高中必修5：基本不等式综合课件 39页

3.4基本不等式\n思考：这会标中含有怎样的几何图形？思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？探究1\nab问2：Rt△ABF,Rt△BCG,Rt△CDH,Rt△ADE是全等三角形，它们的面积和是S’=———问1：在正方形ABCD中,设AF=a,BF=b,则正方形的面积为S=————，问3：S与S’有什么样的关系？从图形中易得，s>s’,即探究1\n探究2问题1：s,S’有相等的情况吗？何时相等？图片说明：当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有形的角度数的角度当a=b时a2+b2－2ab=(a－b)2=0\n结论：一般地，对于任意实数a、b，我们有当且仅当a=b时，等号成立此不等式称为重要不等式探究2问题2：当a,b为任意实数时，成立吗？\n类比联想推理论证（特别的）如果也可写成a＞0,b＞0,当且仅当a=b时“＝”号成立此不等式称为基本不等式探究3\n算术平均数几何平均数a＞0,b＞0,当且仅当a=b时“＝”号成立此不等式称为基本不等式概念：\n一般地，对于任意实数a，b，我们有当且仅当a=b时等号成立证明：≥0∴特别的，如果a＞0，b＞0，我们用分别代替a，b，可得（a＞0，b＞0）基本不等式分析法证明基本不等式要证只要证③④②①要证②，只要证要证③，只要证显然，④是成立的，当且仅当a=b时，④中的等号成立运用基本不等式证明：\n1.基本不等式：a=b基本不等式的变形：知识要点：（当且仅当________时取“＝”号）．（当且仅当a=b时取“＝”号）．如果a≥0，b≥0，那么≥\n重要变形2基础知识（由小到大）\n应用基本不等式求最值的条件：a与b为正实数若等号成立，a与b必须能够相等一正二定三相等积定和最小和定积最大（a＞0，b＞0）\n注意1、两个不等式的适用范围不同;2、一般情况下若“=”存在时，要注明等号成立的条件；3、运用重要不等式时，要把一端化为常数（定值）。一正、二定、三相等\n（1）如果a，b＞0，且ab＝P（定值），那么a+b有最____值______(当且仅当_____时取“=”）.（2）如果a，b＞0，且a＋b＝S（定值），那么ab有最____值______(当且仅当______时取“=”）.2.利用基本不等式求最值问题：小大利用基本不等式求最值的条件：一正、二定、三相等。一．知识要点a=ba=b\n（1）把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？（2）把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？ab=36∴当a=b=6时，和a+b最小为12∵∵a+b=18∴当a=b=9时，积ab最大为81不等式是一个基本不等式，它在解决实际问题中由广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具。【应用练习】\n例题讲解结论1：两个正数积为定值，则和有最小值\n\n一利用基本不等式证明不等式\n\n\n二、利用基本不等式求函数的最值\n\n\n\n\n\n例:某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池,其容积为4800m3,深为3m.如果池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元,怎样设计水池能使总造价最低?最低总造价是多少?分析:水池呈长方体形,它的高是3m,底面的长与宽没有确定.如果底面的长与宽确定了,水池的总造价也就确定了.因此应当考察底面的长与宽取什么值时水池总造价最低。\n解:设底面的长为xm,宽为ym,水池总造价为z元.根据题意,有:由容积为4800m3,可得:3xy=4800因此xy=1600由基本不等式与不等式的性质,可得即当x=y,即x=y=40时,等号成立所以,将水池的地面设计成边长为40m的正方形时总造价最低,最低总造价为297600元.\n设计一副宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面的宽与高的比为a(a<1)，画面的上下各留出8cm的空白，左右各留5cm的空白，怎样确定画面的高与宽的尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？设宣传画的宽为xcm，面积为S\n某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种生产设备的维修费各年为：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依每年2千元的增量递增。问这种生产设备最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的平均费用最少？)设使用x年报废最合算\n（1）用篱笆围一个面积为100的矩形菜园，问这个矩形菜园长、宽个为多少时，所用篱笆最短？最短的篱笆是多少？100练习：已知三角形的面积等于50，两条直角边各为多少时，两条直角边的和最小？最小值是多少？解：设矩形菜园的长为xm，宽为ym，则xy=100篱笆的长为2（x+y）m由可得∴2（x+y）≥40当且仅当x=y时等号成立，此时x=y=10∴这个矩形的长、宽都为10m时，所用篱笆最短，最短篱笆是40m设三角形的两条直角边为x、y解：则s=∴xy=100∴当且仅当x=y=10时取等号∴当这个直角三角形的直角边都时10的时候，两条直角边的和最小为20例题1\n（2）一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？面积最大值是多少？练习：用20m长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应当怎样折？解：设矩形菜园的长为xm，宽为ym，则2(x+y)=36即X+y=18∴=81当且仅当x=y=9时取等号∴当这个矩形的长、宽都是9m的时候面积最大，为81解：设矩形的长为xm，宽为ym，则2(x+y)=20即x+y=10∴=25当且仅当x=y=5时取等号∴当这个矩形的长、宽都是5m的时候面积最大，为25xxyy\n（3）一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积时多少？18m解：设菜园的长和宽分别为xm，ym则x+2y=30xy菜园的面积为s=xy=x2y=当且仅当x=2y时取等号即当矩形菜园的长为15m，宽为m时，面积最大为此时x=15，y=练习：设x，y满足x+4y=40，且x，y都是正数，求xy的最大值解：∵x+4y=40∴x（4y）≤=400∴xy≤100当且仅当x=4y时等号成立此时，x=20,y=5∴当x=20,y=5时，xy的最大值为100\n例题2某工厂要建造一个长方形无盖蓄水池，其容积为4800，深为3m，如果池底每平方米的造价为150元，池壁的造价为每日平方米120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价时多少？分析：水池呈长方形，它的高时3m，底面的长与宽没有确定。如果地面的长和宽确定了，水池的总造价也就确定了。因此，应当考察底面的长与宽取什么值时水池的总造价最低。解：设底面的长为xm，宽为ym，水池的总造价为z元，根据题意，有xy3Z=150×+=240000+720(x+y)∵容积为4800∴3xy=4800即xy=1600由基本不等式与不等式的性质，可得∴z≥∴z≥297600当x=y，即x=y=40时，等号成立所以，将水池的底面设计成长40m的正方形时总造价最低，最低总造价为297600元.\n练习：做一个体积为32，高为2m的长方体纸盒，底面的长与宽取什么值时用纸最少？解：根据题意，有Z=2×+4x+4y∵体积为32∴2xy=32即xy=16由基本不等式与不等式的性质，可得∴z≥32+4×8=64xy2设底面的长为xm，宽为ym，需用纸z=32+4(x+y)=8当且仅当x=y时，取等号，此时x=y=4当x=y=4时，用纸最少为64\n拓展提高D\n高考欣赏1.设>0，>0，若是与的等比中项，则得最小值为（）A.8B.4C.1D.（2009年天津理6）B\n＞2.（2009山东理12T)设满足约束条件若目标函数（0，>0）的最大值为12，则的最小值为（）A.B.C.D.4略解：xy02-22(4,6)A\n1.两个不等式（1）（2）当且仅当a=b时，等号成立注意：1.两公式条件，前者要求a,b为实数；后者要求a,b为正数。2.公式的正向、逆向使用的条件以及“=”的成立条件。2.不等式的简单应用：主要在于求最值把握“七字方针”即“一正，二定，三相等”课堂小结\n3.利用基本不等式求最值时，如果无定值，要先配、凑出定值，再利用基本不等式求解。4.形如这类函数，当不能利用基本不等式求最值时，可以借助函数单调性求解。