高中数学教学精品课件：曲线与方程 20页

结合已知的曲线及其方程实例，了解曲线与方程的对应关系．了解数与形结合的基本思想．2.1.1曲线与方程2.1曲线与方程【课标要求】1．2．\n理解曲线的方程和方程的曲线的概念．(重点)曲线和方程通过曲线上的点的坐标建立起一一对应关系．(难点)【核心扫描】1．2．\n曲线的方程与方程的曲线一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的___；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的___．那么这个方程叫做___________，这条曲线叫做____________．自学导引解曲线的方程方程的曲点线\n想一想：如果曲线C的方程是f(x，y)＝0，能否认为f(x0，y0)＝0是点P0(x0，y0)在曲线上的充要条件？提示能．由曲线方程的定义可知，如果曲线C的方程是f(x，y)＝0，那么点P0(x0，y0)在曲线C上的充分必要条件是f(x0，y0)＝0.\n曲线的方程与方程的曲线概念的理解(1)定义中两个条件是轨迹性质的体现．条件“曲线上点的坐标都是这个方程的解”，阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点都适合这个条件而无一例外(纯粹性)；而条件“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，阐明符合方程的点都在曲线上而毫无遗漏(完备性)．名师点睛\n(2)定义中的两个条件是判定一个方程是否为指定曲线的方程，一条曲线是否为所给定方程的曲线的依据，缺一不可．从逻辑知识来看：第一个条件表示f(x，y)＝0是曲线C的方程的必要条件，第二个条件表示f(x，y)＝0是曲线C的方程的充分条件．因此，在判断或证明f(x，y)＝0为曲线C的方程时，必须注意两个条件同时成立．(3)定义的实质是平面曲线的点集{M|p(M)}和方程f(x，y)＝0的解集{(x，y)|f(x，y)＝0}之间的一一对应关系．由曲线和方程的这一对应关系，既可以通过方程研究曲线的性质，又可以求曲线的方程．\n题型一曲线与方程的概念若命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是正确的，则下列命题为真命题的是()．A．不是曲线C上的点的坐标，一定不满足方程f(x，y)＝0B．坐标满足方程f(x，y)＝0的点均在曲线C上C．曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线D．不是方程f(x，y)＝0的解，一定不是曲线C上的点[思路探索]从定义入手，考查定义中的两个条件．【例1】\n解析∵题设命题只说明“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”，并未指出“以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都是曲线C上的点”，∴A、B、C都是假命题，如曲线C：平面直角坐标系一、三象限角平分线上的点，与方程f(x，y)＝x2－y2＝0，满足题设条件，但却不满足选项A、B、C的结论，根据逆否命题是原命题的等价命题知，D是正确的．答案D\n规律方法(1)判断方程是否是曲线的方程，要从两个方面着手，一是检验点的坐标是否适合方程，二是检验以方程的解为坐标的点是否在曲线上．从而建立方程的解与曲线上点的坐标的一一对应关系．(2)定义中的两个条件是判定一个方程是否为指定曲线的方程，一条曲线是否为所给定方程的曲线的准则，缺一不可．因此，在证明f(x，y)＝0为曲线C的方程时，必须证明两个条件同时成立．\n【变式1】\n(2)不正确．直线l上的点的坐标都是方程|x|＝2的解．然而，坐标满足|x|＝2的点不一定在直线l上，因此|x|＝2不是l的方程，直线l的方程为x＝2.\n[思路探索]将方程进行同解变形，转化为已知曲线的方程的形式，从而判断出原方程表示的曲线．题型二由方程判断曲线【例2】即x＋y－1＝0(x≥1)或x＝1.综上可知，原方程所表示的曲线是射线x＋y－1＝0(x≥1)和直线x＝1.规律方法判断方程表示什么曲线，需对方程进行同解变形，常用的方法有：配方法、因式分解法或化为我们所熟悉的形式，然后根据方程的特征进行判断．\n方程x2＋y2＝1(xy<0)的曲线形状是()．【变式2】\n解析方程x2＋y2＝1表示以原点为圆心，半径为1的单位圆，而约束条件xy<0则表明单位圆上点的横、纵坐标异号，即单位圆位于第二或第四象限的部分．答案C\n(12分)若曲线y2＝xy＋2x＋k通过点(a，－a)，a∈R，求k的取值范围．题型三曲线方程的应用【例3】[规范解答]∵曲线y2＝xy＋2x＋k过点(a，－a)，∴a2＝－a2＋2a＋k.4分\n【题后反思】(1)点在曲线上，点的坐标就是曲线方程的解，满足方程，代入后，对参数讨论求解．(2)还要注意所给曲线方程中两个变量的范围以防所求参数不正确．\n设α∈[0，2π)，点P(cosα，sinα)在曲线(x－2)2＋y2＝3上，则α＝________.解析∵点P(cosα，sinα)在曲线(x－2)2＋y2＝3上，∴(cosα－2)2＋(sinα)2＝3，【变式3】\n本节把曲线看成是动点的轨迹，蕴涵了用运动的观点看问题的思想方法；把曲线看成方程的几何表示，方程看作曲线的代数反映，又包含了对应与转化的思想方法．已知方程y＝a|x|和y＝x＋a(a>0)所确定的两条曲线有两个交点，则a的取值范围是()．A．a>1B．01D．a∈∅方法技巧　数形结合思想的应用【示例】\n[思路分析]作出两方程表示的曲线，根据图形确定参数a的取值范围．解析∵a>0，∴方程y＝a|x|和y＝x＋a(a>0)的图象大致如图，要使方程y＝a|x|和y＝x＋a(a>0)所确定的两条曲线有两个交点，则要求y＝a|x|在y轴右侧的斜率大于y＝x＋a的斜率，∴a>1.答案A方法点评一个问题既要分析其代数意义又要揭示其几何意义，应该将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决．\n单击此处进入活页规范训练