2018年浙江省高中数学联赛试题(含参考答案)-高中课件精选 11页

2018年浙江省高中数学联赛试题2018.4.151.已知a为正实数，且/(%)=丄-一是奇函数，则/(x)的值域为a+120182.设数歹1」匕｝满足=1,%+]=5a”+l(n=l,2,…)，则£%=/|=1A4Lcos(a+/?)=—,sin/\7ta—=—,PMcos/、0+〒)5I4丿1314丿3.已知a,0彳乎，龙4.在八个数字2,4,6,7,841,12,13中任取两个组成分数。这些分数中有个既约分数。5.已知虚数z满足z3+1=0,20186.设囲=10。若平面上点P满足，对于任意虫R,有序-谕卜3,则PAPB的最小值为,此时~PA^PB=o7.在厶ABC中,4B十4C=7,且三角形的面积为4,则sinZJ的最小值为8.设/(x)Hx+l|+|x|-|x-2|z则/(/(兀))+1=0有个不同的解。9.设XiyeR满足％-6"-4石刁+12=0,则x的取值范围为10.四面体P—ABC,PA=BC=&,PB=AC=EPC=AB=g,则该四面体外接球的半径为\n二、解答题11.（本题满分20分）已知动直线/与圆3=1相切,与椭圆討=1相交于不同的两点人B。求原点到/〃的中垂线的最大距离。12.（本题满分20分）设aeR9且对任意实数b均有maxx2+ax+/?>1,求a的xe[0J]取值范13.（本题满分20分）设实数斗,兀2,…，兀2018满足（n=l,2,・・・,20⑹和2018西009刁010=!\n12.(本题满分30分)将2n(n>2)个不同整数分成两组a〕®,…,％；勺厶,…,®。证明工”厂巧•一工(|aj-^|+|bj-bi|)>«\<.i3)格。在内环中13.(本题满分30分)如图所示将同心圆环均匀分成刀固定数字1〜料。问能否将数字1〜巾填入外环格内，使得外环旋转任意格后有且仅有一个格中内外环的数字相同？\n参考答案解由/（X）为奇函数可知+-计7厂++需亍解得a=2,即/"）=厂2。1'由此得/（X）的值域为（一**）°2.5”]5"1由％严5厲+1naw+1+-=5(%+才)na严才_才，所以茲寺+52+.."）晋春7一警譽晋。/1=1F3.,cos@+0)=4,得sin(a+0)=-右cos(a-f)=-右,所以5ajin56COS=cos(a+0)cos(a-—)4-sin(a+0)sm(a-—)=-—°4.解在7,11,13中任取一个整数与在2,4,6,8,12中任取一个整数构成既约分数，共有2C\C\=30种；在7,11,13中任取两个整数也构成既约分数，共有兀仝中。合计有36种不同的既约分数。5.解?+l=0=>(z+l)(z2-z+l)=0=>z2-z+l=0,所以\n解由AP-tAB>3可知点P到直线的距离为3。设的中点为O。由极化恒等式得用•丙=-{(PA+PB)2一(丙一两门=1{(2PO)2一102}>-{36-100}=-16。444此时西+西卜6。7.49解由AB^AC=l^ABxAC<—,又41327-ABxACsinZ\=4^sinZ\>—yAB=AC=一时取等号。2492—X—3,xW—Ix—1—1vx50解因为f(x)=\兀+1|+|兀|一|兀一2|=°：八’二由/(/(兀))+1=0得到3兀一1,0v兀<2x+3,x>2/(x)=-2,或/(兀)=0。由/(x)=-2,得一个解x=-l;由/(x)=0得两个解x=一3,兀=§，共3个解。\n解由兀-6血-4&-y+12=0=-y-2)2+(心_3丫=1。令Jx_y-2=cos/"-3=sin&=>x=(2+cos^)2+(3+sin&)，=14+>/52sin(0+0)(sin(p=命)，所以14一+10.解将四面体还原到一个长方体中，设该长方体的长、宽、高分别为a,b,c,则夕+b2=10；+，+疋=12,所以四面体外接球的半径为JJ。a2+c2=611・解依题意可设I:y=kx+m(kh0)・因为直线/与圆O相切，所以，。到直线/的距离为1,即这样的直线必与椭圆交于不同的两点期斗,必),〃(兀2，旳)，联立得(14-9k2)x2+\9>kmx+(9m2-9)=0得到X]+x2y=kx+m,X1+9y2-9=05所以力月的中点坐标为(-9kmml+9f1+9010分M的中垂线方程为八窗9km1+90，化简得兀+幼+8km1+9疋。到直线中垂线的距离心沖15分\n8km将吕严i代入心厚型，得心丿略・由均值不等式，1+%。6|乩故V1+FJl+疋]+9丁d<^,当且仅当|^|=|时取等号。所以，当\k\=^,\m\=^-时，原点到的中垂线的最大距离为扌。20分12.解1设/(x)=x2+ax+/>,对于|6|>1=>|/(0)|>1,所以只要考虑H0,此时函数/(兀)的最值在抛物线的左右端点取得，对任意|b|vl有/(l)=l+a+b>/(0)=b,所以/(l)=l+a+ft>l,解得a>\.10分(2)当0v-彳5*时，即-l\b\,m>|l+a+/?|=>2/n>|Z?|+|1+a+/>|>|1+a|依题意，>1=>a21,或a<—3o13.证明：由条件X“,X”+2同号。反证法，假设X1(x)9X10I0>1o([)若X](x)9，X]o]0冋为正数，由Xn,Xn+2冋〒可知兀],兀2,…，兀2018同〒。5分由总nx”+ivx”+2=兀]qo9v兀⑹。<兀⑹】10分XnX”+l兀1008X1009X1010=>XI009X]O1O<西011兀1008—X1011X1008>同理加=X1007兀1009.X10Q8vXI008X1007"loll■X1012X10I0X1011^=>V1012>loX10l0类似可证明:^1006X1013>1，州0()5兀1OI4>】八•、兀|X2018>1°15分2018因此口£>1,矛盾。n=\⑵若兀］009，西010同为负数，由£,£+2同号可知兀/2，・・・山20】8均为负数，仍然有疋X屁+2n汕<9,类似（1）可证得。20分\nX”x”+］14.证明令Tn=H|勺一4一X（I勺一4丨+1一一勺|）,下面用归纳法证明\^iT2=勺一坷+勺+爲+|勺一偽>2；5分当a〕>q=>T2=优一冬+。1+4>2。10分假设对正整数n成立，对正整数/?+1,不妨设兔<…<%誌vb?v…Vb杯昭vg。再设bkO；25分i=k+l(2)若％＜勺，则工肉+]-％|+工0卄|--刀％+[-％|-工肉+]-勺/=!z=l/=!/=!二£（勺一％+J>0。30分/=115.解答：设对应于内环1,2,•…，门的外环数字为人厶，…Z，它是数字1,2,•…，口的一个排列。对余=1,2,・・・/，记外环数字•在按顺时针方向转动人格时，和内环数字相同，即ik-k=jkmodnyk=1,2,-・・，n。10分\n20分30分根据题意，丿1，丿2‘…‘人应是04,2,-1的排列。求和工(L一*)三工人modn=(0+l+2+・・・+("-l))mod"=—/?(/?-1)moda?k=\k=\2于是口必须是奇数。对于奇数n,我们取in=^Jfn=n-w,(//?=1,2,•••,/?-!),可以验证ik-k=jkmodnJn=0Jt=2，Zl2=4,・・・JAl=〃一1,n2丿i=〃_2,厶_]=〃_4,厶=/?_6,・・・J三=1,~r符合题目要求!