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- 2022-08-12 发布
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双曲线的几何性质陈爱民\n一、知识再现前面我们学习了椭圆的简单的几何性质： 范围、对称性、顶点、离心率.我们来共同回顾一下椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)几何性质的具体内容及其研究方法.\n椭圆标准方程x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)几何图形范围对称性顶点a、b、c的含义离心率e定义B2B1yxA2A10F1F2|x|≤a、|y|≤bx2/a2≤1、y2/b2≤1中心对称，轴对称-x代x、-y代yA1(-a,0),A2(a,0)B1(0-b),B2(0,b)分别令x=0，y=0a(长半轴长)c（半焦距长）b（短半轴长)a2=b2+c2焦距与长轴长的比e=c/a0b>0)x2/a2-y2/b2=1(a>0、b>0)几何图形范围对称性顶点a,b,c的含义离心率e的定义x2/a2≤1、y2/b2≤1-x代x、-y代y分别令x=0，y=0x≥a或x≤-a中心对称，轴对称A1(-a,0)、A2(a,0)a（实半轴长）c（半焦距长）b（虚半轴长）a2=c2-b2焦距与实轴长的比e=c/ae>1a(长半轴长)c（半焦距长）b（短半轴长)a2=b2+c2焦距与长轴长的比e=c/a00,b>0)y2/a2-x2/b2=1(a>0、b>0)几何图形范围x≥a或x≤-a对称性中心对称，轴对称顶点a、b、c的含义离心率e焦距与实轴长的比e=c/ae>1y≥a或y≤-a中心对称，轴对称A1(0,-a),A2(0,a)A1(-a,0),A2(a,0)a（实半轴长）c（半焦距长）b（虚半轴长）a2=c2-b2a（实半轴长）c（半焦距长）b（虚半轴长）a2=c2-b2焦距与实轴长的比e=c/ae>1yxoA2A1B1B2F1F2yF2A2A1B20xF1x=ax=-ay=ay=-aB1\n四、让我们来讨论双曲线的顶点就是双曲线与坐标轴的交点，你认为对吗？讨论并给出答案.yF2B1A2A1B20xF1\n五、让我们共同分析例1、求双曲线9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率.分析：①化为标准方程：y2/16-x2/9=1②确定焦点位置：在y轴上③找出a、b的值：a=4,b=3④代入关系式c2=a2+b2=25、e=c/a=5/4⑤写出结果：a=4,b=3,F1(0,5),F2(0,-5),e=5/4.\n六、练一练求下列双曲线的实半轴长和虚半轴长及顶点坐标.(1)x2-4y2=16(2)x2/49-y2/25=-1解答：（1）a=4,b=2,A1(-4,0),A2(4,0)（2）a=5,b=7,A1(0,-5),A2(0,5)请思考：如若求半焦距长和离心率呢？小结：关键在于求实半轴a的长和虚半轴b的长，然后代入关系式c2=a2+b2、e=c/a求半焦距c的长及离心率.\n七、让我们继续研究请观察双曲线的图象和矩形对角线,有何特征？双曲线x2/a2-y2/b2=1(a>0、b>0)的各支向外延伸时，与矩形的两条对角线所在的直线逐渐接近.请思考：结论正确吗?F2yB1A2A1B20xF1\n（一）、我们共同来设计一个方案：八、我们一起来证明1、由双曲线的对称性我们只需研究第一象限的情形；2、如何说明双曲线x2/a2-y2/b2=1在第一象限内与矩形的对角线所在的直线逐渐接近且不相交呢？M(x,y)Q（2）如何说明|MQ|逐渐减小且不等于0呢？0xybaLN(x,Y)（3）如何证明|MN|逐渐减小且不等于0呢？我们可用方程的思想解决：|MN|=Y-y，求出M、N点坐标即可.为此我们过点M作一条直线L与y轴平行，交矩形对角线与N点，坐标记为N（x，Y）.我们需证明N点在M点上方，即证y＜Y.又|MQ|＜|MN|，所只需证明|MN|逐渐减小且不等于0即可.