高中数学_2.4《正态分布》课件_修改模板 57页

2.4正态分布巨野县实验中学高二一部数学组制作2012.06.01\n温故知新：1．在频率分布直方图中，纵坐标的含义是_____，用小矩形的_面__积_表示数据落在该组中的频率，在折线图中，随着分组越来越多，其越来越接近于一条_光__滑__的___曲__线．\n3．对于X～B(η，p)，则E(X)＝___n，pD(X)＝____n_p_(1_－_，p)当n＝1时，是___两_分点布．\n4.100个产品尺寸的频率分布直方图频率组距产品尺寸（mm)25.23525.29525.35525.41525.47525.535\n5.200个产品尺寸的频率分布直方图频率组距产品尺寸（mm)25.23525.29525.35525.41525.47525.535\n6.样本容量增大时频率分布直方图总体密度曲频率组距线产品尺寸(mm)\n7.总体密度曲线产品尺寸(mm)\n新知传授：你见过高尔顿板吗?图2.41所示的就是一块高尔顿板示意图.在一块木板上钉上若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块,小木块之间留有适当的空隙作为通道,前面挡有一块玻璃.让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下,小球在下落过程中图2.41与层层小木块碰撞,最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如果把球槽编号,就可以考察到底是落在第几号球槽中.重复进行高尔顿板试验,随着试验次数的增加,掉入各个球槽内的小球的个数就越来越多,堆积的高度也会越来越高.各个球槽的堆积高度反映了小球掉入各球槽的个数多少?\nN=500,P=0.5M=10\n为了更好地考察随着试验次数的增加,落在在各个球槽内的小球分布情况,我们进一步从频率的角度探究一下小球的分布规律.以球槽的编号为横坐标,以小球落入各个球槽内的频率值为纵坐标,可以画出频率分布直方图图2.42.频率0.350.300.250.200.150.100.05O1234567891011槽的编号图2.42\n随着重复次数的增加,这个频率直方图的形状会越来越像一条钟形曲线图2.43.yOx图2.43这条曲线就是(或近似地)下列函数的图象:2xμ1φxe2σ2,x,,μ,σ2πσ其中实数μ和σσ0为参数.我们称φμ,σx的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线.\n如果去掉高尔顿板试验y中最下边的球槽,并沿其底部建立一个水平坐标轴,其刻度单位为球槽的宽度,用X表示落下的小ox球第1次与高尔顿板底部图2.44接触时的坐标,则X是一个随机变量.X落在区间a,b的概率为bPaXbφμ,σxdxa即由正态曲线,过点a,0和点b,0的两条x轴的垂线,及x轴所围成的平面图形的面积(图2.44中阴影部分的面积),就是X落在区间a,b的概率的近似值.\n一般地,如果对于任何实数ab,随机变量X满足bPaXbφμ,σxdx,a则称X的分布为正态分布(normaldistribution).正态分布完全由参数μ和σ确定,因此正态分布常记作Nμ,σ2.如果随机变量X服从正态分布,则记为X~Nμ,σ2.参数μ是反映随机变量取值水平的特征数,可以用样本均值去估计;σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数,可以用样本标准差去估计.\n经验表明,一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和,它就服从或近似服从正态分布.例如高尔顿板试验中,小球下落过程中要与众多小木板碰撞,每次碰撞的结果使得小球随机地向左或向右下落,因此小球第1次与高尔顿板底部接触时的坐标X是众多随机碰撞的结果,所以它近似服从正态分布.\n在现实生活中,很多随机变量都服从或近似地服从正态分布.例如长度测量误差;某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等;一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等;正常生产条件下各种产品(如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、电子管的使用寿命等);某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等.一般都服从正态分布.\n早在1733年,法国数学家棣莫弗就用n!的近似公式得到了正态分布.之后,德国数学家高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它,并研究了它的性质,因此,人们也称正态分布为高斯分布.所以,正态分布广泛存在于自然现象、生产和生活实际之中。正态分布在概率和统计中占有重要地位。\ny思考观察图2.44,结合φμ,σx的ox图2.44解析式及概可以发现,正态曲线有如下特点:率的性质,你1曲线位于x轴上方,与x轴不相交;能说说正态2曲线是单峰的,它关于直线xμ曲线的特点对称;吗?3曲线在xμ处达到峰值;4曲线与x轴之间的面积为1.\n信息技术应用用计算机研究正态曲线随着μ和σ变化而变化的特点\nyμ1μ0μ1因为正态分布完全由μ和σσ0.5确定,所以可以通过研究μ和σ对正态曲线的影响,来21O12x认识正态曲线的特点.不妨1先固定σ值,作出μ取不同值y的图象(图2.45(1));再固定σ0.5μ值,作出σ取不同值的图象μ0(图2.45(2)).σ1σ2由上述过程还可以发现正态1O1x曲线的下述特点:25当σ一定时,曲线随着μ的图2.45变化而沿x轴平移;\nyyμ1μ0μ1σ0.5μ0σ0.5σ1σ221O12x1O1x12图2.456当μ一定时,曲线的形状由σ确定.σ越小,曲线越"瘦高",表示总体的分布越集中;σ越大,曲线越"矮胖",表示总体的分布越分散.进一步,若X~Nμ,σ2,则对任何实数a0,概率μaPμaXμaφμ,σxdxμa\n为图2.46中阴影部分的面积,对于固定的μ和a而言,该面积随着σ的减少而变大.这说明σ越小,X落在区间(μa,μa]的概率越大,即X集中在μ周围概率越大.特别有\nPμσXμσ0.6826,Pμ2σXμ2σ0.9544,Pμ3σXμ3σ0.9974,μaμμa图2.46上述结果可用图2.47表示68.26%95.44%99.74%μμμ2σ4σ6σ图2.47\n可以看到,正态总体几乎总取值于区间μ3α,μ3α之内.而在此区间以外取值的概率只有0.0026,通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生.在实际应用中,通常认为服从于正态分布Nμ,σ2的随机变量X只取(μ3σ,μ3σ)之间的值,并简称之为3σ原则.\n正态总体的函数表示式2(x)12f(x)e22x(,)当μ=0，σ=1时标准正态总体的函数表示式2x1f(x)e2x(,)2\n正态总体的函数表示式2(x)12f(x)e2x(,)2y（1）当x=μ时,函数值为最大.1(0,]μ=0（2）f(x)的值域为2σ=1(3)f(x)的图象关于x=μ对称.-3-2-10123x（4）当x∈（－∞，μ]时f(x)为增函数.当x∈（μ，+∞）时f(x)为减函数.标准正态曲线\n2正态曲线2(x)12f(x)e22x(,)yyyμ=-1μ=1σ=0.5μ=0σ=1σ=2-3-2-1012x-3-2-10123x-3-2-101234x具有两头低、中间高、左右对称的基本特征\n知识运用：例1、在某次数学考试中，考生的成绩服从一个正态分布，即~N(90,100).（1）试求考试成绩位于区间(70,110)上的概率是多少？（2）若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩在(80,100)间的考生大约有多少人？练习：1、已知一次考试共有60名同学参加，考生的2成绩X~(100,5)，据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内？（C）A.(90,110]B.(95,125]C.(100,120]D.(105,115]\n2、已知X~N(0,1)，则X在区间(,2)内取值的概率等于（D）A.0.9544B.0.0456C.0.9772D.0.02283、设离散型随机变量X~N(0,1),则P(X0)=0.5,P(2X2)=0.9544.4、若X~N(5,1),求P(6