【数学】高中数学精品课件函数的单调性 6页

___________________.第三节函数的单调性215．有下列几个命题：①函数y=2x+x+1在（0，＋∞）上不是增函数；②函数y=在（－x1【热点聚焦】2∞，－1）∪（－1，＋∞）上是减函数；③函数y=54xx的单调区间是［－2，+∞）；④函数的单调性是函数的核心内容，也是高考重点考查的知识，主要包括对函数单调性定义的考查，对函数图象的考查，对复合函数单调性和对数函数的单调性的综合应用的考查等等。已知f（x）在R上是增函数，若a+b＞0，则有f（a）+f（b）＞f（－a）+f（－b）.其中正确命题的序号是___________________.【基础知识】【例题精析】1.增函数、减函数的定义一般地，对于给定区间上的函数f（x），如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x1、21【例1】如果二次函数f（x）=x－（a－1）x+5在区间（，1）上是增函数，求f（2）的取值x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2）〔或都有f（x1）＞f（x2）〕，那么就说f（x）在这个区间上2是增函数（或减函数）.范围.2如果函数y=f（x）在某个区间上是增函数（或减函数），就说f（x）在这一区间上具有（严【剖析】由于f（2）=2－（a－1）×2+5=－2a+11，求f（2）的取值范围就是求一次函数y=－格的）单调性，这一区间叫做f（x）的单调区间.如函数是增函数则称区间为增区间，如函数为减2a+11的值域，当然就应先求其定义域.函数则称区间为减区间.2.函数单调性可以从三个方面理解（1）图形刻画：对于给定区间上的函数f（x），函数图象如从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增，函数图象如从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减.（2）定性刻画：对于给定区间上的函数f（x），如函数值随自变量的增大而增大，则称函数在该区间上单调递增，如函数值随自变量的增大而减小，则称函数在该区间上单调递减.（3）定量刻画，即定义.上述三方面是我们研究函数单调性的基本途径.3.讨论复合函数单调性的根据：设y=f（u），u=g（x），x∈［a，b］，u∈［m，n］都是单调函数，1【例2】（广东，19）设函数f（x）=|1－|（x＞0），证明：当0＜a＜b，且f（a）=f（b）时，则y=f［g（x）］在［a，b］上也是单调函数.x（1）若y=f（u）是［m，n］上的增函数，则y=f［g（x）］与u=g（x）的增减性相同；ab＞1.（2）若y=f（u）是［m，n］上的减函数，则y=f［g（x）］的增减性与u=g（x）的增减性相反.111212【剖析一】f（a）=f（b）|1－|=|1－|（1－）=（1－）2ab=a+b≥2abab＞1.abab【课前训练】11x1,0(],1．(湖南卷）“a=1”是“函数fx()|xa|在区间[1,+∞)上为增函数”的()x【剖析二】f（x）=A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件11x,1().22．（陕西卷）已知函数fx()ax2ax4(0a3),若x1xx2,1x21a,则（）xA.fx()1fx()2B.fx()1fx(2)C.fx()1fx(2)D.fx()1与fx(2)的大小不能确定x3．（天津卷）已知函数yf(x)的图象与函数ya（a0且a1）的图象关于直线yx1对称，记g(x)f(x)[f(x)2f)2(]1．若yg(x)在区间[]2,上是增函数，则实数a的取2值范围是（）11A．,2[)B．)1,0()2,1(C．[)1,D．,0(]222【评注】证法一、证法二是去绝对值符号的两种基本方法.4．如果函数f（x）=x+2（a－1）x+2在区间（－∞，4］上是减函数，那么实数a的取值范围是精品学习资料可选择pdf第1页，共6页-----------------------\n21【例5】（上海春卷）设函数f(x)x4x5.【例3】求函数y=x+的单调区间.x（1）在区间[,2]6上画出函数f(x)的图像；【剖析】求函数的单调区间（亦即判断函数的单调性），一般有三种方法：（1）图象法；（2）定（2）设集合Axf(x)5,B(,2][,0]4[,6).试判断集合A和B之间的1义法；（3）利用已知函数的单调性.但本题图象不易作，利用y=x与y=的单调性（一增一减）关系，并给出证明；x也难以确定，故只有用单调性定义来确定，即判断f（x2）－f（x1）的正负.