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- 2022-08-13 发布
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1.1集合的含义与表示(第二课时)2009.9.25\n我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集).1.我们怎样来理解集合?知识回顾:集合的含义2.集合中的元素必须具备什么样的特征?集合中的元素具有三个特征:(1)确定性(2)互异性(3)无序性3.元素与集合的关系是怎样的?元素与集合的关系有两种:如果a是集A的元素,记作:如果a不是集A的元素,记作:∈或∉a∈Aa∉A例如,用A表示“1~20以内所有的整数”组成的集合,则有\n数集符号自然数集(非负整数集)正整数集整数集有理数集实数集NN*或N+ZQR4.常见的数集有哪些?分别要怎样来表示?\n问题2:用自然语言描述一个集合往往是不简明的,如“在平面直角坐标系中,抛物线y=x^2上的点”组成的集合,那么,我们可以用什么方式表示集合呢?知识探究(一)集合的表示方法问题1:通过我们对课本的预习,我们知道,课本为我们提供了哪几种集合表示方法?\n问题3:(1)如何表示“地球上的四大洋”组成的集合?(2)如何表示“方程(x-1)(x+2)=0的所有实数根”组成的集合?(2){1,-2}(1){太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}思考1:这两个集合的元素分别是什么?思考2:这两个集合可以分别怎么表示?(1)太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋(2)1,-2思考3:上述两种表示集合的方法是什么?列举法\n把集合中的元素一一列举出来,并用大括号{}括起来表示.(注意:元素与元素之间用逗号隔开)思考4:列举法表示集合的基本模式是怎么样的?例1用列举法表示下列集合:(1)小于10的所有自然数组成的集合;(2)方程的所有实数根组成的集合;(3)由1~20以内的所有素数组成的集合.解:(1)A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.(2)B={0,1}.(3)C={2,3,5,7,11,13,17,19}.一个集合中的元素的书写一般不考虑顺序(集合中元素的无序性).1.确定性2.互异性3.无序性\n思考1:这两个集合能不能用列举法表示?问题4:考察下列集合:(1)不等式的解组成的集合;(2)绝对值小于2的实数组成的集合.思考2:如何用数学式子描述上述两个集合的元素特征?思考3:上述两个集合还可以怎么表示?思考4:这种表示集合的方法叫什么?用集合所含元素的共同特征表示集合的方法.思考5:描述法表示集合的基本模式是什么?描述法\n\n解:(1)设所求集合为A,用描述法表示为A={ }用列举法表示为A={ }例2试分别用列举法和描述法表示下列集合:(1)方程的所有根组成的集合;(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合(2)设所求集合为B,用描述法表示为B={ }用列举法表示为B={11,12,13,14,15,16,17,18,19}\n课堂练习用适当的方法表示下列集合:(1)绝对值小于3的所有整数组成的集合;(2)在平面直角坐标系中以原点为圆心,横坐标上的点组成的集合;(3)所有奇数组成的集合;(4)由数字1,2,3组成的所有三位数构成的集合.\n知识探究(三)思考1:与{}的含义是否相同?思考2:集合{1,2}与集合{(1,2)}相同吗?思考3:集合与集合相同吗?思考4:集合的几何意义如何?xyo\n课堂小结这节课你有什么收获?还有哪些不理解?知识结构:集合的含义集合的表示:集合的含义元素的三要素:确定性、互异性、无序性自然语言字母表示列举法描述法\n⑴有限集:含有有限个元素的集合.⑵无限集:含有无限个元素的集合.集合的分类⑶空集:不含任何元素的集合.\n2.若-3∈{a-3,2a+1,a2+1},求实数a的值.1.求集合{3,x,x2-2x}中,元素x应满足的条件。\n回顾交流今天我们学习了哪些内容?