高中全程复习方略配套课件：7.6空间向量及其运算 78页

第六节空间向量及其运算\n三年10考高考指数:★★★1.了解空间向量的概念.2.掌握空间向量的线性运算.3.掌握空间向量的数量积，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.\n1.在客观题中考查向量的概念及其运算性质.2.利用空间向量的线性运算及数量积考查点共线、线共面、平行、垂直等.3.数量积的运算及应用是考查热点.\n1.空间向量的有关概念名称定义空间向量自由向量单位向量零向量在空间中,具有____和____的量叫做空间向量，其大小叫作向量的____或___大小方向长度模与向量的____无关的向量起点长度或模为___的向量1长度为____的向量0\n名称定义相等向量相反向量向量的夹角方向_____且模_____的向量相同相等方向_____而模_____的向量相反相等过空间任意一点O作向量的相等向量则∠AOB叫作向量的夹角，记作范围是［0,π］\n名称定义平行向量共面向量直线的方向向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相____或____,则这些向量叫作________或_______平行重合共线向量平行向量平行于同一_____的向量平面若A，B是空间直线l上任意两点，则称____为直线l的方向向量.（与____平行的任意非零向量也是直线l的方向向量）\n名称定义法向量如果直线l垂直于平面α,那么把直线l的方向向量叫作平面α的法向量.（所有与直线l平行的非零向量都是平面α的法向量）\n【即时应用】(1)思考:若a与b确定平面为α,则用a、b表示的c与α的关系是怎样的?提示：可能与α平行,也可能在α内.\n(2)下列命题中，真命题的序号是__________.①分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线,则这两个向量是不共面向量②若|a|=|b|,则a,b的长度相等而方向相同或相反③若向量满足且同向,则④若两个非零向量满足则\n【解析】①错.因为空间任两向量平移之后可共面,所以空间任两向量均共面.②错.因为|a|=|b|仅表示a与b的模相等,与方向无关.③错.空间任两向量不研究大小关系,因此也就没有这种写法.④对.∴共线,故正确.答案：④\n2.空间向量的加、减、数乘运算空间向量的加、减、数乘运算是平面向量运算的推广．如图，设a,b是空间任意两向量，若P∈OC，(1)加法：(2)减法：a+ba-bOBCbAPa\n(3)数乘：(λ∈R).(4)空间向量加法、数乘运算满足的运算律①交换律：a+b=____，②结合律：(a+b)+c=_______，λ(μa)=_______(λ∈R,μ∈R)，③分配律：λ(a+b)=________(λ∈R).b+aa+(b+c)(λμ)aλa+λb\n【即时应用】(1)思考:当|a|=|b|≠0,且a,b不共线时,a+b与a-b是否共面?提示：由加法法则可知a+b与a-b可以是菱形的对角线,故满足题意的a+b与a-b一定共面.(2)判断下列命题的正误(请在括号内填“√”或“×”)．①空间任意五边形ABCDE，则()②若a∥b，则a所在直线与b所在直线平行()③空间任意两非零向量a、b共面()④空间向量a平行于平面α，则a所在直线平行于平面α()\n【解析】由向量加法知(1)正确；当a∥b时，a与b所在直线平行或重合，故(2)是错误的；由于向量可平移，因此空间任意两向量都可平移到同一起点，故空间任意两向量共面，即(3)是正确的；a所在的直线可能在平面α内，故(4)是错误的．答案：①√②×③√④×\n(3)在△ABC中,已知D是AB边上一点,若则λ的值等于__________.【解析】答案：\n3.共线向量定理与共面向量定理(1)共线向量定理空间两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得_______.(2)共面向量定理如果两个向量a，b________，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使__________.a=λb不共线p=xa+yb\n【即时应用】(1)思考:向量∥平面α与直线AB∥平面α是同一概念吗？提示：不是.向量平行于平面是指向量所在直线平行于平面α或在平面α内两种情况.因此，在用共面向量定理证明线面平行时，必须说明向量所在的直线不在平面内.