高中数学精品课件：1.3.1.2 正弦函数的性质 19页

1.3.1（二）正弦函数的性质\n由正弦函数y=sinx的作图过程以及正弦函数的定义，容易得出正弦函数y=sinx还有以下重要性质.(1)定义域：正弦函数y=sinx的定义域是实数集R［或(－∞，＋∞)］，记作：y＝sinx，x∈R.\n(2)值域:因为正弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度；从正弦曲线可以看出，正弦曲线分布在两条平行线y=1和y=－1之间，所以｜sinx｜≤1，即－1≤sinx≤1,也就是说，正弦函数的值域是［－1，1］.\n正弦函数y=sinx,x∈R①当且仅当x＝＋2kπ，k∈Z时，正弦函数取得最大值1；②当且仅当x＝－＋2kπ，k∈Z时，正弦函数取得最小值－1\n(3)周期性:由sin(x＋2kπ)＝sinx(k∈Z)知：正弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的。当自变量x的值每增加或减少2π的整数倍时，正弦函数y的值重复出现。在单位圆中，当角α的终边饶原点转动到原处时，正弦线的数量（长度和符号）不发生变化，以及正弦曲线连续不断无限延伸的形状都是这一性质的几何表示。这种性质称为三角函数的周期性。\n一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期由此可知，2π，4π，……，－2π，－4π，……2kπ(k∈Z且k≠0)都是正弦函数的周期\n对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期。注意：(1)周期函数中，x定义域M，则必有x+TM,且若T>0，则定义域无上界；T<0则定义域无下界；\n(2)“每一个值”，只要有一个反例，则f(x)就不为周期函数（如f(x0+T)f(x0)）；(3)T往往是多值的（如y=sinx,T=2,4,…,－2,－4,…都是周期）周期T中最小的正数叫做f(x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）.\n根据上述定义，可知：正弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.(4)奇偶性:由sin(－x)＝－sinx,可知：y＝sinx为奇函数,因此正弦曲线关于原点O对称.\n(5)单调性从y＝sinx的图象上可看出：当x∈时，曲线逐渐上升，sinx的值由－1增大到1;当x∈时，曲线逐渐下降，sinx的值由1减小到－1。\n结合上述周期性可知：正弦函数在每一个闭区间［－＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1\n例1：设sinx=t－3，x∈R，求t的取值范围。解：因为－1≤sinx≤1,所以－1≤t－3≤1,由此解得2≤t≤4.\n例2：求使下列函数取得最大值的自变量x的集合，并说出最大值是什么.(1)y＝sin2x，x∈R;(2)y=sin(3x+)－1解：(1)令w＝2x，那么x∈R得Z∈R，且使函数y＝sinw，w∈R，取得最大值的集合是｛w｜w＝＋2kπ，k∈Z｝由2x＝w＝＋2kπ，得x＝＋kπ.\n即使函数y＝sin2x，x∈R取得最大值的x的集合是｛x｜x＝＋kπ，k∈Z｝函数y＝sin2x，x∈R的最大值是1.(2)当3x+=2k+即x=(kZ)时,y的最大值为0.\n例3：求下列三角函数的周期：y=sin(x+)；(2)y=3sin(+)(3)y=|sinx|解：(1)令z=x+而sin(2+z)=sinz即：f(2+z)=f(z),f[(x+2)+]=f(x+)∴函数的周期T=2.\n(2)y=3sin()解：令z=，则f(x)=3sinz=3sin(z+2)∴函数的周期T=4.=f(x+4)=3sin()=3sin(+2)\n(3)y=|sinx|解：f(x+π)=|sin(x+π)|=|sinx|,所以函数的周期是T=π.一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)（其中）的周期是\n例4：不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0,(1)sin(－)－sin(－)；(2)sin(－)－sin(－)．解：(1)∵且函数y＝sinx，x∈［－，］是增函数即sin(－)－sin(－)＞0\n(2)sin(－)＝－sinsin(－)＝－sin函数y=sinx在区间()内为增函数,∴sin(－)－sin(－)＜0.