高中数学课件倾斜角与斜率 50页

第三章　直线与方程3.1　直线的倾斜角与斜率3.1.1　倾斜角与斜率Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n1.理解直线的倾斜角和斜率的概念.2.已知直线的倾斜角(斜率)会求直线的斜率(倾斜角).3.经历几何问题代数化的过程,了解解析法的基本步骤,会求过已知两点的直线的斜率.Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n1.直线的倾斜角定义当直线l与x轴相交时,我们取x轴作为基准,x轴_____与直线l_____方向之间所成角α叫做直线l的倾斜角图示正向向上Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n范围0°≤α<180°规定当直线l与x轴___________时,直线的倾斜角为0°平行或重合Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n2.直线的斜率(1)定义：倾斜角不是_____的直线,它的倾斜角α的_______叫做这条直线的斜率,记为k,即k=______.90°正切值tanαEvaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n(2)斜率与倾斜角的对应关系：图示倾斜角(范围)α=0°0°<α<90°α=_____90°<α<180°斜率(范围)________不存在____90°k=0k>0k<0Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n3.直线的斜率公式已知两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2).(1)直线P1P2的斜率公式是k=_______.(2)当直线P1P2垂直于x轴(即x1=x2)时,直线的斜率_______.(3)当直线P1P2平行于x轴(即y1=y2)时,直线的斜率为__.不存在0Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n1.“判一判”理清知识的疑惑点(正确的打“√”,错误的打“×”).(1)任何一条直线都有斜率.(　　)(2)斜率相等的两直线倾斜角相等.(　　)(3)直线的倾斜角越大,则直线的斜率越大.(　　)(4)与y轴垂直的直线的斜率为0.(　　)Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n提示：(1)错误,当直线垂直于x轴时,直线的斜率不存在.(2)正确,两直线斜率相等,则其倾斜角的正切值相等,又倾斜角α的范围是0°≤α<180°,故倾斜角也相等.(3)错误,当直线的倾斜角为锐角时,倾斜角越大,则斜率越大且为正值;当直线的倾斜角为钝角时,倾斜角越大,则斜率也越大但为负值.(4)正确,直线与y轴垂直,即与x轴平行,故其斜率为0.答案：(1)×(2)√　(3)×(4)√Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n2.“练一练”尝试知识的应用点(请把正确的答案写在横线上).(1)过点(0,0)和(1,1)的直线的斜率为.(2)若直线l经过第二、四象限,则l的倾斜角α的范围是.(3)斜率为2的直线过点(2,1)和(-2,m),则m=.Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n【解析】(1)根据斜率公式，答案：1(2)直线l经过第二、四象限，故直线l的倾斜角为钝角，所以倾斜角α的范围是90°＜α＜180°．答案：90°＜α＜180°(3)由斜率公式得解得m=-7．答案：-7Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n一、直线的倾斜角与斜率探究1：如图，平面直角坐标系中，两直线l,l′与x轴交于P点．观察图中两直线l,l′的位置关系，思考下列问题：Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n(1)直线l,l′的倾斜程度有何不同，应如何定义直线的倾斜程度？提示：l′相对于x轴的正方向倾斜程度比l大，要确定两直线的倾斜程度，以x轴为参照，可以通过直线向上方向与x轴正向的夹角的大小来刻画直线的倾斜程度，即倾斜角．探究提示：从直线与x轴的夹角的大小这一角度考虑Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n(2)一点能确定一条直线吗？图中两直线l,l′的位置由哪些条件确定？提示：不能，过一点可以作无数条直线．一条直线可以由两点或一个定点和这条直线的倾斜角来确定．图中直线l由点P与倾斜角α确定，直线l′由点P与倾斜角α′确定．Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n探究2：根据倾斜角的定义，探究以下问题：(1)任意一条直线是否都有唯一的倾斜角与其对应?提示：是，由倾斜角的定义知，任何一条直线的倾斜程度是固定的，对应的倾斜角也是固定的.故任意一条直线都有唯一的倾斜角与其对应.(2)若一条直线的倾斜角为0°，则这条直线一定与x轴平行吗？提示：不一定,也可能与x轴重合.Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n探究3：根据k=tanα,思考下列问题：(1)此斜率公式的适用范围是_________.(2)倾斜角相同的直线斜率相等吗?提示：不一定,不是任何直线都有斜率,只有当α≠90°时,直线才有斜率,此时倾斜角相同的直线斜率相等.α≠90°Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n【探究提升】对直线的倾斜角的理解(1)倾斜角定义中含有三个条件：①x轴正向;②直线向上的方向;③小于180°的非负角.(2)从运动变化的观点来看,直线的倾斜角是由x轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角.Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n(3)倾斜角是一个几何概念,它直观地描述且表现了直线对x轴的倾斜程度.(4)平面直角坐标系中的每一条直线都有一个确定的倾斜角,且倾斜程度相同的直线,其倾斜角相等;倾斜程度不同的直线,其倾斜角不相等.Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n【拓展延伸】与特殊的倾斜角对应的斜率倾斜角α0°30°45°60°90°120°135°150°斜率k01不存在-1Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n二、直线的斜率公式探究1：在平面直角坐标系中画出过点P1(1,2)和P2(2,3)的直线l,并求出其倾斜角与斜率.提示：直线l如图所示：过点P1作P1Q平行于x轴,过点P2作P2Q垂直于x轴交P1Q于Q点,则Q点坐标为(2,2),所以|P1Q|=1,|P2Q|=1,所以∠P2P1Q=45°,即直线l的倾斜角为45°,所以直线l的斜率k=tan45°=1.Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n探究2：若把探究1中的点P1的坐标改为(x1,y1),P2的坐标改为(x2,y2),尝试回答下列问题：(1)直线l的斜率是否存在?提示：当x1≠x2时,斜率存在;当x1=x2,即直线l与x轴垂直时,斜率不存在.Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n(2)若直线l斜率存在，能否根据点P1和点P2的坐标求出直线l的斜率？提示：能.在Rt△P1P2Q中，tan∠P2P1Q=即Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n探究3：根据经过两点的直线的斜率公式,探究以下问题：(1)此斜率公式的适用范围是什么?提示：此斜率公式适用的范围是已知两点的横坐标不相等即x1≠x2,也即直线与x轴不垂直.Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n(2)斜率公式中分子与分母的顺序是否可以互换?y1与y2,x1与x2的顺序?提示：斜率公式中分子与分母的顺序不可互换,但y1与y2和x1与x2可以同时互换顺序,即斜率公式也可写为k=(3)过坐标原点和另一点P(x,y)(x≠0)的直线的斜率公式k=______=___.Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n【探究提升】1.对斜率公式的四点说明(1)当x1=x2时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角α=90°,直线与x轴垂直.(2)斜率k与P1,P2的顺序无关.(3)斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得.(4)当y1=y2时,斜率k=0,直线的倾斜角α=0°,直线与x轴平行或重合.Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n2.斜率与直线的倾斜程度的对应关系(1)当直线的斜率为正时,直线从左下方向右上方倾斜(呈上升趋势).(2)当直线的斜率为负时,直线从左上方向右下方倾斜(呈下降趋势).(3)当直线的斜率为0时,直线与x轴平行或重合(呈水平状态).Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n类型一直线的倾斜角尝试完成下列题目，体会倾斜角与斜率之间的联系，并掌握求直线倾斜角与斜率的方法及关注点.1.斜率为的直线的倾斜角是()A.120°B.150°C.60°D.30°Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n2.已知等边三角形ABC，若直线AB平行于y轴，则∠C的平分线所在的直线的倾斜角为_______，另两边AC，BC所在的直线的倾斜角为_______.【解题指南】1．根据tanα及0°≤α＜180°求解．2.解答本题的关键是画出图形，结合倾斜角的定义求解.Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n【解析】1．选B.斜率为，因为tan150°=tan(180°-30°)=-tan30°＝-，所以倾斜角为150°.Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n2．直线AB平行于y轴，则∠C的平分线所在的直线平行于x轴，倾斜角为0°，画简图如下：可知，AC，BC所在的直线均与∠C的平分线所在的直线成30°角，所以它们的倾斜角分别为30°，150°.答案：0°30°,150°Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n【技法点拨】求直线倾斜角的方法及关注点Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n【变式训练】已知直线l1的倾斜角为α1,则l1关于x轴对称的直线l2的倾斜角为α2,则α2=.【解题指南】利用直线l1与l2之间的关系,找出两直线倾斜角之间的关系.Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n【解析】如图.由图可知：α1=180°-α2,所以α2=180°-α1.答案：180°-α1Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n类型二直线的斜率公式通过解答下列题目，注意斜率公式成立的条件，并掌握利用公式求斜率的步骤.1．经过两点A(-m,6),B(1,3m)的直线的斜率为12，则m=_____.2．求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角、直角还是钝角．(1)(1,1),(2,4).(2)(-3,5),(0,2).(3)(4,4),(4,5).