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- 2022-08-11 发布
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高考必修五阶段测试一(第一章 解三角形)时间:120分钟 满分:150分一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.(2017·江西金溪一中月考)已知△ABC中,a=,b=,B=60°,那么∠A=( )A.45° B.90°C.130°或45°D.150°或30°2.在△ABC中,B=,AB=8,BC=5,则△ABC外接圆的面积为( )A.B.16πC.D.15π3.(2017·黑龙江鸡西期末)已知锐角△ABC的面积为3,BC=4,CA=3,则角C的大小为( )A.75°B.60°C.45°D.30°4.在△ABC中,sin2A=sin2B+sinB·sinC+sin2C,则A等于( )A.30°B.60°C.120°D.150°5.在△ABC中,角A、B、C的对边分别是a、b、c,且a>b>c,a24.(1)求b;(2)求证:C=2A.22.(12分)如图所示,一辆汽车从O点出发,沿海岸一条直线公路以100km/h的速度向东匀速行驶,汽车开动时,在O点南偏东方向距O点500km,且与海岸距离为300km的海上M处有一快艇,与汽车同时发出,要把一件重要物品递送给这辆汽车的司机,问快艇至少必须以多大的速度行驶,才能把物品送到司机手中,并求快艇以最小速度行驶的行驶方向与OM所成的角.高中教育\n高考答案与解析1.A 由正弦定理=,得sinA===.又ab>c,cosA<=<=,∴cosA>0,且cosA<.∴∠A的范围为,故选C.解法二:∵a>b>c,∴a为最长边,∠A>.又a20),则由余弦定理得142=(8t)2+(5t)2-2·8t·5t·cos60°,∴t2=4,∴t=2.∴S△ABC=×16×10×=40.16.3+解析:由已知得=AB·BCsin,∴AB·BC=2.又AC2=AB2+BC2-2AB·BCcosB=AB2+BC2-AB·BC=(AB+BC)2-3AB·BC=(AB+BC)2-6.又AC=,∴AB+BC=3.∴AB+BC+AC=3+.17.解:在△ABD中,由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos60°,又AD=5,AB=7,∴BD2-5BD-24=0,解得BD=8.在△BCD中,∠BDC=30°,∠BCD=135°,由正弦定理得BC===4.18.解:(1)由题知S=5,a=4,b=5.由S=absinC得,5=×4×5sinC,解得sinC=,高中教育\n高考又C是△ABC的内角,所以C=或C=.(2)当C=时,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos=16+25-2×4×5×=21,解得c=;当C=时,c2=a2+b2-2abcos=16+25+2×4×5×=61,解得c=.综上得,c边的长度是或.19.解:(1)由已知得=×bcsinA,即3cosA=4sinA>0,又∵sin2A+cos2A=1,∴sinA=,cosA=.sin2+cos2A=+cos2A=2cos2A+-=2×+-=.(2)由(1)知sinA=,S△ABC=bcsinA=3,b=2,∴c=5.又∵a2=b2+c2-2bccosA,∴a2=4+25-2×2×5×=13,∴a=.20.解:(1)∵∠BCD=90°+60°=150°,CB=AC=CD,∴∠CBE=15°,∴cos∠CBE=cos(45°-30°)=.(2)在△ABE中,AB=2,由正弦定理得=,故AE===-.21.解:(1)∵cosA=,高中教育\n高考可得sinA==,∴由正弦定理可得b===5.(2)证明:∵由(1)可得a=4,cosA=,b=5,∴由余弦定理可得16=25+c2-2×b×c×,整理可得2c2-15c+18=0,∴解得c=6或(c>4,故舍去),∴由正弦定理可得sinC===.又∵sin2A=2sinAcosA=2××=,∴可得sinC=sin2A,∵C∈(0,π),2A∈(0,π),∴C=2A,或C+2A=π(A≠B故舍去).∴C=2A,得证.22.解:如图,设快艇从M处以vkm/h的速度出发,沿MN方向航行,t小时后与汽车相遇.在△MON中,MO=500,ON=100t,MN=vt.设∠MON=α.由题意知sinα=,则cosα=.由余弦定理知MN2=OM2+ON2-2OM·ON·cosα,即v2t2=5002+1002t2-2×500×100t·.高中教育\n高考v2=5002·-2×500×80·+1002=2+3600.当=,即t=时,v=3600,即快艇必须至少以60km/h的速度行驶.此时MN=60×=15×25.MQ是M到ON的距离,且MQ=300,设∠MNO=β,∴sinβ==.∴α+β=90°,∴MN与OM成直角.∴快艇至少必须以60km/h的速度行驶,才能把物品送到司机手中,其行驶方向与OM成直角.高中教育