【教案】高中数学《导数》教案 8页

导数的背景教学目标理解函数的增量与自变量的增量的比的极限的具体意义教学重点瞬时速度、切线的斜率、边际成本教学难点极限思想教学过程一、导入新课1.瞬时速度问题1：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？12析：大家知道，自由落体的运动公式是sgt（其中g是重力加速度）.2当时间增量t很小时，从3秒到（3＋t）秒这段时间内，小球下落的快慢变化不大.因此，可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落3秒时的速度.从3秒到（3＋t）秒这段时间内位移的增量：222ss3(t)s)3(3(9.4t)9.43294.t(9.4t)s从而，v294.9.4t.tss从上式可以看出，t越小，越接近29.4米/秒；当t无限趋近于0时，tts无限趋近于29.4米/秒.此时我们说，当t趋向于0时，的极限是29.4.ts当t趋向于0时，平均速度的极限就是小球下降3秒时的速度，也叫做t瞬时速度.一般地，设物体的运动规律是s＝s（t），则物体在t到（t＋t）这段时间ss(tt)s(t)s内的平均速度为.如果t无限趋近于0时，无限趋近于ttts某个常数a，就说当t趋向于0时，的极限为a，这时a就是物体在时刻tt的瞬时速度.2.切线的斜率2问题2：P（1,1）是曲线yx上的一点，Q是曲线上点P附近的一个点，当点Q沿曲线逐渐向点P趋近时割线PQ的斜率的变化情况.精品学习资料可选择pdf第1页，共8页-----------------------\n2析：设点Q的横坐标为1＋x，则点Q的纵坐标为（1＋x），点Q对于点P22的纵坐标的增量（即函数的增量）y1(x)12x(x)，2y2x(x)所以，割线PQ的斜率kPQ2x.xx由此可知，当点Q沿曲线逐渐向点P接近时，x变得越来越小，kPQ越来越接近2；当点Q无限接近于点P时，即x无限趋近于0时，kPQ无限趋近于2.这表明，割线PQ无限趋近于过点P且斜率为2的直线.我们把这条直线叫做曲线在点P处的切线.由点斜式，这条切线的方程为：y2x1.一般地，已知函数yf(x)的图象是曲线C，P（x0,y0），Q（x0x,y0y）是曲线C上的两点，当点Q沿曲线逐渐向点P接近时，割线PQ绕着点P转动.当点Q沿着曲线无限接近点P，即x趋向于0时，如果割线PQ无限趋近于一个极限位置PT，那么直线PT叫做曲线在点P处的切线.此时，割线PQ的斜y率kPQ无限趋近于切线PT的斜率k，也就是说，当x趋向于0时，割线xyPQ的斜率kPQ的极限为k.x导数的概念（教学目标与要求：理解导数的概念并会运用概念求导数。教学重点：导数的概念以及求导数教学难点：导数的概念教学过程：一、导入新课：上节我们讨论了瞬时速度、切线的斜率。虽然它们的实际意义不同，但从函数角度来看，却是相同的，都是研究函数的增量与自变量的增量的比的极限。由此我们引出下面导数的概念。二、新授课：1.设函数yf(x)在xx0处附近有定义，当自变量在xx0处有增量x时，则函数yYf(x)相应地有增量yf(x0x)f(x0)，如果x0时，y与x的比（也xy叫函数的平均变化率）有极限即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数x/yf(x)在xx0处的导数，记作yxx0，即精品学习资料可选择pdf第2页，共8页-----------------------\n/f(x0x)f(x0)f(x0)limx0x4.由导数的定义可知，求函数yf(x)的导数的一般方法是：（1）.求函数的改变量yf(xx)f(x)。yf(xx)f(x)（2）.求平均变化率。xx/y（3）.取极限，得导数y＝lim。x0x几种常见函数的导数n1n(1)C0（C为常数）.(2)(x)nx(nQ).(3)(sinx)cosx.11(4)(cosx)sinx.(5)(lnx)；(logax)logae.xxxxxx(6)(e)e;(a)alna.导数的运算法则''''''''u'uvuv（1）(uv)uv.（2）(uv)uvuv.（3）()(v0).2vv1、两个常用函数的导数：/n/n1*(C)0(x)nx(nN)2、导数的运算法则：如果函数f(x)、g(x)有导数，那么///[f(x)g(x)]f(x)g(x)；//[Cf(x)]Cf(x)也就是说，两个函数的和或差的导数，等于这两个函数的导数的和或差；常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数.例1：求下列函数的导数：3453（1）y7x（2）y3x（3）y4x3x22（4）y(x1)(x)2（5）f(x)(axb)(a、b为常数)138例2：已知曲线yx上一点P(2，)，求：33（1）过点P的切线的斜率；（2）过点P的切线方程.精品学习资料可选择pdf第3页，共8页-----------------------\n三、课堂小结：多项式函数求导法则的应用四、课堂练习：1、求下列函数的导数：223（1）y8x（2）y2x1（3）y2xx（4）y3x4x23（5）y(2x1)(3x)2（6）yx(x)422、已知曲线y4xx上有两点A（4，0），B（2，4），求：（1）割线AB的斜率kAB；（2）过点A处的切线的斜率kAT；（3）点A处的切线的方程.23、求曲线y3x4x2在点M（2，6）处的切线方程.函数的单调性与极值教学目标：正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；掌握利用导数判断函数单调性的方法；教学重点：利用导数判断函数单调性；教学难点：利用导数判断函数单调性教学过程：一引入：以前，我们用定义来判断函数的单调性.在假设x10时，函数y=f(x)在区间（2，）内为增函数；在区间（，2）内，/切线的斜率为负，函数y=f(x)的值随着x的增大而减小，即y0时，函数y=f(x)在区间（，2）内为减函数./定义：一般地，设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内y>0，那么函数y=f(x)/在为这个区间内的增函数；，如果在这个区间内y<0，那么函数y=f(x)在为这个区间内的减函数。2例1确定函数yx2x4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数。32例2确定函数y2x6x7的单调区间。