高中全程复习方略配套课件：6.7数学归纳法 59页

第七节数学归纳法\n三年3考高考指数:★★1.了解数学归纳法的原理；2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.\n1.归纳——猜想——证明仍是高考的重点；2.常与函数、数列、不等式、平面几何等知识结合，在知识交汇处命题；3.题型以解答题为主，难度中等偏上.\n1.数学归纳法数学归纳法是用来证明某些与_________有关的数学命题的一种方法.它的基本步骤是：(1)验证：____时,命题成立；(2)在假设当__________时命题成立的前提下，推出当______时，命题成立.根据(1)(2)可以断定命题对____________都成立.正整数nn=1n=k(k≥1)n=k+1一切正整数n\n【即时应用】判断下列各说法是否正确.(请在括号中填写“√”或“×”)(1)用数学归纳法验证第一个值n0,则n0必定为1.()(2)数学归纳法的两个步骤是缺一不可的.()(3)应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n-3)条时，第一步是检验n等于3.()(4)用数学归纳法证明“1+2+22+…+2n+2=2n+3-1”时，验证n=1时,左边式子应为1+2+22.()\n【解析】(1)错误.有些数学归纳法证明题，第一步验证初始值不是1，可能为2，3，4等.(2)正确.数学归纳法的两个步骤缺一不可，第一步是归纳奠基，第二步是归纳递推.(3)正确.第一步检验n=3,即三角形的对角线条数为0.(4)错误.验证n=1时，左边式子应为1+2+22+23.答案：(1)×(2)√(3)√(4)×\n2.数学归纳法的框图表示命题对从n0开始________________都成立.所有的正整数n归纳递推归纳奠基验证n=n0(n0∈N﹡)时命题成立.若n=k(k≥n0,k∈N﹡)时命题成立，证明__________________.n=k+1时命题也成立\n【即时应用】(1)已知n为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n=k(k≥2且k为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证n=______时等式成立.(2)凸k边形的内角和为f(k)，则凸k+1边形的内角和为f(k+1)=f(k)+________.\n【解析】(1)因为假设n=k(k≥2且k为偶数)，故下一个偶数为k+2.(2)从k边形到k+1边形，实际是多了一个三角形，故内角和比k时多π,即f(k+1)=f(k)+π.答案：(1)k+2(2)π\n用数学归纳法证明等式【即时应用】用数学归纳法证明等式的规则(1)数学归纳法证明等式要充分利用定义，其中两个步骤缺一不可，缺第一步，则失去了递推基础，缺第二步，则失去了递推依据.\n(2)证明等式时要注意等式两边的构成规律，两边各有多少项，并注意初始值n0是多少,同时第二步由n=k到n=k+1时要充分利用假设，不利用n=k时的假设去证明，就不是数学归纳法.【提醒】用数学归纳法证明等式问题的关键在于弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少.\n【例1】(2012·烟台模拟)是否存在常数a,b,c，使得等式(n2-12)+2(n2-22)+…+n(n2-n2)=an4+bn2+c对一切正整数n都成立？若存在，求出a,b,c的值；若不存在，说明理由.【解题指南】本题是开放式、存在性的问题，一般是先假设存在，利用特值求得a,b,c的值，而后用数学归纳法证明.\n【规范解答】假设存在a,b,c使得所给等式成立.令n=1,2,3代入等式得解得以下用数学归纳法证明等式(n2-12)+2(n2-22)+…+n(n2-n2)对一切正整数n都成立.(1)当n=1时，由以上可知等式成立;\n(2)假设当n=k(k∈N*)时，等式成立，即(k2-12)+2(k2-22)+…+k(k2-k2)=则当n=k+1时，［(k+1)2-12］+2［(k+1)2-22］+…+k［(k+1)2-k2］+(k+1)［(k+1)2-(k+1)2］=(k2-12)+2(k2-22)+…+k(k2-k2)+(2k+1)+2(2k+1)+…+k(2k+1)==由(1)、(2)知，等式对一切正整数n都成立.\n【反思·感悟】1.对于开放式的与n有关的等式证明问题，一般是先假设结论成立，利用n的前几个取值求参数，而后用数学归纳法证明.2.