2021年【教案】高中导数及其应用教案 61页

高中导数及其应用教案训练老师备课手册老师同学姓名填写时间2021.2.1姓名课时学科数学年级高三上课时间10:00-12:002小时方案教学内容中考复习三角形教学目标个性化学习问题解决基础学问回忆，典型例题分析教学重点.难点|精.|品.导数及其运用|可.|编.|辑.|学.学问网络|习.|资.|料.*|导数的定义*|导数的概念*|导数的物理及几何意义*||欢.|迎.基本初等函数的导数公式|下.|载.导数的运算导数导数的四就运算法就及复合函数的导数函数的单调性争论导数的应用函数的极值与最值争论教最优化问题学过运算定积分程定积分与微积分的基本定理定积分的应用第1讲导数的概念及运算★知识梳理★1.用定义求函数的导数的步骤.yy（1）求函数的转变量Δy；（2）求平均变化.（3）取极限，得导数f（x0）lim.率=xx0x2.导数的几何意义和物理意义几何意义：曲线f（x）在某一点（x0，y0）处的导数为过点（x0，y0）的切线的物理意义：如物体运动方程为（t），在点P（i0，s（t0））处导数的意义为0处的解析：斜率.；瞬时速度.3.几种常见函数的导数1/31第1页，共31页\n高中导数及其应用教案'nn1R）；c0（c为常数）；nx（n〔x〕'〔sinx；〔cosx〕；〕'11〔lnx〕；〔logalogae；x〕xxx'xx〔e〕e；alna.x'〔a〕解析：cosx;sinx;4.运算法就①求导数的四就运算法就：|精.'|品.|可.''''u|编.〔uuv；〔uv〕；〔v0〕.|辑.|学.vv|习.|资.〕|料.''*uvuv|解析：u''*vuv；|*2|v*|''''''|欢.②复合函数的求导法就：fx〔fyxyuux|迎.|下.〔x〔u〔x〕|载.〕〕〕或★重难点突破★1.重点：懂得导数的概念与运算法就，娴熟把握常见函数的运算和曲线的切线方程的求法2.难点：切线方程的求法及复合函数求导3.重难点：借助于运算公式先算平均增长率、再利用函数的性质解决有关的问题.（1）平均变化率的实际含义为转变量与自变量的转变量的比；问题1.比较函f〔x〕2xg〔x〕3x时、平均增长率的大小.、[1、数与当x2]点拨:解题规律技奇妙法总结:运算函数的平均增长率的基本步骤为(1)运算自变量的转变量xx2x1(2)运算对应函数值的转变量yff〔x2〕〔x2〕(3)运算平均增长率:yf〔x2〕f〔x1〕xx2x12121对于f〔x〕223、又对g〔x〕3382于3xy221、x21x2、y1x1故当x[1、2]g〔x〕的平均增长率f的平均增长率.时、大于〔x〕\n（2）求复合函数的导数要坚持“将求导进行究竟”的原就、问题2.已知〔1cos2x〕2、就y.y点拨：复合函数求导数运算不娴熟、其2x与x系数不一样也为一个复合的过程、有的同学忽视了、导致错解为:2sin2xcos2y〔1x〕.2/31第2页，共31页\n高中导数及其应用教案2设yu、1cos2x、就yuux2ucos22usin2〔2x〕uyx〔1x〕x〕〔2u〔sin2x〕24sin2xcos2x〕y4sin2xcos2x〕.〔1〔1（3）求切线方程时已知点为否切点至关重要；问题3.求2x23在点P〔1、5〕和Q〔2、9〕处的切线方程；y点拨：点P在函数的曲线上，因此过点P的切线的斜率就为y在x1处的函数值；点Q不在函数曲线上，因此不能够直接用导数求值，要通过设切点的方法求切线．切忌直接将P，Q|精.|品.看作曲线上的点用导数求解；|可.2|编.y2x3、y4x.yx14|辑.|学.|习.|资.|料.即过点P的切线的斜率为4，故切线为：y4x1．*|*|*y09|设过点的切线的切点为Ty，就切线的斜率为4x，*00，又kPQ|Qx2|欢.〔x0〕0|迎.|下.、|载.22x206故4x0，2x08x060.x01、3；x02即切线QT的斜率为4或12，从而过点Q的切线为：y4x1、12x15y★热点考点题型探析★考点1:导数概念题型1.求函数在某一点的导函数值[例1]设函数f〔x〕x0处可导，就limfx〕f〔x0〕x0〔x等于在x0A．f'B．f'C．〔xD．f〔x〕0〔x0〔xf〕0〕0〕【解题思路】由定义直接运算[解析]limfx〕f〔xlimf[x0〔ff〕.故选Bx0〔xx0〕x0x〔x00〔〕]〕x0〔x〕\nf〔xf【名师指引】求解此题的关键为变换出定义式limf〔x0〕x〔x〕〕x0x考点2.求曲线的切线方程[例2]〔高明一中2021届高三上学期第四次月考〕如图，函数yf〔x〕的图象在点P处的切线方程为yx8，就f〔5〕f〔5〕=.【解题思路】区分过曲线P处的切线与过P点的切线的不同，后者的P3/31第3页，共31页\n高中导数及其应用教案点不肯定在曲线上.解析:观看图P〔5〕〕、过P点的切线方程为形、设〔5、fyf〔5〕f'5〕即yf'〔5〕x〔5〕'〔5〕〔5〕f5f〔x它与yx8重合、比较系数f'〔5〕〔5〕3知:1、f故f〔5〕f〔5〕=2【名师指引】求切线方程时要留意所给的点为否为切点．如为，可以直接采纳求导数的方法求；不为就需设出切点坐标．题型3.求运算连续函yf〔x〕xx0处的瞬时变化率|精.数在点|品.|可.2|编.[例3]一球沿一斜面从停止开头自由滚下，10s内其运动方程为〔t〕〔位移单位：m，时间单位：|辑.|学.s〕，求|习.|资.小球在5时的加速度.|料.*【解题思路】运算连续函yf〔x〕xxyf〔x〕xx|0处的瞬时变化率实际上就为0处的导*数在点在点|*|数.*|22|欢.st〕5||迎下..解析：加速度limt〕slim〔〔5〕〔55|载.t0tt0tlim〔10+Δt〕=10.t0∴加速度22×5=10.yf〔x〕xx0处的瞬时变化率的基本步骤为在点【名师指引】运算连续函数yf〔xx〕f1.运算0〔x0y〕2.运算limx0x【新题导练】.121.曲线和yx在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积为.yx解析：曲线1x2y和在它们的交点坐标为〔1，1〕，两条切线方程分别为－2和2x－1，它们与yx3x轴所围成的三角形的面积为.4点拨::与切线有关的问题、应有运用导数的意识、求两曲线的交点坐标只要联立解方程组即可.2.某质点的运动方程为St1〕2，就在1s时的瞬时速度为（）〔2tA．－1B．－3C．7D．13\n解点拨:运limsst〕s〔1〕〔1即可算x0tt22C3.已知曲线1与C2－〔x－2〕、直线l与C1.C2都相切，求直线l的方程.