(4)(m,2m+),(2m-1,3m)，其中m∈R且m≠1.Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n【解题指南】1．利用斜率公式找到关于m的方程，从而求出m的值．2．当倾斜角α=90°时，直线的斜率不存在；当倾斜角α≠90°时，直线的斜率Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n【解析】1．由斜率公式得：解得m=-2．答案：-22．设直线的斜率为k，倾斜角为α(1)所以α是锐角.(2)所以α是钝角.(3)因为两点横坐标相同，所以直线斜率不存在且直线垂直于x轴，所以α是直角.此时α是锐角．Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n【技法点拨】计算斜率的三步骤(1)给直线上两点的坐标赋值x1,x2,y1,y2.(2)计算x2-x1，若x2-x1=0，则判断“斜率不存在”.(３)若x2-x1≠0，则提醒：根据含有参数的点求直线斜率，注意斜率不存在时情况的讨论.Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n【变式训练】已知A(m,-m+3),B(2,m-1),C(-1,4)，直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，求m的值．【解析】由题意得直线AC,BC的斜率存在，即m≠-1,所以因为kAC=3kBC,所以整理得-m-1=(m-5)(m+1)，即(m+1)(m-4)=0，所以m=4或m=-1(舍)，所以m=4.Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n【误区警示】解答本题易出现由条件得不出m≠-1的情况，从而导致产生增根.Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n类型三直线斜率公式的应用尝试解答下列问题,体会利用斜率公式解答有关问题的过程,总结利用斜率公式解答有关问题的策略.1.已知点A(-1,2),B(3,0),P(-2,-3),经过点P的直线l与线段AB有公共点,则直线l的斜率k的取值范围为.2.已知A(-3,-5),B(1,3),C(5,11)三点,证明这三点在同一条直线上.Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n【解题指南】1.利用斜率公式求出直线PA,PB的斜率,根据l与线段AB有公共点,求出l的斜率k的取值范围.2.求出直线AB,BC的斜率,利用斜率相等且有公共点,从而说明A,B,C三点共线.Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n【解析】1．如图所示：因为点A(-1,2)，B(3,0),P(-2,-3),所以由图可知kPB＜k＜kPA,所以＜k＜5.答案：＜k＜5Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n2.因为A(-3,-5),B(1,3),C(5,11),所以所以kAB=kBC，且直线AB，BC有公共点B，所以A,B,C这三点在同一条直线上.Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n【互动探究】若把题1中的点P的坐标改为(2,-1)，试求出直线l的斜率k的取值范围．【解析】由图可知：直线PB的斜率kPB=直线PA的斜率kPA=要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k≤-1或k≥1．Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n【技法点拨】利用直线斜率公式解题的策略(1)求直线斜率的取值范围,当斜率恒正或恒负时,可直接得出直线斜率的范围;当斜率有正有负时,直线的斜率应取两边.(2)证明三点共线的问题,①从三点中任取两点,求其斜率,若斜率存在,且相等,且两条直线有公共点,则三点共线;若斜率不存在,且两条直线有公共点,则三点共线.②可利用其中两条线段长之和等于第三条线段的长来证明.Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n1.斜率一定不存在的直线是()A．过原点的直线B．垂直于x轴的直线C．垂直于y轴的直线D．垂直于过原点的直线【解析】选B．垂直于x轴的直线的斜率不存在．垂直于y轴的直线的斜率为0．Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n2.过点的直线的斜率是()A.1B.-1C.2【解析】选A.Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n3.过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角是45°，则y等于()A.-1B.-5C.1D.5【解析】选A．直线的倾斜角是45°，则其斜率为k＝tan45°＝1.由斜率公式，得解得y＝-1.Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n4.已知直线l过点A(5,-4)，B(9,m2)，m∈R，且直线l的倾斜角为α，则α的范围是________.【解析】由斜率公式可知,直线l的斜率即tanα=m2+1,因为m∈R，所以tanα≥1，所以45°≤α＜90°.答案：45°≤α＜90°Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n5.已知交于点M(8,6)的四条直线l1,l2,l3,l4的倾斜角之比为1∶2∶3∶4,又知l2过点N(5,3),求这四条直线的倾斜角.【解析】因为kMN==1,所以l2的倾斜角为45°,又l1,l2,l3,l4的倾斜角之比为1∶2∶3∶4,故这四条直线的倾斜角分别为22.5°,45°,67.5°,90°.Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.