【教案】高中数学平面向量教案三 7页

第七教时教材：5.3实数与向量的积综合练习《教学与测试》P141-14467、68课目的：通过练习使学生对实数与积，两个向量共线的充要条件，平面向量的基本定理有更深刻的理解，并能用来解决一些简单的几何问题。过程：一、复习：1．实数与向量的积(强调：“模”与“方向”两点)2．三个运算定律（结合律，第一分配律，第二分配律）3．向量共线的充要条件4．平面向量的基本定理（定理的本身及其实质）二、处理《教学与测试》1．当λZ时，验证：λ(a+b)=λa+λb证：当λ=0时，左边=0?(a+b)=0右边=0?a+0?b=0分配律成立当λ为正整数时，令λ=n,则有：n(a+b)=(a+b)+(a+b)+⋯+(a+b)=a+a+⋯+a+b+b+b+⋯+b=na+nb即λ为正整数时，分配律成立当为负整数时，令λ=n（n为正整数），有n(a+b)=n[(a+b)]=n[(a)+(b)]=n(a)+n(b)=na+(nb)=nanb分配律仍成立综上所述，当λ为整数时，λ(a+b)=λa+λb恒成立。2．如图，在△ABC中，AB=a,BC=bAD为边BC的中线，G为△ABC的重心，求向量AG11解一：∵AB=a,BC=b则BD=BC=b22A12∴AD=AB+BD=a+b而AG=AD23a21∴AG=a+b33BbDC解二：过G作BC的平行线，交精品学习资料可选择pdf第1页，共7页-----------------------\nAB、AC于E、F∵△AEF∽△ABCA22AE=AB=aa33E22GFEF=BC=b3Bb3CD11EG=EF=b2321∴AG=AE+EG=a+b333．在ABCD中，设对角线AC=a，BD=b试用a,b表示AB，BC111解一：AO=OC=aBO=BD=b22211DC∴AB=AO+OB=AOBO=ab2211OBC=BO+OC=OC+BO=a+b22AB解二：设AB=x，BC=y1则AB+BC=ACx+y=a∴x=(ab)21ADAB=BDxy=by=2(a+b)11即：AB=(ab)BC=(a+b)224．设e1,e2是两个不共线向量，已知AB=2e1+ke2,CB=e1+3e2,CD=2e1e2,若三点A,B,D共线，求k的值。解：BD=CDCB=(2e1e)(2e+31e)=2e14e2∵A,B,D共线∴AB,BD共线∴存在λ使AB=λBD2即2e1+ke2=λ(e14e2)∴∴k=8k45．如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD且AB=2CD，M,N分别是DC,AB中点，设AD=a,AB=b，试以a,b为基底表示DC,BC,MN11解：DC=AB=b22精品学习资料可选择pdf第2页，共7页-----------------------\n连ND则DC╩ND∴BC=ND=ADNDC1MAN=ab2O1A又：DM=DCMB21=b4∴MN=DNDM=CBDM=BCDM111=(a+b)b=ba2446．1kg的重物在两根细绳的支持下，处于平衡状态（如图），已知两细绳与水平线分别成30,60角，问两细绳各受到多大的力？解：将重力在两根细绳方向上分解，两细绳间夹角为90|OP|=1(kg)P1OP=60P2OP=301∴|OP1|=|OP|cos60=1?=0.5(kg)230603|OP2|=|OP|cos30=1?=0.87(kg)2P1即两根细绳上承受的拉力分别为0.5kg和0.87kgP2三、作业：《教学与测试》67、68课练习P第八教时教材：向量的坐标表示与坐标运算目的：要求学生理解平面向量的坐标的概念，较熟练地掌握平面向量的坐标运算。过程：一、复习：1．复习向量相等的概念yAC自由向量aOxBOA=BC2．平面向量的基本定理（基底）a=λ1e+1λ2e2精品学习资料可选择pdf第3页，共7页-----------------------\n其实质：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合。二、平面向量的坐标表示1．在坐标系下，平面上任何一点都可用一对实数(坐标)来表示问题：在坐标系下，向量是否可以用坐标来表示呢？取x轴、y轴上两个单位向量i,j作基底，则平面内作一向量a=xi+yj，记作：a=(x,y)称作向量a的坐标yA如：a=OA=(2,2)i=(1,0)cabb=OB=(2,1)jOxB=(0,1)c=OC=(1,5)jC=(0,0)2．注意：1每一平面向量的坐标表示是唯一的；2设A(x1,y1)B(x2,y2)则AB=(x2x1,y2y1)3两个向量相等的充要条件是两个向量坐标相等。