解：设l与C221相切于点P〔x11〕、与C2相切于Q〔x2、－〔x2－2〕〕4/31第4页，共31页\n高中导数及其应用教案对于C1：y′=2x、就与C1相切于点P的切线方程为y－x2=2x〔x－x〕、即2x2x－x①1111122对于C2：y′=－2〔x－2〕、与C2相切于点Q的切线方程为〔x2－2〕=－2〔x2－2〕〔x－x2〕、即－2〔x2－2〕2－4②22x∵两切线重合，∴21=－2〔x2－2〕且－x12－4、解得x1=02=2或x1=22=0∴直线l方程为0或4x－4点拨:利用解方程组求交点、利用直线间的位置和待定系数法求斜率.考点2导数的运算题型1:求导运算[例1]求以下函数的导数：（1）yexcosx（2yx2tanx（3）yln〔x1〕）|精.【解题思路】按运算法就进行|品.|可.'|编.x'xx'xx|辑.[解析]yecosx、yecosxe〔cosx〕ecosxesinx|学.|习.（1|资.|料.）2*'sinxcosx|2'2'sinx〔sinx〕（2）*yxtanx、yx〔〕2x2|cosxcosx*|*||欢.1|迎.2x2|下.cosx|载.'1'1（3）y〔x1〕x1x1【名师指引】留意复合函数的求导方法（分解求导回代）；留意问题的变通：如xyxe的导x数简洁求错，但y的导数不易求错.xe题型2:求导运算后求切线方程2例2.〔广州市2021届二月月考〕已知f32ax23xxR〕.函数〔x3〔x〕（1）如1，点P为曲线yf〔x〕上的一个动点，求以点P为切点的切线斜率取最小值时的切线方a程；（2）如函数yf〔x〕〕上为单调增函数，试求满意条件的最大整数a.在〔0、【解题思路】先按运算法就求导、再按几何意义求切线方程.解析：（1）设切线的斜率为k，就f2x24x321〕21k〔〔x〕x55又f〔1〕，所以所求切线的方程为：yx1即33y20.33x【名师指引】求三次函数图象的切线在高考中常常显现.12与曲线yx相切于P处的切线方程为（D）〔e、e〕eA．yex2B．yex2C．y2xeD．y2xe题型3:求导运算后的小应用题降雨量例3.某市在一次降雨过程中、y〔mm〕\n〔min数关系可近似地表示为与时间t〕的函yf〔t〕10t、就在时刻40min的降雨强度为〔〕t11A.20mmB.400mmC.mm/minD.mm/min245/31第5页，共31页\n高中导数及其应用教案【解题思路】先对t的求导、再代t的数值.1551解析:f'10f'〔40〕选D〔t〕、210t10t4004【名师指引】求某一时刻的降雨量相当于求瞬时变化率、即那一时刻的导数值.【新题导练】.4.设函数fx〔xk〕2k〕3k〕，f〔0〕6，就k〔x〔x〔x且〕A．0B．-1C．3D．-6思路分析:按导数乘积运算法就先求导、然后由已知条件构造关于k的方程求解.解:f'〔x〕〔xk〕〔x3k〕2kx〕〔2xk〕3k〕xk〕3k〕xk〕2〔x〔x〔x〔x〔x〔xk〕3|精.故f'〔0〕6k又6f〔、0故〕k1|品.|可.|编.|辑.5.设函数f〔x〕〔xa〕〔xb〕〔xc〕，（a.b.c|学.|习.|资.为两两不等的常数），abc|料.就*|*．|*f〔a〕f〔b〕f〔c〕|*解析:f'〔x〕〔xa〕〔xb〕〔xb〕〔xc〕〔xc〕〔xa〕代入即得0..212|6.质量为10kg的物体s〔t〕4的规律作直线运动、动Emv、就物体在运动4s后的动|欢.2|迎.按3tt能|下.|载.能为解析:先求瞬时速度后、再代入公式求解提3125J基础巩固训练1.〔广东省六校2021届高三其次次联考试卷〕f〔x〕为13f〔x〕2x1的导函数，就f〔1〕的值x3为．解析:f'x22故〔1〕=3〔xf〕2.〔广东省2021届六校其次次联考yxcosx在处的导数值为.〕x313解析：y'cosxxsinx故填2623.已知直线2y－4=0与抛物线y=4x相交于A.B两点，O为坐标原点，P为抛物线的弧上求一点P，当△面积最大时，P点坐标为.\n解析：为定值，△面积最大，只要P到的距离最大，只要点P为抛物线的平行于的切线的切点，设P（）.由图可知，点P在x轴下方的图象上1111∴－2x、∴y′、∵、∴－=－2x2－x6/31第6页，共31页\n高中导数及其应用教案2∴4、代入y=4x〔y<0〕得－4.∴P〔4、－4〕1274.〔广东省深圳市2021年高三年级第一次调研考试〕已f〔x〕lng〔x〕xmx0），x知，（m22直线l与函数f〔x〕.g〔x〕的图像都相切，且f〔x〕的图像的切点的横坐标为1．求直线l的方程及与函数m的值；解：依题意知：直线l为函数f〔x〕lnx在点〔1、0〕处的切线，故其斜率1kf〔1〕1，1所以直线l的方程为yx1．又由于直线l与g〔x〕的图像相切，所以由|精.|品.yx1|可.|编.|辑.127x1〕x0，〔m|学.yxmx22|习.|资.22|料.*|*|得〔m1〕290m24不合题意，舍去）；*|（m*|5.〔湛江市试验中学2021届高三第四次月考〕|欢.|迎.|下.已知函数1a〔a为常〕、l与函数f的图象都相切，且l|载.flnx、gx2g〔x〔x〕2数直线〔x〔x〕〕、〕与函数f〔x〕图象的切点的横坐标为1、求直线l的方程及a的值；解由f〔x〕1，故直线l的斜率为1，切点为〔f〔1〕〕|x11、1即（1，0）∴l:x1①又∵〔x切点为〔1、a〕ygx12〕、11∴l:y〔x1即xa②y2a〕211比较①和②的系数得a1、a22综合拔高训练6.对于三次函数fax3bx2cxd0〕，定义：f〔x〕为yf〔x〕的导函数〔x〔a设函数〕yf〔x〕的导f〔x〕0有x0，就称点〔f〔x0〕〕yf〔x〕的“拐点”；现已数，如实数解x为函数知0、32f〔x〕x3x2x2、请解答以下问题:（1）求函f〔x〕的“拐点”A的坐标;数\n（2）求证f〔x〕的图象关于“拐点”A对称;并写出对于任意的三次函数都成立的有关“拐点”的一个结论（此结论不要求证明）.[解析]〔x〕6x2，〔x〕6.令f〔x〕60得（1）f2f3x6x6x33222.拐点A〔1、2〕x1，f〔1〕17/31第7页，共31页\n高中导数及其应用教案32（2）设P〔x、y〕为yf〔x〕图象上任意一点，就yx〕关于3x2x2，由于P〔x、y00000000A〔1、2〕的Px0、4y0〕，把P代yf〔x〕得对称点为〔2入32左边4yx3x2x2、00003232右边〔2x〕3〔2x〕2〔2x〕2x3x2x2000000右边=右Px0、4y0〕yf〔x〕图yf〔x〕关于A对称边〔2在象上7.已知定义在正实数集上的函数f12xb，其中a0；设两曲线x2ax、g〔x〕2〔x3aln2|精.〕|品.yf〔x〕、yg〔x〕|可.有公共点，且在公共点处的切线相同；|编.|辑.|学.（1）如a1，求b的值；|习.|资.|料.*（2）用a表示b，并求b的最大值；|*|*|*解：（1）设yfyg0〕在公共〔x0〕处的切线相同|〔x〕与〔x〕〔x点|欢.、y0|迎.