高中全程复习方略配套课件：11.3二项式定理 50页

第三节二项式定理\n三年10考高考指数:★★★会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.\n1.二项展开式的通项公式的应用，利用通项公式求特定的项或特定项的系数，或已知某项，求指数n等是考查重点；2.赋值法、化归思想是解决二项展开式问题的基本思想和方法，也是高考考查的热点；3.题型以选择题和填空题为主，与其他知识点交汇则以解答题为主.\n1.二项式定理它表示第______项二项式定理二项式通项二项式系数(a+b)n=__________________________________________(n∈N*)Tr+1=__________,二项展开式中各项的系数为_____(r=0,1,2,…,n)\n【即时应用】(1)思考:(a+b)n展开式中，二项式系数(r=0,1,2,…,n)与展开式中项的系数相同吗?提示：不一定.二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念,二项式系数是指,它只与各项的项数有关，而与a,b无关；而项的系数是指该项中除变量外的部分，它不仅与各项的二项式系数有关，而且也与a,b所代表的项有密切关系.\n(2)=______.【解析】原式=(1-2)11=-1.答案：-1\n(3)的展开式中，x3的系数等于______.【解析】的通项为令得r＝2，，故x3的系数为答案：15\n2.二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即_________.(2)(a+b)n的展开式的各个二项式系数的和等于___，即____________________.(3)二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即2n\n【即时应用】(1)若的展开式中第3项的二项式系数是15，则展开式中所有项的系数之和为______.(2)已知(3-x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则a0-a1+a2-a3+a4等于_______.(3)已知(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)的值等于_______．\n【解析】(1)依题意，得＝15，即＝15，n(n－1)＝30(其中n≥2)，由此解得n＝6，因此展开式中所有项的系数之和为(2)由题意可知，令x＝－1，代入式子，可得a0-a1+a2-a3+a4＝［3－(－1)］4＝256.(3)分别令x＝1、x＝－1,得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0,a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝32，由此解得a0＋a2＋a4＝16，a1＋a3＋a5＝－16，所以(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)＝－256.答案：(1)(2)256(3)-256\n求二项展开式中特定的项或特定项的系数【方法点睛】1.理解二项式定理应注意的问题(1)Tr+1通项公式表示的是第“r+1”项，而不是第“r”项；(2)通项公式中a和b的位置不能颠倒；(3)展开式中第r+1项的二项式系数与第r+1项的系数在一般情况下是不相同的，在具体求各项的系数时，一般先处理符号，对根式和指数的运算要细心,以防出差错.\n2.求特定项的步骤第一步:根据所给出的条件(特定项)和通项公式建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n为正整数，r为非负整数，且r≤n)；第二步:根据所求项的指数特征求所要求解的项.\n【例1】(1)(2012·宁波模拟)在的展开式中，系数为有理数的项共有______项.(2)(2012·六安模拟)如果(1+x2)n+(1+x)2n(n∈N*)的展开式中x项的系数与x2项的系数之和为40，则n的值等于______.(3)(2012·黄山模拟)展开式中x2的系数为______.\n【解题指南】(1)先明确系数为有理数的项的特征，然后由二项展开式的通项找出符合条件的项的个数.(2)分别写出(1+x2)n与(1+x)2n的通项，再分别求出x项与x2项的系数进而求出n.(3)先明确(1-x)4与的通项，再让通项相乘，可得(1-x)4的通项，最后分情况讨论即可.\n【规范解答】(1)∵要求系数为有理数的项，则r必须能被4整除.由0≤r≤20且r∈N知，当且仅当r=0,4,8,12,16,20时所对应的项系数为有理数.答案：6(2)∵(1+x2)n的通项(1+x)2n的通项∴令r=1，r′=1，r′=2得：\n∴n2+n-20=0,∴n=4.