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- 2022-08-11 发布
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\n学点一学点二学点三学点四学点五学点六学点七\n1.一般地,函数叫做指数函数,其中x是,函数的定义域是值域是.2.函数y=ax(a>0,且a≠1),当时,在(-∞,+∞)上是增函数;当时,在(-∞,+∞)上是减函数.3.y=ax(a>0,且a≠1)的图象一定过点.当a>1时,若x>0,则y,若x<0,则y;当00,则y,若x<0,则y.4.函数y=2x-2的图象可以看成指数函数y=2x的图象向平移个单位得到的;函数y=ax-m(a>0,且a≠1,m>0)的图象可以看成指数函数y=ax的图象向平移个单位得到的;函数y=ax+m(a>0,且a≠1,m>0)的图象可以看成指数函数y=ax的图象向平移个单位得到的.y=ax(a>0,且a≠1)自变量R(0,+∞)a>101∈(0,1)∈(0,1)>1右2右m左m名师伴你行SANPINBOOK\n5.函数y=ax和y=a-x的图象关于对称;函数y=ax和y=-ax的图象关于对称;函数y=ax和y=-a-x的图象关于对称.6.当a>1时,af(x)>ag(x);当0ag(x)f(x)1时,在区间D上是函数;当0g(x)增(减)减(增)名师伴你行SANPINBOOK\n学点一基本概念指出下列函数中,哪些是指数函数:(1)y=4x;(2)y=x4;(3)y=-4x;(4)y=(-4)x;(5)y=x;(6)y=4x2;(7)y=xx;(8)y=(2a-1)x(a>,且a≠1.)【分析】根据指数函数的定义进行判断.【解析】由定义,形如y=ax(a>0,且a≠1)的函数叫指数函数.由此可以确定(1)(5)(8)是指数函数.(2)不是指数函数.(3)是-1与指数函数4x的积.名师伴你行SANPINBOOK\n(4)中底数-4<0,所以不是指数函数.(6)是二次函数,不是指数函数.(7)底数x不是常数,不是指数函数.【评析】基本初等函数:一次函数、二次函数、指数函数及后面将要学到的对数函数、幂函数,都有一定的形式,要注意定义的要求.名师伴你行SANPINBOOK\n已知指数函数y=(m2+m+1)·()x,则m=.解:∵y=(m2+m+1)·()x为指数函数,∴m2+m+1=1,即m2+m=0,∴m=0或-1.0或-1名师伴你行SANPINBOOK\n学点二函数的定义域值域求下列函数的定义域、值域:(1)y=2;(2)y=();(3)y=4x+2x+1+1;(4)y=10.【分析】由于指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的定义域是R,所以函数y=af(x)(a>0,且a≠1)与函数f(x)的定义域相同,利用指数函数的单调性求值域.名师伴你行SANPINBOOK\n【解析】(1)令x-4≠0,得x≠4.∴定义域为{x|x∈R,且x≠4}.∴≠0,∴2≠1,∴y=2的值域为{y|y>0,且y≠1}.(2)定义域为x∈R.∵|x|≥0,∴y==≥=1,故y=的值域为{y|y≥1}.(3)定义域为R.∵y=4x+2x+1+1=(2x)2+2·2x+1=(2x+1)2,且2x>0,∴y>1.故y=4x+2x+1+1的值域为{y|y>1}.名师伴你行SANPINBOOK\n【评析】求与指数函数有关的函数的值域时,要充分考虑并利用指数函数本身的要求,并利用好指数函数的单调性.如第(1)小题切记不能漏掉y>0.(4)令≥0,得≥0,解得x<-1或x≥1.故定义域为{x|x<-1或x≥1}.