|下.3|载.f'x2、g'〔x〔x〕〕x12x2x3lnxb000由题意知f〔xg'20〕g'〔x〔x0〕，3〔x0〕、f0x20∴x〕03由x02得，x01，或x03（舍去）x05即有b2（2）设yfyg0〕在公共〔x0、y0〕处的切线相同〔x〕与〔x〕〔x点23af'〔x〕x2a、g'x〔x〕2122ax3alnxbx0002由题意知fg'g'23a〔x0〔x0〕〔x0〔x0〕，x2a0〕、f〕∴x023a由x02a得，a，或x03a（舍去）x0x0\n222即有b122a3alna523alnaaa22令h〔t〕52t23tlnt0〕，h'〔t〕2tt〕，于为2〔t就〔13ln8/31第8页，共31页\n高中导数及其应用教案13当2t〔13lnt〕0，即0te时，h'〔t〕0；1当2t〔13lnt〕0，即3te时，h'〔t〕012233故h〔t〕在〔0、〕的he，故b的最大值333e最大值为〔e为2〕28.设三次函数fax3bx2cxd〔abc〕、1处取得极值，其图象在xm处的切线的〔x在x〕b斜率为3a；求证：01；a''解：〔Ⅰ〕方法一.f2bxc.由题设，得f〔1〕3a2bc0①2|精.〔x〕3ax|品.'2|可.f3am2bmc3a②|编.|辑.〔m〕|学.|习.|资.|料.∵abc，∴6a3a2bc6c，∴a0、0；*22|由①代入②得3am2bm2b0，∴4bc24ab0，*|*b26bbb|得〔〕0、∴6或0③*|aaaa|欢.|迎.|下.b|载.将c3a2b代入abc中，得11④ab由③.④得01；a3a2bc0（1方法二.同上可得：2）－2b－c代入（2）可得：将（1）变为：3a3ma2bm3ac0（2）22mcmcb2b20，所以ab0，就01mm1123a〔m〕243a2bc0（1方法三：同上可得：3a2b代入（2）可得：2）将（1）变为：c3ma2bm3ac0（2）223m3am2b1〕0，明显1，所以〔mmba1m'由于f〔x〕2bxc图象的开口向下，且有一根为x1=123ax由韦达定理得xxcc12、x20x13a3a2cbf〔m〕3a0、所以〔、1〕，b3m0，由abc得：11，就m即m3ab\n所以：01a1maa第2讲导数在争论函数中的应用★知识梳理★9/31第9页，共31页\n高中导数及其应用教案1.函数的单调性与导数的关系一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间〔a、b〕f〔x〕0，那yf在这个区间内；假如内，假如么函数〔x〕f〔x〕0，那么函数yf〔x〕在这个区间内.解析：单调递增；单调递减2.判别f〔x0〕为极大.微小值的方法如x0满足f0，且在x0的两侧f的导数异号，就x0f〔x〕的极值f〔x0〕为极〔x0〔x为点，值，〕〕并且假如fx0两侧满意“左正右负”，就x0为f〔x〕的，〔x0〕为极大值；f〔xf假如〔x〕|精.|品.〕在|可.|编.在x0两侧满意“左负右正”，就x0为f的微小值点，f〔x0〕为|辑.|学.〔x〕|习.|资.解析：极大值点；微小值.|料.*3．解题规律技奇妙法总结:求函数的极值的步骤:|*(1)确定函数的定义区间，求导数f′〔x〕.|*(2)求方程f′〔x〕=0的根.|*(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成如干小开区间，并列成表格.检查||欢.f′〔x〕在方程根左右的值的符号，假如左正右负，那么f〔x〕在这个根处取得极大值；假如左负右|迎.|下.|载.正，那么f〔x〕在这个根处取得微小值；假如左右不转变符号，那么f〔x〕在这个根处无极值.4．求函数最值的步骤：（1）求出f〔x〕在〔a、b〕上的极值.（2）求出端点函数值f〔a〕、f〔b〕.（3）比较极值和端点值，确定最大值或最小值.★重难点突破★1.重点：熟识利用导数处理单调性.极值与最值的一般思路，娴熟把握求常见函数的单调区间和极值与最值的方法2.难点：与参数相关单调性和极值最值问题3.重难点：借助导数争论函数与不等式的综合问题（1）在求可导函数的极值时，应留意可导函数的驻点可能为它的极值点，也可能不为极值点；问题1.设0，fx1ln2x2alnx0〕．Fxf〔x〕，F〔x〕在〔0，∞〕内a〔x〕〔令〔x争论的单调x〕性并求极值；f〔x〕2lnx2a点拨:依据求导法就，x0，1有xx2x2故F〔x〕xfx2lnx2a，0，于为F〔x〕1，x0，〔x〕xxx列表如下：x〔0，2〔2，〕2〕故知F〔x〕在内为减函数，在〔2，∞〕内为增F〔x〕0〔0，2〕函数，\n所以，在x2处取得微小值F〔2〕22lnF减微小值F〔2〕增22a．〔x〕（2）借助导数处理函数的单调性，进而争论不等关系关键在于构造函数.问题2.已知函f为〕上的可导函数，xff〔x〕0时恒成立.数〔x〔0如〔x〕在x〕、10/31第10页，共31页\n高中导数及其应用教案（1）求证：函gf在〕上为增函数；数〔x〔〔0〕x、〕x（2）求证：当x10、0时，有fx2fx2〕.x2〔x1〕〔x1点拨:由xf〔f〔x〕转f为增函数为解答此题关键.类似由x化为〔〕x〕xxf〔x〕f〔x〕0xf〔x〕为增函数等摸索问题的方法为我们必需学会的.转化为fxff（1）由g〔xg、因为〔f〔x〕，〕〔〔x〔x得〔xxfx〕〕x〕〕x〕2xf所以g〔x〕00时恒成立，所以函数g在〕上为增函数.在x〔x〔〔0〕x、〕x|精.f|品.（2）由（1）知函g在〕上为增函数，所以当x10时，|可.〔x0、|编.数〔0|辑.〔x〕x2|学.、〕x|习.f|资.fx2fx2f〕|料.有〔x成立，*〕1〔〕〔x2|〔x1〕*、|xx2x1x2x2*1|x1x2x1x1*|从而f〔xfx2ffx2〕|欢.x1x2x1x2|迎.〕〔x〕〔x〔x12|下.|载.、〕11两式相加得fx2ff〔x2〕〔x〕〔x11〕★热点考点题型探析★考点1:导数与函数的单调性题型1.争论函数的单调性1，x1例1〔08广东高f1x，Ffkx，xR，试争论函考〕设kR，函数〔x〔x〕〔x〕〕\nx1，x≥1数F〔x〕的单调性．【解题思路】先求导再解f'〔x〕f'〔x〕00和112k、x1、x〔1x〕【解析】Ff〔x〕1F'kx1〔x〕kxkx、〔xx1、、、〕k1xxx11、、2x11对于F〔x〕kx1〕，〔x1x当k0时，函数F〔x〕在〔、1〕上为增函数；11当k0时，函数F〔x〕在〕上为减函数，在、1〕上为增函数；〔k、1〔1k11/31第11页，共31页\n高中导数及其应用教案对于F〔x〕1k1〕2x1〔，x当k0时，函数F〔x〕在1、上为减函数；11当k0时，函数F1上为减函数，在1上为增函数；2〔x〕、4k、在214k【名师指引】解题规律技奇妙法总结:求函数单调区间的一般步骤.