(必修一)集合与函数概念练习题-高中课件 12页

高中教育无忧数学——集合与函数概念（必修一）高中课件PPT\n高中教育第一章集合第一节集合的含义、表示及基本关系A组1．已知A＝{1,2}，B＝{x|x∈A}，则集合A与B的关系为________．解析：由集合B＝{x|x∈A}知，B＝{1,2}．答案：A＝B2．若∅{x|x2≤a，a∈R}，则实数a的取值范围是________．解析：由题意知，x2≤a有解，故a≥0.答案：a≥03．已知集合A＝{y|y＝x2－2x－1，x∈R}，集合B＝{x|－2≤x<8}，则集合A与B的关系是________．解析：y＝x2－2x－1＝(x－1)2－2≥－2，∴A＝{y|y≥－2}，∴BA.答案：BA4．已知全集U＝R，则正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的韦恩(Venn)图是________．解析：由N={x|x2+x=0}，得N={-1,0}，则NM.答案：②5．已知集合A＝{x|x>5}，集合B＝{x|x>a}，若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．解析：命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，∴AB，∴a<5.答案：a<56．已知m∈A，n∈B，且集合A＝{x|x＝2a，a∈Z}，B＝{x|x＝2a＋1，a∈Z}，又C＝{x|x＝4a＋1，a∈Z}，判断m＋n属于哪一个集合？解：∵m∈A，∴设m＝2a1，a1∈Z，又∵n∈B，∴设n＝2a2＋1，a2∈Z，∴m＋n＝2(a1＋a2)＋1，而a1＋a2∈Z，∴m＋n∈B.B组1．设a，b都是非零实数，y＝＋＋可能取的值组成的集合是________．解析：分四种情况：(1)a>0且b>0；(2)a>0且b<0；(3)a<0且b>0；(4)a<0且b<0，讨论得y＝3或y＝－1.答案：{3，－1}2．已知集合A＝{－1,3,2m－1}，集合B＝{3，m2}．若B⊆A，则实数m＝________.解析：∵B⊆A，显然m2≠－1且m2≠3，故m2＝2m－1，即(m－1)2＝0，∴m＝1.答案：13．设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则P＋Q中元素的个数是________个．解析：依次分别取a＝0,2,5；b＝1,2,6，并分别求和，注意到集合元素的互异性，∴P＋Q＝{1,2,6,3,4,8,7,11}．答案：84．已知集合M＝{x|x2＝1}，集合N＝{x|ax＝1}，若NM，那么a的值是________．解析：M＝{x|x＝1或x＝－1}，NM，所以N＝∅时，a＝0；当a≠0时，x＝＝1或－1，∴a＝1或－1.答案：0,1，－15．满足{1}A⊆{1,2,3}的集合A的个数是________个．解析：A中一定有元素1，所以A有{1,2}，{1,3}，{1,2,3}．答案：3高中课件PPT\n高中教育6．已知集合A＝{x|x＝a＋，a∈Z}，B＝{x|x＝－，b∈Z}，C＝{x|x＝＋，c∈Z}，则A、B、C之间的关系是________．解析：用列举法寻找规律．答案：AB＝C7．集合A＝{x||x|≤4，x∈R}，B＝{x|x5”的________．解析：结合数轴若A⊆B⇔a≥4，故“A⊆B”是“a>5”的必要但不充分条件．答案：必要不充分条件8．设集合M＝{m|m＝2n，n∈N，且m<500}，则M中所有元素的和为________．解析：∵2n<500，∴n＝0,1,2,3,4,5,6,7,8.∴M中所有元素的和S＝1＋2＋22＋…＋28＝511.答案：5119．设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A，且k＋1∉A，那么称k是A的一个“孤立元”．给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．解析：依题可知，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”，这三个元素一定是相连的三个数．故这样的集合共有6个．答案：610．已知A＝{x，xy，lg(xy)}，B＝{0，|x|，y}，且A＝B，试求x，y的值．解：由lg(xy)知，xy>0，故x≠0，xy≠0，于是由A＝B得lg(xy)＝0，xy＝1.∴A＝{x,1,0}，B＝{0，|x|，}．于是必有|x|＝1，＝x≠1，故x＝－1，从而y＝－1.11．已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，(1)若B⊆A，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围；(2)若A⊆B，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围；(3)若A＝B，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围．