高中数学课件棱柱棱锥棱台的结构特征 61页

第一章　空间几何体1.1空间几何体的结构第1课时　棱柱、棱锥、棱台的结构特征\n1.了解多面体和旋转体的含义.2.利用实物初步理解棱柱、棱锥、棱台的概念及结构特征.3.了解棱柱、棱锥、棱台中一些常用名称的含义.\n1.多面体的相关概念(1)定义：由若干个___________所围成的几何体.(2)相关概念：①面：围成多面体的各个_______;②棱：相邻两个面的_______;③顶点：_______的公共点.(3)多面体的分类：按围成多面体的___的个数分为四面体、五面体、六面体等.平面多边形多边形公共边棱与棱面顶点棱面\n2.旋转体(1)定义：由一个平面图形绕它所在平面内的一条_______旋转所形成的_____几何体.(2)轴：这条_______.定直线定直线封闭轴\n3.棱柱、棱锥、棱台的结构特征类别定义图形相关概念分类棱柱一般地,有两个面互相____,其余各面都是________,并且每相邻两个四边形的公共边都互相_____,由这些面所围成的多面体叫做棱柱如图,棱柱可记作：棱柱___________________________底面：两个互相______的面.侧面：__________.侧棱：相邻侧面的_______.顶点：______与底面的公共顶点依据：底面多边形的_____.举例：_______(底面是三角形)、_______(底面是四边形)……平行四边形ABCDEF-A′B′C′D′E′F′平行其余各面公共边侧面边数三棱柱四棱柱侧面侧棱底面顶点平行\n类别定义图形相关概念分类棱锥一般地,有一个面是_______,其余各面都是有______________的三角形,由这些面所围成的多面体叫做棱锥如图,棱锥可记作：棱锥_______底面：____________.侧面：有__________的各个三角形面.侧棱：相邻侧面的_______.顶点：各侧面的__________依据：底面多边形的边数.举例：三棱锥(底面是三角形)、四棱锥(底面是四边形)……多边形一个公共顶点S-ABCD形的面公共顶点公共边公共顶点侧棱顶点侧面底面多边\n类别定义图形相关概念分类棱台用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分叫做棱台如图,棱台可记作：棱台__________________上底面：原棱锥的截面.下底面：原棱锥的底面.侧面：其余各面.侧棱：相邻侧面的公共边.顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点.依据：由几棱锥截得.举例：三棱台(由三棱锥截得)、四棱台(由四棱锥截得)……ABCD-A′B′C′D′\n1.“判一判”理清知识的疑惑点(正确的打“√”,错误的打“×”).(1)如果四棱锥的底面是正方形,那么这个四棱锥的四条侧棱都相等.()(2)五棱锥只有五条棱.()(3)一个棱柱至少有五个面.()(4)棱台的各侧棱延长后交于一点.()\n提示：(1)错误.四棱锥的底面是正方形,它的侧棱可以相等,也可以不相等.(2)错误.五棱锥除了五条侧棱外,底面上还有五条棱,故共10条棱.(3)正确.因为一个棱柱最少有三个侧面,两个底面,故至少有五个面.(4)正确.因为棱台是由平行于棱锥底面的截面截得,所以棱台的各侧棱延长后交于一点.答案：(1)×(2)×(3)√(4)√\n2.“练一练”尝试知识的应用点(请把正确的答案写在横线上).(1)如图中的几何体叫做,PA,PB叫它的,平面PBC,平面PCD叫它的,平面ABCD叫它的.\n(2)棱柱的顶点最少有个,侧棱最少有条,棱最少有条.(3)下列几何体中,是棱柱的是(填序号).\n【解析】(1)观察该几何体为四棱锥,根据棱锥的结构特征可知PA,PB叫它的侧棱,平面PBC,平面PCD叫它的侧面,平面ABCD叫它的底面.