（1）求函数f的导数f2）令〔x〕0f〔x〕0〔x〔f解不等式，得x的范畴就为单调增区间;令〕x（〕解不等式，得x的范畴就为单调减区间（3）对比定义域得出结论.|精.1|品.2|可.[误区警示]求函数单调区间时，简洁忽视定义域，如求函yln〔xxx的单调增区间，错|编.|辑.数1〕2|学.|习.|资.|料.误率高，请你一试，该题正确答案为〔1、0〕.*|*|*题型2.由单调性求参数的值或取值范畴|*|3|欢.例2:如faxx在区间[－1、1]上单调递增，求a的取值范畴.|迎.|下.〔x|载.〕【解题思路】解这类题时、通常f'〔x〕0f〔x〕在区间[a、b]上递增〕或令〔函数f'〔x〕0〔函数f〔x〕在区间[a、b]上递减〕、得出恒成立的条件、再利用处理不等式恒成立的方法获解.2解析：f〔x〕3ax1又〔在区间[－1、1]上单调递增fx〕211f〔x〕10在[－1、1]上恒成立即在xt[－1、1]的最大值为23axa3x311a故a的取值范畴[、]为33【名师指引】:此题主要考查函数的单调性与导数正负值的关系、要特殊留意导数值等于零的用法.题型3.借助单调性处理不等关系x例3.当0，求证e1xx【解题思路】先移项、再证左边恒大于0x解析：设函数f〔x〕〔1f〔x〕e1xex〕x0x当x0时，ee1，fe10故f在[0、〕递增，当0时，〔x〔xx〕〕\n0xf〔x〕ffe〔10〕0，f〔x〕0，〔1x〕0，故e1x〔0〕x〔0即e、又〕【名师指引】如要证的不等式两边为两类不同的基本函数，往往构造函数，借助于函数的单调性来证明【新题导练】.1.如函数f3－2+1在〔0、2〕内单调递减，就实数a的取值范畴为〔x〕≥32≤3D.00恒成立，在〔－∞∞〕上为增函数，没有减区间.∴答案：Aa3.已知函数f〔x〕lnx、、设Ffg〔x〕．|精.|品.g〔x〕〔a〔x〕〔x|可.0〕〕x|编.|辑.（Ⅰ）求函数F〔x〕的单调区间；|学.|习.|资.1|料.*（Ⅱ）如以函数yF〔0图像上任意一点P〔xk恒成|0、y0〕为切点的切线*〔x〕〔x、2|的斜率3]〕*立，求实数a的最小值；|*1axa|a|欢.解析：（I）Fxfxgxlnxx0，F'x022x|迎.|下.xxxx|载.∵a0，由F'x0x，∴Fx在上单调递增；a、a、由F'x0x0、a，∴Fx在0、a上单调递减；∴Fx的单调递减区间为0、a，单调递增区间为a、；xa（）F'x0x3，2xx0a112kF'x0x3恒成立axx02000x022max121当x1时，xx取得最大值；0002211∴a，∴amin22考点2:导数与函数的极值和最大〔小〕值.题型1.利用导数求函数的极值和最大〔小〕值1例1.如函数fmcosxsin2x在x处取得极值、就m.〔x24〕0【解题思路】如在x'''0邻近的左侧f〔x〕f〔x〕0，f〕0、那ff〔x〕的0，右侧且〔x么〔x0〕极为'''大值；如在x0邻近的左侧f〔x〕〔0，且f〕0、那ff〔x〕的微小值.0，右侧fx〔么〔x0〕x0为〕\n[解析]因f可f'msinxcos2x'msincos0、解、所f〔为〔x导、且〔x以42得〕〕〕41m0.体会证当m0时、函数fsin2x在x处取得极大值.〔x〕2413/31第13页，共31页\n高中导数及其应用教案【名师指引】如f为可导函数，留意f〔x0〕0为x0为f极值点的必要条件.要确定极值〔x函数〔x〕〕点仍需在x0左右判定单调性.2例2．（2021·深圳南中）设函fx〔xa〕（x0，求函数f的极大值和数〔xR），其中a〔x〕〕微小值．【解题思路】先求驻点，再列表判定极值求出极值；解析：.x〔x32a2xfx2ax，〔xa2〕〕22f〔x〕3x4axa〔3xa〕〔xa〕．a令f〔x〕0，x或xa．|精.3|品.解得|可.|编.|辑.由于0，当x变化时，f〔x〕的正负如下表：|学.|习.a|资.|料.*x〔、aaa|〕〔，a〔a、〕*|33a〕3*|*||欢.f〔x〕00|迎.|下.|载.aaa因此，函数fx处取得微小值f〔〕，f43且〔a；〔x〕〕在33327函数f〔在xa处取得极大值ff〔a〕0．x〔a〕，〕且【名师指引】求极值问题严格按解题步骤进行；例3.〔广东省深圳外国语学校2021届高三上学期其次次统测〕已知函fxlnx.数〔x〕（Ⅰ）求f〔x〕的最小值；（Ⅱ）如对全部x1都有fax1，求实数a的取值范畴.〔x〕【解题思路】先求极值再求端点值、比较求出最大〔小〕值.当区间只有一个极大〔小〕值时、该值就为最大〔小〕值解析：f的定义域为〔0，+〕，1分〔x〕f〔x〕的导数f〔x〕1x.3分ln1令f〔x〕1〔x〕0，解得0x.；令f0，解得eex1从而f〔x〕在0\n1，+单调递增.5分单调递减，在，ee所以，当x11时，〔x〕取得最小值.6分fee（Ⅱ）解法一：令gf〔x〕1〕，就〔x〕〔axg〔x〕fa1alnx，8分〔x〕①如a1，当1时，g〔x〕1lnx1a0，xa故g〔x〕在〔1，+〕上为增函数，所以，x1时，gg〔1〕10，即fax1.10分〔xaa1〔x〕〕②如a1，方程g〔x〕0的根e为x0，此时，如x〔1，x0〕，〔x〕g〔x〕在该区间为减函数.就g0，故所以x〔1，x0〕gg〔1〕1a0，时，〔x〕即f〔x〕ax1，与题设fax1相冲突.13分〔x14/31〕第14页，共31页\n高中导数及其应用教案综上，满意条件的a的取值范畴为，1].14分〔解法二：依题意，fax1在〕上恒成立，得〔x[1，〕1即不等式alnx对于[1，〕恒成立.8分xx11111令g〔x〕，就〔1.10分2lnxgx〕xxxxx11当x1时，由于g〔10，x〕xx故g〔x〕为〕上的增函数，所以g〔x〕的最小g〔1〕1，13分〔1，值为所以a的取值范畴为〔，1].14分【名师指引】求函数f在闭区间a、b上的最大值（或最小值）的步骤：①fa、b内的极〔x求〔x〕|精.〕在|品.大（小）值，②将极大（小）值与端点处的函数值进行比较，其中较大者的一个为最大者，较小的一|可.|编.|辑.个为最小者．|学.|习.题型2.已知函数的极值和最大〔小〕值，求参数的值或取值范|资.|料.畴；例3．（广东省六校2021届高三其次次联考）*|32*|*已知函数fxxaxbxc图像上的点P1、处的切线方程为y3x1．|*2||欢.|迎.（1）如函数fx在x2时有极值，求fx的表达式|下.|载.（2）函数fx在区间2、0上单调递增，求实数b的取值范畴【解题思路】求函数的解析式一般用待定系法法，求参数的取值范畴一般需建立关于参数的不等式（组）'2解析：fx3x2axb，2分由于函数fx在x1处的切线斜率为-3，所以f'132ab3，即2ab0，3分又f11abc2得abc1；4分（1）函数fx在2时有极值，所以f'2124ab0，5分x解得a243，7分、、bc32所以fxx2x4x3．