集合元素的性质:确定性,互异性,无序性集合的含义常用数集及其表示集合的表示法:列举法、描述法元素与集合的关系:∊,∉\n大学期间康托尔主修数论,但受外尔斯特拉斯的影响,对数学推导的严格性和数学分析感兴趣。哈雷大学教授H.E.海涅鼓励他研究函数论。他于1870、1871、1872年发表三篇关于三角级数的论文。在1872年的论文中提出了以基本序列(即柯西序列)定义无理数的实数理论,并初步提出以高阶导出集的性质作为对无穷集合的分类准则。函数论研究引起他进一步探索无穷集和超穷序数的兴趣和要求。1872年康托尔在瑞士结识了J.W.R.戴德金,此后时常往来并通信讨论。1873年他估计,虽然全体正有理数可以和正整数建立一一对应,但全体正实数似乎不能。他在1874年的论文《关于一切实代数数的一个性质》中证明了他的估计,并且指出一切实代数数和正整数可以建立一一对应,这就证明了超越数是存在的而且有无穷多。在这篇论文中,他用一一对应关系作为对无穷集合分类的准则。格奥尔格·康托尔康托尔(GeorgCantor,1845-1918,德)德国数学家,集合论的创始者。1845年3月3日生于圣彼得堡(今苏联列宁格勒),1918年1月6日病逝于哈雷。其父为迁居俄国的丹麦商人。康托尔11岁时移居德国,在德国读中学。1862年17岁时入瑞士苏黎世大学,翌年转入柏林大学,主修数学,从学于E.E.库默尔、K.(T.W.)外尔斯特拉斯和L.克罗内克。1866年曾去格丁根学习一学期。1867年在库默尔指导下以数论方面的论文获博士学位。1869年在哈雷大学通过讲师资格考试,后即在该大学任讲师,1872年任副教授,1879年任教授。\n康托尔在1878年这篇论文里已明确提出“势”的概念(又称为基数)并且用“与自身的真子集有一一对应”作为无穷集的特征。康托尔认为,建立集合论重要的是把数的概念从有穷数扩充到无穷数。他在1879~1884年发表的题为《关于无穷线性点集》论文6篇,其中5篇的内容大部分为点集论,而第5篇很长,此篇论述序关系,提出了良序集、序数及数类的概念。他定义了一个比一个大的超穷序数和超穷基数的无穷序列,并对无穷问题作了不少的哲学讨论。在此文中他还提出了良序定理(每一集合都能被良序),但未给出证明。在1891年发表的《集合论的一个根本问题》里,他证明了一集合的幂集的基数较原集合的基数大,由此可知,没有包含一切集合的集合。他在1878年论文中曾将连续统假设作为一个估计提出,其后在1883年论文里说即将有一严格证明,但他始终未能给出。在整数和实数两个不同的无穷集合之外,是否还有更大的无穷?从1874年初起,康托尔开始考虑面上的点集和线上的点集有无一一对应。经过三年多的探索,1877说,“我见到了,但我不相信。”这似乎抹煞了维数的区别。论文于1878年发表后引起了很大的怀疑。P.D.G.杜布瓦-雷蒙和克罗内克都反对,而戴德金早在1877年7月就看到,不同维数空间的点可以建立不连续的一一对应关系,而不能有连续的一一对应。此问题直到1910年才由L.E.J.布劳威尔给出证明。\n19世纪70年代许多数学家只承认,有穷事物的发展过程是无穷尽的,无穷只是潜在的,是就发展说的。他们不承认已经完成的、客观存在着的无穷整体,例如集合论里的各种超穷集合。康托尔集合论肯定了作为完成整体的实无穷,从而遭到了一些数学家和哲学家的批评与攻击,特别是克罗内克。康托尔曾在1883年的论文和以后的哲学论文里对于无穷问题作了详尽的讨论。另一方面,康托尔创建集合论的工作开始时就得到戴德金、外尔斯特拉斯和D.希尔伯特的鼓励和赞扬。20世纪以来集合论不断发展,已成为数学的基础理论。他的著作有:《G.康托尔全集》1卷及《康托尔-戴德金通信集》等。康托尔是德国数学家,集合论的创始者。1845年3月3日生于圣彼得堡,1918年1月6日病逝于哈雷。康托尔11岁时移居德国,在德国读中学。1862年17岁时入瑞士苏黎世大学,翌年入柏林大学,主修数学,1866年曾去格丁根学习一学期。1867年以数论方面的论文获博士学位。1869年在哈雷大学通过讲师资格考试,后在该大学任讲师,1872年任副教授,1879年任教授。集合论是现代数学的基础,康托尔在研究函数论时产生了探索无穷集和超穷数的兴趣。康托尔肯定了无穷数的存在,并对无穷问题进行了哲学的讨论,最终建立了较完善的集合理论,为现代数学的发展打下了坚实的基础。