高中数学：数列的概念与表示ppt课件 51页

高考资讯\n数列是高中数学的重要内容，在历年的高考题中占有较大比重，数列与函数、方程、不等式、几何等知识的联系十分密切．数列中的递推思想、函数思想、分类讨论思想以及数列求和、求通项公式中的各种方法与技巧，在中学数学中都有十分重要地位，涉及数列的应用问题及探索性问题都可成为命题的方向．这一部分主要考查学生的运算能力、逻辑思维能力及分析解决问题能力．\n主要命题热点：1．an与Sn的关系2．等差、等比数列的定义、通项公式以及等差、等比数列的性质、求和公式．3．简单的递推数列及归纳、猜想、证明问题．4．数列与函数、方程、不等式、三角、解几综合问题．5．数列应用题．6．探索性问题．\n1．数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决．如通项公式、前n项和公式等．2．运用方程的思想解等差(比)数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量a1、d(或q)，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算．\n3．分类讨论的思想在本章尤为突出．学习时考虑问题要全面，如等比数列求和要注意q＝1和q≠1两种情况等等．4．等价转化在数列中的应用．如an与Sn的转化，将一些数列转化成等差(比)数列来解决等．复习时要及时总结归纳．5．深刻理解等差(比)数列的定义，能正确使用定义和等差(比)数列的性质是学好本章的关键．\n6．解题要善于总结基本数学方法．如类比法、错位相减法、待定系数法、归纳法、数列结合法，养成良好的学习习惯，定能达到事半功倍的效果．\n\n考纲要求1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．2．了解数列是自变量为正整数的一类函数．热点提示1.从近几年的高考试题来看，数列的概念、递推公式、通项公式及前n项和公式成为高考热点，在选择题、填空题、解答题中都有可能出现．2．本节知识的考查往往和其他知识相联系，若与函数、不等式等相结合，也有可能出现难度较大的试题.2011年仍会考查.\n1．数列的定义数列是的一列数，从函数观点看，数列是定义域为的函数f(n)，当自变量n从1开始依次取正整数时所对应的．按一定次序排成正整数集(或它的有限子集)一列函数值\n数列是否可以看作一个函数，若是，则其定义域是什么？提示：可以看作一个函数，其定义域是正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})，可表示为an＝f(n).\n2．数列的通项公式一个数列{an}的第n项an与之间的函数关系，如果可以用一个公式来表示，我们把这个公式叫做这个数列的通项公式．项数an＝f(n)an＝f(n)\n3．数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数.无穷数列项数.按项与项间的大小关系分类递增数列an＋1an其中n∈N*递减数列an＋1an常数列an＋1＝an有限无限><\n4.数列的表示方法数列的表示方法有．列举法、公式法、图表法\n\n答案：C\n答案：B\n3．设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则通项an＝________.解析：由an＋1－an＝n＋1，可得当n≥2时，a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n.以上n－1个式子左右两边分别相加，得\n\n4．数列{an}中，a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an(n∈N*)，则a2009＝________.解析：a3＝a2－a1＝4，a4＝a3－a2＝4－5＝－1，a5＝a4－a3＝－1－4＝－5，a6＝a5－a4＝－5－(－1)＝－4，a7＝a6－a5＝－4－(－5)＝1，a8＝a7－a6＝1－(－4)＝5.∴数列{an}为周期数列，6为一个周期．∴a2009＝a5＝－5.答案：－5\n5．数列{an}的前n项和Sn＝1＋2an，求其通项公式an.解法一：∵Sn＝1＋2an，①∴Sn＋1＝1＋2an＋1.②由②－①得Sn＋1－Sn＝2(an＋1－an)，即an＋1＝2an＋1－2an(n≥1)，∴an＋1＝2an(n≥1)，∴an＝a1·2n－1(n≥1)．而S1＝a1＝1＋2a1，∴a1＝－1，∴an＝－2n－1(n≥2)．又当n＝1时适合上式，∴an＝－2n－1.\n解法二：∵an＝Sn－Sn－1(n≥2)，由Sn＝1＋2an得Sn＝1＋2(Sn－Sn－1)(n≥2)，∴Sn－1＝2(Sn－1－1)(n≥2)．