答案：4(3)∵(1-x)4的通项r∈{0，1，2，3，4}的通项Tr′+1=，r′∈{0，1，2，3}∴的通项令,∴或\n当时,x2的系数为当时，x2的系数为∴x2的系数为-6答案：-6\n【反思·感悟】解决有理项是字母指数为整数的项的问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其为整数，再根据数的整除性来求解.若求二项展开式中的整式项，则其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项的方式一致.\n【变式训练】已知在二项式的展开式中,第6项为常数项.(1)求n;(2)求含x2的项的系数;(3)求展开式中所有的有理项.【解题指南】“第6项为常数项”是解决问题的突破口，据此，根据展开式求出n的值，为求解(2)(3)打下基础.\n【解析】(1)通项公式为因为第6项为常数项,所以r=5时,有=0,即n=10.(2)令,得∴所求的系数为(3)根据通项公式,由题意得\n令=k(k∈Z),则10-2r=3k,即∵r∈N,∴k应为偶数.∴k可取2,0,-2,即r可取2,5,8.所以第3项,第6项与第9项为有理项,它们分别为即\n二项式系数和或各项的系数和【方法点睛】赋值法的应用(1)对形如(ax+b)n、(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x=1即可；对形如(ax+by)n(a,b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x=y=1即可.\n(2)若f(x)=a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0+a2+a4+…=偶数项系数之和为a1+a3+a5+…=【提醒】“赋值法”是求二项展开式系数问题常用的方法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解题易出现漏项等情况，应引起注意.\n【例2】设(3x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4.(1)求a0+a1+a2+a3+a4;(2)求a0+a2+a4;(3)求a1+a3;(4)求a1+a2+a3+a4;(5)求各项二项式系数的和.【解题指南】本题给出二项式及其二项展开式，求各项系数和或部分项系数和，可用赋值法，即令x取特殊值来解决.\n【规范解答】(1)令x=1,得a0+a1+a2+a3+a4=(3-1)4=16.(2)令x=-1得a0-a1+a2-a3+a4=(-3-1)4=256,而由(1)知a0+a1+a2+a3+a4=(3-1)4=16.两式相加，得a0+a2+a4=136.\n(3)由(1)、(2)得(a0+a1+a2+a3+a4)-(a0+a2+a4)=a1+a3=-120.(4)令x=0得a0=1，亦得a1+a2+a3+a4=a0+a1+a2+a3+a4-a0=16-1=15.(5)各项二项式系数的和为\n【反思·感悟】1.在求解本例第(4)题时容易忽略a0的值导致错解.2.运用赋值法求值时应充分抓住代数式的结构特征，通过一些特殊值代入构造相应的结构.\n【变式训练】(1)已知(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，且a1＋a2＋…＋an－1＝29－n，则n＝_____；(2)已知(1－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若5a1＋2a2＝0，则a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1)nan＝______.【解析】(1)易知an＝1，令x＝0得a0＝n，所以a0＋a1＋…＋an＝30.又令x＝1，有2＋22＋…＋2n＝a0＋a1＋…＋an＝30，即2n＋1－2＝30，所以n＝4.\n(2)由二项式定理得，代入已知得－5n＋n(n－1)＝0，所以n＝6，令x＝－1得(1＋1)6＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6，即a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6＝64.答案：(1)4(2)64\n【变式备选】设(x2-x-1)50=a100x100+a99x99+a98x98+…+a0.(1)求a100+a99+a98+…+a1的值；(2)求a100+a98+a96+…+a2+a0的值.\n【解析】(1)令x=0,得a0=1;令x=1,得a100+a99+a98+…+a1+a0=1,所以a100+a99+a98+…+a1=0.