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- 2022-08-12 发布
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1.1.1任意角的概念\n1、角的概念初中是如何定义角的?从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形.这种概念的优点是形象、直观、容易理解,但它是从图形形状来定义角,因此角的范围是[0º,360º),这种定义称为静态定义,其弊端在于“狭隘”.\n生活中很多实例会不在该范围。体操运动员转体720º,跳水运动员向内、向外转体1080º;经过1小时,时针、分针、秒针各转了多少度?这些例子不仅不在范围[0º,360º),而且方向不同,有必要将角的概念推广到任意角,想想用什么办法才能推广到任意角?关键是用运动的观点来看待角的变化。\n2.角的概念的推广⑴“旋转”形成角一条射线由原来的位置OA,绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB,就形成角α.旋转开始时的射线OA叫做角α的始边,旋转终止的射线OB叫做角α的终边,射线的端点O叫做角α的顶点.\n⑵.“正角”与“负角”、“0º角”我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角,把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角,如图,以OA为始边的角α=210°,β=-150°,γ=660°,\n特别地,当一条射线没有作任何旋转时,我们也认为这时形成了一个角,并把这个角叫做零度角(0º).角的记法:角α或可以简记成∠α.\n⑶角的概念扩展的意义:用“旋转”定义角之后,角的范围大大地扩大了①角有正负之分;如:=210,=150,=660.②角可以任意大;实例:体操动作:旋转2周(360×2=720)3周(360×3=1080)③还有零角,一条射线,没有旋转.\n角的概念推广以后,它包括任意大小的正角、负角和零角.要注意,正角和负角是表示具有相反意义的旋转量,它的正负规定纯属于习惯,就好象与正数、负数的规定一样,零角无正负,就好象数零无正负一样.\n用旋转来描述角,需要注意三个要素(旋转中心、旋转方向和旋转量)(2)旋转方向:旋转变换的方向分为逆时针和顺时针两种,这是一对意义相反的量,根据以往的经验,我们可以把一对意义相反的量用正负数来表示,那么许多问题就可以解决了;(1)旋转中心:作为角的顶点.\n(3)旋转量:当旋转超过一周时,旋转量即超过360º,角度的绝对值可大于360º.于是就会出现720º,-540º等角度.\n3.“象限角”为了研究方便,我们往往在平面直角坐标系中来讨论角。角的顶点重合于坐标原点,角的始边重合于x轴的正半轴,这样一来,角的终边落在第几象限,我们就说这个角是第几象限的角(角的终边落在坐标轴上,则此角不属于任何一个象限)例如:30、390、330是第Ⅰ象限角,300、60是第Ⅳ象限角,585、1300是第Ⅲ象限角,135、2000是第Ⅱ象限角等\n4.终边相同的角⑴观察:390,330角,它们的终边都与30角的终边相同.⑵探究:终边相同的角都可以表示成一个0到360的角与k(k∈Z)个周角的和:390=30+360(k=1),330=30360(k=-1)30=30+0×360(k=0),1470=30+4×360(k=4)1770=305×360(k=-5)\n⑶结论:所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合:{β|β=α+k·360º}(k∈Z)即:任何一个与角终边相同的角,都可以表示成角与整数个周角的和\n⑷注意以下四点:①k∈Z;②是任意角;③k·360º与之间是“+”号,如k·360º-30º,应看成k·360º+(-30º);④终边相同的角不一定相等,但相等的角,终边一定相同,终边相同的角有无数多个,它们相差360º的整数倍.\n例1.在0º到360º范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判断它是哪个象限的角.(1)-120º;(2)640º;(3)-950º12′.解:⑴∵-120º=-360º+240º,∴240º的角与-120º的角终边相同,它是第三象限角.⑵∵640º=360º+280º,∴280º的角与640º的角终边相同,它是第四象限角.\n⑶∵-950º12’=-3×360º+129º48’,∴129º48’的角与-950º12’的角终边相同,它是第二象限角.\n例2.写出与下列各角终边相同的角的集合S,并把S中在-360º~720º间的角写出来:(1)60º;(2)-21º;(3)363º14′.解:(1)S={β|β=k·360º+60º(k∈Z)},S中在-360º~720º间的角是-1×360º+60º=-280º;0×360º+60º=60º;1×360º+60º=420º.\n(2)S={β|β=k·360º-21º(k∈Z)}S中在-360º~720º间的角是0×360º-21º=-21º;1×360º-21º=339º;2×360º-21º=699º.(3)β|β=k·360º+363º14’(k∈Z)}S中在-360º~720º间的角是-2×360º+363º14’=-356º46’;-1×360º+363º14’=3º14’;0×360º+363º14’=363º14’.\n课堂练习1.锐角是第几象限的角?第一象限的角是否都是锐角?小于90º的角是锐角吗?区间(0º,90º)内的角是锐角吗?答:锐角是第一象限角;第一象限角不一定是锐角;小于90º的角可能是零角或负角,故它不一定是锐角;区间(0º,90º)内的角是锐角.\n2.已知角的顶点与坐标系原点重合,始边落在x轴的正半轴上,作出下列各角,并指出它们是哪个象限的角?(1)420º,(2)-75º,(3)855º,(4)-510º.答:(1)第一象限角;(2)第四象限角,(3)第二象限角,(4)第三象限角.\n3、已知α,β角的终边相同,那么α-β的终边在()Ax轴的非负半轴上By轴的非负半轴上Cx轴的非正半轴上Dy轴的非正半轴上A4、终边与坐标轴重合的角的集合是()A{β|β=k·360º(k∈Z)}B{β|β=k·180º(k∈Z)}C{β|β=k·90º(k∈Z)}D{β|β=k·180º+90º(k∈Z)}C\n5、已知角2α的终边在x轴的上方,那么α是()A第一象限角B第一、二象限角C第一、三象限角D第一、四象限角C6、若α是第四象限角,则180º-α是()A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角C\n7、在直角坐标系中,若α与β终边互相垂直,那么α与β之间的关系是()A.β=α+90oBβ=α±90oCβ=k·360o+90o+α,k∈ZDβ=k·360o±90o+α,k∈ZD8、若90º<β<α<135º,则α-β的范围是__________,α+β的范围是___________;(0º,45º)(180º,270º)\n9、若β的终边与60º角的终边相同,那么在[0º,360º]范围内,终边与角的终边相同的角为______________;解:β=k·360º+60º,k∈Z.所以=k·120º+20º,k∈Z.当k=0时,得角为20º,当k=1时,得角为140º,当k=2时,得角为260º.\n