解：由A＝{x|x2－3x－10≤0}，得A＝{x|－2≤x≤5}，(1)∵B⊆A，∴①若B＝∅，则m＋1>2m－1，即m<2，此时满足B⊆A.②若B≠∅，则解得2≤m≤3.由①②得，m的取值范围是(－∞，3]．(2)若A⊆B，则依题意应有解得故3≤m≤4，∴m的取值范围是[3,4]．(3)若A＝B，则必有解得m∈∅.，即不存在m值使得A＝B.12．已知集合A＝{x|x2－3x＋2≤0}，B＝{x|x2－(a＋1)x＋a≤0}．(1)若A是B的真子集，求a的取值范围；(2)若B是A的子集，求a的取值范围；(3)若A＝B，求a的取值范围．解：由x2－3x＋2≤0，即(x－1)(x－2)≤0，得1≤x≤2，故A＝{x|1≤x≤2}，而集合B＝{x|(x－1)(x－a)≤0}，(1)若A是B的真子集，即AB，则此时B＝{x|1≤x≤a}，故a>2.(2)若B是A的子集，即B⊆A，由数轴可知1≤a≤2.(3)若A=B，则必有a=2第二节集合的基本运算A组1．设U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，则A∩∁UB＝____.高中课件PPT\n高中教育解析：∁UB＝{x|x≤1}，∴A∩∁UB＝{x|01}，集合B＝{x|m≤x≤m＋3}．(1)当m＝－1时，求A∩B，A∪B；(2)若B⊆A，求m的取值范围．解：(1)当m＝－1时，B＝{x|－1≤x≤2}，∴A∩B＝{x|11，即m的取值范围为(1，＋∞)B组1．若集合M＝{x∈R|－33}＝{x|－2≤x<0}．答案：{x|－2≤x<0}4．集合A＝{3，log2a}，B＝{a，b}，若A∩B＝{2}，则A∪B＝________.解析：由A∩B＝{2}得log2a＝2，∴a＝4，从而b＝2，∴A∪B＝{2,3,4}．答案：{2,3,4}5．已知全集U＝A∪B中有m个元素，(∁UA)∪(∁UB)中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B的元素个数为________．解析：U＝A∪B中有m个元素，∵(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)中有n个元素，∴A∩B中有m－n个元素．答案：m－n6．设U＝{n|n是小于9的正整数}，A＝{n∈U|n是奇数}，B＝{n∈U|n是3的倍数}，则∁U(A∪B)＝________.解析：U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,3,5,7}，B＝{3,6}，∴A∪B＝{1,3,5,6,7}，得∁U(A∪B)＝{2,4,8}．答案：{2,4,8}7．定义A⊗B＝{z|z＝xy＋，x∈A，y∈B}．设集合A＝{0,2}，B＝{1,2}，C＝{1}，则集合(A⊗B)⊗C的所有元素之和为________．解析：由题意可求(A⊗B)中所含的元素有0,4,5，则(A⊗B)⊗C中所含的元素有0,8,10，故所有元素之和为18.答案：188．若集合{(x，y)|x＋y－2＝0且x－2y＋4＝0}{(x，y)|y＝3x＋b}，则b＝________.解析：由⇒点(0,2)在y＝3x＋b上，∴b＝2.9．设全集I＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{2，|a＋1|}，∁IA＝{5}，M＝{x|x＝log2|a|}，则集合M的所有子集是________．高中课件PPT\n高中教育解析：∵A∪(∁IA)＝I，∴{2,3，a2＋2a－3}＝{2,5，|a＋1|}，∴|a＋1|＝3，且a2＋2a－3＝5，解得a＝－4或a＝2，∴M＝{log22，log2|－4|}＝{1,2}．答案：∅，{1}，{2}，{1,2}10．设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋(a2－5)＝0}．(1)若A∩B＝{2}，求实数a的值；(2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围．解：由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，故集合A＝{1,2}．(1)∵A∩B＝{2}，∴2∈B，代入B中的方程，得a2＋4a＋3＝0⇒a＝－1或a＝－3；当a＝－1时，B＝{x|x2－4＝0}＝{－2,2}，满足条件；当a＝－3时，B＝{x|x2－4x＋4＝0}＝{2}，满足条件；综上，a的值为－1或－3.