高中新课标A数学必修2课件：2.1.2 54页

2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系\n自学导引(学生用书P26)\n1.了解空间两条直线的位置关系.2.理解并掌握公理4,等角定理,初步学会应用它们来证明简单的几何问题.3.了解异面直线所成的角,会用图形表示两条异面直线.4.用平移法求两条异面直线所成的角,初步体会把空间问题转化为平面问题的数学思想.\n课前热身(学生用书P26)\n1.空间两条直线的位置关系:________､________､________.2.平行公理(公理4):平行于同一条直线的两条直线________.可用符号表示为______________________.3.等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应________,那么这两个角____________.4.不同在________一个平面内的两条直线叫做异面直线.相交平行异面互相平行若a∥b,b∥c,则a∥c平行相等或互补任何\n5.直线a,b是异面直线,经过空间任一点O作直线a′､b′,使________,________,我们把直线a′与b′所成的________,叫做异面直线a与b所成的角.其范围是________.当异面直线a､b所成角为________时,就说异面直线互相垂直,记作________.a′∥ab′∥b锐角或直角直角a⊥b\n名师讲解(学生用书P26)\n1.不要将平面几何定理随意搬用于空间课本在本节中介绍公理4之前引用了平面几何中的相应命题:“在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.”这种“平行的传递性”在空间也是成立的.又如,在平面几何中,顺次连结四边形各边的中点,可以得到一个平行四边形;同样,顺次连结空间四边形各边的中点,也可以得到一个平行四边形.从上面的这些例子可以看出,有些平面几何的定理可以推广到空间图形中来,这种方法叫类比法,类比法是人类发现真理的一种重要方法.但类比法稍不注意有时就会出差错.\n例如,在平面几何中,两条直线不相交就平行,而在空间可能是两条异面直线.又如“在平面几何中,垂直于同一直线的两直线互相平行”,而在空间,垂直于同一条直线的两条直线或是平行直线,或是相交直线,或是异面直线.一般来说,要把关于平面图形的结论推广到空间图形,必须经过证明,绝不能单凭自己的主观猜测.\n2.如何理解异面直线所成的角由于两异面直线不在同一平面内,因此采用过空间任一点O,分别作两条异面直线的平行线,就形成了一组相交直线所成的角,由等角定理知,两条异面直线所成的角,只与两直线的相对位置有关,而与点O位置的选择无关,正因如此,在具体找角时,点O往往可以在两条异面直线中的一条上选取,这是研究异面直线所成的角时经常采用的方法.\n3.如何求异面直线所成的角求两异面直线所成的角的一般步骤:(1)作:根据所成角的定义,用平移法作出异面直线所成的角;(2)证:证明作出的角就是要求的角;(3)计算:求角的值,常利用解三角形.可用“一作”“二证”“三计算”来概括.平移直线得出的角有可能是两条异面直线所成角的补角,要注意识别这种情况.在初中只学习了解直角三角形,而两异面直线所成角一般是放在斜三角形中,因此受到解三角形的限制,在本章中仅仅知道两异面直线所成角即可,不必在此过多纠缠,将来会在选修中学习两异面直线所成角的求法.\n典例剖析(学生用书P27)\n题型一平行公理的应用例1:已知正方体ABCD—A1B1C1D1,E､F分别为AA1､CC1的中点,求证:BFD1E是平行四边形.分析:因为平行四边形是平面图形,只要证明一组对边平行且相等,或证两组对边分别平行即可.\n证明:如图所示,取BB1的中点G,连结GC1,GE.∵F为CC1的中点,∴BGFC1.∴四边形BFC1G是平行四边形,∴BFGC1.又∵EGA1B1,A1B1C1D1,∴EGC1D1,∴四边形EGC1D1是平行四边形.∴ED1GC1.∴BFED1.∴四边形BFD1E是平行四边形.