8分'2（2）由于函数fx在区间2、0上单调递增，所以导函数fx3xbxb在区间2、0上的值恒大于或等于零，10分\nf'2122bb0、就得b4，所以实数b的取值范畴为4、14分f'0b0、【名师指引】已知f在xx0处有极值，等价于f'〔x〕0；〔x〕15/31第15页，共31页\n高中导数及其应用教案【新题导练】1524．yx2x3在区间上的最大值为，就a=（）[a、2]4131C.D.13A.B.或22222解析：选B15y〔x14在[a、上的最大值为，a1且在xa时，〕2]42131215y最大a2a3，解之或（舍去），a选B.22aa42325．f〔x〕x3x2在区间[1、1]上的最大值为|精.|品.|可.|编.A．2B．0C．D．4|辑.|学.2|习.2|资.[解3x6x3x2〕，0可得x0或2（2舍去），当1x0时，|料.ff*析]〔x〕〔x〔x〕|令*|f〔x〕0，当0f0，所以当x0时，f（x）取得最大值为2.选C*|x1时，〔x*|〕3|欢.6．已知函数faxcxd〔a0〕为R上的奇函数，x1时f取得极值2.|迎.|下.|载.〔x当〔x〕〕（1）求f的单调区间和极大值；〔x〕（2）证明对任x、x〔1、1〕、|ff〕|4恒成立.意不等式〔〕x〔x1212[解析]（1）由奇函数定义，f〔f〔x〕、xR.即有x〕3332axcxdaxcxd、d0.因此，faxcxf'〔x〕3axc.〔x、〕由条件f〔1〕2为f的极值，必有f'〔1〕0、〔x〕ac2故、解得a1、c3.3ac03因此f〔x3f'〔x〕331〕1f'f'〔1〕0.x、2x3x〔x〔x〕〔〕、1〕当x〔、f'〔x〕0，f〔x〕在单调区间〔、1〕上为增函数.1〕时，故\n当x〔1、f'〔x〕0，f在单调区间〔1、1〕上为减函数.1〕时，故〔x〕当x〔1、〕f'〔x〕0，f在单调区间〔1、〕上为增函数.时，故〔x〕所以，f〔x〕1处取得极大值，极大值为f〔1〕2.在x（2）由〔1〕fx33x[1、1]〕为减函数，且知，〔x〔x〕f〔x〕在[1、1]上的最大值Mf〔1〕2、最小值mf〔1〕2.为为16/31第16页，共31页\n高中导数及其应用教案所以，对任意x1、〔1、1〕、ff〔x2〕|M2〔2〕4.x2恒有|〔x1m〕[方法技巧]善于用函数思想不等式问题、如此|ffff〔x〕min.题〔x1〔x2〔x〕max〕〕|★抢分频道★基础巩固训练1．（广东省六校2021届高三其次次联考试卷）y'y=f〔x〕函数f〔x〕的定义域为开区间〔a、f〔x〕在内的图b〕，导函数〔a、b〕象如下列图，就函f〔x〕在〔a、b〕内有微小值点共有（）b数oxa|精.A．1个B．2个C．3个D．4个|品.|可.解析：观看图象可知，只有一处为先减后增的，选A|编.|辑.|学.|习.3|资.2．.函数13xx有（）|料.*y|A.微小值－1，极大值1B.微小值－2，极大值3*|C.微小值－2，极大值2D.微小值－1，极大值3*|*2||欢.解析：y33x3〔1x〕〔1x〕，0得x1、x1|迎.|下.令y|载.当x1时，0；当1x1时，0；当1，y0yyxx1时，y微小1，当1y3，应选D.极大x3．函数〔x〕－x、在区间〔0］上的最大值为A.1－eB.－1C.－eD.01解析：y′=－1、令y′=0、即1、在〔0，e］上列表如下：xx〔0、1〕1〔1〕ey′+0－y增函数极大值－1减函数1－e由于f〔e〕=1－e、而－1＞1－e、从而y最大〔1〕=－1.答案：B4．〔广东深圳外国语学校2021—2021学年高三第二次月考〕如a1，求函数f〔x〕xlna〕〔〕〕的单调区间.〔x〔x0、[解析]11〔、fx2xxa〕〔x令f〔x〕0、得112xxa4x2xxa\n2a〕、22f〔x〕0x4〕xa0、〔2a同样、fx24〕xa20、(x)〕〔02a2〔2a44a16a〕、〕〔12（当a.>1时，对x∈（0，+∞）f〔x〕>0，∴当a.>1时，f〔x〕在（0，+∞）上为恒有增函数；17/31第17页，共31页\n高中导数及其应用教案325．（汕头市金山中学2021届高三上学期11月月考）已知函数f（x）+3x－1，问为否存在实数a，使得f（x）在（0，4）上单调递减？如存在，求出a的范畴；如不存在，说明理由；解：f（x）=23+6x－1.要使f（x）在[0，4]递减，就当x∈（0，4）时，f（x）<0；a0'a0f〔0〕0'a0∴f0或f'〔4〕或，解得a≤－3.0〔00〕f'〔4〕0114或0aa综合拔高训练6．（东莞高级中学2021届高三上学期11月教学监控测试）已知函数f32－3x在±1处取得极值.|精.〔x〕|品.|可.|编.（Ⅰ）求函数f〔x〕的解析式；|辑.|学.|习.（Ⅱ）求证：对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值x1，x2，都有〔x1〕－f〔x2〕|≤4；|资.|料.*|（Ⅲ）如过点A（1，m）（m≠－2）可作曲线〔x〕的三条切线，求实数m的取值范畴.*|2*解：（I）f′〔x〕=3+2－3，依题意，f′〔1〕′〔－1〕=0，|*||欢.3a2b30|迎.|下.即2分|载.3a2b30、解得1，0.3∴f〔x〕－3x.4分3（）∵f〔x〕－3x、∴f′2－3=3〔1〕〔x－1〕，〔x〕=3x当－10，f〔x〕在〔0、〕上递增②当a0x时，令2ax1得222x4ax4a0解得：22222x2a2aa1、x2a2aa1，因0（舍去），故在〔02、2aa1)上〔x〕x2af<0，121f〔x〕递〔22aa21、〕上，〔x〕>0，f〔x〕递增.减；在2af（2）由（1）gx1lnx在〔0、222〕内递减，在〔222、〕内递知〔x增.〕[gg〔222〕12ln〔222〕〔x〕]min故x1lnx12ln〔222〕，又22225e因2故12ln〔222〕12lne210，得x1lnx第3讲导数的实际应用\n★知识梳理★利用导数解决生活.生产优化问题，其解题思路为：优化问题函数模型优化问题的解解决数学问题20/31第20页，共31页\n高中导数及其应用教案★重难点突破★1.重点：利用于数学学问建立函数模型，借助于导数解决最优化问题；2.难点：建模的过程3.重难点：仔细审题，建立数学模型，解决与函数有关的最优化问题.（1）关注由导数的定义和物理意义处理实际应用问题问题1：路灯距地平面为8m、一个身高为1.6m的人以84m/min的速率在地面上行走，从路灯在地平面上射影点C，沿某直线离开路灯，求人影长度的变化速率v.点拨：利用导数的物理意义解决设路灯距地平面的距离为DC，人的身高为EB.设人从C点运动到B处路程为x米，时间为t〔单位：秒〕，为人影长度，设为y、就ABBE∵BE//CD，∴|精.ACCD|品.