答案：四棱锥　侧棱　侧面　底面(2)最简单的棱柱是三棱柱,有6个顶点,3条侧棱,9条棱.答案：639(3)根据棱柱的定义知,这4个几何体都是棱柱.答案：①②③④\n一、棱柱的结构特征探究1：观察下面的棱柱,思考下面的问题：(1)棱柱的侧棱长相等吗?侧面是什么四边形?提示：棱柱的侧棱长相等,侧面是平行四边形.\n(2)两个底面多边形是全等关系吗?与平行于底面的截面呢?提示：两个底面多边形是全等关系,与平行于底面的截面也是全等关系.(3)过不相邻的两条侧棱的截面是什么四边形?提示：因为棱柱每条侧棱都相等,每个侧面都是平行四边形,所以侧棱平行且相等,因此过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形.\n探究2：若一个几何体有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形,这个几何体是否是棱柱?提示：如图所示的几何体有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形,但这个几何体不是棱柱而是两个棱柱组合的几何体.其原因是不具备条件“每相邻两个四边形的公共边都互相平行”.\n【探究提升】对棱柱的两点说明(1)“面”：两个互相平行的面,其余各面都是平行四边形.(2)“线”：每相邻两个四边形的公共边互相平行.\n【拓展延伸】几类常见的特殊棱柱(1)直棱柱：侧棱与底面垂直的棱柱.(2)平行六面体：底面是平行四边形的棱柱.(3)直平行六面体：侧棱与底面垂直的平行六面体.(4)长方体：底面是矩形的直平行六面体.(5)正方体：棱长都相等的长方体.\n二、棱锥的结构特征探究1：观察下面的几何体,思考问题：\n(1)一个棱锥至少有个面;一个N棱锥分别有_____个底面,个侧面,条侧棱,个顶点.答案：41NN1(2)用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面与底面的关系如何?提示：它们是相似的多边形.(3)棱锥所有的面可以都是三角形吗?提示：可以,当棱锥的底面为三角形时,其所有的面都是三角形.\n探究2：有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥吗?提示：未必是棱锥.如图所示的几何体,满足各面都是三角形,但这个几何体不是棱锥,因为它不满足条件“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”.\n【探究提升】棱锥具有的三个特征(1)有一个面是多边形.(2)其余的各面是三角形.(3)这些三角形有一个公共顶点.三者缺一不可.\n三、棱台的结构特征探究1：观察下面的几何体,思考问题：\n(1)图①是棱台吗?提示：不是,因为该几何体的侧棱延长后不交于同一点,因此该几何体不是棱台.(2)用任意一个平面去截棱锥,一定能得到棱台吗?提示：不一定,只有用平行于棱锥底面的平面去截棱锥才能得到棱台.\n探究2：若一个几何体有两个面平行,且其余各面均为梯形,则它一定是棱台吗?\n提示：未必是棱台,因为它们的侧棱延长后不一定交于一点,如图,用一个平行于楔形几何体底面的平面去截楔形几何体,截面与底面之间的几何体虽有两个面平行,其余各面是梯形,但它不是棱台,所以看一个几何体是否是棱台,不仅要看是否有两个面平行,其余各面是否是梯形,还要看其侧棱延长后是否交于一点.\n【探究提升】对棱台的三点说明(1)画棱台：为保证侧棱延长后交于一点,可以先画棱锥再画棱台.(2)转化：如果解棱台问题遇到困难时,可以将它还原为棱锥再求解,因为它是由棱锥截来的.(3)计算：可以利用两底是相似多边形进行有关运算.\n类型一几何体概念的理解与应用尝试解答下面的问题,体会棱柱、棱锥、棱台的概念,并总结解决概念辨析题的关注点.1.下面描述中,不是棱锥的结构特征的为()A.