高中全程复习方略配套课件：8.3圆的方程 52页

第三节圆的方程\n三年5考高考指数:★★1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程；2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.\n1.求圆的方程是高考的热点；2.常和圆的几何性质结合,重点考查待定系数法、方程的曲线与曲线的方程的概念；3.题型多以选择题和填空题为主，属中低档题目.\n1.圆的定义与方程(1)在平面内到______的距离等于_______的点的轨迹叫做圆；(2)确定一个圆的基本要素是：______和_______.(3)圆的标准方程①两个条件：圆心(a,b),_________；②标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r2.定点定长圆心半径半径r\n(4)圆的一般方程①一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)；②方程表示圆的充要条件为：______________；③圆心坐标__________,半径r=______________.D2+E2-4F＞0\n【即时应用】(1)方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a的取值范围是___________;(2)圆x2-2x+y2-3=0的圆心到直线的距离为________;(3)当a为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0恒过定点C,则以C为圆心,为半径的圆的方程为___________.\n【解析】(1)x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，所以a2+(2a)2-4(2a2+a-1)＞0,解得-2＜a＜(2)x2-2x+y2-3=0的圆心坐标为(1,0)，它到直线的距离为\n(3)直线方程变为(x+1)a-x-y+1=0,由得∴C(-1,2).∴所求圆的方程为(x+1)2+(y-2)2=5.即:x2+y2+2x-4y=0.答案：(1)-2＜a＜(2)1(3)x2+y2+2x-4y=0\n2.点与圆的位置关系(1)理论依据：____与_______的距离与半径的大小关系(2)三个结论圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2，点M(x0,y0)①____________________⇔点在圆上；②____________________⇔点在圆外；③____________________⇔点在圆内.点圆心(x0-a)2+(y0-b)2=r2(x0-a)2+(y0-b)2＞r2(x0-a)2+(y0-b)2＜r2\n【即时应用】(1)思考：①若点M(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0上，则x20+y20+Dx0+Ey0+F满足什么条件？②若点M(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0内，则x20+y20+Dx0+Ey0+F满足什么条件？③若点M(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外，则x20+y20+Dx0+Ey0+F满足什么条件？\n提示：①x20+y20+Dx0+Ey0+F=0;②x20+y20+Dx0+Ey0+F＜0;③x20+y20+Dx0+Ey0+F＞0.\n(2)已知点A(0,0)在圆：x2+y2+2ax+a2+a-2=0外，则a的取值范围是________________;【解析】因为方程x2+y2+2ax+a2+a-2=0表示圆，所以(2a)2-4(a2+a-2)＞0，解得:a＜2,又因为点A(0,0)在圆外，所以a2+a-2＞0，解得：a＜-2或a＞1,综上可得1＜a＜2或a＜-2.答案：1＜a＜2或a＜-2\n(3)已知点A(1,2)在圆：x2+y2+ax-2y+b=0上，且点A关于直线x-y=0的对称点B也在圆上，则a=_________,b=_________.【解析】点A(1,2)关于直线x-y=0的对称点为B(2,1)，又因为A、B两点都在圆上，所以解得或由题意得圆心在直线x-y=0上，∴∴a=-2.又点A(1，2)在圆上，得b=1.答案：-21\n求圆的方程【方法点睛】1.求圆的方程的方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程；(2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a、b、r的方程组，从而求出a、b、r的值;\n②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D、E、F的方程组，进而求出D、E、F的值.2.确定圆心位置的方法(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；(2)圆心在任意一弦的垂直平分线上；(3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线.\n【例1】(1)(2012·南昌模拟)过点A(-2,4)、B(3,-1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6的圆的方程______________;(2)求经过点A(-2,-4)，且与直线l:x+3y-26=0相切于点B(8,6)的圆的方程.