻两项为.解析:由已知得an+1-an=-,a1=15,∴an=a1+(n-1)d=15-(n-1)=,显然a23>0,a24<0.∴该数列中乘积是负值的相邻两项为a23与a24.答案:第23项与第24项\n\n1.证明一个数列{an}为等差数列的基本方法有两种:(1)利用等差数列的定义证明,即证明an+1-and(n∈N*)(2)利用等差中项证明,即证明an+2+an=2an+1(n∈N*).\n2.解选择题、填空题时,可用通项或前n项和直接判断:(1)通项法:若数列{an}的通项公式为n的一次函数,即an=An+B,则{an}是等差数列;(2)前n项和法:若数列{an}的前n项和Sn是Sn=An2+Bn的形式(A,B是常数),则{an}为等差数列.[特别警示]若说明一个数列不是等差数列,则只需找到其中连续三项不是等差数列即可.\n已知数列{an}中,a1=,an=2-(n≥2,n∈N*),数列{bn}满足bn=(n∈N*).(1)求证:数列{bn}是等差数列;(2)求数列{an}中的最大项和最小项,并说明理由.\n[思路点拨]\n[课堂笔记](1)证明:∵an=2-(n≥2,n∈N*),bn=.∴n≥2时,bn-bn-1=-===1.又b1=,∴数列{bn}是以-为首项,以1为公差的等差数列.\n(2)由(1)知,bn=n-,则an=1+=1+,设函数f(x)=1+,易知f(x)在区间(-∞,)和(,+∞)内为减函数,∴当n=3时,an取得最小值-1;当n=4时,an取得最大值3.\n1.等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d及前n项和公式Sn==na1+d,共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想解决问题.\n2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用,而a1和d是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法.[特别警示]因为=n+a1-,故数列{}是等差数列.\n(2009·江苏高考)设{an}是公差不为零的等差数列,Sn为其前n项和,满足,S7=7.(1)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn;(2)试求所有的正整数m,使得为数列{an}中的项.\n[思路点拨]\n[课堂笔记](1)设{an}通项公式an=a1+(n-1)d,d≠0,则.由性质得,-3d(a4+a3)=d(a4+a3),因为d≠0,所以a4+a3=0,即2a1+5d=0.①又由S7=7得7a1+d=7.②联立①②解得a1=-5,d=2.所以{an}的通项公式为an=2n-7,前n项和Sn=n2-6n.\n(2)=.令2m-3=t,-6,因为t是奇数,∈N,所以t可取的值为±1.当t=1,m=2时,t+-6=3,2×5-7=3是数列{an}中的项;t=-1,m=1时,t+-6=-15,数列{an}中的最小项是-5不符合.所以满足条件的正整数m=2.\n若将“,S7=7”改为“S10=30,S20=50”,求通项an和S30的值.解:由题意得\n解之得∴an=a1+(n-1)d=-n+,S30=30a1+d=60.\n1.等差数列的单调性:等差数列公差为d,若d>0,则数列递增.若d<0,则数列递减.若d=0,则数列为常数列.2.等差数列的简单性质:已知数列{an}是等差数列,Sn是其前n项和.(1)若m+n=p+q,则am+an=ap+aq.特别:若m+n=2p,则am+an=2ap.\n(2)am,am+k,am+2k,am+3k,…仍是等差数列,公差为kd.(3)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差数列.(4)S2n-1=(2n-1)an.(5)若n为偶数,则S偶-S奇=d.若n为奇数,则S奇-S偶=a中(中间项).(6)数列{c·an},{c+an},{pan+qbn}也是等差数列(其中c、p、q均为常数,{an},{bn}是等差数列).\n(2009·宁夏、海南高考改编)等差数列{an}的前n项和为Sn.已知am-1+am+1-=0,S2m-1=38,求m的值.[思路点拨]\n[课堂笔记]由条件得2am=am-1+am+1=a,从而有am=0或2.又由S2m-1=×(2m-1)=38且2am=a1+a2m-1得(2m-1)am=38,故am≠0,则有2m-1=19,m=10.\n若将“am-1+am+1-=0,S2m-1=38”改为“S6=72”,如何求a3+a4.