（3）当k2时，求证：在区间[,15]上，ykx3k的图像位于函数f(x)图像的上方.【评述】解答本题易出现以下错误结论：f（x）在（－1，0）∪（0，1）上是减函数，在（－∞，－1）∪（1，+∞）上是增函数，或说f（x）在（－∞，0）∪（0，+∞）上是单调函数.排除障碍的关键是要正确理解函数的单调性概念：函数的单调性是对某个区间而言的，而不是两个或两个以上不相交区间的并.2【例6】（江苏卷）设a为实数，记函数f(x)a1x1x1x的最大值为g(a)。【例4】定义在R上的函数y=f（x），f（0）≠0，当x＞0时，f（x）＞1，且对任意的a、b∈R，（Ⅰ）设t＝1x1x，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数m(t)有f（a+b）=f（a）·f（b）.（Ⅱ）求g(a)（1）求证：f（0）=1；（2）求证：对任意的x∈R，恒有f（x）＞0；12（Ⅲ）试求满足g(a)g()的所有实数a（3）求证：f（x）是R上的增函数；（4）若f（x）·f（2x－x）＞1，求x的取值范围.a【评述】解本题的关键是灵活应用题目条件，尤其是（3）中“f（x2）=f［（x2－x1）+x1］”是证【点评】本题主要考查函数、方程等基本知识，考查分类讨论的数学思想方法和综合运用数学知明单调性的关键，这里体现了向条件化归的策略.识分析问题和解决问题的能力精品学习资料可选择pdf第2页，共6页-----------------------\n【针对训练】1．下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是22A.y=－x+1B.y=xC.y=x－4x+5D.y=xx2．（湖北）函数f（x）=a+loga（x+1）在［0，1］上的最大值与最小值的和为a，则a的值为()11A.B.C.2D.4423．（2003北京春，文8）函数f（x）=|x|和g（x）=x（2－x）的递增区间依次是（）A.（－∞，0]，（－∞，1]B.（－∞，0]，［1，+∞)C.［0，+∞)，（－∞，1]D.［0，+∞），［1，+∞）x22e24．已知函数fx()82xx，如果gx()f(2x)，那么gx()（）10．（北京西城区模拟题）设a∈R，函数f（x）=（ax+a+1），其中e是自然对数的底数.2A．在区间（－2,0）上是增函数B．在区间（0,2）上是增函数（1）判断f（x）在R上的单调性；C．在区间（－1,0）上是增函数D．在区间（0,1）上是增函数（2）当－1＜a＜0时，求f（x）在［1，2］上的最小值.(3a1)x4,ax15．（北京卷）已知fx()是(,)上的减函数，那么a的取值范围是logaxx,1()1111A.(0,1)B.(0,)C.[,)D.[,1)3737x6．（湖北省荆州市高中毕业班质量检查题）函数y=f（x）的图象与y=2的图象关于直线y=x对2称，则函数y=f（4x－x）的递增区间是___________________.7．函数y=loga（2－ax）在［0，1］上是减函数，则a的取值范围是。8．设f（x）、g（x）都是单调函数，有如下四个命题：①若f（x）单调递增，g（x）单调递增，则f（x）－g（x）单调递增；②若f（x）单调递增，g（x）单调递减，则f（x）－g（x）单调递增；③若f（x）单调递减，g（x）单调递增，则f（x）－g（x）单调递减；④若f（x）单调递减，g（x）单调递减，则f（x）－g（x）单调递减.其中，正确的命题是1119．（重庆市高三毕业班诊断性试题）已知函数f（x）=m（x+）的图象与函数h（x）=（x+）x4x+2的图象关于点A（0，1）对称.（1）求m的值；第三节参考答案a【课前训练】（2）若g（x）=f（x）+在区间（0，2］上为减函数，求实数a的取值范围.4x1．A2．A3．D4．答案：a≤－3解析：对称轴x=1－a，由1－a≥4，得a≤－3.25．答案：④解析：①函数y=2x+x+1在（0，+∞）上是增函数，∴①错；②虽然（－∞，精品学习资料可选择pdf第3页，共6页-----------------------\n1个以上不相交区间的并.－1）、（－1，＋∞）都是y=的单调减区间，但求并集以后就不再符合减函数定义，∴②错；2x1【例4】（1）证明：令a=b=0，则f（0）=f（0）.又f（0）≠0，∴f（0）=1.（2）证明：当x＜0时，－x＞0，∴f（0）=f（x）·f（－x）=1.22③要研究函数y=54xx的单调区间，首先被开方数5+4x－x≥0，解得－1≤x≤5，由于［－12，+∞）不是上述区间的子区间，∴③错；④∵f（x）在R上是增函数，且a＞－b，∴b＞－a，∴f（－x）=＞0.