高中全程复习方略配套课件：4.4平面向量的应用 57页

第四节　平面向量的应用\n三年12考高考指数:★★★1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.\n1.以向量为载体考查三角函数、解析几何等问题是考查重点，也是热点.2.以向量为工具解决平面几何问题是难点.3.三大题型均可能出现，客观题主要考查向量的基础知识，与三角函数、解析几何综合的题目主要以解答题出现，难度中档偏上.\n1.向量在平面几何中的应用(1)平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题.(2)用向量解决常见平面几何问题的技巧①线平行、点共线、相似问题利用共线向量定理：a∥b⇔____________a=λb(b≠0)\n②垂直问题利用数量积的运算性质：a、b为非零向量,a⊥b⇔_______.③夹角问题利用夹角公式：cosθ=_____(θ为a、b的夹角)④距离问题设M(x0,y0)是平面上的一定点，它到直线l：Ax+By+C=0的距离为d=____________.a·b=0\n(3)用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题设向量运算还原\n【即时应用】判断下列命题的正误.(请在括号中填写“√”或“×”)①若则三点A、B、C共线.()②在△ABC中，若则△ABC为钝角三角形.()③在四边形ABCD中，边AB与CD为对边，若则此四边形为平行四边形.()\n【解析】①因共始点A，且故①正确；②∴∠B为锐角，不能判断△ABC的形状，故②不正确；③故③正确.答案：①√　　②×③√\n2.平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成和向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决.(2)物理学中的功是一个标量，是力F与位移s的数量积.即W=F·s=|F||s|cosθ(θ为F与s的夹角).\n【即时应用】(1)已知两个力F1、F2的夹角为90°，它们的合力F的大小为10N，合力与F1的夹角为60°,那么F1的大小为______.\n（2）如图，已知两个力的大小和方向，则合力的大小为_______N；若在图示坐标系中，用坐标表示合力，则合力的坐标为________.\n【解析】(1)如图所示.|F1|=|F|cos60°=10×=5(N).(2)F1=(2,3),F2=(3,1)，∴合力F=F1+F2=(2,3)+(3,1)=(5,4),∴合力的大小为答案：(1)5N(2)(5,4)\n向量在平面几何中的应用【方法点睛】平面几何问题的向量解法平面向量在平面几何中的应用主要体现在：利用|a|可以求线段的长度，利用(θ为a与b的夹角)可以求角，利用a·b=0可以证明垂直，利用a=λb(b≠0)可以判定平行等.\n【提醒】向量关系与几何关系并不完全相同，要注意区别，例如：向量　　　　并不能说明直线AB∥CD.\n【例1】(2011·天津高考)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点，则的最小值为______.【解题指南】以直角顶点为原点建立平面直角坐标系，用参数表示出点P、C、B、A的坐标，进而表示出，然后转化为函数问题求解.\n【规范解答】建立平面直角坐标系如图所示.设P(0,y),C(0,b),则B(1,b),A(2,0),则=(2,-y)+3(1,b-y)=(5,3b-4y).\n∴||2=25+(3b-4y)2(0≤y≤b),当时，||最小，||min=5.答案：5\n【反思·感悟】平面几何问题的向量解法(1)坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.(2)基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解.\n【变式训练】已知△ABC的三边长AC=3，BC=4，AB=5，P为AB边上任意一点，则的最大值为______.【解析】方法一：(坐标法)以C为原点，建立平面直角坐标系如图，设P点坐标为(x,y)且0≤y≤3,0≤x≤4,则当y=3时，取得最大值9.