值域为{y|y≥0,且y≠10}.名师伴你行SANPINBOOK\n求下列函数的定义域:(1)y=2;(2)y=;(3)y=1-6.(1)要使函数有意义,必须1-x≠0,即x≠1,∴函数的定义域是{x|x∈R,且x≠1}.(2)要使函数有意义,必须-≥0,则≥2-1,∴-x2≥-1,即-1≤x≤1,∴函数的定义域是{x|-1≤x≤1}.名师伴你行SANPINBOOK\n(3)根据题意得1-6≥0,即6≤1=60.∵6>1,∴x2+x-2≤0.解得-2≤x≤1.∴函数的定义域是[-2,1].名师伴你行SANPINBOOK\n学点三比较大小比较下列各题中两个数的大小:(1)1.72.5,1.73;(2)0.8-0.1,0.8-0.2;(3)1.70.3,0.93.1.【分析】将所给指数值化归到同一指数函数,利用指数函数单调性比较大小;若不能化归为同一底数时,或求范围或找一个中间值再比较大小.名师伴你行SANPINBOOK\n【解析】(1)指数函数y=1.7x,由于底数1.7>1,∴指数函数y=1.7x在(-∞,+∞)上是增函数.∵2.5<3,∴1.72.5<1.73.(2)函数y=0.8x,由于0<0.8<1,∴指数函数y=0.8x在(-∞,+∞)上为减函数.∵-0.1>-0.2,∴0.8-0.1<0.8-0.2.(3)由指数函数的性质得1.70.3>1.70=1,0.93.1<0.90=1,∴1.70.3>0.93.1.【评析】比较大小一般用函数单调性,而比较1.70.3与0.93.1的大小,可在两数间插入1,它们都与1比较大小可得结论,注意此类题在求解时,常插入0或±1.名师伴你行SANPINBOOK\n比较下列各题中数的大小:(1)-0.8,-0.9;(2)-0.23,-0.25;(3)(3+2),(-1).(1)∵y=x在R上是减函数,又∵-0.8>-0.9,∴(2)∵-0.25=0.25,∴由y=x在R上是增函数得即.(3)∵,而y=为R上的减函数,∴.即.名师伴你行SANPINBOOK\n学点四最值问题求函数y=,x∈[-3,2]的最大值和最小值.【分析】令=t,化函数为关于t的二次函数,再求解.【解析】令=t,∵x∈[-3,2],∴t∈,∴y==t2-t+1=,当t=时,y=;当t=8时,y=57.∴函数的最大值为57,最小值为.【评析】化为二次函数,用配方法求解是一种常用的方法.名师伴你行SANPINBOOK\n已知函数y=a2x+2ax-1(a>1)在区间[-1,1]上的最大值是14,求a的值.令t=ax,∵x∈[-1,1],且a>1,∴t∈.原函数化为y=t2+2t-1=(t+1)2-2.∴单调增区间是[-1,+∞),∴当t∈时,函数单调递增,∴当t=a时,=(a+1)2-2=14,解得a=3或a=-5,又∵a>1,∴a=3.名师伴你行SANPINBOOK\n【解析】设u=-x2+3x+2=,则当x≥时,u是减函数,当x≤时,u是增函数,又当a>1时,y=au是增函数,当01时,原函数f(x)=a-x+3x+2在上是减函数,在上是增函数;当00,且a≠1,讨论f(x)=a-x+3x+2的单调性2【分析】这是一道与指数函数有关的复合函数讨论单调性题.指数-x2+3x+2=当x≥时,是减函数,x≤时,是增函数,而f(x)的单调性又与01两种范围有关,应分类讨论.名师伴你行SANPINBOOK\n【评析】一般情况下,两个函数都是增函数或都是减函数,则其复合函数是增函数;如果两个函数中一增一减,则其复合函数是减函数.但一定要注意考虑复合函数的定义域.名师伴你行SANPINBOOK\n讨论函数f(x)=的单调性,并求其值域.∵f(x)的定义域为R,令u=-x2+2x,则f(u)=.又∵u=-x2+2x=-(x-1)2+1在(-∞,1]上是增函数,即当时,有.