\n(2)思考:已知a,b，p是平面α内的向量，则p=xa+yb的表示形式唯一吗？提示：若a,b不共线，则表示形式唯一；若a,b共线，与p不共线，则不存在这种表示形式；若a,b(a,b都是非零向量),p共线，则这种表示形式不唯一.\n(3)a=λb(λ∈R)是a与b共线的条件_________.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)【解析】若a=λb,则a与b一定共线,反之,若a与b共线,其中b=0,a≠0,则a=λb不成立.故“a=λb(λ∈R)”是“a与b共线”的充分不必要条件.答案：充分不必要\n(4)若则下列结论中正确的序号是_________.①O,P,A,B四点一定共线②P,A,B共线③P,A,B不共线④O,P,A,B不共面\n【解析】如图所示,∵∴∴∴A,B,P三点共线.答案：②\n4.空间向量的数量积(1)定义：a·b=________________.(2)运算律①交换律：a·b=_____；②分配律：a·(b+c)=__________；③λ(a·b)=_________(λ∈R).|a||b|cos〈a,b〉b·aa·b+a·c(λa)·b\n(3)常用结论①|a|=_____；②a⊥b⇒_______；③cos〈a,b〉=____(a≠0,b≠0).a·b=0\n【即时应用】(1)思考：对于实数a,b，若ab=0，则一定有a=0或b=0，而对于向量a,b，若a·b=0，则一定有a=0或b=0吗？提示：不一定，因为当a≠0且b≠0时，若a⊥b，也有a·b=0．(2)思考:(a·b)c=a(b·c)成立吗？提示：不一定成立.∵(a·b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，又c与a不一定共线，∴上式不一定成立.\n(3)已知向量a与b的夹角为120°，且｜a｜=｜b｜=4，那么b·(2a+b)等于__________．【解析】b·(2a+b)=2b·a+b2=2×4×4cos120°+42=0．答案：0\n(4)a,b是两个非零向量，现给出以下命题：①a·b>0⇔〈a,b〉∈［0,);②a·b=0⇔〈a,b〉=;③a·b<0⇔〈a,b〉∈(,π］;④|a·b|=|a||b|⇔〈a,b〉=π.其中真命题的序号为_________.\n【解析】利用向量数量积公式可对以上四个命题的真假一一作出判断.∵a,b为非零向量，∴|a|≠0,|b|≠0.又∵a·b=|a||b|cos〈a,b〉且0≤〈a,b〉≤π,于是a·b>0⇔cos〈a,b〉>0⇔〈a,b〉∈［0,);a·b=0⇔cos〈a,b〉=0⇔〈a,b〉=;a·b<0⇔cos〈a,b〉<0⇔〈a,b〉∈(,π］.\n因此，命题①②③均为真命题.∵|a·b|=|a||b|⇔|cos〈a,b〉|=1⇔〈a,b〉=0或π.∴|a·b|=|a||b|⇔〈a,b〉=π,不正确，即命题④为假命题.答案：①②③\n空间向量的线性运算【方法点睛】空间向量线性运算的方法空间向量的加法与数乘满足的运算律与平面向量的对应运算满足的运算律相同．几何表示坐标表示加法满足三角形法则和平行四边形法则对应坐标相加减法满足三角形法则对应坐标相减数乘与平面向量数乘类似把每个坐标同乘以常数\n【提醒】进行向量的加法运算时，若用三角形法则，必须使两向量首尾相接；若用平行四边形法则，必须使两向量共起点．进行向量减法时，必须使两向量共起点．\n【例1】(1)(2012·洛阳模拟)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC的中点．①化简②用\n(2)若P为平行四边形ABCD所在平面外的一点,且G为△PCD的重心,若试求x+y+z的值.\n【解题指南】(1)用已知向量表示未知向量时，在转化时要结合向量的线性运算.(2)先将进行分解,求出x,y,z的值,再求x+y+z的值.【规范解答】(1)①②方法一：\n方法二：答案：①②\n(2)如图,∵G是△PCD的重心,∴(H为CD的中点),∴\n\n【互动探究】本例中(1)的条件不变,结论改为：设E是棱DD1上的点，且试求x,y,z的值．【解析】∵\n【反思·感悟】1．空间向量的坐标运算，关键是要注意向量坐标与点的坐标间的关系，并熟练掌握运算公式．2．用不共面的向量表示某一向量时，关键是结合图形将已知向量和未知向量转化到三角形或平行四边形中，然后根据三角形法则或平行四边形法则，把未知向量用已知向量表示出来．