\n方法二：(基向量法)∵cos∠BAC为正且为定值，∴当最小即=0时，取到最大值9.答案：9\n向量在三角函数中的应用【方法点睛】平面向量与三角函数的综合问题的命题形式与解题思路(1)以向量为载体的三角函数问题的命题形式和解题思路是：一般题目条件给出向量，其中的坐标中含有三角函数的形式，然后根据题目已知条件找出等量关系，则得到三角函数的关系式，然后考查化简恒等变形，考查三角函数的图像性质.\n(2)平面向量借助三角函数考查的命题形式和解题思路是：一般给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模长或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等.\n【例2】(1)已知向量则函数g(x)=|a-b|的值域为______.(2)(2012·临川模拟)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量p=(),q=(cos2A,2sinA),且p∥q.①求sinA的值；②若b=2,△ABC的面积为3，求a.\n【解题指南】(1)利用向量的基本运算写出关于x的函数，然后求出值域.(2)①利用p∥q列出关于sinA的方程；②由sinA,b及S△ABC=bcsinA可求出c，再由余弦定理求a.\n【规范解答】(1)∵|a|=1，|b|=1，答案：［0,2］\n(2)①∵p∥q,∴cos2A=(1-sinA)·2sinA,∴6(1-2sin2A)=7sinA(1-sinA),5sin2A+7sinA-6=0,∴sinA=.(sinA=-2舍)②由S△ABC=bcsinA=3,b=2,得c=5,又∴a2=b2+c2-2bccosA=4+25-2×2×5cosA=29-20cosA,当时,a2=13,a=当时，a2=45,a=\n【互动探究】本例(2)中若p=(1-sinA,cosA),q=(sin2A,2sinA),且p⊥q，其他条件不变，又如何求sinA?【解析】∵p·q=(1-sinA)sin2A+cosA·2sinA=sin2A(2-sinA)=0,∵sinA∈(0,1］,∴2-sinA≠0,∴sin2A=0,又A∈(0,π),∴2A∈(0,2π),∴2A=π,A=,∴sinA=1.\n【反思·感悟】1.该类题的解题关键把向量关系转化为向量的运算，再进一步转化为纯三角函数的运算，即该类题的解题关键是“转化思想方法的应用”.2.向量在该类题中的作用向量作为载体，通过向量间的平行、垂直关系转化为三角函数运算.\n【变式备选】(2012·济南模拟)设△ABC三个角A，B，C的对边分别为a,b,c，向量p=(a,2b),q=(sinA,1),且p∥q.(1)求角B的大小；(2)若△ABC是锐角三角形，m=(cosA,cosB),n=(1,sinA-cosAtanB),求m·n的取值范围.【解析】(1)∵p=(a,2b),q=(sinA,1),且p∥q,∴a-2bsinA=0,由正弦定理得sinA-2sinBsinA=0.∵0＜A,B,C＜π,得或\n(2)∵△ABC是锐角三角形，于是由A+C=π-B=及0＜C＜,得结合得\n平面向量在解析几何中的应用【方法点睛】向量在解析几何中的作用(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题.\n(2)工具作用：利用a⊥b⇔a·b=0,a∥b⇔a=λb(b≠0),可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较可行的方法.\n【例3】已知两点M(-1,0),N(1,0)，且点P使成公差非负的等差数列.(1)求点P的轨迹方程;(2)若θ为与的夹角，求θ的最大值及此时点P的坐标.【解题指南】(1)设P(x,y),直接求点P的轨迹方程;(2)先求出cosθ的范围，再求θ的最大值.\n【规范解答】(1)设点P坐标为(x,y),则依题意得∴点P的轨迹方程为x2+y2=3(x≥0).\n(2)=(-1-x,-y)·(1-x,-y)=x2+y2-1=2,∴θ的最大值为此时x=0,∴点P的坐标为(0,±).\n【反思·感悟】1.向量法解决平面解析几何问题的关键是把点的坐标转换成向量的坐标，然后进行向量的运算.2.相等向量、共线向量、垂直向量的坐标形式经常用到，必须熟练掌握.