∴{Sn－1}成等比数列，Sn－1＝(S1－1)·2n－1＝－2·2n－1，∴Sn＝－2n＋1(n∈Z*)，即1＋2an＝－2n＋1.∴an＝－2n－1.\n\n思路分析：(1)分子是正偶数数列，分母是分子的平方减去1；(2)将分母统一化为2，分子是正整数的平方，并且各项是正负相间的．\n\n(1)根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，可使用添项、还原、分割等方法，转化为一些常见数列的通项公式来求；(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴涵着“从特殊到一般”的思想，得出的结论不一定可靠，在解答题中一般应用数学归纳法进行证明.\n\n\n\n\n解：(1)由an＋1＝an＋2n－1，得an＋1－an＝2n－1，当n≥2时，a2－a1＝2×1－1，a3－a2＝2×2－1，a4－a3＝2×3－1，…an－an－1＝2×(n－1)－1.\n将n－1个式子左右两边分别相加，得an－a1＝2×[1＋2＋3＋…＋(n－1)]－(n－1)＝2×－n＋1＝n2－2n＋1，∴an＝n2－2n＋1＋a1＝n2－2n＋1.又n＝1时，a1＝0适合上式，∴an＝n2－2n＋1(n∈N*)．\n\n\n(1)递推公式形如an＋1－an＝f(n)(n∈N*)的数列求通项常用叠加法；递推公式形如an＋1＝f(n)·an(n∈N*)的数列求通项常用叠乘法，用这两种方法求通项时，需分为n≥2及n＝1两个步骤．(2)形如an＋1＝pan＋q(其中p，q为非零的常数，且p≠1)的递推公式求通项常用构造法，基本思路是：设an＋1＋α＝p(an＋α)，其中α＝，构造一个等比数列，利用等比数列的通项公式求通项.\n\n\n\n\n答案：A\n由于数列可以视为一种特殊的函数，所以在研究数列问题时，可以借助研究函数的许多方法进行求解．本题正是利用了换元的思想，将数列的项的最值问题转化为二次函数的最值问题，但必须注意的是，数列中的项，即n的值只能取正整数，从而换元后变量t的取值范围也相应地被限制.\n变式迁移3(2009·北京卷)已知数列{an}满足：a4n－3＝1，a4n－1＝0，a2n＝an，n∈N*，则a2009＝________；a2014＝________.解析：由题设条件，得a2009＝a503×4－3＝1，a2014＝a1007×2＝a1007＝a252×4－1＝0.故填1；0.答案：1　0\n【例4】(2009·湖北卷)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：图甲图乙\n他们研究过上图甲中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图乙中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是(　　)A．289B．1024C．1225D．1378思路分析：由于命题只是要求从选项中选出既是三角形数又是正方形数的选项，所以首先应从选项中找到完全平方数，再检验它们是否满足三角形数即可．\n\n本题源于数学史料，其背景是古希腊毕达哥拉斯学派研究的多边形数及日本数学家提出的“角谷猜想”，本题既考查了考生的直觉观察能力，正确的运算能力，又彰显了数学文化，渗透了新课标的理念．另外，对于三角形数1,3,6,10，…的探究，可以从人教版数学第三册(选修Ⅱ)第二章“研究性学习课题：杨辉三角”中对杨辉三角的研究中得到启示.\n变式迁移4下图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第n个图案中需用黑色瓷砖块数为(用含n的代数式表示)A．4nB．4n＋1C．4n－3D．4n＋8\n解析：第(1)、(2)、(3)…个图案黑色瓷砖数依次为：15－3＝12；24－8＝16；35－15＝20；….由此可猜测第(n)个图案黑色瓷砖数为：12＋(n－1)×4＝4n＋8.答案：D\n1．由数列的前几项归纳出其通项公式据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征；(4)各项符号特征和绝对值特征，并对此进行归纳、化归、联想．\n\n3．由递推公式求数列的项或通项递推公式是给出数列的一种方式．由递推公式求通项常见类型有叠加法、叠乘法、构造法(构造等差或等比数列)，若由上述方法不能求解，需看数列是否具有周期性，或者由归纳法求通项(解答题中应用数学归纳法进行证明)．4．数列是一种特殊的函数，要学会用函数的方法研究数列，但数列又不完全等同于一个函数，应注意它们的区别．\n5．若数列{an}是递增数列，则an＋1>an；数列{an}是递减数列，则an＋1