\n【变式备选】设三棱锥O-ABC中，G是△ABC的重心，则=()(A)a+b-c(B)a+b+c(C)(a+b+c)(D)(a+b+c)【解析】选D.如图，连结AG并延长交BC于点D.则D是BC的中点，连结OD，则\n共线向量定理、共面向量定理的应用【方法点睛】1.证明点共线的方法证明点共线的问题可转化为证明向量共线的问题，如证明A,B,C三点共线，即证明共线．\n2.证明点共面的方法证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明P,A,B,C四点共面，只要能证明或对空间任一点O，有即可．共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的充要条件．\n【例2】已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,用向量法证明：(1)E，F，G,H四点共面；(2)BD∥平面EFGH.\n【解题指南】(1)证明根据共面向量定理即可得到结论；或证明FG∥EH，即可得到FG,EH确定一平面，故得四点共面．(2)证明共线，然后根据线面平行的判定定理解题即可.【规范解答】(1)方法一：∵E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边的中点，∴E,F,G,H四点共面．\n方法二：∵E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边的中点，∴FG∥EH且FG=EH，∴四边形EFGH为平行四边形．故E,F,G,H四点共面．(2)由题意知∴BD∥EH,又BD平面EFGH,EH平面EFGH．∴BD∥平面EFGH．\n【反思·感悟】1.利用向量证明点共线或点共面时常用的方法是直接利用定理．向量方法为几何问题的解决提供了一种新的思路．2.向量的平行与直线的平行是不同的：直线平行是不允许重合的，而向量平行，它们所在的直线可以平行也可以重合．\n【变式训练】如图所示，已知ABCD是平行四边形，P点是平面ABCD外一点，连接PA、PB、PC、PD.设点E、F、G、H分别为△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的重心.(1)试用向量法证明E、F、G、H四点共面；(2)试判断平面EFGH与平面ABCD的位置关系，并用向量法证明你的判断.\n【解析】(1)分别连接PE、PF、PG、PH并延长交对边于M、N、Q、R点.因为E、F、G、H分别是所在三角形的重心.\n所以M、N、Q、R为所在边的中点，连接MN、NQ、QR、RM得到的四边形为平行四边形，且有：连接MQ，EG，因为四边形MNQR是平行四边形，所以又\n所以即由共面向量定理知E、F、G、H四点共面.(2)由(1)得又因为EG平面ABCD，所以EG∥平面ABCD.因为所以MN∥EF，又因为EF平面ABCD，所以EF∥平面ABCD.由于EG与EF交于E点，所以平面EFGH∥平面ABCD.\n空间向量数量积的应用【方法点睛】数量积的应用(1)求夹角．设向量a,b所成的角为θ，则进而可求两异面直线所成的角；(2)求长度(距离)．运用公式｜a｜2=a·a，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题；(3)解决垂直问题．利用a⊥b⇔a·b=0(a≠0,b≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题．\n【提醒】(1)用a·b=｜a｜｜b｜cosθ求向量的数量积时，关键是确定向量的长度及夹角．(2)当异面直线所成的角为α时，常利用它们所在的向量转化为向量的夹角θ来进行运算.应该注意的是α∈(0，］，θ∈［0，π］，所以cosα=|cosθ|=.\n【例3】如图，在平行四边形ABCD中，AB=AC=CD=1，∠ACD=90°，把△ADC沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求BD的长.\n【解题指南】由图形折叠的相关知识得到折叠后图形中线段的位置关系和数量关系，然后用根据求解．【规范解答】∵AB与CD成60°角，∴〈〉=60°或120°，又∵AB=AC=CD=1，AC⊥CD，AC⊥AB，\n∴或.