高中数学-导数及其应用课件复习讲解学习 45页

导数及其应用1.导数的概念(1)(2)(3)f′(x0)与f′(x)的关系.2.导数的几何意义(1)函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)就是曲线y=f(x)在点（x0,f(x0)）处的切线的斜率.即k=f′(x0).(2)曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).(3)导数的物理意义：s(t)=v(t),v(t)=a(t).\n3.基本初等函数的导数公式和运算法则（1）基本初等函数的导数公式回顾\n（2）导数的四则运算法则①［u(x)±v(x)］′=u′(x)±v′(x).②［u(x)v(x)］′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x).③(3)复合函数求导复合函数y=f(g(x))的导数和y=f(u),u=g(x)的导数之间的关系为yx′=f′(u)g′(x).4.函数的性质与导数（1）在区间(a,b)内，如果f′(x)>0，那么函数f(x)在区间（a,b）上单调递增.在区间（a,b）内，如果f′(x)<0，那么函数f(x)在区间（a,b）上单调递减.\n（2）求极值的步骤①先求定义域再求f′(x)；②求f′(x)=0的根；③判定根两侧导数的符号；④下结论.（3）求函数f(x)在区间［a,b］上的最大值与最小值的步骤①求f′(x)；②求f′(x)=0的根（注意取舍）；③求出各极值及区间端点处的函数值；④比较其大小，得结论（最大的就是最大值，最小的就是最小值）.\n一、导数几何意义的应用例1（2008·海南理，21）设函数（a,b∈Z），曲线y=f(x)在点（2，f（2））处的切线方程为y=3.（1）求f（x）的解析式；（2）证明：函数y=f（x）的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；（3）证明：曲线y=f(x)上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值，并求出此定值.\n思维启迪(1)先求f′(x).再由f′(2)=0,f(2)=3.解得a,b.(2)利用图象的对称和平移变换求解.(3)先求过曲线上任一点（x0,y0）的切线方程，然后将面积用点（x0,y0）坐标表示，再用上点（x0,y0）在f(x)上即得证.（1）解因为a,b∈Z，故\n(2)证明已知函数y1=x,都是奇函数,所以函数也是奇函数,其图象是以原点为中心的中心对称图形.而可知,函数g(x)的图象按向量a=(1,1)平移,即得到函数f(x)的图象,故函数f(x)的图象是以点(1,1)为中心的中心对称图形.(3)证明在曲线上任取一点由知,过此点的切线方程为\n令x=1,得切线与直线x=1的交点为令y=x,得y=2x0-1,切线与直线y=x的交点为(2x0-1,2x0-1);直线x=1与直线y=x的交点为(1,1),从而所围三角形的面积为所以,所围三角形的面积为定值2.\n探究提高求曲线切线方程的步骤是：（1）求出函数y=f(x)在点x=x0的导数，即曲线y=f(x)在点P（x0,f(x0)）处切线的斜率；（2）在已知切点坐标P（x0,f(x0)）和切线斜率的条件下，求得切线方程为y-y0=f′(x0)·(x-x0).注意：①当曲线y=f(x)在点P（x0,f(x0)）处的切线平行于y轴（此时导数不存在）时，由切线定义可知，切线方程为x=x0；②当不知道切点坐标时，应首先设出切点坐标，再求解.\n变式训练1（2009·启东模拟）已知函数f（x）的图象在点M（-1，f（-1））处的切线方程为x+2y+5=0.（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）求函数y=f（x）的单调区间.解（1）由函数f（x）的图象在点M（-1，f（-1））处的切线方程为x+2y+5=0，知-1+2f（-1）+5=0，即f（-1）=-2，\n解得a=2，b=3或a=-6，b=-1,∵b+1≠0，∴b=-1舍去.所以所求的函数解析式是（2）令-2x2+12x+6=0，解得x1=3-，x2=3+.当x＜3-，或x＞3+时，f′（x）＜0；当3-＜x＜3+时，f′（x）＞0.\n所以在（-∞，3-）内是减函数，在（3-，3+）内是增函数，在（3+，+∞）内是减函数.所以f(x)的单调递增区间是（3-，3+），单调递减区间是（-∞,3-）和（3+,+∞）.\n二、利用导数研究函数的单调性例2（2009·陕西文，20）已知函数f(x)=x3-3ax-1,a≠0.(1)求f(x)的单调区间；（2）若f(x)在x=-1处取得极值，直线y=m与y=f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围.