\n【解题指南】(1)可设圆的方程的一般形式，利用A(-2,4)、B(3,-1)两点在圆上及该圆在x轴上截得的弦长等于6，得出三个方程，解方程组即可确定圆的方程；(2)可先设圆心坐标为C(a,b)，由圆心与切点连线与切线垂直及圆心到圆上点的距离相等得出关于a、b的两个方程，解方程组即可得到圆心坐标，再求出半径，得出圆的方程；也可直接求出圆心坐标，再求出半径，得出圆的方程.\n【规范解答】(1)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，将A、B两点的坐标代入得再令y=0，得x2+Dx+F=0，设x1、x2是方程的两根，由|x1-x2|=6得，D2-4F=36，因此，所求圆的方程为x2+y2-2x-4y-8=0或x2+y2-6x-8y=0.\n答案：x2+y2-2x-4y-8=0或x2+y2-6x-8y=0(2)方法一：设圆心坐标为C(a,b),依题意得：解得：半径\n因此，所求圆的方程为：方法二：依题意得,圆心在AB的垂直平分线上，而AB的垂直平分线方程为：x+y-4=0；又因为圆心也在过B且与直线l垂直的直线上，而此直线方程为：3x-y-18=0，解方程组以下同方法一.\n【互动探究】本例(2)中“经过点A(-2，-4)”改为“圆心在直线x+y-4=0上”,结果如何？【解析】方法一：设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,依题设有解得因此，所求圆的方程为:\n方法二：依题设可知，圆心也在过切点B(8，6)且与l垂直的直线上，其斜率为3，所以方程为y-6=3(x-8)即3x-y-18=0，又圆心在x+y-4=0上，由得圆心半径因此，所求圆的方程为：\n【反思·感悟】1.从题组求解可以看出，确定一个圆的方程，需要三个独立的条件；“选形式，定参数”是求圆的方程的基本方法，即根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数.2.解答与圆有关的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算.\n【变式备选】已知圆心为点(2,-3)，一条直径的两个端点恰好落在两个坐标轴上，则这个圆的方程是___________________.【解析】因为圆心为点(2,-3)，一条直径的两个端点恰好落在两个坐标轴上，所以，直径的两个端点坐标为(4,0)、(0,-6)，所以，圆的半径为圆的方程为：(x-2)2+(y+3)2=13.答案：(x-2)2+(y+3)2=13\n与圆有关的最值问题【方法点睛】与圆有关的最值问题，常见的有以下类型(1)形如型的最值问题，可转化为过点(a,b)和点(x,y)的直线的斜率的最值问题；(2)形如t=ax+by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题;(3)形如(x-a)2+(y-b)2型的最值问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值问题.\n【例2】已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0.(1)求的最大值和最小值；(2)求y-x的最大值和最小值；(3)求x2+y2的最大值和最小值.【解题指南】充分利用所求代数式的几何意义，运用几何法求解.为点(x,y)与原点连线的斜率；而y-x表示动直线y=x+b的纵截距；x2+y2表示点(x,y)与原点的距离的平方；也可以消去一个元，转化为在函数定义域内求最值.\n【规范解答】(1)原方程可化为(x-2)2+y2=3,表示以(2,0)为圆心，为半径的圆，的几何意义为点(x,y)与原点连线的斜率，所以设即y=kx,当直线与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时解得k=±.所以的最大值为、最小值为(2)y-x可看作直线y=x+b在y轴上的截距，当直线与圆相切时，直线y=x+b在y轴上的截距取最大值或最小值，此时解得b=-2±.所以y-x的最大值为最小值为\n(3)方法一：x2+y2表示点(x,y)与原点的距离的平方，由平面几何知识可知，原点与圆心的连线所在直线与圆的两个交点处取得最大值或最小值.又圆心到原点的距离为2，故(x2+y2)max=(2+)2=7+(x2+y2)min=(2-)2=7-\n方法二：由x2+y2-4x+1=0得：y2=-x2+4x-1,且-x2+4x-1≥0,即：2-≤x≤2+,∴x2+y2=x2+(-x2+4x-1)=4x-1,∴(x2+y2)max=4(2+)-1=7+4;(x2+y2)min=4(2-)-1=7-4.\n【反思·感悟】1.本题三问都是求代数式的最值，它们都是利用代数式的几何意义与取最值时所满足的条件得出等式，通过解方程即可得出结论.2.解答圆的最值问题，应注意数形结合，充分运用直线的斜率、在坐标轴上的截距、几何性质，来寻找解题思路.\n【变式训练】已知点P(x,y)在圆x2+(y-1)2=1上运动，则的最大值为_________；最小值为_________.【解析】的几何意义表示圆上的动点与(2,1)连线的斜率，所以设=k，即kx-y+1-2k=0，当直线与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时解得k=±.所以的最大值为、最小值为.答案：\n【变式备选】若点P(x,y)是圆(x+1)2+y2=1上任意一点，求(x-2)2+(y+4)2的最大值、最小值.【解析】方法一：(x-2)2+(y+4)2表示圆上的点到定点(2,-4)的距离的平方，因为圆心(-1,0)到点(2,-4)的距离为所以，圆上的点到点(2,-4)的距离的最大值为6、最小值为4；因此，(x-2)2+(y+4)2的最大值为36、最小值为16.\n方法二：因为点P(x,y)是圆(x+1)2+y2=1上任意一点，所以可设则(x-2)2+(y+4)2=(cosθ-3)2+(sinθ+4)2=26+8sinθ-6cosθ=26+10sin(θ+β)(其中).