又x≥0时f（x）≥1＞0，∴x∈R时，恒有f（x）＞0.f(x)f（a）＞f（－b），f（b）＞f（－a），f（a）+f（b）＞f（－a）+f（－b），因此④是正确的.【例题精析】（3）证明：设x1＜x2，则x2－x1＞0.∴f（x2）=f（x2－x1+x1）=f（x2－x1）·f（x1）.1∵x2－x1＞0，∴f（x2－x1）＞1.【例1】解二次函数f（x）在区间（，1）上是增函数，由于其图象（抛物线）开口向上，故2又f（x1）＞0，∴f（x2－x1）·f（x1）＞f（x1）.∴f（x2）＞f（x1）.∴f（x）是R上的增函数.22a111a11（4）解：由f（x）·f（2x－x）＞1，f（0）=1得f（3x－x）＞f（0）.又f（x）是R上的增其对称轴x=或与直线x=重合或位于直线x=的左侧，于是≤，解之得a≤2，故222222函数，∴3x－x＞0.∴0＜x＜3.f（2）≥－2×2+11=7，即f（2）≥7【例5】解：（1）【例2】证明：f（x）在（0，1］上是减函数，在（1，+∞）上是增函数.由0＜a＜b且f（a）=1111f（b），得0＜a＜1＜b且－1=1－，即+=2a+b=2ab≥2abab＞1.abab【例3】解：首先确定定义域：{x|x≠0}，∴在（－∞，0）和（0，+∞）两个区间上分别讨论.11x1x2任取x1、x2∈（0，+∞）且x1＜x2，则f（x2）－f（x1）=x2+－x1－=（x2－x1）+=x2x1x1x211（x2－x1）（1－），要确定此式的正负只要确定1－的正负即可.（2）方程f(x)5的解分别是214,,04和214，由于f(x)在(,]1和x1x2x1x2[,2]5上单调递减，在[,1]2和[,5)上单调递增，因此A,214[,0]4214,.1这样，又需要判断大于1，还是小于1.由于x1、x2的任意性，考虑到要将（0，+∞）分xx由于214,6214,2BA.122（3）[解法一]当x[,1]5时，f(x)x4x5.为（0，1）与（1，+∞）（这是本题的关键）.22224kk20k36g(x)k(x)3(x4x)5x(k)4x3(k)5x，124（1）当x1、x2∈（0，1）时，1－＜0，x1x24kk,21.又1x5，2∴f（x2）－f（x1）＜0，为减函数.4k4k①当11，即2k6时，取x，122（2）当x1、x2∈（1，+∞）时，1－＞0，2x1x2k20k3612g(x)mink1064.44∴f（x2）－f（x1）＞0，为增函数.2216(k10)64,(k10)640，则g(x)min0.同理可求（3）当x1、x2∈（－1，0）时，为减函数；（4）当x1、x2∈（－∞，－1）时，为4k增函数.②当1，即k6时，取x1，g(x)min＝2k0.2评述：解答本题易出现以下错误结论：f（x）在（－1，0）∪（0，1）上是减函数，在（－∞，由①、②可知，当k2时，g(x)0，x[,1]5.－1）∪（1，+∞）上是增函数，或说f（x）在（－∞，0）∪（0，+∞）上是单调函数.排除障因此，在区间[,15]上，yk(x)3的图像位于函数f(x)图像的上方.碍的关键是要正确理解函数的单调性概念：函数的单调性是对某个区间而言的，而不是两个或两2[解法二]当x[,1]5时，f(x)x4x5.精品学习资料可选择pdf第4页，共6页-----------------------\nyk(x3),22112121由2得x(k)4x3(k)50，当a时，a[,)，(]1,，∴a，yx4x,522222a22a2令(k)43(4k)50，解得k2或k18，112g(a)a2(a)()2，故当a时，g(a)2；在区间[,1]5上，当k2时，y(2x)3的图像与函数f(x)的图像只交于一点,1(8)；当2a2a2k18时，y18x()3的图像与函数f(x)的图像没有交点.111当a0时，0，由g(a)g()知：a22，故a1；如图可知，由于直线yk(x)3过点(,30)，当k2时，直线yk(x)3是由直线aaay(2x)3绕点(,3)0逆时针方向旋转得到.因此，在区间[,15]上，yk(x)3的图111当a0时，a1，故a1或1，从而有g(a)2或g()2，像位于函数f(x)图像的上方.aaa【例6】解：（I）∵t1x1x，12122要使g(a)g()，必须有a，，即2a，∴要使t有意义，必须1x0且1x0，即1x1a2a2222∵t221x]4,2[，且t0⋯⋯①∴t的取值范围是[]2,2。1此时，g(a)2g()。2121212a由①得：1xt1，∴m(t)a(t)1tatta，t[]2,2。22212综上所述，满足g(a)g()的所有实数a为：2a或a1。12a2（II）由题意知g(a)即为函数m(t)atta，t[]2,2的最大值，2【针对训练】1121．答案：B∵直线t是抛物线m(t)atta的对称轴，∴可分以下几种情况进行讨论：a22.