解（1）f′(x)=3x2-3a=3(x2-a).当a<0时，对任意的x∈R,有f′(x)>0,∴当a<0时，f(x)的单调增区间为（-∞,+∞）;当a>0时，由f′(x)>0解得x<-,或x>,由f′(x)<0,解得-0时,f(x)的单调增区间为(-∞,),(,+∞),f(x)的单调减区间为（-,）.(2)∵f(x)在x=-1处取得极值,∴f′(-1)=3×(-1)2-3a=0.∴a=1.∴f(x)=x3-3x-1,f′(x)=3x2-3.由f′(x)=0解得x1=-1,x2=1,由（1）中f(x)的单调性可知,f(x)在x=-1处取得极大值f(-1)=1,在x=1处取得极小值f(1)=-3.∵直线y=m与函数y=f(x)的图象有三个不同的交点,结合f(x)的单调性可知m的取值范围是（-3，1）.\n变式训练2（2009·北京文，18）设函数f(x)=x3-3ax+b(a≠0).(1)若曲线y=f(x)在点（2，f(2)）处与直线y=8相切，求a,b的值；（2）求函数f(x)的单调区间与极值点.解（1）f′(x)=3x2-3a.因为曲线y=f(x)在点（2，f(2)）处与直线y=8相切，所以即解得f′(2)=0.f(2)=8,3(4-a)=0,8-6a+b=8a=4,b=24.\n(2)f′(x)=3(x2-a)(a≠0).当a<0时，f′(x)>0函数f(x)在（-∞,+∞）单调递增；此时函数f(x)没有极值点.当a>0时，由f′(x)=0得x=±.当x∈(-∞,-)时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增；当x∈(-,)时，f′(x)<0,函数f(x)单调递减；当x∈(,+∞)时，f′(x)>0,函数f(x)单调递增.此时x=-是f(x)的极大值点,x=是f(x)的极小值点.\n综上所述，当a<0时，f(x)的增区间是（-∞,+∞）.当a>0时，f(x)的增区间是(-∞,),(,+∞)，减区间是（-,）.当a<0时，无极值点当a>0时，x=-是极大值点x=是极小值点.\n三、利用导数研究函数的极值和最值例3已知函数f(x)=x3+mx2+nx-2的图象过点(-1,-6),且函数g(x)=f′(x)+6x的图象关于y轴对称.(1)求m、n的值及函数y=f(x)的单调区间；(2)若a>0，求函数y=f(x)在区间（a-1，a+1）内的极值.思维启迪（1）根据f(x)、g(x)的函数图象的性质，列出关于m，n的方程，求出m、n的值.（2）分类讨论.解(1)由函数f(x)的图象过点（-1，-6），得m-n=-3.①\n由f(x)=x3+mx2+nx-2,得f′(x)=3x2+2mx+n,则g(x)=f′(x)+6x=3x2+(2m+6)x+n.而g(x)的图象关于y轴对称，所以所以m=-3.代入①得n=0.于是f′(x)=3x2-6x=3x(x-2).由f′(x)>0得x>2或x<0,故f(x)的单调递增区间是(-∞,0)和（2，+∞);由f′(x)<0,得00的必要不充分条件.2.可导函数极值的理解（1）函数在定义域上的极大值与极小值的大小关系不确定，也有可能极小值大于极大值；（2）对于可\n导函数f(x)，“f(x)在x=x0处的导数f′(x)=0”是“f(x)在x=x0处取得极值”的必要不充分条件；（3）注意导函数的图象与原函数图象的关系，导函数由正变负的零点是原函数的极大值点，导函数由负变正的零点是原函数的极小值点.3.利用导数解决优化问题的步骤（1）审题设未知数；（2）结合题意列出函数关系式；（3）确定函数的定义域；（4）在定义域内求极值、最值；（5）下结论.\n一、选择题1.函数f(x)=-x3+x2+tx+t在（-1，1）上是增函数，则t的取值范围是（）A.t>5B.t<5C.t≥5D.t≤5解析∵f(x)在（-1，1）上是增函数，f′(x)=-3x2+2x+t,∴在（-1，1）上f′(x)≥0.∴t≥3x2-2x.设函数g(x)=3x2-2x，由于g(x)的图象是对称轴为开口向上的抛物线，\n故要使t≥3x2-2x在区间（-1，1）上恒成立t≥g(-1)，即t≥5.故t的取值范围是t≥5.故选C.答案C2.（2009·天津理,4）设函数则方程f(x)=0（）A.在区间(1,e)内均有实根B.在区间(1,e)内均无实根C.在区间内有实根，在区间(1,e)内无实根D.在区间内无实根,在区间(1,e)内有实根\n解析因为令f′(x)=0，则x=3当x∈(0,3)时，f′(x)<0，∴f(x)在（0，3）上单调递减因为因此f(x)在内无零点.又因此f(x)在（1，e）内有零点.答案D\n3.已知函数f(x)的导数f′(x)=a(x+1)·(x-a),若f(x)在x=a处取到极大值，则a的取值范围是（）A.［-1，0］B.［-1，0）C.（-1，0）D.