\n规律技巧:空间几何问题,常转化为平面几何问题来作答,正方体作为一种典型的立体几何模型,常是解答立体几何问题的有效工具.\n变式训练1:如图,已知在四面体ABCD中,AC⊥BD,E､F､G､H分别是棱AB､BC､CD､DA的中点.求证:四边形EFGH是矩形.\n证明:∵EF是△ABC的中位线,∴EF∥AC,且同理,GH∥AC,且.∴GH∥EF,且GH=EF,∴四边形EFGH是平行四边形.又∵EF∥AC,FG∥BD,而AC⊥BD.∴EF⊥FG,∴四边形EFGH是矩形.\n题型二等角定理的应用\n例2:已知E､E1分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AD､A1D1的中点.求证:∠BEC=∠B1E1C1.分析:解答本题要先证明角的两边分别平行,然后应用等角定理得出结论.\n证明:如图,连接EE1.∵E1､E分别为A1D1,AD的中点,∴A1E1AE.∴A1E1EA为平行四边形,∴A1AE1E.又∵A1AB1B,∴E1EB1B,∴四边形E1EBB1是平行四边形.∴E1B1∥EB,同理E1C1∥EC.又∠C1E1B1与∠CEB方向相同,∴∠C1E1B1=∠CEB.\n规律技巧:证明角的相等问题,等角定理及其推论是较常用的方法.另外,通过证明三角形的相似或全等也可以完成角的相等的证明,如本例还可通过证明△B1C1E1与△BCE全等来证明角相等.\n变式训练2:填空:(1)如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,并且方向相同,那么这两个角________.(2)如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,并且方向相反,则这两个角________.(3)如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,其中一组方向相同,另一组方向相反,那么这两个角________.(4)如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组相交直线所成的角____________.相等相等互补相等或互补\n题型三异面直线所成的角例3:如图所示,A点是△BCD所在平面外一点,AD=BC,E､F分别是AB､CD的中点,当时,求异面直线AD和BC所成的角.\n解:如图,设G为AC的中点,连结EG､FG.∵E\,F分别为AB､CD的中点,∴EG∥BC,且BC;FG∥AD,且又AD=BC,∴∴EG与GF所成的锐角(或直角)即为AD与CB所成的角.在△EFG中,由于,又,∴EG2+FG2=EF2,即EG⊥FG.∴∠EGF=90°.故AD与BC所成角为90°.\n规律技巧:求异面直线所成的角,通常把异面直线平移到同一个三角形中去,通过解三角形求得,但要注意异面直线所成角的范围是\n变式训练3:空间四边形ABCD中,AB=CD,AB与CD成30°角,E､F分别是BC､AD的中点,求EF与AB所成的角.变式训练3:空间四边形ABCD中,AB=CD,AB与CD成30°角,E､F分别是BC､AD的中点,求EF与AB所成的角.\n解:如下图所示,取BD的中点G,连结EG,FG,\n∵E､F分别是BC､AD的中点,∴EG∥CD,GF∥AB,且∴∠EGF(或其补角)为直线AB与CD所成的角.∴∠EGF=30°.又AB=CD,∴EG=GF.∴在等腰三角形EGF中,∠EFG=75°即为EF与AB所成的角.∴EF与AB所成角为75°.\n\n易错探究\n例4:分别和两条异面直线相交的两条直线的位置关系是()A.相交B.平行C.异面D.相交或异面错解:C\n错因分析:本题中没有限制交点的个数,因此应分两种情况解答.当有四个交点时,这两条直线异面;当有三个交点时,这两条直线相交,如下图所示.错解中只考虑了有四个交点的情形.正解:D\n技能演练(学生用书P28)\n基础强化1.若∠AOB=∠A1O1B1,且OA∥O1A1,OA与O1A1的方向相同,则下列结论中正确的是()A.OB∥O1B1且方向相同B.OB∥O1B1C.OB与O1B1不平行D.OB与O1B1不一定平行解析:可借见长方体找出反例.