又∵f(u)=在其定义域内为减函数,∴.∴函数f(x)在(-∞,1]上为减函数,同理可得f(x)在[1,+∞)上为增函数.又∵u=-x2+2x=-(x-1)2+1≤1,f(u)=在(-∞,1]上是减函数,∴f(u)≥.即f(x)的值域为名师伴你行SANPINBOOK\n学点六函数的图象及应用【解析】其图象是由两部分合成的,一是把y=2x的图象向右平移1个单位,在x≥1的部分,二是把的图象向右平移1个单位,在x<1的部分,对接处的公共点为(1,1),如上图.【分析】指数函数的复合函数常常由指数函数经过平移变换、对称变换、翻折变换等得到,经过这些变换其性质与图象将发生变化.画出函数的图象,并根据图象指出这个函数的一些重要性质.名师伴你行SANPINBOOK\n由图象可知函数有三个重要性质:(1)对称性:对称轴为x=1;(2)单调性:(-∞,1]上单调递减,[1,+∞)上单调递增;(3)函数的值域:[1,+∞).【评析】作较复杂函数的图象(本题称分段函数),要把各部分变换而得到一个整体,为了表示某部分是某个函数图象的一部分,常画出一些虚线进行衬托,虚线部分不是函数图象上的点,应注意区别.名师伴你行SANPINBOOK\n画出函数y=2x-1+1的图象,然后指出其单调区间及值域.先画出指数函数y=2x的图象,然后将其向右平移一个单位,再向上平移一个单位即可,由图象可看出函数的单调增区间为(-∞,+∞),函数的值域为(1,+∞).名师伴你行SANPINBOOK\n设a>0,f(x)=在R上满足f(-x)=f(x).(1)求a的值;(2)证明:f(x)在(0,+∞)上是增函数.【分析】f(-x)=f(x)说明f(x)是偶函数,由此求a;单调性只能用定义证明.【解析】(1)因为对一切x∈R有f(x)=f(-x),即,所以对一切x∈R成立.由此可得即a2=1.又因为a>0,所以a=1.学点七指数函数的综合应用名师伴你行SANPINBOOK\n【评析】指数函数的复合函数的性质是学习的重点,研究这些性质,使用的方法仍是前面学习的基本方法.(2)证明:∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.名师伴你行SANPINBOOK\n设a是实数,f(x)=a-(x∈R).(1)证明:不论a为何实数,f(x)均为增函数;(2)试确定a的值,使f(-x)+f(x)=0成立.(1)证明:设x1,x2∈R,且x10得所以f(x1)-f(x2)<0,因为此结论与a的取值无关,所以不论a为何实数,f(x)均为增函数.(2)由f(-x)+f(x)=0得得a=1.名师伴你行SANPINBOOK\n1.解题时需要注意什么问题?(1)函数y=ax的图象与性质是本学案的核心,对a>1或00,且a≠1时,函数y=ax与函数y=的图象关于y轴对称.(3)由函数y=2x,y=2x+1的图象可以看出,将函数y=2x的图象向左平移1个单位,就得到函数y=2x+1的图象.注意不要把方向搞错.(4)结合图象记忆性质,直接进行运算、判断是学习本学案应特别注意的思想方法.名师伴你行SANPINBOOK\n2.指数函数的定义中,需要注意什么?指数函数的定义中,要注意以下几点:(1)指数函数的定义是形式性的定义;(2)a,x位置易混,应牢记指数函数自变量的位置.名师伴你行SANPINBOOK\n1.掌握指数函数图象的规律,是数形结合研究指数函数有关问题的必备基础.2.当指数函数底数大于1时,图象上升,且当底数越大,图象向上越靠近于y轴,当底数大于0小于1时,图象下降,底数越小,图象向下越靠近于x轴,简称当x>0时,底大、图象高.名师伴你行SANPINBOOK\n祝同学们学习上天天有进步!\n