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- 2022-08-10 发布
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集合的含义与表示(第一课时)2014.9.1\n集合的含义与表示了解康托尔德国数学家,集合论的创始者。1845年3月3日生于圣彼得堡(今苏联列宁格勒),1918年1月6日病逝于哈雷。\n数集自然数的集合,有理数的集合,不等式x-7<3的解的集合…初中学习了哪些集合的实例点集圆(到一个定点的距离等于定长的点的集合)线段的垂直平分线(到一条线段的两个端点的距离相等的点的集合),等等.\n一般地,把一些能够确定的不同的对象看成一个整体,就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集)1.集合的概念:构成集合的每个对象叫做这个集合的元素.\n基础练习1.确定性⑴现有:①不大于 的正有理数.②的近似数③全部长方形.④全体无实根的一元二次方程程.四个条件中所指对象不能组成集合的___.\n基础练习2.互异性若三个元素构成集合中的元素,求x的值.\n基础练习\n探究一:(1)用列举法表示下列集合①②自然数集的图象的交点构成的集合集合的表示方法③\n探究二:用描述法表示下列集合①小于10的所有非负整数构成的集合②集合的表示方法③的图象的交点构成的集合④三角形\n思考:下列集合是否相同。集合的表示方法\n探究三:含参数问题中各元素之和等于3,求a的值集合的表示方法\n选择题⑴以下说法正确的()(A)“实数集”可记为{R}或{实数集}或{所有实数}(B){a,b,c,d}与{c,d,b,a}是两个不同的集合(C)“我校高一年级全体数学学得好的同学”不能组成一个集合,因为其元素不确定⑵已知2是集合M={}中的元素,则实数 为()(A)2(B)0或3(C)3(D)0,2,3均可\n(3)下列四个集合中,不同于另外三个的是:﹛y︱y=2﹜B.﹛x=2﹜C.﹛2﹜D.﹛x︱x2-4x+4=0﹜(4)由实数x,-x,,|x|所组成的集合中,最多含有的元素的个数为()A.2B.3C.4D.5\n(1)方程组的解集用列举法表示为_______;用描述法表示为.(2)集合用列举法表示为.3.填空\n1.用描述法表示下列集合①{1,4,7,10,13}②{1/3,1/2,3/5,2/3,5/7}.能力提高题2.用列举法表示下列集合:(1)A=﹛x∈N︱∈Z﹜(2)B=﹛∈N︱x∈Z﹜\n4.若-3∈{a-3,2a+1,a2+1},求实数a的值.3.求集合{3,x,x2-2x}中,元素x应满足的条件。\n回顾交流今天我们学习了哪些内容?集合元素的性质:确定性,互异性,无序性2集合的含义14常用数集及其表示5集合的表示法:列举法、描述法元素与集合的关系:∊,∉3\n课堂作业\n大学期间康托尔主修数论,但受外尔斯特拉斯的影响,对数学推导的严格性和数学分析感兴趣。哈雷大学教授H.E.海涅鼓励他研究函数论。他于1870、1871、1872年发表三篇关于三角级数的论文。在1872年的论文中提出了以基本序列(即柯西序列)定义无理数的实数理论,并初步提出以高阶导出集的性质作为对无穷集合的分类准则。函数论研究引起他进一步探索无穷集和超穷序数的兴趣和要求。1872年康托尔在瑞士结识了J.W.R.戴德金,此后时常往来并通信讨论。1873年他估计,虽然全体正有理数可以和正整数建立一一对应,但全体正实数似乎不能。他在1874年的论文《关于一切实代数数的一个性质》中证明了他的估计,并且指出一切实代数数和正整数可以建立一一对应,这就证明了超越数是存在的而且有无穷多。在这篇论文中,他用一一对应关系作为对无穷集合分类的准则。格奥尔格·康托尔康托尔(GeorgCantor,1845-1918,德)德国数学家,集合论的创始者。1845年3月3日生于圣彼得堡(今苏联列宁格勒),1918年1月6日病逝于哈雷。其父为迁居俄国的丹麦商人。康托尔11岁时移居德国,在德国读中学。1862年17岁时入瑞士苏黎世大学,翌年转入柏林大学,主修数学,从学于E.E.库默尔、K.(T.W.)外尔斯特拉斯和L.克罗内克。1866年曾去格丁根学习一学期。1867年在库默尔指导下以数论方面的论文获博士学位。1869年在哈雷大学通过讲师资格考试,后即在该大学任讲师,1872年任副教授,1879年任教授。\n康托尔在1878年这篇论文里已明确提出“势”的概念(又称为基数)并且用“与自身的真子集有一一对应”作为无穷集的特征。康托尔认为,建立集合论重要的是把数的概念从有穷数扩充到无穷数。他在1879~1884年发表的题为《关于无穷线性点集》论文6篇,其中5篇的内容大部分为点集论,而第5篇很长,此篇论述序关系,提出了良序集、序数及数类的概念。他定义了一个比一个大的超穷序数和超穷基数的无穷序列,并对无穷问题作了不少的哲学讨论。在此文中他还提出了良序定理(每一集合都能被良序),但未给出证明。在1891年发表的《集合论的一个根本问题》里,他证明了一集合的幂集的基数较原集合的基数大,由此可知,没有包含一切集合的集合。他在1878年论文中曾将连续统假设作为一个估计提出,其后在1883年论文里说即将有一严格证明,但他始终未能给出。在整数和实数两个不同的无穷集合之外,是否还有更大的无穷?从1874年初起,康托尔开始考虑面上的点集和线上的点集有无一一对应。经过三年多的探索,1877说,“我见到了,但我不相信。”这似乎抹煞了维数的区别。论文于1878年发表后引起了很大的怀疑。P.D.G.杜布瓦-雷蒙和克罗内克都反对,而戴德金早在1877年7月就看到,不同维数空间的点可以建立不连续的一一对应关系,而不能有连续的一一对应。此问题直到1910年才由L.E.J.布劳威尔给出证明。\n19世纪70年代许多数学家只承认,有穷事物的发展过程是无穷尽的,无穷只是潜在的,是就发展说的。他们不承认已经完成的、客观存在着的无穷整体,例如集合论里的各种超穷集合。康托尔集合论肯定了作为完成整体的实无穷,从而遭到了一些数学家和哲学家的批评与攻击,特别是克罗内克。康托尔曾在1883年的论文和以后的哲学论文里对于无穷问题作了详尽的讨论。另一方面,康托尔创建集合论的工作开始时就得到戴德金、外尔斯特拉斯和D.希尔伯特的鼓励和赞扬。20世纪以来集合论不断发展,已成为数学的基础理论。他的著作有:《G.康托尔全集》1卷及《康托尔-戴德金通信集》等。康托尔是德国数学家,集合论的创始者。1845年3月3日生于圣彼得堡,1918年1月6日病逝于哈雷。康托尔11岁时移居德国,在德国读中学。1862年17岁时入瑞士苏黎世大学,翌年入柏林大学,主修数学,1866年曾去格丁根学习一学期。1867年以数论方面的论文获博士学位。1869年在哈雷大学通过讲师资格考试,后在该大学任讲师,1872年任副教授,1879年任教授。集合论是现代数学的基础,康托尔在研究函数论时产生了探索无穷集和超穷数的兴趣。康托尔肯定了无穷数的存在,并对无穷问题进行了哲学的讨论,最终建立了较完善的集合理论,为现代数学的发展打下了坚实的基础。