(2)对于集合B，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－5)＝8(a＋3)．∵A∪B＝A，∴B⊆A，①当Δ<0，即a<－3时，B＝∅满足条件；②当Δ＝0，即a＝－3时，B＝{2}满足条件；③当Δ>0，即a>－3时，B＝A＝{1,2}才能满足条件，则由根与系数的关系得⇒矛盾.综上，a的取值范围是a≤－3.11．已知函数f(x)＝的定义域为集合A，函数g(x)＝lg(－x2＋2x＋m)的定义域为集合B.(1)当m＝3时，求A∩(∁RB)；(2)若A∩B＝{x|－1.综上可知，若A＝∅，则a的取值范围应为a>.(2)当a＝0时，方程ax2－3x＋2＝0只有一根x＝，A＝{}符合题意．当a≠0时，则Δ＝9－8a＝0，即a＝时，方程有两个相等的实数根x＝，则A＝{}．综上可知，当a＝0时，A＝{}；当a＝时，A＝{}．(3)当a＝0时，A＝{}≠∅.当a≠0时，要使方程有实数根，则Δ＝9－8a≥0，即a≤.高中课件PPT\n高中教育综上可知，a的取值范围是a≤，即M＝{a∈R|A≠∅}＝{a|a≤}第三节函数的单调性A组1．下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1f(x2)”的是________．①f(x)＝　②f(x)＝(x－1)2③f(x)＝ex　④f(x)＝ln(x＋1)解析：∵对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，当x1f(x2)，∴f(x)在(0，＋∞)上为减函数．答案：①2．函数f(x)(x∈R)的图象如右图所示，则函数g(x)＝f(logax)(00时，f(x)＝ex＋，则满足f′(x)＝ex－≥0在x∈[0,1]上恒成立．只需满足a≤(e2x)min成立即可，故a≤1，综上－1≤a≤1.答案：－1≤a≤15．(原创题)如果对于函数f(x)定义域内任意的x，都有f(x)≥M(M为常数)，称M为f(x)的下界，下界M中的最大值叫做f(x)的下确界，下列函数中，有下确界的所有函数是________．①f(x)＝sinx；②f(x)＝lgx；③f(x)＝ex；④f(x)＝解析：∵sinx≥－1，∴f(x)＝sinx的下确界为－1，即f(x)＝sinx是有下确界的函数；∵f(x)＝lgx的值域为(－∞，＋∞)，∴f(x)＝lgx没有下确界；∴f(x)＝ex的值域为(0，＋∞)，∴f(x)＝ex的下确界为0，即f(x)＝ex是有下确界的函数；∵f(x)＝的下确界为－1.∴f(x)＝是有下确界的函数．答案：①③④6．已知函数f(x)＝x2，g(x)＝x－1.(1)若存在x∈R使f(x)0b<0或b>4.(2)F(x)＝x2－mx＋1－m2，Δ＝m2－4(1－m2)＝5m2－4，①当Δ≤0即－≤m≤时，则必需高中课件PPT\n高中教育－≤m≤0.②当Δ>0即m<－或m>时，设方程F(x)＝0的根为x1，x2(x10.∴∴－40)在(，＋∞)上是单调增函数，则实数a的取值范围__．解析：∵f(x)＝x＋(a>0)在(，＋∞)上为增函数，∴≤，00，a≠1)在区间(0，)内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为__________．解析：令μ＝2x2＋x，当x∈(0，)时，μ∈(0,1)，而此时f(x)>0恒成立，∴00，即x>0或x<－.∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－)．答案：(－∞，－)10．试讨论函数y＝2(logx)2－2logx＋1的单调性．解：易知函数的定义域为(0，＋∞)．如果令u＝g(x)＝logx，y＝f(u)＝2u2－2u＋1，那么原函数y＝f[g(x)]是由g(x)与f(u)复合而成的复合函数，而u＝logx在x∈(0，＋∞)内是减函数，y＝2u2－2u＋1＝2(u－)2＋在u∈(－∞，)上是减函数，在u∈(，＋∞)上是增函数．又u≤，即logx≤，得x≥；u>，得01时，f(x)<0.(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的单调性；(3)若f(3)＝－1，解不等式f(|x|)<－2.解：(1)令x1＝x2>0，代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，故f(1)＝0.(2)任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，则>1，由于当x>1时，f(x)<0，高中课件PPT\n高中教育所以f()<0，即f(x1)－f(x2)<0，因此f(x1)9，∴x>9或x<－9.因此不等式的解集为{x|x>9或x<－9}．12．