在使用数学归纳法的第二步进行证明时，事实上，“归纳假设”已经成了已知条件，“n=k+1时结论正确”则是求证的目标，可先用分析法的思路，借助已学过的公式、定理或运算法则进行恒等变形，把待证的目标拼凑出归纳假设的形式，再把运用归纳假设后的式子进行变形、证明.\n【变式训练】已知n∈N*，证明：=【证明】(1)当n=1时，左边=右边=，等式成立;(2)假设当n=k(k∈N*)时等式成立，即有:那么当n=k+1时，\n左边右边,所以当n=k+1时等式也成立.综合(1)、(2)知对一切n∈N*，等式都成立.\n用数学归纳法证明不等式问题【方法点睛】应用数学归纳法证明不等式应注意的问题(1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法.(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n=k成立，推证n=k+1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法等证明.\n【例2】由下列不等式：你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明.【解题指南】由已知条件不难猜想到一般不等式，关键是证明，证明时由n=k到n=k+1时可采用放缩法.【规范解答】根据给出的几个不等式可以猜想第n个不等式，即一般不等式为：用数学归纳法证明如下：\n(1)当n=1时，1>,猜想成立；(2)假设当n=k(k∈N*)时，猜想成立，即则当n=k+1时，即当n=k+1时，猜想也正确，所以对任意的n∈N*，不等式都成立.\n【反思·感悟】1.本例在由n=k到n=k+1这一步变化中，不等式左边增加了即增加了2k项，这一点很关键，若项数写不正确，该题的证明将无法正确得出.2.当n=k+1时的证明中采用了放缩法，即将已知式子分母变大，从而所得结果变小，顺利地与要证的式子接轨从而得以证明，此种方法是证明不等式的常用方法，应用时要注意是放大还是缩小.\n【变式训练】证明不等式【证明】(1)当n=1时，左边=1,右边=2，不等式成立.(2)假设当n=k(k∈N*)时，不等式成立，即那么当n=k+1时，\n方法一:分析法要证只需证∵0＜1显然成立,∴\n方法二：综合法(放缩法)\n方法三:综合法(基本不等式法)这就是说，当n=k+1时，不等式也成立.由(1)、(2)可知，原不等式对任意正整数n都成立.\n归纳—猜想—证明类问题【方法点睛】归纳—猜想—证明类问题的解题步骤(1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳—猜想—证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性，这种思维方式是推动数学研究和发展的重要方式.(2)“归纳—猜想—证明”的基本步骤是“试验—归纳—猜想—证明”.高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题.\n【例3】(2012·南京模拟)已知数列{an}满足Sn+an=2n+1.(1)写出a1,a2,a3,并推测an的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论.【解题指南】(1)利用Sn=a1+a2+…+an,且Sn+an=2n+1,代入n=1,2,3得a1,a2,a3，从而猜想an.(2)应用数学归纳法证明时，要利用n=k的假设去推证n=k+1时成立.\n【规范解答】(1)将n=1,2,3分别代入可得猜想(2)①由(1)得n=1时，命题成立；②假设n=k(k∈N*)时，命题成立，即那么当n=k+1时，a1+a2+…+ak+ak+1+ak+1=2(k+1)+1,且a1+a2+…+ak=2k+1-ak,∴2k+1-ak+2ak+1=2(k+1)+1=2k+3,\n∴即当n=k+1时，命题也成立.根据①、②得,对一切n∈N*,an=2-都成立.\n【互动探究】若本例中Sn+an=2n+1变为Sn+an=2n，其余不变，又将如何求解?【解析】(1)将n=1,2,3分别代入已知可得猜想\n(2)①当n=1时，a1=1,猜想显然成立;②假设当n=k(k≥1且k∈N*)时，猜想成立,即ak=,Sk=a1+a2+…+ak=2k-ak,那么,当n=k+1时，ak+1=Sk+1-Sk=2(k+1)-ak+1-(2k-ak),∴当n=k+1时猜想也成立.综合①、②知，当n∈N*时猜想成立.\n【反思·感悟】“归纳—猜想—证明”是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式，此种方法在解探索性问题、存在性问题时起着重要的作用，特别是在数列中求an,Sn时更是应用频繁.