y精品学习资料可选择pdf第4页，共8页-----------------------\n20x2极大值与极小值观察例2的图可以看出，函数在X=0的函数值比它附近所有各点的函数值都大，我们说f(0)是函数的一个极大值；函数在X=2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，我们说f(0)是函数的一个极小值。一般地，设函数y=f(x)在xx0及其附近有定义，如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大，我们说f(x0)是函数y=f(x)的一个极大值；如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小，我们说f(x0)是函数y=f(x)的一个极小值。极大值与极小值统称极值。在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。请注意以下几点：（ⅰ）极值是一个局部概念。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小。并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。（ⅱ）函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，x1是极大值点，x4是极小值点，而f(x4)>f(x1)。yf(x4)f(x1)oaX1X2X3X4bx（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。由上图可以看出，在函数取得极值处，如果曲线有切线的话，则切线是水平的，从而有3f(x)0。但反过来不一定。如函数yx，在x0处，曲线的切线是水平的，但这点精品学习资料可选择pdf第5页，共8页-----------------------\n的函数值既不比它附近的点的函数值大，也不比它附近的点的函数值小。假设x0使f(x0)0，那么x0在什么情况下是的极值点呢？yyf(x0)f(x)0f(x)0f(x)0f(x)0f(x0)oxoxaX0baX0b如上左图所示，若x0是f(x)的极大值点，则x0两侧附近点的函数值必须小于f(x0)。因此，x0的左侧附近f(x)只能是增函数，即f)(x0。x0的右侧附近f(x)只能是减函数，即f(x)0，同理，如上右图所示，若x是极小值点，则在x的左侧附近f(x)只能是减00函数，即f(x)0，在x0的右侧附近f(x)只能是增函数，即f(x)0，从而我们得出结论：若x0满足f(x0)0，且在x0的两侧f(x)的导数异号，则x0是f(x)的极值点，f(x0)是极值，并且如果f(x)在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f(x)的极大值点，f(x0)是极大值；如果f(x)在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f(x)的极小值点，f(x0)是极小值。13例3求函数yx4x4的极值。3yox三小结1求极值常按如下步骤：①确定函数的定义域；②求导数；/③求方程y=0的根，这些根也称为可能极值点；精品学习资料可选择pdf第6页，共8页-----------------------\n④检查在方程的根的左右两侧的符号，确定极值点。(最好通过列表法)四巩固练习1确定下列函数的单调区间：23（1）y2x5x7（2）y3xx2求下列函数的极值22（1）yx7x6（2）y2x5x323（3）yx27x（4）y3xx函数的最大与最小值（教学目标：1、使学生掌握可导函数f(x)在闭区间a,b上所有点（包括端点a,b）处的函数中的最大（或最小）值；2、使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法教学重点：掌握用导数求函数的极值及最值的方法教学难点：提高“用导数求函数的极值及最值”的应用能力一、复习：/n/1、x___________；2、Cf(x)g(x)_____________33、求y=x—27x的极值。二、新课在某些问题中，往往关心的是函数在一个定义区间上，哪个值最大，哪个值最小观察下面一个定义在区间a,b上的函数yf(x)的图象y发现图中____________是极小值，_________是极大值，在区间a,b上的函数yf(x)的最大值是______，最小值是_______在区间a,b上求函数yf(x)的最大值与最小值的步骤：axoX2Xx13b1、函数yf(x)在(a,b)内有导数．．．；．2、求函数yf(x)在(a,b)内的极值3、将．函数yf(x)在(a,b)内的极值与f(a),f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值42三、例1、求函数yx2x5在区间2,2上的最大值与最小值。/3解：先求导数，得y4x4x/3令y＝0即4x4x0解得x1,1x2,0x31精品学习资料可选择pdf第7页，共8页-----------------------\n/导数y的正负以及(f)2，)2(f如下表X－2（－2，－1）－1（－1，0）0（0，1）1（1，2）2/y0＋0－0＋y1345413从上表知，当x2时，函数有最大值13，当x1时，函数有最小值4在日常生活中，常常会遇到什么条件下可以使材料最省，时间最少，效率最高等问题，这往往可以归结为求函数的最大值或最小值问题。四、小结：1、闭区间a,b上的连续函数一定有最值；开区间(a,b)内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值。2、函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个。3、在解决实际应用问题中，关键在于建立数学模型和目标函数；如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义判断是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值进行比较。五、练习及作业：：21、函数yx5x4在区间1,1上的最大值与最小值32、求函数y3xx在区间3,3上的最大值与最小值。423、求函数yx2x5在区间2,2上的最大值与最小值。精品学习资料可选择pdf第8页，共8页-----------------------