\n【变式训练】（2012·渭南模拟）已知向量且m∥n,=(x,y)（O为坐标原点）.（1）求点M的轨迹C的方程；（2）是否存在过点F（1，0）的直线l与曲线C相交于A、B两点，并且曲线C上存在点P，使四边形OAPB为平行四边形？若存在，求出平行四边形OAPB的面积；若不存在，说明理由.\n【解析】(1)整理，得\n(2)设A(x1,y1)、B(x2,y2),由题意知l的斜率一定不为0，故不妨设l:x=my+1.代入椭圆的方程中整理得（2m2+3)y2+4my-4=0，显然Δ>0.由根与系数的关系有:假设存在点P，使四边形OAPB为平行四边形，其充要条件为即点P的坐标为（x1+x2,y1+y2),\n∵点P在椭圆上，即整理得又A，B在椭圆上，即故2x1x2+3y1y2+3=0③而x1x2=(my1+1)(my2+1)=m2y1y2+m(y1+y2)+1，则由此式及①②③式可解得1°当m=时，由①②式得从而\n2°当同理可求得综上，存在满足条件的点P，使四边形OAPB为平行四边形，且该平行四边形的面积为\n【易错误区】忽视对直角位置的讨论致误【典例】(2012·烟台模拟)已知平面上三点A、B、C，=(2-k,3),=(2,4).(1)若三点A、B、C不能构成三角形，求实数k应满足的条件；(2)若△ABC为直角三角形，求k的值.\n【解题指南】(1)三点A、B、C不能构成三角形，即A、B、C三点共线.(2)对A、B、C谁为直角顶点进行分类讨论.\n【规范解答】(1)由三点A、B、C不能构成三角形，得A、B、C在同一直线上，即向量与平行，∵∥,∴4(2-k)-2×3=0,解得(2)∵=(2-k,3),∴=(k-2,-3),\n∵△ABC为直角三角形，则当∠BAC是直角时，⊥,即·=0，∴2k+4=0，解得k=-2;当∠ABC是直角时，⊥，即·=0，∴k2-2k-3=0,解得k=3或k=-1;当∠ACB是直角时，⊥，即·=0，∴16-2k=0，解得k=8.综上得k∈{-2,-1,3,8}.\n【阅卷人点拨】通过阅卷数据分析与总结，我们可以得到如下误区警示和备考建议：误区警示解答本题易出现以下两个错误：(1)由于思维定势误认为第(2)问中的∠BAC一定是直角，从而使解答不完整.(2)混淆向量坐标运算中垂直与平行的充要条件导致错误.\n备考建议建议在学习平面向量的应用时，要高度关注以下两点：(1)加强向量的应用意识，自觉地用向量的思想和方法去思考问题，考虑问题要全面.(2)要熟记向量运算中的常用公式，如向量平行或垂直的坐标运算等.\n1.(2012·豫南四校联考)已知△ABD是等边三角形，且那么四边形ABCD的面积为()\n【解析】选B.如图所示，解之得又∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=故选B.\n2.(2012·衡阳模拟)如图，已知点P是圆C：x2+(y-)2=1上的一个动点，点Q是直线l:x-y=0上的一个动点，O为坐标原点，则向量在向量上的投影的最大值是()\n【解析】选A.设点P在OQ上的投影为点N，则PN⊥OQ，设直线PN交y轴于M(0,yM),lPN:x+y=n,当向量在上的投影最大时，lPN为圆C的一条切线，所以解得或(舍去)，则lPN:x+y=,yM=,|ON|=yMcos45°=3，故选A.\n3.（2012·榆林模拟）已知向量a=(x2,x+1)，b=(1-x,t).若函数f(x)=a·b在区间（-1，1）上是增函数，则t的取值范围是___________.【解析】依定义f（x）=x2(1-x)+t(x+1)=-x3+x2+tx+t,则f′(x)=-3x2+2x+t.若f(x)在（-1，1）上是增函数，则在（-1，1）上f′(x)≥0，得t≥3x2-2x在区间（-1，1）上恒成立.\n考虑函数g(x)=3x2-2x，由于g（x）的图像是对称轴为开口向上的抛物线，故要使t≥3x2-2x在区间（-1，1）上恒成立，则t≥g(-1)，即t≥5.而当t≥5时,f′(x)在（-1，1）上满足f′(x)＞0，即f(x)在（-1，1）上是增函数.故t的取值范围是t≥5.答案：t≥5\n4.(2012·北京模拟)在△ABC中，(1)求△ABC的边AB的长;(2)求的值.【解析】∴b2+c2-a2=2,a2+c2-b2=6⇒c2=4⇒c=2,即AB=2.\n∴acosB=3bcosA,∴sinAcosB=3sinBcosA.\n\n