解:∵数列{an}为等差数列,∴S6==3(a1+a6)=3(a3+a4),∴a3+a4=S6=×72=24.\n高考对等差数列的常规考法为:(1)在解答题中考查等差数列的判断或证明;(2)在选择题、填空题或解答题中考查等差数列的基本性质以及an,a1,d,n,Sn中的“知三求二”问题.09年安徽高考以选择题的形式考查了等差数列前n项和的最值问题,是高考命题的一个新方向.\n[考题印证](2009·安徽高考)已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99.又Sn表示{an}的前n项和,则使得Sn达到最大值的n是()A.21B.20C.19D.18\n【解析】∵{an}为等差数列,∴a1+a3+a5=105,a3=35,a2+a4+a6=99⇒a4=33,d=a4-a3=33-35=-2,∴{an}是递减数列.an=a3+(n-3)d=35+(n-3)×(-2)=-2n+41,an≥0,-2n+41≥0,n≤,∴当n≤20时,an>0,n≥21时,an<0,∴n=20时,Sn最大.【答案】B\n[自主体验]已知数列{an}满足2an+1=an+an+2(n∈N*),它的前n项和为Sn,且a3=10,S6=72.若bn=an-30,求数列{bn}的前n项和的最小值.\n解:∵2an+1=an+an+2,∴{an}为等差数列,设{an}的首项为a1,公差为d,{bn}前n项和为Tn.由a3=10,S6=72,得∴∴an=4n-2,则bn=an-30=2n-31.\n由得≤n≤.∵n∈N*,∴n=15.∴{bn}前15项为负值,∴T15最小,可知b1=-29,d=2,∴T15==-225.\n\n1.(2009·辽宁高考){an}为等差数列,且a7-2a4=-1,a3=0,则公差d=()A.-2B.-C.D.2解析:由于a7-2a4=a1+6d-2(a1+3d)=-a1=-1,则a1=1,又由于a3=a1+2d=1+2d=0,解得d=-.答案:B\n2.设Sn是等差数列{an}的前n项和.已知a2=3,a6=11,则S7等于()A.13B.35C.49D.63解析:由等差数列的性质得S7==49.答案:C\n3.已知等差数列{an}中,|a3|=|a9|,公差d<0,则使前n项和Sn取得最大值的正整数n的值是()A.4或5B.5或6C.6或7D.8或9\n解析:法一:∵d<0,|a3|=|a9|,∴a3+a9=0,∴a1+5d=0,∴a1=-5d.∴Sn=na1+d=n2-n=(n-)2-d.∵d<0,∴当n=5或6时,Sn最大.法二:∵d<0,|a3|=|a9|,∴a3>0,a9<0,且a3+a9=0,即2a6=0,∴a6=0,故数列{an}的前5项都大于0,从第7项开始各项都小于0.从而前5项或前6项的和最大.答案:B\n4.(2009·山东高考)在等差数列{an}中,a3=7,a5=a2+6,则a6=.解析:∵{an}是等差数列,设公差为d,∴3d=a5-a2=6,则a6=a3+3d=7+6=13.答案:13\n5.已知Sn为等差数列{an}的前n项和,若a2∶a4=7∶6,则S7∶S3等于.解析:=2.答案:2∶1\n6.(文)(2010·惠州模拟)等差数列{an}前n项和为Sn,已知对任意n∈N*,点(n,Sn)在二次函数f(x)=x2+c的图象上.(1)求c,an;(2)若kn=,求数列{kn}的前n项和Tn.\n解:(1)点(n,Sn)在二次函数f(x)=x2+c的图象上,∴Sn=n2+ca1=S1=1+c,a2=S2-S1=(4+c)-(1+c)=3,a3=S3-S2=5,又∵{an}为等差数列,∴6+c=6,c=0,d=3-1=2,an=1+2(n-1)=2n-1.\n(2)kn=,Tn=①②①-②得Tn=\n\n(理)已知数列{an}满足an=2an-1+2n-1(n≥2),且a1=5.(1)若存在一个实数λ,使得数列为等差数列,请求出λ的值;(2)在(1)的条件下,求出数列{an}的前n项和Sn.\n解:(1)假设存在实数λ符合题意,则必为与n无关的常数,∵要使是与n无关的常数,则=0,得λ=-1.故存在实数λ=-1.使得数列为等差数列.\n(2)由(1)可得=1,∴d=1,且首项为=2,∴=2+(n-1)=n+1,∴an=(n+1)2n+1(n∈N*).\n令bn=(n+1)2n且前n项和为Tn,∴Tn=2×2+3×22+4×23+…+(n+1)2n,①2Tn=2×22+3×23+…+n×2n+(n+1)2n+1,②①-②得-Tn=4+22+23+…+2n-(n+1)2n+1=2+(2+…+2n)-(n+1)2n+1=2n+1-(n+1)2n+1=-n·2n+1,∴Tn=n·2n+1,∴Sn=n·2n+1+n.