三棱锥有四个面是三角形B.棱锥都是有两个面是互相平行的多边形C.棱锥的侧面都是三角形D.棱锥的侧棱相交于一点\n2.下列说法中正确的是()A.有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B.有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C.有一个面是多边形,其余各面都是梯形的几何体叫棱台D.有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形的几何体叫棱锥\n【解题指南】1.根据棱锥的结构特征判断.2.由棱柱、棱锥、棱台的概念及主要结构特征判断选项的正误.【解析】1.选B.根据棱锥的结构特征,知棱锥中不存在互相平行的多边形.2.选D.根据棱柱的结构特征可知A,B不符合,所以A,B错误;C不符合棱台的结构特征,所以错误;D满足棱锥的定义正确.\n【技法点拨】解答空间几何体概念辨析题的关注点(1)认清概念的本质及棱柱、棱锥、棱台的结构特征,采用举反例法排除错误的选项.(2)从底面多边形的形状,侧面形状以及它们之间的位置关系等角度紧扣几何体的结构特征进行判断.(3)棱柱、棱锥、棱台的判断要细心分析所给条件,不要凭直觉下结论.提醒：判断说法正误问题,要紧扣几何体的结构特征,理解棱柱、棱锥、棱台的概念.\n【变式训练】下列说法正确的是()A.棱柱的面中,至少有两个互相平行B.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面C.棱柱中各条棱长都相等D.棱柱的侧面是平行四边形,但它的底面一定不是平行四边形\n【解析】选A.由棱柱的定义知,棱柱的底面平行,故A正确;正方体相对的两个面平行,但其也可以是侧面,故B错误;棱柱的侧棱相等,但是各条棱不一定相等,故C错误;棱柱的侧面一定是平行四边形,但它的底面可以是平行四边形,也可以是其他多边形,故D错误.\n类型二几何体的结构特征试着解答下面的问题,并总结判断一个几何体为棱柱、棱锥、棱台的关键及三者之间的关系.1.下面的多面体中,棱台有个.\n2.如图,已知长方体ABCD-A′B′C′D′.(1)这个长方体是棱柱吗?如果是,是几棱柱?为什么?(2)用平面BCF′E′把这个长方体分成两部分后,各部分形成的几何体还是棱柱吗?如果是,是几棱柱?如果不是,说明理由.\n【解题指南】1.判断每一个几何体是否满足棱台的结构特征.2.根据棱柱的结构特征判断几何体是否为棱柱,再根据棱柱的分类标准确定是几棱柱.\n【解析】1.根据棱台的定义,可得到判断一个多面体是不是棱台的标准有三个：一是各侧棱延长后要交于一点;二是上下两个底面要平行;三是侧面是梯形.据此,在图(1)中多面体侧棱延长线不相交于同一点,故不是棱台;图(2)中多面体不是由棱锥截得的,不是棱台;图(3)中多面体虽由棱锥截得,但截面与底面不平行,因此也不是棱台.答案：0\n2.(1)是棱柱,并且是四棱柱,因为以长方体相对的两个面作底面都是四边形,其余各面都是矩形,并且几何体的四条侧棱互相平行.(2)截面BCF′E′上方部分是棱柱,且是三棱柱BE′B′-CF′C′,其中△BE′B′,△CF′C′是底面.截面BCF′E′下方部分是棱柱,且是四棱柱ABE′A′-DCF′D′,其中四边形ABE′A′和四边形DCF′D′是底面.\n【技法点拨】1.棱柱的三个特征\n2.判断一个几何体是否为棱台关键看三点(1)两底面相互平行且相似.(2)各侧棱延长后交于一点.(3)侧面是梯形.\n3.棱柱、棱锥、棱台之间的关系棱锥是当棱柱的一个底面收缩为一个点时形成的空间图形,棱台则可以看成是用一个平行于棱锥底面的平面截棱锥所得到的图形,它们的关系可用如图表示：\n【变式训练】用两个平面将如图所示的三棱柱ABC-A′B′C′分为三个三棱锥.