高中数学知识整理与知识纲要课件 57页

高中数学知识梳理与解题指要冯祥杰\n一、数学高考介绍二、数学知识梳理三、数学试题简析四、数学解题指要\n(’99全国)向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图象如右图所示，那么水瓶的形状是（）一、高考数学命题的特点与要求高考数学命题的特点B位置↔数值hHVV0O\nf()==f(x)+f()=1.（2002全国）已知函数f(x)=则f(1)+f(2)+f()+f(3)+f()+f(4)+f()=.结构特征\n高考数学是考查数学基础的考试①基础知识②基本技能③基本数学思想方法ａ、数形结合（转换策略）ｂ、函数与方程（分析策略）ｃ、分类讨论（分解策略）ｄ、等价转换（分析策略）\n①在高考数学命题中，经历了“以知识立意”到以“问题立意”，再发展为“以能力立意”的过程。②以能力立意命题，保障了高考突出能力与学习潜能考查的要求。③以能力立意命题拓展了命题思路。④以能力立意命题于题型设计，易于形成综合自然、新颖脱俗的试题。⑤以能力立意命题在全卷的整合时，对试题的整体布局、层次安排有高屋建瓴之势。。⑥以能力立意命题促进了高考改革的深入发展。高考数学注重能力考查\n（2001全国）如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表承它们有网线相联．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递．则单位时间内传递的最大信息量为（）°°°°°°°°AB121266683457A.26B.24C.20D.193+4+6+6=19D高考数学对难度和速度均有要求\n木桶原理\n知识要求①了解②理解和掌握③灵活和综合运用能力要求①思维能力②运算能力③空间想像能力④实践能力⑤创新意识个性品质要求高考数学的要求\n二、高考数学知识梳理与复习高考数学知识梳理平面向量①理解向量的概念，掌握向量的几何表示,了解共线向量的概念。②掌握向量的加法与减法。③掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。\n④了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。⑤掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。⑥掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用、掌握平移公式。\n①理解集合、子集、补集、交集、并集的概念。了解空集和全集的意义。了解属于、包含、相等关系的意义。掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合。②理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义。理解四种命题及其相互关系，掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义。集合、简易逻辑\n函数①了解映射的概念，理解函数的概念。②了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法。③了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数。④理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质。掌握指数函数的概念、图象和性质。\n⑤理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图像和性质。⑥能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题。\n①理解不等式的性质及其证明。②掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用。③掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。④掌握简单不等式的解法。⑤理解不等式∣a∣-∣b∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣不等式\n①理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算。②掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义。了解余切、正割、余割的定义，掌握同角三角函数的基本关系式：sin2α+cos2α=1，，tanαcotα=1。掌握正弦、余弦的诱导公式。了解周期函数与最小正周期的意义。③掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式。掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。三角函数\n④能正确运用三角公式，进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式证明。⑤了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin（ωx+ψ）的简图，理解A、ω、ψ的物理意义。⑥会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx、arccosx、arctanx表示。⑦掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。\n①理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项。②理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题。③理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题。数列\n①理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式。掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程。②掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式。能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系。③了解二元一次不等式表示平面区域。直线和圆的方程\n④了解线性规划的意义，并会简单的应用。⑤了解解析几何的基本思想，了解坐标法。