∴BD的长为2或\n【互动探究】本例中若折起后BD的长为2，求此时AD与BC所成的角的余弦值.【解析】由已知的夹角为135°，在△BDC中，由余弦定理得\n∴AD与BC所成角的余弦值为.\n【反思·感悟】1．向量数量积为解决立体几何中的夹角、长度、垂直等问题提供了一种工具，使几何问题转化为数的计算问题．2.解题中注意最后要将计算问题再转化为几何问题，同时要特别注意向量的夹角与两异面直线所成角之间的关系．\n【变式备选】如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算：(1)；(2)EG的长；(3)异面直线EG与AC所成角的大小．\n【解析】设则｜a｜=｜b｜=｜c｜=1，〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60°，\n即EG的长为．\n(3)由(2)知，故异面直线EG与AC所成的角为45°．\n【满分指导】利用基向量进行运算的规范解答【典例】(12分)(2012·咸阳模拟)如图所示,已知在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中,AB=4,AD=3,AA′=5,∠BAD=90°,∠BAA′=∠DAA′=60°.\n(1)求AC′的长;(2)求的夹角的余弦值.\n【解题指南】(1)求线段长,要利用向量的平方法求解,关键是找到表示的基向量,只要模与夹角均可知,则问题可求解;(2)求夹角问题是向量数量积的逆用.【规范解答】(1)……………………1分…………3分=42+32+52+2×(0+10+7.5)=85.………………………………5分∴…………………………………………………6分\n(2)方法一:设的夹角为θ,∵ABCD是矩形,∴…………………………8分∴由余弦定理可得…………………12分\n方法二:设……………………………7分依题意得=a2+2a·b+b2+a·c+b·c=16+0+9+4·5·cos60°+3·5·cos60°=16+9+10+=,…………………………………………10分∴…………………12分\n【阅卷人点拨】通过阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示与备考建议：失分警示解答本题时有两点容易造成失分：(1)不能灵活运用求某线段的长度或两点间的距离;(2)利用求〈a,b〉的大小时,不能结合图形化简得出a•b的值.\n备考建议解答用基向量进行运算的问题时,还有以下几点容易造成失分,在备考时要高度关注:(1)不能通过正确选择基底把题目中的向量用基向量表示而导致出错;(2)由于参与运算的向量较多,找不到突破口,无从入手,从而盲目地进行复杂运算而造成失误.\n1.(2012·合肥模拟)已知空间四边形OABC中，点M在线段OA上，且OM=2MA，点N为BC的中点，设则等于()【解析】选B.\n2.(2012·咸阳模拟)已知向量a,b,c两两夹角都是60°,其模都是1,则|a-b+2c|等于()(A)(B)5(C)6(D)【解析】选A.∵(a-b+2c)2=a2+b2+4c2-2a·b-4b·c+4a·c=1+1+4-2×1×1×cos60°-4×1×1×cos60°+4×1×1×cos60°=6-1-2+2=5，∴|a-b+2c|=.\n3.(2012·徐州模拟)给出下列命题：①②｜a｜-｜b｜=｜a+b｜是a,b共线的充要条件；③若a与b共面，则a与b所在的直线在同一平面内；④若则P,A,B三点共线．其中正确命题的序号是__________．\n【解析】由向量的运算法则知①正确；只有当向量a,b共线反向且|a|>|b|时成立，故②不正确；当a与b共面时，向量a与b所在的直线平行、相交或异面，故③不正确；由≠1知，三点不共线，故④不正确．综上可得①正确．答案：①\n4.(2012·兰州模拟)已知正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB1⊥BC1,求证:AB1⊥A1C.\n【证明】方法一:取建立基底.则由AB1⊥BC1⇒(a+c)·［c+(b-a)］=0,∴c2-a2=0,∵∴AB1⊥A1C.\n方法二:根据题意,建立空间直角坐标系如图所示,不妨设AB=a,AA1=b,则A(0,0,0),C(0，a,0),B1(a,a,b),B(a,a,0),C1(0,a,b),A1(0,0,b),\n∴由AB1⊥BC1⇒=0,即b2=a2,∵∴AB1⊥A1C.\n\n