\n【解析】如图,三棱柱ABC-A′B′C′可分为三棱锥C′-ABC、三棱锥B-A′B′C′和三棱锥C′-ABA′.\n类型三多面体的展开图通过解答下面的问题,总结多面体的展开与折叠问题的解决技巧和面上两点间最短距离的求解方法.1.如图代表未折叠的正方体的展开图,将其折叠起来,变成正方体后,图形是()\n\n2.如图是一个几何体的展开图,每个面内都给了字母,请根据要求回答问题：(1)如果字母A在多面体的底面,那么面会在上面.(2)如果F面在前面,从左边看是面B,那么面会在上面.\n3.已知三棱柱ABC-A′B′C′,底面是边长为1的正三角形,侧面为全等的矩形且高为8,求一点自A点出发沿着三棱柱的侧面绕行一周后到达A′点的最短路线长.\n【解题指南】1.将几何体折叠后,根据三条线段的位置关系可判断正确选项.2.将该几何体的展开图折起,折成立体图形,每个面上标上对应的字母,然后根据题目要求判断求解.3.将三棱柱沿一条侧棱剪开,展到一个平面上,转化为平面内两点间的距离.\n【解析】1.选B.由图可知,折叠后三条线段在相邻的三个平面内,并且互相平行,故排除A,C.又由原平面图知,只有两个平面是空白的,排除D,故选B.\n2.将该平面图形折叠成立体图形如图,其中A面与F面对面,E面与C面对面,B面与D面对面,所以可得：(1)因为A面与F面对面,字母A在多面体的底面,所以F面在上面.(2)因为E面与C面是对面,所以当E面在底面时,C面在上面;当C面在底面时,E面在上面.答案：(1)F(2)E或C\n3.将三棱柱侧面沿侧棱AA′剪开，展成平面图形如图，则AA″即为所求的最短路线．在Rt△AA1A″中，AA1=3，A1A″=8,所以AA″=\n【互动探究】题3条件不变，求一点自A点出发沿着三棱柱的侧面绕行两周后到达A′点的最短路线长．\n【解析】将两个相同的题目中的三棱柱的侧面都沿AA′剪开，然后展开并拼接成如图所示，则AA″即为所求的最短路线．在Rt△AA1A″中，AA1=6,A1A″=8,所以AA″=\n【技法点拨】1.多面体的展开与折叠问题解决技巧(1)解决与多面体表面展开图有关的问题,要结合多面体的结构特征,可以先给多面体的顶点标上字母,先画底面,然后依次画出各侧面,即可得到多面体的展开图.(2)对于平面图形的折叠,要根据展开图的特点,分析折叠后哪些边或点重合是关键.\n2.多面体面上两点间最短距离问题解决方法空间中,求分别在几何体两个表面上的两点间的最短距离问题,其解决方法一般是展开一个表面,把问题转化为平面内两点距离最短问题来解决.\n1.如图所示的几何体是()A.五棱锥B.五棱台C.五棱柱D.五面体【解析】选C.根据多面体的结构特征,知该几何体为棱柱,又该几何体有5条侧棱,所以该几何体为五棱柱.\n2.下列图形不是正方体表面展开图的是()【解析】选C.图C不能围成正方体.\n3.关于棱台,下列说法正确的是()A.两底面可以不相似B.侧面都是全等的梯形C.侧棱长一定相等D.侧棱延长后交于一点【解析】选D.只有D符合棱台的特征.选项A,B,C均不正确.\n4.如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1,过BC和AD分别作一个平面交底面A1B1C1D1于EF,PQ,则长方体被分成的三个几何体中,棱柱的个数是.【解析】三个几何体都是棱柱.答案：3\n5.如图,将装有水的长方体水槽固定底面一边后将水槽倾斜一个小角度,则倾斜后水槽中的水形成的几何体的形状是.【解析】可看作是以左右或前后两面为底面的四棱柱.答案：四棱柱\n6.说出图中几何体的名称,并用字母表示出该几何体,同时指出其顶点、侧面、底面及侧棱.\n【解析】该几何体为五棱锥,用字母可表示为棱锥P-ABCDE,顶点为点P,侧面为平面PAB,平面PBC,平面PCD,平面PDE,平面PEA,底面为平面ABCDE,侧棱为PA,PB,PC,PD,PE.