（-1，0］解析结合二次函数图象知，当a>0或a<-1时，在x=a处取得极小值，当-10,且g(-3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集是（）A.（-3，0）∪（3，+∞）B.（-3，0）∪（0，3）C.（-∞，-3）∪（3，+∞）D.（-∞，-3）∪（0，3）解析设F（x）=f(x)·g(x)，由题意知F(x)是奇函数，所以F（x）的图象关于原点对称，由f′(x)g(x)+f(x)g′(x)＞0知,\nF′（x）>0，即当x<0时，F（x）是增函数.又∵g（-3）=0，F（x）的图象大体如图所示,∴F（x）<0,即f(x)g(x)<0的范围为（-∞，-3）∪（0，3）.答案D\n5.（2008·广东文，9）设a∈R,若函数y=ex+ax,x∈R有大于零的极值点，则()A.a<-1B.a>-1C.D.解析∵y=ex+ax，∴y′=ex+a.当a≥0时,y不可能有极值点,故a<0.由ex+a=0得ex=-a,∴x=ln(-a),∴x=ln(-a)即为函数的极值点,∴ln(-a)>0,即ln(-a)>ln1,∴a<-1.D\n二、填空题6.（2009·北京理，11）设f(x)是偶函数.若曲线y=f(x)在点（1,f(1)）处的切线的斜率为1，则该曲线在点（-1，f(-1))处的切线的斜率为.解析由偶函数的图象和性质可知应为-1.-1\n7.(2009·汕头模拟)已知函数+1既有极大值又有极小值,则实数a的取值范围是.解析f′(x)=3x2+6ax+3(a+2),令f′(x)=0,得x2+2ax+a+2=0,Δ=4a2-4(a+2)>0∴a>2或a<-1.f(x)=x3+3ax2+3(a+2)xa>2或a<-1\n8.（2009·福建理，14）若曲线f(x)=ax5+lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是.解析∵f′(x)=5ax4+,x∈(0,+∞),∴由题知5ax4+=0在（0，+∞）上有解.即a=在（0，+∞）上有解.∵x∈(0,+∞),∴∈(-∞,0).∴a∈(-∞,0).(-∞,0)\n三、解答题9.已知函数(x≠0),其中a,b∈R.(1)若曲线y=f(x)在点P(2,f(2))处的切线方程为y=3x+1,求函数f(x)的解析式;(2)讨论函数f(x)的单调性;(3)若对于任意的不等式f(x)≤10在上恒成立,求b的取值范围.解（1）由导数的几何意义得f′(2)=3,于是a=-8.由切点P（2，f（2））在直线y=3x+1上可得-2+b=7,解得b=9.\n所以函数f(x)的解析式为（2）当a≤0时，显然f′(x)>0(x≠0).这时f(x)在（-∞,0）,(0,+∞)内是增函数.当a>0时，令f′(x)=0，解得x=±.当x变化时，f′(x),f(x)的变化情况如下表：x(-∞,-)(-,0)(0,)(,+∞)f′(x)+0--0+f(x)极大值极小值\n所以f(x)在（-∞,）,(,+∞)内是增函数，在（-,0）,(0,)内是减函数.综上所述，当a≤0时,f(x)在（-∞,0）,（0,+∞）内是增函数当a>0时，f(x)在（-∞,-），（,+∞）内是增函数，在（-,0），(0,)内是减函数.（3）由（2）知，f（x）在的最大值为与f(1)中的较大者，对于任意的不等式f(x)≤10在上恒成立，当且仅当\n对任意的成立.从而得所以，满足条件的b的取值范围是\n10.(2009·启东模拟)已知函数(a∈R).(1)若函数f(x)在x=2处的切线方程为y=x+b，求a、b的值；（2）若函数f(x)在（1，+∞）上为增函数，求a的取值范围；（3）讨论方程f(x)=0解的个数，并说明理由.解(1)因为所以又因为f(x)在x=2处的切线方程为y=x+b，所以所以\n(2)若函数f(x)在（1，+∞）上为增函数，则在（1，+∞）上恒成立，即a≤x2在（1，+∞）上恒成立.所以a≤1.（3）当a=0时，f(x)在定义域（0，+∞）上恒大于0，此时方程无解；当a<0时，在(0，+∞)上恒成立，所以f(x)在定义域（0，+∞）上为增函数.因为所以方程有唯一解.当a>0时，\n因为当x∈(0,)时，f′(x)<0，f(x)在（0,］内为减函数，当x∈(,+∞)时，f′(x)>0，f(x)在［,+∞）内为增函数.所以当x=时，f(x)有极小值，即为最小值当a∈(0,e)时，此时方程f(x)=0无解；当a=e时，.此时方程有唯一解x=；当a∈(e,+∞)时，\n因为且1<，所以方程f(x)=0在区间（0，）上有唯一解.因为当x>1时，(x-lnx)′>0，所以当x>1时，x-lnx>1.则x>lnx，因为2a>>1，所以所以方程f(x)=0在区间［,+∞）上有唯一解.即方程f(x)=0在区间（0,+∞）上有两个解.综上所述，当a∈［0,e)时，方程无解；当a<0或a=e时，方程有唯一解；当a>e时，方程有两个解.返回