⑥掌握圆的标准方程和一般方程，理解圆的参数方程。\n①掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质。理解椭圆的参数方程。②掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质。③掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质。④了解圆锥曲线的初步应用。圆锥曲线方程\n①掌握平面的基本性质，会作斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图；能够画出空间两条直线、直线和平面的各种益关系的图形，能够根据图形想像它们的位置关系。②掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；掌握直线和平面垂直的判定定理；掌握三垂线定理及其逆定理。③理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘。直线、平面、简单几何体\n④了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算。⑤掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间距离公式。⑥理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念。⑦掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念。\n⑧了解多面体、凸多面体的概念，了解正多面体的概念。⑨了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图。⑩了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图。11了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式○\n①掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题。②理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题。③理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题。④掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题。排列、组合、二项式定理\n①了解随机事件的发生存在着规律性的随机事件概率的意义。②了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率。③了解互斥事件与相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率。④会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次概率。概率\n①了解随机抽样，了解分层抽样的意义，会用它们对简单实际问题进行抽样。②会用样本频率分布估计总体分布。③会用样本估计总体期望值和方差。统计\n①了解导数概念的实际背景。②理解导数的几何意义。③掌握函数y=c（C为常数）、y=xn（n∈N+）的导数公式，会求多项式函数的导数。④理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值。⑤会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值。导数\n设函数f(x)的导数为f(x),且f(x)=x3+2xf(1)则f(0)=()A.0B.-3C.-6D.6关键理解f(1)是常量∵f(x)=3x2+2f(1),∴f(0)=2f(1).①又f(1)=3+2f(1),∴f(1)=-3.代入①式,得f(0)=-6.\n高考复习“四字诀”实：小处不可随便活：海阔凭鱼跃①解题后的再思考例求证：sin（nπ+θ）cos（nπ-θ）=sin2θ（n∈z）通常解法是：证明：（1）当n为偶数时，设n=2k（k∈z）sin（nπ+θ）cos（nπ-θ）=sinθcosθ=sin2θ1212\n12（2）当n为奇数时，设n=2k+1（n∈z）sin（nπ+θ）cos（nπ-θ=sin（2kπ+π+θ）·cos（2kπ+π-θ）=（-sinθ）（-cosθ）=sin2θ综上得：sin（nπ+θ）cos（nπ-θ）=sin2θ无论是n为偶数，还是n为奇数，都有：sin（nπ+θ）cos（nπ-θ）=sin2θ，这就引起了我们的再思考。思考：上面的讨论是雷同的，是否可以回避?1212\n②深层次挖掘教材如：{an}为等差数列，a1、a2、a9成等比数列则题目的来源：选择特殊数列为背景，最常见、最先想到的是自然数列，易知它满足条件，所以选an=n。再如函数这一部分，复习时可对y=和y=logax的图象和性质进行研究。\n广：天高任鸟飞①全面复习，知识和能力并重②学会学习新：万变不离其宗①“旧题”新解，追求优美例如：过抛物线y2=x上一点（4，2），作倾角互补的两条直线AB、AC交抛物线B、C，求证：直线BC的斜率为定值。思考：按照与作图步骤相吻合的思路来求解。\n解：设KAB=K，则，KAC=-K，AB的方程为y=k（x-4）+2因此，A（4，2），B（XB，YB）是方程组的解。y2=xy=k（x-4）+2解之得XB=·（4k2-4k+1），YB=同样的方法可得XC=，YC=可求得KBC=\n再思考：在解题过程中，求B点坐标的计算量比较大，应该想办法改进。我们还再回顾一下原来的解题程序。设KAB→写直线AB、AC的方程→解出B、C→表示KBC改进：先设B、C坐标。改进后的程序为：设B、C坐标→求出KAB、KAC→表示KBC设B（，t2），C（，t2）（∣t1∣≠∣t2∣）这时KAB=，KAC=∵KAB=-KAC，即x0ABCy\n化简得：t1+2=-（t2+2）下面怎么办？似乎迷失了方向。我们还是应该明确一下本题的目标。要证明KBC是一个定值，于是不妨先求出KBCKBC=这就好了，原来是要证明t1+t2是定值。这样，就自然想到将t1+2=-（t2+2）变形为t1+t2=-4本题圆满获得解决。再改进：设B、C坐标→表示KBC→求出KAB、KAC②看透本质，新题通法。\n“知识与技能”突出思想和智慧程序性主干性这里的技能特性也有两点：独立操作性：由重复再现过渡到独立完成；迁移性：通过联系的思想与转换的手段达到灵活运用、举一反三和触类旁通的目的。