答案:D\n2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与直线BD异面且成60°角的面对角线有()A.1条B.2条C.3条D.4条解析:画图易知,它们是AD1､AB1,CB1,CD1共四条.答案:D\n3.“a,b是异面直线”是指:①a∩b=,且ab;②a平面α,b平面β,且a∩b=;③a平面α,b平面β,且α∩β=;④a平面α,b平面α;⑤不存在平面α,使aα,且bα成立.上述说法中()\nA.①④⑤正确B.①③④正确C.②④正确D.①⑤正确解析:说法①等价于a与b既不相交,又不平行,所以a与b为异面直线.①正确,说法⑤等价于a与b不同在任何一个平面内,即a､b异面,⑤正确.答案:D\n4.一条直线和两条异面直线的一条平行,则它和另一条的位置关系是()A.平行或异面B.相交或异面C.异面D.相交答案:B\n5.在空间,下列命题中正确的个数为()①有两组对边相等的四边形是平行四边形;②四边相等的四边形是菱形;③平行于同一条直线的两条直线平行;④有两边和它们夹角对应相等的两个三角形全等.\nA.1B.2C.3D.4解析:①､②不正确,③､④正确.因此选B.答案:B\n6.右图是正方体的平面展开图,在这个正方体中,①BM与ED平行;②CN与BE是异面直线;③CN与BM成60°角;④DM与BN垂直.以上四个命题中,正确命题的序号是()\nA.①②③B.②④C.③④D.②③④解析:把展开图还原为正方体便知,③､④正确.答案:C\n7.设a\,b\,c表示直线,给出四个论断:①a⊥b;②b⊥c;③a⊥c;④a∥c.以其中任意两个为条件,另外的某一个为结论,写出你认为正确的一个命题______________.④①②\n8.如图所示,M､N分别是正方体ABCD-A1B1C1D1中BB1､B1C1的中点.(1)则MN与CD1所成角为.____(2)则MN与AD所成的角为.____60°45°\n解析:(1)由图易知,MN∥AD1,∵△ACD1构成正三角形.∴AD1与CD1成60°角,∴MN与CD1成60°角.(2)AD1与AD成45°角,而MN∥AD1,∴MN与AD成45°角.\n能力提升\n9.如图所示,在空间四边形ABCD中,AD=BC=2,E､F分别是AB､CD的中点.若求AD､BC所成的角.\n解:取BD的中点H,连结EH､FH,因为E是AB的中点,且AD=2,∴EH∥AD,EH=1.同理FH∥BC,FH=1,∴∠EHF是异面直线AD､BC所成的角,又因为∴△EFH是等腰直角三角形,EF是斜边,∴∠EHF=90°,即AD､BC所成的角是90°.\n10.如图,直线a,b是异面直线,A､B､C为直线a上三点,D､E､F是直线b上三点,A′､B′､C′､D′､E′分别为AD､DB､BE､EC､CF的中点.求证:(1)∠A′B′C′=∠C′D′E′;(2)A′､B′､C′､D′､E′共面.\n证明:(1)A′､B′是AD､DB的中点∠A′B′C′的两边和∠C′D′E′的两边平行且方向相同∠A′B′C′=∠C′D′E′\n(2)α,β都经过点B′,C′,D′a,b异面B′,C′,D′三点不共线过B′,C′,D′有且只有一个平面平面α,β重合A′､B′､C′､D′､E′共面.\n品味高考(学生用书P29)\n11.(重庆高考)对于任意的直线l与平面α,在平面α内必有直线m,使m与l()A.平行B.相交C.垂直D.互为异面直线解析:当l⊥α时,A不成立,当l∥α时,B不成立,当lα时,D不成立,因此选C.答案:C\n12.(2007·浙江)若P是两条异面直线l,m外任意一点,则()A.过点P有且只有一条直线与l､m都平行B.过点P有且只有一条直线与l､m都垂直C.过点P有且只有一条直线与l､m都相交D.过点P有且只有一条直线与l､m都异面解析:A不成立.若直线n过点P,且n∥l,n∥m,则有l∥m矛盾.B正确.在直线l上取一点O,过O作m′∥m,则l与m′确定一个平面α,过点P可以做一条直线垂直平面α,则这条直线也垂直l和m.C不正确.D不正确.可以有多条.答案:B