已知：f(x)＝log3，x∈(0，＋∞)，是否存在实数a，b，使f(x)同时满足下列三个条件：(1)在(0,1]上是减函数，(2)在[1，＋∞)上是增函数，(3)f(x)的最小值是1.若存在，求出a、b；若不存在，说明理由．解：∵f(x)在(0,1]上是减函数，[1，＋∞)上是增函数，∴x＝1时，f(x)最小，log3＝1.即a＋b＝2.设0＜x1＜x2≤1，则f(x1)＞f(x2)．即＞恒成立．由此得＞0恒成立．又∵x1－x2＜0，x1x2＞0，∴x1x2－b＜0恒成立，∴b≥1.设1≤x3＜x4，则f(x3)＜f(x4)恒成立．∴＜0恒成立．∵x3－x4＜0，x3x4＞0，∴x3x4＞b恒成立．∴b≤1.由b≥1且b≤1可知b＝1，∴a＝1.∴存在a、b，使f(x)同时满足三个条件．第三节函数的性质A组1．设偶函数f(x)＝loga|x－b|在(－∞，0)上单调递增，则f(a＋1)与f(b＋2)的大小关系为________．解析：由f(x)为偶函数，知b＝0，∴f(x)＝loga|x|，又f(x)在(－∞，0)上单调递增，所以0f(b＋2)．答案：f(a＋1)>f(b＋2)2．定义在R上的函数f(x)既是奇函数又是以2为周期的周期函数，则f(1)＋f(4)＋f(7)等于________．解析：f(x)为奇函数，且x∈R，所以f(0)＝0，由周期为2可知，f(4)＝0，f(7)＝f(1)，又由f(x＋2)＝f(x)，令x＝－1得f(1)＝f(－1)＝－f(1)⇒f(1)＝0，所以f(1)＋f(4)＋f(7)＝0.答案：03．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则f(－25)、f(11)、f(80)的大小关系为________．解析：因为f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝f(x)，所以函数是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)，又因为f(x)在R上是奇函数，f(0)＝0，得f(80)＝f(0)＝0，f(－25)＝f(－1)＝－f(1)，而由f(x－4)＝－f(x)得f(11)＝f(3)＝－f(－3)＝－f(1－4)＝f(1)，又因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，所以f(1)>f(0)＝0，所以－f(1)<0，即f(－25)0)，由f(1)＋f(4)＝0，得a(1－2)2－5＋a(4－2)2－5＝0，∴a＝2，∴f(x)＝2(x－2)2－5(1≤x≤4)．(3)∵y＝f(x)(－1≤x≤1)是奇函数，∴f(0)＝0，又知y＝f(x)在[0,1]上是一次函数，∴可设f(x)＝kx(0≤x≤1)，而f(1)＝2(1－2)2－5＝－3，∴k＝－3，∴当0≤x≤1时，f(x)＝－3x，从而当－1≤x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－3x，故－1≤x≤1时，f(x)＝－3x.∴当4≤x≤6时，有－1≤x－5≤1，∴f(x)＝f(x－5)＝－3(x－5)＝－3x＋15.当60，若f(－1)＝0，那么关于x的不等式xf(x)<0的解集是________．解析：在(0，＋∞)上有f′(x)>0，则在(0，＋∞)上f(x)是增函数，在(－∞，0)上是减函数，又f(x)在R上是偶函数，且f(－1)＝0，∴f(1)＝0.从而可知x∈(－∞，－1)时，f(x)>0；x∈(－1,0)时，f(x)<0；x∈(0,1)时，f(x)<0；x∈(1，＋∞)时，f(x)>0.∴不等式的解集为(－∞，－1)∪(0,1)答案：(－∞，－1)∪(0,1)．5．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝f(x)，且当x∈高中课件PPT\n高中教育[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(－2009)＋f(2010)的值为________．解析：∵f(x)是偶函数，∴f(－2009)＝f(2009)．∵f(x)在x≥0时f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)周期为2.∴f(－2009)＋f(2010)＝f(2009)＋f(2010)＝f(1)＋f(0)＝log22＋log21＝0＋1＝1.答案：16．已知函数f(x)是偶函数，并且对于定义域内任意的x，满足f(x＋2)＝－，若当2a，且|x1－a|<|x2－a|时，则f(2a－x1)与f(x2)的大小关系为________．解析：∵y＝f(x＋a)为偶函数，∴y＝f(x＋a)的图象关于y轴对称，∴y＝f(x)的图象关于x＝a对称．又∵f(x)在(－∞，a]上是增函数，∴f(x)在[a，＋∞)上是减函数．