\n【变式备选】数列{an}中，a1=1,a2=,且求a3,a4,猜想an的表达式，并用数学归纳法证明你的猜想.【解析】因为a1=1，a2=，且所以同理可求得归纳猜想，下面用数学归纳法证明猜想正确.(1)当n=1时，易知猜想正确.\n(2)假设当n=k(k∈N*)时，猜想正确，即那么当n=k+1时，即当n=k+1时，猜想也正确.由(1)、(2)可知，猜想对任意正整数都正确.\n用数学归纳法证明整除性问题或与平面几何有关的问题【方法点睛】数学归纳法的综合应用(1)应用数学归纳法证明整除性问题主要分为两类：①是整除数，②是整除代数式.这两类证明最关键的问题是“配凑”要证的式子(或是叫做“提公因式”)，即当n=k+1时，将n=k时假设的式子提出来，再变形，可证.\n(2)应用数学归纳法证明与平面几何有关的命题，其关键是从前几项的情形中归纳出一个变化过程，用f(k+1)-f(k)就可以得到增加的部分，然后理解为何是增加的，就可以从容解题了.\n【例4】证明下列问题：(1)已知n为正整数，a∈Z,用数学归纳法证明：an+1+(a+1)2n-1能被a2+a+1整除.(2)有n个圆，任意两个都相交于两点，任意三个不交于同一点，求证：这n个圆将平面分成f(n)=n2-n+2个部分(n∈N*).【解题指南】(1)当n=k+1时，把ak+2+(a+1)2k+1提出ak+1+(a+1)2k-1的形式是解题的关键.(2)当n=k+1时，第k+1个圆与前k个圆相交，平面区域增加了2k个部分是解题的关键.\n【规范解答】(1)①当n=1时，an+1+(a+1)2n-1=a2+a+1,能被a2+a+1整除.②假设当n=k(k∈N*)时，ak+1+(a+1)2k-1能被a2+a+1整除，那么当n=k+1时，ak+2+(a+1)2k+1=(a+1)2［ak+1+(a+1)2k-1］+ak+2-ak+1(a+1)2=(a+1)2［ak+1+(a+1)2k-1］-ak+1(a2+a+1)能被a2+a+1整除,即当n=k+1时，命题也成立.根据①、②可知，对于任意n∈N*，an+1+(a+1)2n-1能被a2+a+1整除.\n(2)①当n=1时，1个圆将平面分成两部分.f(1)=2,12-1+2=2,∴n=1时，命题成立.②假设当n=k(k≥1,k∈N*)时,k个圆把平面分成f(k)=k2-k+2个部分.当n=k+1时，在k个圆的基础上再增加一个圆与原k个圆都相交，圆周被分成2k段弧，增加了2k个平面区域.∴f(k+1)=f(k)+2k=k2-k+2+2k=(k+1)2-(k+1)+2,即当n=k+1时，命题也成立.综上知，对任意n∈N*，命题都成立.\n【互动探究】将本例(2)中的圆变为直线，任意两条都相交于一点,任意三条不交于同一点,求证这n条直线将平面分成f(n)=(n2+n+2)个部分(n∈N*)，又将如何证明？【证明】(1)当n=1时，一条直线将平面分成两部分，f(1)=(1+1+2)=2，命题成立.(2)假设当n=k(k∈N*)时,命题成立，即f(k)=(k2+k+2),那么当n=k+1时，第k+1条直线被前k条直线分成(k+1)段，而每一段将它们所在区域一分为二，故增加了k+1个区域.\n即f(k+1)=f(k)+k+1=(k2+k+2)+k+1即当n=k+1时，命题也成立.由(1)、(2)可知，对任意n∈N*,都有f(n)=(n2+n+2)成立.\n【反思·感悟】1.用数学归纳法证明整除问题，P(k)⇒P(k+1)的整式变形是个难点，找出它们之间的差异，然后将P(k+1)进行分拆，配凑成P(k)的形式，也可运用结论：“P(k)能被p整除且P(k+1)-P(k)能被p整除⇒P(k+1)能被p整除.”2.证明与平面几何有关的问题，其着眼点是找规律，由前几项可找到规律，进行应用即可.\n【变式备选】用数学归纳法证明42n+1+3n+2能被13整除，其中n为正整数.【证明】(1)当n=1时，42×1+1+31+2=91能被13整除.(2)假设当n=k(k∈N*)时，42k+1+3k+2能被13整除，则当n=k+1时，方法一：42(k+1)+1+3k+3=42k+1·42+3k+2·3-42k+1·3+42k+1·3=42k+1·13+3·(42k+1+3k+2)，∵42k+1·13能被13整除，42k+1+3k+2能被13整除.∴42(k+1)+1+3k+3能被13整除.