高中数学-数列求和及数列通项公式的基本方法和技巧-高中课件精选 9页

数列求和通项分式法错位相减法反序相加法分组法分组法合并法数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础.在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位.数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧.下面，就几个历届高考数学來谈谈数列求和的基本方法和技巧.一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.1、等差数列求和公式：=+22(q=1)(QHl)na}2、等比数列求和公式:Sn={e(l-q")二®一①山、\-q\-q自然数方幕和公式:3、4、k=\=—Z2(n+l)(2n+l)65、S厂工/=［（卄1）］2A-l2［例］求和1+x2+x4+x6+•••x2n+1（X7^O）解：・・・xH0・••该数列是首项为1,公比为/的等比数列而且有n+3项当x2=1即火=±1时和为n+3评注：（1）利用等比数列求和公式.当公比是用字母表示时，应对其是否为1进行讨论，如本题若为“等比”的形式而并未指明其为等比数列，还应对x是否为0进行讨论.（2）要弄清数列共有多少项，末项不一定是笫n项.对应高考考题：设数列1，（1+2）,…，（1+2+2,+・・・2心），……的前顶和为S”，则S”的值。\n二、错位相减法求和错位相减法求和在高考中占有相当重要的位置，近几年来的高考题其中的数列方血都出了这方血的内容。需要我们的学生认真掌握好这种方法。这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列｛如・bn｝的前n项和，其中｛%｝、｛*｝分别是等差数列和等比数列.求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比9;然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和，这种方法就是错位相减法。/纫求和：=1+3x+5x2+7x3+•••+（2n-（兀鼻1）①解：由题可知,｛⑵―1）兀灯｝的通项是等差数列｛2n—l｝的通项与等比数列｛兀心｝的通项之积②（设制错位）设xSn=1兀+3x2+5x3+7x4H—+(2n-V)xn①一②得(1-x)Sn=1+2x+2/+2十+2/+…+2xn~l-(2n一l)xn(错位相减\再利用等比数列的求和公式得:(1—QS”=1+2兀・1-兀心1-x-(2n-l)y?S”(2n二1W—(2刃+1)兀”+(1+兀)(1一兀)2注意、1要考虑当公比X为值1时为特殊情况2错位相减时要注意末项此类题的特点是所求数列是rti一个等差数列与一个等比数列对应项相乘。对应高考考题：设正项等比数列｛%｝的首项a\=~9前口项和为S“，且2,0S3（）-（2,0+1）520+^=00（I）求｛勺｝的通项;（II）求｛叫｝的前n项和7；。三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个U+色）.［例1求证：q+3C：+5Cj+・・・+（2n+l）C：=（斤+1）2"证明：设S”=C》+3C：+5C；+…+（2〃+l）C；①把①式右边倒转过来得S”=（2卅+1）C；；+（2n-1）C；；_I+…+3C：+㊁（反序）又由C：=C；「可得S”=(2n+1)C：+(2n—1)C：+…+3C；J+C；；②\n（反序相加）①+②得2Sn=⑵2+2)(C：+©+•••+C；；-1+C：)=2®+1)•2"・・・S“=⑺+1）•2"四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.若数列血｝的通项公式为cn=an^bn,其中｛勺｝,彼｝中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和吋一般用分组结合法。［例1：求数列1*'2右3*,4右…的前n项和;分析：数列的通项公式为色"+*，而数列同，［*｝分别是等茅数列、等比数列，求和时一般用分组结合法；［解］:因为色”+丄，所以2片=（1+*）+（2+扣（3+》+…+（〃+*）=（1+2+3+・・・+兄）+（丄+丄+丄+・・•+丄）（分组）2482"前一个括号内是一个等比数列的和，后一个括号内是一个等差数列的和，因此-(1)旳+1)|22"n2+n12n五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列屮的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去-•些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如:(1)an=/(/?+1)-/(/?)z、sinluz八。。(2)；=tan®+l)-tanncosn°cos(/?+l)°⑶“1丄1h(h+1)nn+1"(2m-l)(2zi+1)22n-\2〃+l\n<5)a，t"/?(/?-1)(/7+2)~2[n(/2+l)~(h+1)(h+2)]例求数列血‘朮荷…'；d肩T…的鯨项和（裂项）（裂项求和）则'户忌+云石+…+扬+丄1躺设“石士亍E亦—(V2—Vl)+(V3—V2)+•••+(J斤+1—V^)小结：此类变形的待点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。注意：余下的项具有如下的特点1余下的项前后的位置前后是对称的。2余下的项前后的正负性是相反的。I练习]在数列｛%｝中，5=——+——+…+——，又仇=，求数列｛*｝的前n项的斤+1斤+1斤+1an-ati+]和.六、合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求I例1在各项均为正数的等比数列屮，若他兔=9,求log3a｝4-log3a24-•••4-log3tz10的值.解：设S“=log3ci｛+log3a2+・••+log3al（）由等比数列的性质m+n=p+q=>c#n=apaq（找特殊性质项）（合并求和）和对数的运算性质log“M+log“N=log“M•N得Sn=(logs4+log3®0)+(1。各+lo§3购)+…+(log3+'°§3%)\n=（10g3®・Q］（））+（10g3Q2・。9）+…+（1°03°54）=log39+logs9Flog39=10数列的求和方法多种多样，它在高考中的重要性也显而易见。我们的学生在学习中必须要掌握好儿种最基本的方法，在解题中才能比较容易解决数列问题。数列通项公式的十种求法一.公式法例1已知数列｛色｝满足a曲=2®+3x2Jq=2,求数列｛色｝的通项公式。二、累加法例2已知数列a｝满足％+]=陽+2^+1,吗=1,求数列a」的通项公式。例3已知数列血｝满足色+】=色+2><3"+1，q=3,求数列｛色｝的通项公式。\n例4已知数列｛色｝满足色+】=3色+2x3”+l,q=3,求数列｛匕｝的通项公式。三、累乘法例5已知数列｛%｝满足色+]=2（斤+1）5"x%,吗=3,求数列｛%｝的通项公式。例6（2004年全国I第15题，原题是填空题）已知数列｛色｝满足q=l,色=4+2冬+3冬++（77-l）6zrt_1（/?>2）,求｛a“｝的通项公式。四、待定系数法例7已知数列｛%｝满足匕屮=2色+3x5",马=6,求数列｛色｝的通项公式。\n例8已知数列｛陽｝满足陽+严3色+5x2”+4,马=1,求数列｛陽｝的通项公式。例9已知数列｛%｝满足务+]=2d”+3/?+4几+5,坷=1,求数列｛%｝的通项公式。五、对数变换法例10已知数列｛色｝满足色+|=2x3”xa：,^=7,求数列｛%｝的通项公式。六、迭代法例11已知数列｛色｝满足a^=a^,+l)2\®=5,求数列｛色｝的通项公式。\n七.数学归纳法求数列｛%｝的通项公式。例12已知数列｛色｝满足色+|8（/1+1）8"（2〃+1）2（2斤+3）219八、换元法例13已知数列｛匕｝满足色+严丄（1+4色+』+24勺）,q严1,求数列匕｝的通项公式。九.不动点法例14己知数列｛%｝满足Q心=q=4,求数列｛色｝的通项公式。7d-2例15已知数列｛色｝满足4门=—,q=2,求数列｛色｝的通项公式。2色+3九.不动点法21/7-24例14己知数列｛色｝满足0心=———,坷=4,求数列｛色｝的通项公式。4色+1\n7d-2例15已知数列｛色｝满足4门=—,q=2,求数列｛色｝的通项公式。2色+3