|可.|编.|辑.y1.6、又84m/min1.4m/s、17|学.yxt1.4t〕|习.∴|资.yx8∴〔x420|料.*|7*7|∵y、∴人影长度的变化速率m/s.*|为20*20|（2）利用导数处理最大（小）值问题为高考常见题型.|欢.|迎.问题2.（2006·江苏）请您设计一个帐篷；它下部的外形为高为1m的正六棱柱，上部的外形为侧棱|下.|载.长为3m的正六棱锥（如右图所示）；试问当帐篷的顶点O究竟面中心O1的距离为多少时，帐篷的体积最大？[剖析]设OO1为xm、就由题设可得正六棱锥底面边长为O223〔x182xx（单位：m）〕22于为底面正六边形的面积为（单位：m）O223223333〔x1〕6〔82xx〕〔82x帐篷的体积为m）2（单位：x〕42332133V〔x〕〔82xx〕〔x1〕1〔1612xx〕23232求导数，得V〔123x〕令〔x〕0解2〔不合题意，舍去〕、x2.〔xV得x〕2当1x2时，〔x〕0、4时，〔x〕V〔x〕为减函数；VV〔x〕为增函数；当2xV0、所以当2V〔x〕最大.OO1为2m时，帐篷的体积最大.x时、答当\n★热点考点题型探析★考点:最优化问题题型1.函数模型中的最优化问题21/31第21页，共31页\n高中导数及其应用教案例1.设工厂到铁路线的垂直距离为20、垂足为B.铁路线上距离B为100处有一原料供应站C、现要在铁路之间某处D修建一个原料中转车站、再由车站D向工厂修一条大路.假如已知每千米的铁路运费与大路运费之比为3:5、那么应选在何处、才能使原料供应站C运货到工厂A所需运费最省.【解题思路】由勾股定理建模.3a22解析：设之间的距离为x、就x20100x.假如大路运费为a元、那么铁路运费元.故从为5原料供应站C途经中转站D到工厂A所需总运费y为3ax〕2x400、〔0x100〕.ya〔100523aaxa3x22对该式求导、得y400〕0、即得25xx400〕、解之〔5x、=9〔令y2|精.5x24005x400|品.|可.|编.|辑.得|学.|习.|资.x=15x15〔不符合实际意义、舍x=15为函数y在定义域内的唯独驻点、所x=15为函数去〕.且以|料.1211*|*y的微小值点、而且也为函数y的最小值点.由此可|*知、车站D建于之间并且与B相距15处时、运费最|*省.||欢.|迎.【名师指引】这为一道实际生活中的优化问题、建立的目标函数为一个复合函数、用过去的|下.|载.学问求其最值往往没有一般方法、即使能求出、也要涉及到较高的技能技巧.而运用导数学问、求复合函数的最值就变得特别简洁.例2.某产品按质量分为10个档次、生产第一档〔即最低档次〕的利润为每件8元、每提高一个档次、利润每件增加2元、但在相同的时间内产量削减3件.在相同的时间内、最低档的产品可生产60件.问在相同的时间内、生产第几档次的产品的总利润最大.有多少元.思路分析:在肯定条件下、“利润最大”“用料最省”“面积最大”“效率最高”“强度最大”等问题、在生产.生活中常常用到、在数学上这类问题往往归结为求函数的最值问题.除了常见的求最值的方法外、仍可用求导法求函数的最值.但无论实行何种方法都必需在函数的定义域内进行.解法一:设相同的时间内、生产第x〔x*∈N、1≤x≤10〕档次的产品利润y最大.2分依题意、得［8+2〔x－1〕］［60－3〔x－1〕］4分2=－6x2+108378=－6〔x－+864〔1≤x≤10〕、8分9〕明显、当9时864〔元〕、即在相同的时间内、生产第9档次的产品的总利润最大、最大利润为864元.10分解法二:由上面解法得到－6x2+108378.求导数、得y′=－12108、令y′=－12108=0、解得9.因9∈［1、10］只有一个极值点、所以它为最值点、即在相同的时间内、生产第9档次的产品利润最大、最大利润为864元.【名师指引】一般情形下、对于实际生活中的优化问题、假如其目标函数为高次多项式函数.简洁的分式函数简洁的无理函数.简洁的指数.对数函数、或它们的复合函数、均可用导数法求其最值.由此也可见、导数的引入、大大拓宽了中学数学学问在实际优化问题中的应用空间.题型2:几何模型的最优化问题【名师指引】与最值有关的问题应合懂得模、使问题获解.例3.〔07上海春季高考〕某人定制了一批地砖.每块地砖〔如图1所示）为边长为0.4米的正方形ABCD，点E.F分别在边和上，△CFE.△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成△CFE.△ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格之比依次为3:2:1.如将此种地砖按图2所示的形\n式铺设，能使中间的深色阴影部分成四边形EFGH.22/31第22页，共31页\n高中导数及其应用教案(1)求证：四边形EFGH为正方形；(2)E.F在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？图1|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.图2|料.*|*|90后得到，CFE*|【解题思路】图2为由四块图1所示地砖绕点C按顺时针旋转△为等腰直角三角形，*||欢.EFGH|迎.|下.|载.四边形为正方形.[解析]〔2〕设x，就0.4x，每块地砖的费用CEBE为W，制成△CFE.△ABE和四边形AEFD三种材料的每平方米价格依次为3a.2a.a〔元〕，1211Wx3a0.4〔0.x〕2a0.16120.4〔0.x〕ax2222442ax0.2x0.24a〔x0.10.23、0x0.4.2〕由a0，当0.1时，W有最小值，即总费用为最省.x答：当CECF0.1米时，总费用最省.【名师指引】处理较复杂的应用题审题时要逐字逐句地去啄磨.题型3:三角模型的最优化问题例4.如电灯B可在桌面上一点O的垂线上移动，桌面上有与点O距离为a的另一点A，问电灯与点0的距离怎样，可使点A处有最大的照度？（BAO、r、照度与sin成正比，与r2成反比）BA【解题思路】如图，由光学学问，照度y与sin成正比，与r2成反比，sin即yC（C为与灯光强度有关的常数）要想点A处有最2r大的照度，只需求y的极值就可以了.x解析：设O到B的距离为x，就sin，x2a2rr\n23/31第23页，共31页\n高中导数及其应用教案22xxa2x于为ysinCC〔0x〕，C0.C2335rry22222〔xa〔xa〕2〕aa当y0时，即方程a2x20的根为（舍）与，在我们争论的半闭区间0、2x1x222aa内，所以函数yf〔x〕取极大值，也为最大值；即当电灯与O点距离为时，点A的照度在点22y为最大.|精.aa|品.（0，）〔|可.|编.2、|辑.|学.