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- 2022-08-11 发布
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第一课时1.4.2正弦函数、余弦函数的性质\n问题提出1.正弦函数和余弦函数的图象分别是什么?二者有何相互联系?y-1xO1π2π3π4π5π6π-2π-3π-4π-5π-6π-πy=sinxxyO1-1y=cosx\n2.世界上有许多事物都呈现“周而复始”的变化规律,如年有四季更替,月有阴晴圆缺.这种现象在数学上称为周期性,在函数领域里,周期性是函数的一个重要性质.\n函数的周期性\n知识探究(一):周期函数的概念思考1:由正弦函数的图象可知,正弦曲线每相隔2π个单位重复出现,这一规律的理论依据是什么?.思考2:设f(x)=sinx,则可以怎样表示?其数学意义如何?\n思考3:为了突出函数的这个特性,我们把函数f(x)=sinx称为周期函数,2kπ为这个函数的周期.一般地,如何定义周期函数?对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T就叫做这个函数的周期.\n思考4:周期函数的周期是否惟一?正弦函数的周期有哪些?思考5:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,则这个最小正数叫做f(x)的最小正周期.那么,正弦函数的最小正周期是多少?为什么?\n正、余弦函数是周期函数,2kπ(k∈Z,k≠0)都是它的周期,最小正周期是2π.思考6:就周期性而言,对正弦函数有什么结论?对余弦函数呢?\n知识探究(二):周期概念的拓展思考1:函数f(x)=sinx(x≥0)是否为周期函数?函数f(x)=sinx(x≤0)是否为周期函数?思考2:函数f(x)=sinx(x>0)是否为周期函数?函数f(x)=sinx(x≠3kπ)是否为周期函数?思考3:函数f(x)=sinx,x∈[0,10π]是否为周期函数?周期函数的定义域有什么特点?\n思考4:函数y=3sin(2x+4)的最小正周期是多少?思考5:一般地,函数的最小正周期是多少?思考6:如果函数y=f(x)的周期是T,那么函数y=f(ωx+φ)的周期是多少?\n理论迁移例1求下列函数的周期:(1)y=3cosx;x∈R(2)y=sin2x,x∈R;(3),x∈R;(4)y=|sinx|x∈R.例2已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)+f(x)=0,试判断f(x)是否为周期函数?\n例3已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=f(x-1),且当x∈[0,2]时,f(x)=x-4,求f(10)的值.\n小结作业1.函数的周期性是函数的一个基本性质,判断一个函数是否为周期函数,一般以定义为依据,即存在非零常数T,使f(x+T)=f(x)恒成立.2.周期函数的周期与函数的定义域有关,周期函数不一定存在最小正周期.3.周期函数的周期有许多个,若T为周期函数f(x)的周期,则T的整数倍也是f(x)的周期.\n4.函数和的最小正周期都是,这是正、余弦函数的周期公式,解题时可以直接应用.作业:P36练习:1,2,3.