故(x-2)2+(y+4)2的最大值为36；(x-2)2+(y+4)2的最小值为16.\n与圆有关的轨迹问题【方法点睛】1.求轨迹方程的基本步骤第一步：建立适当的平面直角坐标系，设曲线上任意点的坐标为M(x,y)；第二步：写出适合已知条件的点M的集合P={M|P(M)}；第三步：用坐标表示P(M)，列出方程f(x,y)=0；第四步：化简方程f(x,y)=0为最简形式.\n2.求与圆有关的轨迹方程的方法【提醒】注意轨迹与轨迹方程的区别.\n【例3】设定点M(-3,4)，动点N在圆x2+y2=4上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，O为坐标原点，求点P的轨迹方程.【解题指南】可设点P坐标为P(x,y)，点N坐标为N(x0,y0)，利用中点坐标公式，可找到两点坐标之间的关系，利用代入法即可求解.\n【规范解答】如图所示，设P(x,y),N(x0,y0)，则线段OP的中点坐标为线段MN的中点坐标为因为平行四边形的对角线互相平分，故N(x+3,y-4)在圆x2+y2=4上，故(x+3)2+(y-4)2=4.因此所求P点的轨迹方程为：(x+3)2+(y-4)2=4,但应除去两点：(点P在OM所在的直线上时的情况).\n【反思·感悟】1.求点的轨迹时，关键是要发现点满足的几何条件，寻找等式，得出方程.本题是利用中点坐标找到等式，再用代入法求解.2.解答轨迹问题时，要注意验证应该删除的点或遗漏的点，以防增解或漏解.\n【变式训练】已知圆C:(x-1)2+(y-1)2=9，过点A(2,3)作圆C的任意弦，求这些弦的中点P的轨迹方程.【解析】方法一：直接法设P(x,y)，由题意知圆心C(1,1).∵P点是过点A的弦的中点，又∵＝(2-x,3-y),=(1-x,1-y),∴(2-x)(1-x)+(3-y)(1-y)=0,∴P点的轨迹方程为\n方法二：定义法由已知知，PA⊥PC,∴由圆的性质知点P在以AC为直径的圆上，又圆心C(1，1)，而AC中点为所以半径为所求动点P的轨迹方程为\n【满分指导】与圆的方程有关的解答题的规范解答【典例】(12分)(2011·新课标全国卷)在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x2-6x+1与坐标轴的交点都在圆C上.(1)求圆C的方程;(2)若圆C与直线x-y+a=0交于A，B两点，且OA⊥OB,求a的值.【解题指南】(1)可先求出曲线与坐标轴的交点坐标，再求圆的方程；(2)直线与圆的方程联立，由即可求出a的值.\n【规范解答】(1)曲线y=x2-6x+1与坐标轴的交点为(0,1),(3±,0).……………………………………2分故可设圆的圆心坐标为(3,t),则有解得：t=1.…………………4分则圆的半径为所以圆的方程为：(x-3)2+(y-1)2=9.…………………6分(2)设A(x1,y1),B(x2,y2)，其坐标满足方程组消去y得到方程：2x2+(2a-8)x+a2-2a+1=0,\n由已知可得判别式Δ=(2a-8)2-4×2(a2-2a+1)=56-16a-4a2＞0,由根与系数的关系可得：x1+x2=4-a,x1x2=①………………………………9分由OA⊥OB可得：x1x2+y1y2=0.又y1=x1+a,y2=x2+a，所以2x1x2+a(x1+x2)+a2=0②由①②可得a=-1，满足Δ＞0,故a=-1.…………………12分\n【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：失分警示解答本题时有两点容易造成失分:(1)受思维习惯的制约，只求出与x轴的两个交点坐标，忽视与y轴的交点坐标，从而无法进行下去；(2)直接求出a的值，没有验证判别式是否大于零.\n备考建议解决与圆的方程有关的问题时，要注意以下几点：(1)根据题设条件，合理选择圆的方程的形式(是标准方程还是一般方程)；(2)凡是涉及一元二次方程解的问题，一定要注意方程的判别式是否大于或者等于零，即方程是否有解.\n1.(2011·安徽高考)若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x-4y=0的圆心，则a的值为()(A)-1(B)1(C)3(D)-3【解析】选B.圆的方程x2+y2+2x-4y=0可变形为(x+1)2+(y-2)2=5,所以圆心坐标为(-1,2),代入直线方程得a=1.\n2.(2012·鹰潭模拟)若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和x轴都相切，则该圆的标准方程是()(A)(x-2)2+(y-1)2=1(B)(x-2)2+(y+1)2=1(C)(x+2)2+(y-1)2=1(D)(x-3)2+(y-1)2=1【解析】选A.设圆心坐标为(a，b)，则a>0,b>0,且b=1，∴解得a=2，∴该圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1.\n3.（2012·西安模拟）已知圆C通过不同的三点P（m,0）、Q(2,0)、R（0，1），且圆C在点P处的切线的斜率为1，则圆C的方程为()（A）x2+y2-x+5y-6=0（B）x2+y2+x-5y-3=0（C）x2+y2+x+5y-6=0（D）x2+y2-x-5y-3=0\n【解析】选C.设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则圆心且PC的斜率为-1，∴圆的方程为x2+y2+x+5y-6=0.\n4.（2011·辽宁高考）已知圆C经过A(5,1),B(1,3)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程为_____________.【解析】设C(x,0),由|CA|=|CB|，得解得x=2.∴r=|CA|=∴圆C的标准方程为(x-2)2+y2=10.答案：(x-2)2+y2=10\n\n