高中数列教案(偏难) 11页

教育教师备课手册教师姓名学生姓名填写时间2012.2.1学科数学年级高三上课时间10:00-12:00课时计划2小时教学目标教学内容高考复习数列个性化学习问题解决基础知识回顾，典型例题分析教学重点、难点教学过程数列★知识网络★基础知识回顾：Page11of11©XuezhiEducationAllRightsReserved\n等差数列1．等差数列的定义：－＝d（d为常数）．2．等差数列的通项公式：⑴an＝a1＋×d⑵an＝am＋×d3．等差数列的前n项和公式：Sn＝＝．4．等差中项：如果a、b、c成等差数列，则b叫做a与c的等差中项，即b＝．5．数列{an}是等差数列的两个充要条件是：⑴数列{an}的通项公式可写成an＝pn＋q(p,q∈R)⑵数列{an}的前n项和公式可写成Sn＝an2＋bn(a,b∈R)6．等差数列{an}的两个重要性质：⑴m,n,p,q∈N*，若m＋n＝p＋q，则．⑵数列{an}的前n项和为Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成数列．等比数列1．等比数列的定义：＝q（q为不等于零的常数）．2．等比数列的通项公式：⑴an＝a1qn－1⑵an＝amqn－m3．等比数列的前n项和公式：Sn＝4．等比中项：如果a，b，c成等比数列，那么b叫做a与c的等比中项，即b2＝（或b＝）．5．等比数列{an}的几个重要性质：⑴m，n，p，q∈N*，若m＋n＝p＋q，则．⑵Sn是等比数列{an}的前n项和且Sn≠0，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成数列．⑶若等比数列{an}的前n项和Sn满足{Sn}是等差数列，则{an}的公比q＝．等差数列等比数列综合1．等差数列的常用性质：⑴m，n，p，r∈N*，若m＋n＝p＋r，则有．⑵{an}是等差数列，则{akn}(k∈N*，k为常数)是数列．⑶Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成数列．2．在等差数列中，求Sn的最大(小)值，关键是找出某一项，使这一项及它前面的项皆取正(负)值或0，而它后面的各项皆取负(正)值．⑴a1>0，d<0时，解不等式组可解得Sn达到最值时n的值．⑵a1<0，d>0时，解不等式组可解得Sn达到最小值时n的值．3．等比数列的常用性质：⑴m，n，p，r∈N*，若m＋n＝p＋r，则有．⑵{an}是等比数列，则{a}、{}是数列．⑶若Sn≠0，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成数列．数列求和求数列的前n项和，一般有下列几种方法：Page11of11©XuezhiEducationAllRightsReserved\n1．等差数列的前n项和公式：Sn＝＝．2．等比数列的前n项和公式：①当q＝1时，Sn＝．②当q≠1时，Sn＝．3．倒序相加法：将一个数列倒过来排列与原数列相加．主要用于倒序相加后对应项之和有公因子可提的数列求和．4．错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．5．裂项求和法：把一个数列分成几个可直接求和的数列．典型例题分析1（本小题满分13分)设是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在轴的正半轴上，且都与直线相切，对每一个正整数,圆都与圆相互外切，以表示的半径，已知为递增数列.(Ⅰ)证明：为等比数列；（Ⅱ）设，求数列的前项和.【命题意图】本题考查等比列的基本知识，利用错位相减法求和等基本方法，考察抽象概括能力以及推理论证能力.【解题指导】（1）求直线倾斜角的正弦，设的圆心为，得，同理得，结合两圆相切得圆心距与半径间的关系，得两圆半径之间的关系，即中与的关系，证明为等比数列；（2）利用（1）的结论求的通项公式，代入数列，然后用错位相减法求和.Page11of11©XuezhiEducationAllRightsReserved\n【方法技巧】对于数列与几何图形相结合的问题，通常利用几何知识，并结合图形，得出关于数列相邻项与之间的关系，然后根据这个递推关系，结合所求内容变形，得出通项公式或其他所求结论.对于数列求和问题，若数列的通项公式由等差与等比数列的积构成的数列时，通常是利用前n项和乘以公比，然后错位相减解决.2、（2010四川理数）（21）（本小题满分12分）已知数列{an}满足a1＝0，a2＝2，且对任意m、n∈N*都有a2m－1＋a2n－1＝2am＋n－1＋2(m－n)2Page11of11©XuezhiEducationAllRightsReserved\n（Ⅰ）求a3，a5；（Ⅱ）设bn＝a2n＋1－a2n－1(n∈N*)，证明：{bn}是等差数列；（Ⅲ）设cn＝(an+1－an)qn－1(q≠0，n∈N*)，求数列{cn}的前n项和Sn.本小题主要考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力.解：(1)由题意，零m＝2,n－1,可得a3＝2a2－a1＋2＝6再令m＝3,n＝1，可得a5＝2a3－a1＋8＝20………………………………2分(2)当n∈N*时，由已知(以n＋2代替m)可得a2n＋3＋a2n－1＝2a2n＋1＋8于是[a2(n＋1)＋1－a2(n＋1)－1]－(a2n＋1－a2n－1)＝8w_ww.k#s5_u.co*m即bn＋1－bn＝8所以{bn}是公差为8的等差数列………………………………………………5分(3)由(1)(2)解答可知{bn}是首项为b1＝a3－a1＝6,公差为8的等差数列则bn＝8n－2，即a2n+=1－a2n－1＝8n－2另由已知(令m＝1)可得an＝-(n－1)2.那么an＋1－an＝－2n＋1w_ww.k#s5_u.co*m＝－2n＋1＝2n于是cn＝2nqn－1.当q＝1时，Sn＝2＋4＋6＋……＋2n＝n(n＋1)当q≠1时，Sn＝2·q0＋4·q1＋6·q2＋……＋2n·qn－1.两边同乘以q，可得qSn＝2·q1＋4·q2＋6·q3＋……＋2n·qn.上述两式相减得(1－q)Sn＝2(1＋q＋q2＋……＋qn－1)－2nqnw_ww.k#s5_u.co*m＝2·－2nqn＝2·所以Sn＝2·综上所述，Sn＝…………………………12分Page11of11©XuezhiEducationAllRightsReserved\n（Ⅲ）Page11of11©XuezhiEducationAllRightsReserved\nPage11of11©XuezhiEducationAllRightsReserved\n（2010安徽理数）20、（本小题满分12分）设数列中的每一项都不为0。证明：为等差数列的充分必要条件是：对任何，都有。Page11of11©XuezhiEducationAllRightsReserved\n（2010江苏卷）19、（本小题满分16分）设各项均为正数的数列的前n项和为，已知，数列是公差为的等差数列。（1）求数列的通项公式（用表示）；（2）设为实数，对满足的任意正整数，不等式都成立。求证：的最大值为。[解析]本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识，考查探索、分析及论证的能力。满分16分。（1）由题意知：，，Page11of11©XuezhiEducationAllRightsReserved\n化简，得：，当时，，适合情形。故所求（2）（方法一），恒成立。又，，故，即的最大值为。（方法二）由及，得，。于是，对满足题设的，，有。所以的最大值。另一方面，任取实数。设为偶数，令，则符合条件，且。于是，只要，即当时，。所以满足条件的，从而。因此的最大值为。Page11of11©XuezhiEducationAllRightsReserved\nPage11of11©XuezhiEducationAllRightsReserved