（1）我们在第一象限内双曲线图象上任取一点M（x,y），过M点向矩形的对角线y=bx/a引垂线，垂足为Q点。我们只需说明|MQ|逐渐减小且不等于0即可.\n（二）、我们来证明先取双曲线在第一象限内的部分进行证明这一部分的方程可写为0xyN(x,Y)QM(x,y)\n在该式子中x(x≥a)逐渐增大时，|MN|逐渐减小且不等于0.又|MQ|＜|MN|，所以|MQ|逐渐减小且不等于0.即双曲线x2/a2-y2/b2=1在第一象限内与矩形的对角线所在的直线逐渐接近且不相交.在其它象限内，我们可类似证明.yN(x,Y)M(x,y)0xQ\n（三）、请注意：1、当焦点在y轴上时也可类似证明具有同样性质；2、我们把两条直线y=±bx/a叫做双曲线的渐近线.3、当焦点在x轴上时，方程为x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)，渐近线方程为y=±bx/a；当焦点在y轴上时，方程为y2/a2-x2/b2=1(a>0,b>0)，渐近线方程为y=±ax/b.\n九、动脑筋1、如何求双曲线的渐近线？例：求下列双曲线的渐近线（1）9y2-16x2=144；（2）9y2-16x2=-144.规律总结：（1）求矩形对角线所在的直线方程；解答：（1）y=±4x/3，（2）y=±4x/30yba（2）化成标准式后再将1换成0或直接将常数项换为0.2、双曲线与其渐近线之间是否是一对一关系？例：当渐近线方程为y=±bx/a时，双曲线的标准方程一定是x2/a2-y2/b2=1吗？为什么？xy=bx/ay=-bx/a\n3、类比作椭圆的简图,如何较规范地作出双曲线的图形？例：画出下列双曲线的图形（1）9y2-16x2=144；（2）x2-y2=4.注:实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.0yxM-334-4\n十、让我们来共同回顾本节课我们共同学习了那些内容：\n椭圆双曲线标准方程x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)x2/a2-y2/b2=1(a>0、b>0)几何图形范围|x|≤a、|y|≤bx≥a或x≤-a对称性中心对称，轴对称中心对称，轴对称顶点A1(-a,0),A2(a,0)B1(0-b),B2(0,b)A1(-a,0)、A2(a,0)a,b,c的含义a(长半轴长)c（半焦距长）b（短半轴长）a2=b2+c2a（实半轴长）c（半焦距长）b（虚半轴长）a2=c2-b2离心率e定义焦距与长轴长的比e=c/a01B2B1yxA2A10F1F2yF2B1A2A1B20xF1X=aX=-a\n标准方程x2/a2-2/b2=1(a>0,b>0)y2/a2-x2/b2=1(a>0、b>0)几何图形范围x≥a或x≤-ay≥a或y≤-a对称性中心对称，轴对称中心对称，轴对称顶点A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)a、b、c的含义a（实半轴长）c（半焦距）b（虚半轴长）a2=c2-b2a（实半轴长）c（半焦距长）b（虚半轴长）a2=c2-b2离心率e焦距与实轴长的比e=c/ae>1焦距与实轴长的比e=c/ae>1yF2B1A2A1B20xF1X=aX=-ayxoA2A1B1B2F1F2\n双曲线的渐近线yF2yxoA2A1B1B2F1F2当焦点在x轴上时，方程为x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)，渐近线方程为y=±bx/a；当焦点在y轴上时，方程为y2/a2-x2/b2=1(a>0,b>0)，渐近线方程为y=±ax/b.B1A2A1B20xF1X=aX=-a\n1、离心率e的变化对双曲线图形有何影响？ 如何解释？十一、课后请你思考题0ybaF1CF2\nx0ye1e2e3e42、如图，双曲线和椭圆的离心率分别为e1、e2、e3、e4,试比较e1、e2、e3、e4的大小.\n再见!\n
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