(2)令x=-1,得a100-a99+a98-…-a1+a0=1,①而a100+a99+a98+…+a1+a0=1,②①+②整理可得a100+a98+a96+…+a2+a0=1.\n二项式定理的综合应用【方法点睛】二项式定理的综合应用(1)利用二项式定理做近似计算：当n不很大，|x|比较小时，(1+x)n≈1+nx.(2)利用二项式定理证明整除问题或求余数问题:在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都有除式的因式，要注意变形的技巧.\n(3)利用二项式定理证明不等式:由于(a+b)n的展开式共有n+1项，故可以对某些项进行取舍来放缩，从而达到证明不等式的目的.\n【例3】(1)求证：4×6n＋5n＋1－9能被20整除.(2)根据所要求的精确度，求1.025的近似值.(精确到0.01).【解题指南】(1)将6拆成“5+1”，将5拆成“4+1”,进而利用二项式定理求解.(2)把1.025转化为二项式，适当展开，根据精确度的要求取必要的几项即可.\n【规范解答】(1)4×6n＋5n＋1－9＝4(6n－1)＋5(5n－1)＝4［(5＋1)n－1］＋5［(4＋1)n－1］＝20［(5n－1＋＋…＋是20的倍数，所以4×6n＋5n＋1－9能被20整除.\n(2)1.025=(1+0.02)5=∵∴当精确到0.01时，只要展开式的前三项和，1+0.10+0.004=1.104，近似值为1.10.\n【互动探究】将本例(2)中精确到0.01改为精确到0.001如何求解?【解析】由本例(2)知，当精确到0.001时，只要取展开式的前四项和,1+0.10+0.004+0.00008=1.10408.近似值为1.104.\n【反思·感悟】利用二项式定理证明整除问题时，首先需注意(a＋b)n中，a，b中有一个是除数的倍数；其次展开式有什么规律，余项是什么，必须清楚.\n【变式备选】(1)除以9，得余数是多少？(2)求0.9986的近似值，使误差小于0.001.【解析】(1)=(7+1)n－1=8n－1=(9-1)n－1=9n-(i)当n为奇数时原式=∴除以9所得余数为7.\n(ii)当n为偶数时原式=∴除以9所得余数为0，即被9整除.(2)0.9986＝(1－0.002)6＝1＋6×(－0.002)1＋15×(－0.002)2＋…＋(－0.002)6.∵T3＝(－0.002)2＝15×(－0.002)2＝0.00006＜0.001，且第3项以后的绝对值都小于0.001，所以从第3项起,以后的项都可以忽略不计.所以0.9986=(1-0.002)6≈1+6×(-0.002)=1-0.012=0.988.\n【易错误区】对展开式中的项考虑不全面致误【典例】(2011·新课标全国卷)的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为()(A)-40(B)-20(C)20(D)40【解题指南】用赋值法求各项系数和，确定a的值，然后再求常数项.\n【规范解答】选D.令x=1，可得的展开式中各项系数和为1+a，∴1+a=2，即a=1.∵的通项公式∴的展开式中的常数项为\n【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示和备考建议：误区警示在解答本题时有两点容易出错：(1)各项系数的和与二项式系数和混淆，不能准确求出a的值；(2)对展开式中的常数项的构成考虑不全面，造成计算错误.\n备考建议解决二项展开式问题时，还有以下几点容易失误，在备考时要高度关注：(1)二项展开式的通项Tr+1中项数与r的关系搞不清；(2)不能正确写出二项式通项公式导致错误；(3)对于二项式定理的应用不会逆用公式而导致错误；(4)在展开(a-b)n时忽略中间的“-”号.在解决这些问题时，一定要准确理解题意，正确运用二项展开式的通项进行运算，才能避免此类错误.\n1.(2011·陕西高考)(4x-2-x)6(x∈R)展开式中的常数项是()(A)-20(B)-15(C)15(D)20【解析】选C.==令12x-3xr=0，则r=4，所以=15，故选C.\n2.（2011·重庆高考）（1+3x）n（其中n∈N且n≥6）的展开式中x5与x6的系数相等，则n=（）(A)6(B)7(C)8(D)9【解题指南】根据二项展开式的相关公式列出x5与x6的系数,然后根据系数相等求出n的值.【解析】选B.x5的系数为的系数为由可得,解之得n=7.\n3.(2011·山东高考)若展开式的常数项为60，则常数a的值为______.【解析】由二项式定理的展开式Tk+1==令6-3k=0，则k=2,答案：4\n4.(2011·浙江高考)设二项式(a＞0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B，若B=4A，则a的值是______.【解析】令r=2,得令r=4,得由B=4A可得a2=4，又a＞0，所以a=2.答案：2\n\n