三、去年高考数学试题的亮点\n例1（高考第一题第6小题）某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用图形表示，根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为A、0.6小时B、0.9小时C、1.0小时D、1.5小时解析一天平均每人课外阅读时间为=0.9（小时）故选B。时间（小时）00.51.01.52.0xy2015105人数（人）\n例2（高考第一题第8小题）设k>1，f（x）=k（x-1）（x∈R）。在平面直角坐标系xOy中，函数y=f(x)的图象与x轴变于A点，它的反函数y=f-1(x)的图象与y轴交于B点，并且这两个函数的图象交于P点，已知四边形OAPB的面积是3，则k等于（）A、3B、C、D、01Axy1Bp\n解析:依题意A（1，0），B（0，1），y=f（x）与y=f-1（x）的交点必在直线y=x上。由y=k（x-1），y=x解得：x=因为S四边形OAPB=2S△OPA=2·∣OA∣·∣xp∣==3，所以k=故此选B\n“过程与方法”重视价值和策略例3(高考第二题第16小题)平面向量a、b中，已知a=(4，-3)，∣b∣=1且a·b=5则向量b=。[方法1]设a与b夹角为θ。则由a·b=5→∣a∣∣b∣cosθ=5→5·1·cosθ=5→cosθ=1→θ=0º所以b与a共线且方向相同，b=（，-)。解析解决本题至少可从这样两个角度思考\n[方法2]设b=（x，y）x2+y2=1x=4x-3y=5y=-或利用直线4x-3y=5与圆x2+y2=1相切的特征，借助几何图形，利用几何方法，求得切点坐标为（，-）b=（，-）则→\n“情感、态度与价值观”体现感悟和动力例4（高考第六大题）制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损。某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大利率分别为100%为50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元。问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？\n解析设投资人分别用x万元，y万元投资甲、乙两个项目，由题意知x+y≤10，0.3X+0.1y≤1.8,x≤0,y≥0.目标函数z=x+0.5y.上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分（含边界）即可行域。作直线L：x+0.5y=0，并作平行于直线L的一组直线。X+0.5y=z，z∈R，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M点，且与直线x+0.5y=0的距离最大，这里M点是直线x+y=10和0.3x+0.1y=1.8的交点。Y18100610x0.3x+0.1y=1.8x+0.5y=0M(4,6)x+y=10L\n解方程组x+y=100.3x+0.1y=1.8得x=4，y=6此时z=1×4+0.5×6=7（万元）因为7>0，所以x=4，y=6时z取最大值。答：投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大。\n多思善想思联系，网络知识，夯实基础例1α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n，②α⊥β，③n⊥β，④m⊥α，以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题。四、高考数学复习解题指要\n思路1：题目结构中a、b、c具有轮换对称性可将右式分为三个部分，用综合法易证：（a+b），（b+c），（a+c），三式相加即得。例2已知a>0，b>0，c>0，求证：（a+b+c）思多解，多方出击，培养思维的发散性\n是三角函数的特殊值，联系三角知识，可从右边证到左边。思路2：（a+b）=asin+bcos=sin（+φ）≤（a+c）≤三式相加即得。（b+c）≤\nBαabAc同理：≥（a+c）三式相加即得。思路3观察左边三个根式，联系立几知识，它们是以a、b、c为三度的长方体的三个面的对角线长度，可构造长方体来证明，如图:∣AB∣=，a+b=∣AB∣sinα+∣AB∣cosα=（sinα+cosα）=sin（α+）≤所以≥（a+b）\n思规律，找变化，触类旁通例3试证以过椭圆的焦点的弦为直径的圆必和椭圆相应的准线相离。例4已知异面直线a和b所成的角为50º，P为　　空间任一定点，则P点且与a、b所成的　　角都是30º的直线有且仅有（）A、1条B、2条C、3条D、4条在本题中50º和30º的设置对答案起着重　　要作用。因此，可通过改变50º和30º的　　大小来深化对这类题目的理解。\n（1）若将50º改为25º，其余条件不变，则答案是。（2）若将50º改为65º，其余条件不变，则答案。（3）若将30º改为70º，其余条件不变，则答案是。（4）若将50º改为xº，30º改为yº，且答案为A则x、y的关系式为；若答案为B，则x、y的关系为；若答案为C，则x、y的关系为；若答案为D，则x、y的关系为。\n例5求和S=（x+）+（x2+）+…+（xn+）错解：S=（x+x2+x3+…+xn）+(++…+)=+这是应用等比数列求和公式时很容易出现的问题,按照等比数列求和公式,当公式q是一个不确定的数时,求其前n项和,则要考虑q=1,q≠1两种情况,因此应分四种情形求解:（1）x=1，y≠1；（2）x≠1，y=1；（3）x=1，y=1；（4）x≠1，y≠1思错处，找错因，提高辨别解题错误的能力\n例6过抛物线y2=2px（p>0）的焦点的一条直线和这条抛物线相交于P1、P2两点，两个交点的纵坐标分别为y1、y2，求证：y1y2=-p2①已知条件不变时a、求证：x1x2=；b、求焦点弦∣P1P2∣的长；c、求△OP1P2的面积；d、求焦点弦P1P2中点的轨迹方程；e、求证：f、求证：以焦点弦为直径的圆必与准线相切。思演变，层层深入，提高应变能力\n②改成逆命题：一条直线与抛物线y2=2px（p>0）相交于P1（x1，y1）、P2（x2，y2）两点，如果满足y1y2=-p2（或x1x2=），那么这条直线过抛物线的焦点。③已知条件不变，再附加条件“过P1、P2分别作x轴的垂线，垂足为M1、M2”，求证：∣OM1∣、∣OF∣、∣OM2∣成等比数列。④已知条件不变，再附加条件“过焦点F，再作一条与P1P2垂直的弦P3P4”，求以此两弦为对角线的内接四边形的面积的最小值。\n弄清问题（解题应从弄清问题开始）①化简策略：从最复杂的地方开刀②语言变换策略：用不同的语言重新叙述③分析策略：假设问题已经解决变换问题①联想策略：联想一个熟悉的问题②讨论策略：先解决问题的部分解题策略\n方法2：语言变换数形结合。f（x）=∣x+2∣，g（x）=∣x∣。方法1：讨论分x≤-2，-2