〕2|习.|资.|料.y+-*|*|y↘*↗|*||欢.|迎.|下.点评：在有关极值应用的问题中，绝大多数在所争论的区间上函数只有一点使得f〔x〕=0且在|载.该点两侧，f〔x〕的符号各异，一般称为单峰问题，此时，该点就为极值点，也为最大（小）值点.【名师指引】多参数的数学应用题要留意分清哪些为主元、哪些为参数;函数最值有关的问题通常利用导数求解比较便利.【新题导练】.1．在边长为60的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积为多少？x解析:设箱底边长为x，就无盖的方底箱子的高为30〔cm〕，其体V〔cm3〕，〔cm〕积为213就Vx2'360x，令V'60x0，30xx60〕Vx20，得3x22〔022''解得x40（0已舍去）且仅当x〔0、时，V0；当〔40、时，V0.所以函40〕x60〕数V〔x〕40时取得极大值，结合实际情形，这个极大值就为函数V〔x〕的最大值.在x3V〔40〕16000，故当箱底边长为40cm16000cm.时，箱子容积最大，最大容积为\n2..一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时10公里时的燃料费为24/31第24页，共31页\n高中导数及其应用教案每小时6元，而其他与速度无关的费用为每小时96元，问此轮船以何种速度航行时，能使行驶每公里的费用总和最小？设船速度为x0〕时，燃料费用为Q元，就Qkx3，由k103可得3，∴3x3，〔6k500Q500x3313296696∴总费用y〔x96〕x，，令y0得20，当〔0、20〕xx时，y2500x500x500xy0，此时函数单调递减，当x〔20、〕0，此时函数单调递增，∴当x20时，y取时，y得最小值，∴此轮船以20公里/小时的速度使行驶每公里的费用总和最小．|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.★抢分频道★|料.基础巩固训练*|*|*1.我国儿童4岁前身高增长的速度最快的为在哪一个年龄段.答:|*据有关统计资料、我国儿童4岁前身高情形有一组统计数据||欢.|迎.年0.511.522.533.54|下.|载.龄/岁身0.50.60.70.80.91.01.01.1高/米23353162思路分析::要判定这一个问题.必需要运算每半年这个群体长高的平均增长率、再加以比较即可、通过运算每半年长高的平均增长率分别为2.2、2、2.4、1.6、1.6、1、1.2可知我国儿童在1.5岁至2岁这一时段身高增长的速度最快2.（2021·深圳6校）某日中午12时整，甲船自A处以16km/h的速度向正东行驶，乙船自A的正北18km处以16km/h的速度向正南行驶，就当日12时30分时两船之间距离对时间的变化率为.解析:距离对时间的变化率即瞬时速度；即此时距离函数对时间变量的导数；将物理学概念与数学中的导数概念迁移到实际应用题中来；易求得从12点开始，x小时时甲乙两船的距离22d〔16〔24x〕x〕1811'd〔24x2216x16224x24〕，22〕〔〕〔〔16x〕18218当x0.5时，d1.6'3.要建造一个长方体外形的仓库，其内部的高为3m，长和宽的和为20m，就仓库容积的最大值为31800m.解：设长为xm，就宽为〔20x〕m，仓库的容积为V就Vxx〕360x〔2023x\nV6x60，令0得x10V当0x10时，0；当10时，V0Vx25/31第25页，共31页\n高中导数及其应用教案x10时，V最18003大〔m〕4.要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20，要使体积为最大，就其高应为.解：设圆锥底面半径为2022，r400h，圆锥体积一2r，高为h，就h天2r12121312203Vrh〔400h〕h〔400hh〕，令V〔4003h〕0得h，当33333203203h时，0；时，V020Vh33h|精.203203|品.h时，V最大，当应填cmk|可.|编.33|辑.|学.5.质量为5的物体运动的速度为〔18t－23t〕、在时间2s时所受外力为.|习.|资.|料.分析:此题主要考查导数的物理意义即速度v〔t〕对时间的导数为该时刻的加速度.*|解:∵v′=18－6t、∴v′2=18－6×2=6.∴2时物体所受外力F为6×5=30.*|*|*综合拔高训练||欢.6.在长为100千米的铁路线旁的C处有一个工厂，工厂与铁路的距离为20千米.由铁路上的|迎.|下.B处向工厂供应原料，大路与铁路每吨千米的货物运价比为5∶3，为节省运费，在铁路的D处修|载.一货物转运站，设距离为x千米，沿直线修一条大路〔如图〕.(1)将每吨货物运费y〔元〕表示成x的A100函数.20xDB(2)当x为何值时运费最省？C解：〔1〕设大路与铁路每吨千米的货物运价分别为5k.3k〔元〕〔k为常数〕，就100－x.22222CDADACx20x400∴每吨货物运费〔100－x〕·3400·5k〔元〕2x22x5x3x400〔2〕令y′=－35k··0222x400x4002∴5x－3x400=0∵x>0，∴解得15当015时，y′>0∴当15时，y有最小值.答：当x为15千米时运费最省.7.〔广东省2021届六校第二次联考〕设某物体一天中的温度T为时间t的函数，已知32T〔t〕atbtctd0〕，其中温度的单位为℃，时间的单位为小时．中午12:00相应的0，中〔a午12:00以后相应的t取正数，中午12:00以前相应的t取负数（如早上8：00相应的4，下午16：00相应的4）．如测得该物体在早上8:00的温度为8℃，中午12:00的温度为60℃，下午\n13:00的温度为58℃，且已知该物体的温度早上8:00与下午16:00有相同的变化率.（1）求该物体的温度T关于时间t的函数关系式；26/31第26页，共31页\n高中导数及其应用教案（2）该物体在上午10:00到下午14:00这段时间中〔包括端点〕何时温度最高？最高温度为多少？解：〔1〕由于2T3at2btc2分、而T4T3分4、故48a8bc48a8bcT0、T4d60a1.6分T1a6b4ac16db548cd8cb0348a8bc48a8bcd603∴Ttt3t60〔12〕.7分12t|精.|品.2|可.〔2〕T3t3、由T〔t〕0得t1或t19分|编.|辑.|学.|习.当t在[2、、2]上变化时，上变化时，T〔t〕与T〔t〕的变化情形如下表:|资.|料.*|*x-2（-2，-1）-1（-1，1）1（1，2）2|*|*||欢.T〔t〕+0－0+|迎.|下.|载.极大值微小值T〔t〕58增函数减函数增函数62625812分由上表知当t1或t2时T〔t〕取到最62，说明在上午11：00与下午14：00，该物体温度最大值高，最高温度为62℃.8.