当x1a，且|x1－a|<|x2－a|时，有a－x1f(x2)．答案：f(2a－x1)>f(x2)8．已知函数f(x)为R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(x＋1)．若f(a)＝－2，则实数a＝________.解析：当x≥0时，f(x)＝x(x＋1)>0，由f(x)为奇函数知x<0时，f(x)<0，∴a<0，f(－a)＝2，∴－a(－a＋1)＝2，∴a＝2(舍)或a＝－1.答案：－19．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数．若方程f(x)＝m(m＞0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________.解析：因为定义在R上的奇函数，满足f(x－4)＝－f(x)，所以f(4－x)＝f(x)，因此，函数图象关于直线x＝2对称且f(0)＝0.由f(x－4)＝－f(x)知f(x－8)＝f(x)，所以函数是以8为周期的周期函数．又因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，所以f(x)在区间[－2,0]上也是增函数，如图所示，那么方程f(x)＝m(m＞0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，不妨设x1＜x2＜x3＜x4.由对称性知x1＋x2＝－12，x3＋x4＝4，所以x1＋x2＋x3＋x4＝－12＋4＝－8.答案：-810．已知f(x)是R上的奇函数，且当x∈(－∞，0)时，f(x)＝－xlg(2－x)，求f(x)的解析式．解：∵f(x)是奇函数，可得f(0)＝－f(0)，∴f(0)＝0.当x>0时，－x<0，由已知f(－x)＝xlg(2＋x)，∴－f(x)＝xlg(2＋x)，即f(x)＝－xlg(2＋x)　(x>0)．∴f(x)＝即f(x)＝－xlg(2＋|x|)(x∈R)．11．已知函数f(x)，当x，y∈R时，恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．(1)求证：f(x)是奇函数；(2)如果x∈R＋，f(x)<0，并且f(1)＝－，试求f(x)在区间[－2,6]上的最值．解：(1)证明：∴函数定义域为R，其定义域关于原点对称．∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，令y＝－x，∴f(0)＝f(x)＋f(－x)．令x＝y＝0，∴f(0)＝f(0)＋f(0)，得f(0)＝0.∴f(x)＋f(－x)＝0，得f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．(2)法一：设x，y∈R＋，∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，∴f(x＋y)－f(x)＝f(y)．∵x∈R＋，f(x)<0，∴f(x＋y)－f(x)<0，∴f(x＋y)x，∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数．又∵f(x)为奇函数，f(0)＝0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．∴f(－2)为最大值，f(6)为最小值．∵f(1)＝－，∴f(－2)＝－f(2)＝－2f(1)＝1，f(6)＝2f(3)＝2[f(1)＋f(2)]＝－3.∴所求f(x)在区间[－2,6]上的最大值为1，最小值为－3.法二：设x10，∴f(x2－x1)<0.∴f(x2)－f(x1)<0.即f(x)在R上单调递减．∴f(－2)为最大值，f(6)为最小值．∵f(1)＝－，∴f(－2)＝－f(2)＝－2f(1)＝1，f(6)＝2f(3)＝2[f(1)＋f(2)]＝－3.∴所求f(x)在区间[－2,6]上的最大值为1，最小值为－3.12．已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x＋2)＝－f(x)．(1)求证：f(x)是周期函数；(2)若f(x)为奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)＝x，求使f(x)＝－在[0,2010]上的所有x的个数．解：(1)证明：∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数．(2)当0≤x≤1时，f(x)＝x，设－1≤x≤0，则0≤－x≤1，∴f(－x)＝(－x)＝－x.∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－x，即f(x)＝x.故f(x)＝x(－1≤x≤1)又设1