解析：f（x）是［0，1］上的增函数或减函数，故f（0）+f（1）=a，即1+a+loga2=aloga2=（1）当a0时，函数ym(t)，t[]2,2的图象是开口向上的抛物线的一段，－11－1，∴2=aa=.答案：B12由t0知m(t)在t[]2,2上单调递增，故g(a)m)2(a2；22a3.解析：首先作出函数y=|x|与g（x）=x（2－x）=－x+2x=－（x－1）+1的图象（如图）利用（2）当a0时，m)(tt，t[]2,2，有g(a)=2；图象分别确定其单调区间.y=|x|的增区间为［0，+∞),y=x（2－x）单调增区间为（－∞,1].选C.（3）当a0时，，函数ym(t)，t[]2,2的图象是开口向下的抛物线的一段，12若t,0(]2即a时，g(a)m()22，a212111若t(]2,2即a(,]时，g(a)m()a，a22a2a11（1）（2）若t,2()即a()0,时，g(a)m)2(a2。a2评述：该题侧重考查考生“化生为熟”的识别能力以及对问题的转化能力.1222222a2(a)4．解：fx()82xx(x1)9，gx()f(2x)(x1)9.2121222综上所述，有g(a)=a(,a)。令tx，则函数gx()可看作是由函数ft()(t1)9与tx复合而成的。2a222222(a)当x(1,0)时，函数tx是减函数，且当x(0,1)时，函数ft()(t1)9是增函数，213（III）当a时，g(a)a22；从而gx()是减函数，选C。225．Cx226．解析：先求y=2的反函数，为y=log2x，∴f（x）=log2x，f（4x－x）=log2（4x－x）.令u=4x精品学习资料可选择pdf第5页，共6页-----------------------\n222－x，则u＞0，即4x－x＞0.∴x∈（0，4）.又∵u=－x+4x的对称轴为x=2，且对数的底为2＞1，aaaaaa2当a＜0时，g（x）=0有两个根x1，2=，并且＜，所以在区间（－∴y=f（4x－x）的递增区间为（0，2）.答案：（0，2）aaa7．解析：题中隐含a＞0，∴2－ax在［0，1］上是减函数.∴y=logau应为增函数，且u=aa∞，）上，g（x）＞0，即f（x）＞0，f（x）在此区间上是增函数；aa,12－ax在［0，1］上应恒大于零.∴∴1＜a＜2.aaaa2a.0在区间（，）上，g（x）＜0，即f（x）＜0，f（x）在此区间上是减函aa8．解析：在共同定义域上任取x1＜x2，当f（x）是单调递增，则f（x1）－f（x2）＜0，数.g（x）是单调递减，g（x1）－g（x2）＞0，∴F（x）＝f（x）－g（x）aa在区间（，+∞）上，g（x）＞0，即f（x）＞0，f（x）在此区间上是增函数.F（x1）－F（x2）=f（x1）－f（x2）+g（x2）－g（x1）＜0a∴在共同定义域上是单调递增，同理可得当f（x）是单调递减，g（x）是单调递增时，F（x）综上，当a≥0时，f（x）在R上是减函数；=f（x）－g（x）是单调递减．∴②③正确,aaaaaa当a＜0时，f（x）在（－∞，）上单调递增，在（，）上单调9．解：（1）设P（x，y）为函数h（x）图象上一点，点P关于A的对称点为Q（x′，y′），aaa则有x′=－x，且y′=2－y.aa递减，在（，+∞）上单调递增.1a∵点Q（x′，y′）在f（x）=m（x+）上，xaaaaa11（2）当－1＜a＜0时，=1+＜1，=1+＞2，所以在区间［1，∴y′=m（x′+）.aaaax15a1将x、y代入，得2－y=m（－x－）.2］上，函数f（x）单调递减.所以函数f（x）在区间［1，2］上的最小值为f（2）=.2x2e11【评述】函数的最值和函数的单调性有紧密联系.判断较复杂函数的单调性，利用导函数的符号是整理，得y=m（x+）+2.∴m=.x4基本方法.11a（2）∵g（x）=（x+），设x1、x2∈（0，2］，且x1＜x2，4x1x1x21(a)则g（x1）－g（x2）=（x1－x2）·＞0对一切x1、x2∈（0，2］恒成立.4x1x2∴x1x2－（1+a）＜0对一切x1、x2∈（0，2］恒成立.∴由1+a＞x1x2≥4，得a＞3.1－x21－x10．解：（1）由已知f（x）=－e（ax+a+1）+e·2ax221－x2=e（－ax+2ax－a－1）.21－x2因为e＞0，以下讨论函数g（x）=－ax+2ax－a－1值的情况：2当a=0时，g（x）=－1＜0，即f（x）＜0，所以f（x）在R上是减函数.22当a＞0时，g（x）=0的判别式Δ=4a－4（a+a）=－4a＜0，所以g（x）＜0，即f（x）＜0，所以f（x）在R上是减函数.精品学习资料可选择pdf第6页，共6页-----------------------