\n方法二：［42(k+1)+1+3k+3］-3(42k+1+3k+2)=(42k+1·42+3k+2·3)-3(42k+1+3k+2)=42k+1·13,∵42k+1·13能被13整除，∴［42(k+1)+1+3k+3］-3(42k+1+3k+2)能被13整除，即42(k+1)+1+3k+3能被13整除,∴当n=k+1时，命题也成立,由(1)、(2)知，对任意n∈N*，42n+1+3n+2都能被13整除.\n【满分指导】数学归纳法解题的规范解答【典例】(12分)(2012·九江模拟)设数列{an}的前n项和为Sn,并且满足(1)猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明.(2)设x>0,y>0,且x+y=1,证明：\n【解题指南】(1)将n=1,2,3代入已知等式得a1,a2,a3，从而可猜想an,并用数学归纳法证明.(2)利用分析法，结合x>0,y>0,x+y=1,利用基本不等式可证.【规范解答】(1)分别令n=1,2,3,得∵an>0,∴a1=1,a2=2,a3=3.\n猜想：an=n.……………………………………………………2分由2Sn=+n①可知，当n≥2时，2Sn-1=+(n-1)②①-②,得即……………………………………………3分(ⅰ)当n=2时，∵a2>0,∴a2=2.………………………………………………4分(ⅱ)假设当n=k(k≥2)时，ak=k,那么当n=k+1时，\n⇒［ak+1-(k+1)］［ak+1+(k-1)］=0,∵ak+1>0,k≥2,∴ak+1+(k-1)>0,∴ak+1=k+1.即当n=k+1时也成立.……………………………………6分∴an=n(n≥2).显然n=1时，也成立，故对于一切n∈N*，均有an=n.……7分\n(2)要证只要证………8分即将x+y=1代入，得即只要证即4xy≤1.…………………………………………………10分∵x>0,y>0,且x+y=1,∴即xy≤,故4xy≤1成立，所以原不等式成立.…………12分\n【阅卷人点拨】通过阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：失分警示在解答本题时有两点容易造成失分:(1)在代入n=1,2,3时，不能准确求得a1,a2,a3，从而猜想不出an.(2)证明不等式时，不会应用x+y=1这一条件代换，导致无法证明不等式成立.\n备考建议解决数学归纳法中“归纳—猜想—证明”问题及不等式证明时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：(1)归纳整理不到位得不出正确结果，从而给猜想造成困难.(2)证明n=k到n=k+1这一步时，忽略了假设条件去证明，造成不是纯正的数学归纳法.(3)不等式证明过程中，不能正确合理地运用分析法、综合法来求证.另外需要熟练掌握数学归纳法中几种常见的推证技巧，只有这样，才能快速正确地解决问题.\n1.(2012·南阳模拟)用数学归纳法证明等式1+2+3+…+(n+3)(n∈N*)时，第一步验证n=1时，左边应取的项是()(A)1(B)1+2(C)1+2+3(D)1+2+3+4【解析】选D.当n=1时，左边是1+2+3+4，是由1加到n+3，故选D.\n2.(2012·上海交大附中模拟)用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2n·1·3·…·(2n-1)，从k到k+1，左边需要增乘的代数式为()(A)2k+1(B)2(2k+1)(C)(D)【解析】选B.当n=k时，左边为(k+1)(k+2)…(k+k),而当n=k+1时，左边=(k+2)(k+3)…(k+k)(k+1+k)(k+1+k+1)=(k+2)(k+3)…(k+k)(2k+1)(2k+2)，∴左边增乘的式子为\n3.(2012·九江模拟)用数学归纳法证明34n+1+52n+1(n∈N*)能被8整除时，当n=k+1时，对于34(k+1)+1+52(k+1)+1可变形为()(A)56·34k+1+25(34k+1+52k+1)(B)34·34k+1+52·52k(C)34k+1+52k+1(D)25(34k+1+52k+1)\n【解析】选A.∵当n=k时，34k+1+52k+1能被8整除.那么当n=k+1时，34k+5+52k+3=52(34k+1+52k+1)-52·34k+1+34k+5=(34-52)·34k+1+52(34k+1+52k+1)=56·34k+1+25(34k+1+52k+1),故选A.\n4.(2012·盐城模拟)利用数学归纳法证明不等式的过程中，用n=k+1时左边的代数式减去n=k时左边的代数式的结果为_________.\n【解析】当n=k时，左边的代数式为而当n=k+1时，左边的代数式为∴相减是答案：\n\n