今有一块边长a的正三角形的厚纸，从这块厚纸的三个角，按右图那样切下三个全等的四边形后，做成一个无盖的盒子，要使这个盒子容积最大，x值应为多少？a3解：折成盒子后底面正三角形的边长为a2x〔0x〕，高为hxtan30x23设：容积为V，就123Vsh〔a2x〕sin60xx23a232axaxx422aV3x2ax4aa令V0得、x（舍去）xb2aa当0x时，0；当时，V0xbV627/31\n第27页，共31页\n高中导数及其应用教案33333aaaa4aax时，V最大b2163624216543a答：x为时，盒子的容积最大为ab54高考实战演练11.（此题满分12分）已知函数f〔a〕lnx.（aR）〔xx2〕2（Ⅰ）当a1时，求f〔x〕在区间[1，e]上的最大值和最小值；|精.|品.|可.|编.|辑.（Ⅱ）如在区间（1，+∞）上，函f的图象恒在直线y2ax下方，求a的取值范畴．|学.|习.数〔x|资.|料.〕2*1x1|解析：（Ⅰ）当1*时，f1x2lnx，〔x〕x；2分|a2x*〔xfx|*〕||欢.对于x[1，e]，有f〔x0，∴f在区间[1，e]上为增函数，3分|迎.|下.〕〔x|载.〕12e∴fmax〔x〕f〔e〕，fminf.4分1〔x〕〔122〕12（Ⅱ）令gf2ax〔a〕2axlnx，就g的定义域为（0，+∞）.〔x〔xx2〔x5分〕〕〕在区间（1，+∞）上，函f的图象恒在直线y2ax下方等价于g0在区间（1，+∞）数〔x〔x〕〕上恒成立.2∵g〔x〕1〔2a1〕x2ax1〔1〕1〕1]〔1〕x2ax[〔2ax2axxx11①如a，令〔0，得极值点x11，，6分gxx22a12〕1当x2x11，即a1时，在（x2，+∞〕上〔x〕0，2有g此时g〔x〕在x2，+∞〕上为增函数，并且在该区间上有区间〔g〔x〕∈〔g〔x2〕，+∞〕，不合题意；7分a时，同理可知，当x2x11，即1\n〔1，+∞〕上，有g〔x〕在区间g〔x〕∈〔g〔1〕，+∞〕，也不合题意；9分1②如a，就有2a10，此时在区间〔1，+∞〕上g〔x〕0，2恒有从而g〔x〕在区间〔1，+∞〕上为减函数；11分28/31第28页，共31页\n高中导数及其应用教案要使g〔x〕0在此区间上恒成立，只须满意g11a0a，〔122〕由此求得a的范畴为11，].[2211综合①②可知，当a∈，]时，函数f〔x〕的图象恒在y2ax下方.12分[22直线322.（2021浙江文）（此题满分15分）已知函数fxa〕a2〕xb〔a、bR〕．〔xx〔a〔1〕（I）如函f〔x〕的图象过原点，且在原点处的切线斜率为3，求a、b的值；数（）如函数f在区间〔1、1〕上不．单．调．，求a的取值范畴．〔x〕解析（Ⅰ）由题意得f3x22a〕a〔a2〕〔x〔x〕1|精.f〔0〕b|品.|可.0，解得0，3或a1又ba|编.|辑.f〔0〕a〔a2〕3|学.|习.|资.（Ⅱ）函数f〔x〕在区间〔1、1〕不单调，等价于|料.*|*导函数f〔x〕在〔1、1〕既能取到大于0的实|*|数，又能取到小于0的实数即函数f〔x〕*||欢.|迎.在〔1、1〕上存在零点，依据零点存在定理，有|下.f〔1〕f〔1〕0，即：[32〔1a〕a〔a2〕][32〕]0|载.2〔1a〕a〔a2整理得：5〕1〕〔a0，解得5a1〔a〔a1〕3.（2021北京文）（本小题共14分）3设函数f〔x〕x3axb〔a0〕.（Ⅰ）如曲线yf〔x〕在f〔x〕〕处与直8相切，求a、b的值；点〔2、线y（Ⅱ）求函数f的单调区间与极值点.〔x〕解析此题主要考查利用导数争论函数的单调性和极值.解不等式等基础学问，考查综合分析和解决问题的才能．'（Ⅰ）fx3x23a、∵曲线yf〔x〕在f〔x〕〕处与直8相切，点〔2、线y'f2034a0a4、∴\nf2886ab8b24.（Ⅱ）∵f'x3x2aa0、'当a0时，fx0，函数f〔x〕在、上单调递增，此时函数f没有极值点.〔x〕'当a0时，由fx0xa，当x'a时，fx0，函数f〔x〕单调递增，、29/31第29页，共31页\n高中导数及其应用教案当x'a时，fx0，函数f〔x〕单调递减，a、当x'单调递增，时，fx0，函数fa〔x、〕∴此时xa为f的极大值点，xa为f的微小值点.〔x〔x〕〕4.〔2021山东卷文〕（本小题满分12分）13已知函数faxbx2x3、其中a0〔x3〕（1）当a、b满意什么条件时f取得极值.〔x、〕|精.（2）已知0、f〔x〕在区间〔0、1]上单调递增、试用a表示出b的取值范畴.|品.|可.a且|编.|辑.|学.解:〔1〕由已知得f'〔x〕2bx1、令f'0、22bx10|习.ax、|资.2〔x〕得|料.ax*|2*f〔x〕要取得极ax2bx10必需有解、|*值、方程|*222|所以△4b4a0、即ba、此时方程2bx10的根为|欢.|迎.ax|下.|载.22222b4b4abba2b4b4abbax1、x2、2aa2aa所以f'a〔xx1〕〔x〔xx2〕当a〕0时、x〔-∞1〕x1〔xx2〔x12〕2∞〕f’〔x〕＋0－0＋f〔x〕增函数极大值减函数微小值增函数所以f〔在x1、x2处分别取得极大值和微小值.x〕当a0时、x〔-∞x2〔x21〕x1〔x2〕1∞〕f’〔x〕－0＋0－\nf〔x〕减函数微小值增函数极大值减函数所以f〔在x1、x2处分别取得极大值和微小值.x〕综上、当a、b满意af取得极值.2时、b〔x〕〔2〕要使f在区间〔0、1]上单调递f'ax22bx10在〔0、1]上恒成立.〔x增、需使〔x〕〕11ax、〔0、1]恒成立、ax〕max即b〔x所以b22x22x30/31第30页，共31页\n高中导数及其应用教案21a〔x〕设g〔x〕ax1、g'a1a〔x〕、2222x22x2x11令g'〔x〕0或〔舍去〕、得xxaa111ax1当a1时、、当〔〕g'〔x〕g单调增函数;000〔xx、时、〕aa22x1ax1当x〔、1]时g'g单调减函数、〔x〕0、〔x22xa〕|精.|品.11|可.|编.所以当时、g〔x〕取得最大、g〔〕a.|辑.|学.x最大值为a|习.a|资.|料.*|所以ba*|*|1ax1*|当0a11、此g'〔x〕0在区间〔0、1]恒成g在区间〔0、1]|欢.22x|迎.时时立、所以〔x上|下.a|载.、〕a1a1单调递增、1时g最大、最大值g、所以b当x〔x〕为〔122〕a1综上、当a1时、ba;当a1时、b02【命题立意】:此题为三次函数、利用求导的方法争论函数的极值.单调性和函数的最值、函数在区间上为单调函数、就导函数在该区间上的符号确定、从而转为不等式恒成立、再转为函数争论最值.运用函数与方程的思想、化归思想和分类争论的思想解答问题.\n31/31第31页，共31页