3．例一：(P109)略三、平面向量的坐标运算1．问题：1已知a(x1,y1)b(x2,y2)求a+b，ab的坐标2已知a(x,y)和实数λ,求λa的坐标2．解：a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j)=(x1+x2)i+(y1+y2)j即：a+b=(x1+x2,y1+y2)同理：ab=(x1x2,y1y2)3．结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。同理可得：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段终点的坐标减去始点的坐标。A(x1,y1)y用减法法则：B(x2,y2)∵AB=OBOA=(x2,y2)(x1,y1)Ox精品学习资料可选择pdf第4页，共7页-----------------------\n=(x2x1,y2y1)4．实数与向量积的坐标运算：已知a=(x,y)实数λ则λa=λ(xi+yj)=λxi+λyj∴λa=(λx,λy)结论：实数与向量的积的坐标，等于用这个实数乘原来的向量相应的坐标。四、例二（P110例二）例三（P111例三）例四（P145例一）已知三个力F1(3,4),F2(2,5),F(x,y)3的合力F1+F2+F=03求F的坐标。3解：由题设F1+F2+F=03得：(3,4)+(2,5)+(x,y)=(0,0)32x0x5即：∴∴F(5,1)345y0y1例五、已知平面上三点的坐标分别为A(2,1),B(1,3),C(3,4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点。解：当平行四边形为ABCD时，yD2仿例三得：D1=(2,2)C当平行四边形为ACDB时，BD1仿例三得：D2=(4,6)A当平行四边形为DACB时，OxD3仿上得：D3=(6,0)五、小结：1．向量的坐标概念2．向量运算六、作业：P112练习1—3习题5.41—6第九教时教材：向量平行的坐标表示目的：复习巩固平面向量坐标的概念，掌握平行向量充要条件的坐标表示，并且能用它解决向量平行（共线）的有关问题。过程：一、复习：1．向量的坐标表示(强调基底不共线，《教学与测试》P145例三)2．平面向量的坐标运算法则精品学习资料可选择pdf第5页，共7页-----------------------\n1练习：1．若M(3,-2)N(-5,-1)且MPMN,求P点的坐标；211解：设P(x,y)则(x-3,y+2)=(-8,1)=(-4,)22x34x131∴3∴P点坐标为(-1,-)y2y2222．若A(0,1),B(1,2),C(3,4)则AB2BC=(-3,-3)3．已知：四点A(5,1),B(3,4),C(1,3),D(5,-3)求证：四边形ABCD是梯形。解：∵AB=(-2,3)DC=(-4,6)∴AB=2DC∴AB∥DC且|AB||DC|∴四边形ABCD是梯形二、1．提出问题：共线向量的充要条件是有且只有一个实数λ使得b=λa，那么这个充要条件如何用坐标来表示呢？2．推导：设a=(x1,y1)b=(x2,y2)其中bax1x2由a=λb(x1,y1)=λ(x2,y2)消去λ：y1y2x1y2-x2y1=0结论：a∥b(b0)的充要条件是x1y2-x2y1=0注意：1消去λ时不能两式相除，∵y1,y2有可能为0，∵b0∴x2,y2中至少有一个不为0y1y22充要条件不能写成∵x1,x2有可能为0x1x2ab3从而向量共线的充要条件有两种形式：a∥b(b0)x1y2x2y10三、应用举例例一（P111例四）例二（P111例五）例三若向量a=(-1,x)与b=(-x,2)共线且方向相同，求x解：∵a=(-1,x)与b=(-x,2)共线∴(-1)×2-x?(-x)=0∴x=±2∵a与b方向相同∴x=2精品学习资料可选择pdf第6页，共7页-----------------------\n例四已知A(-1,-1)B(1,3)C(1,5)D(2,7)向量AB与CD平行吗？直线AB与平行于直线CD吗？解：∵AB=(1-(-1),3-(-1))=(2,4)CD=(2-1,7-5)=(1,2)又：∵2×2-4-1=0∴AB∥CD又：AC=(1-(-1),5-(-1))=(2,6)AB=(2,4)2×4-2×60∴AC与AB不平行∴A，B，C不共线∴AB与CD不重合∴AB∥CD四、练习：1．已知点A(0,1)B(1,0)C(1,2)D(2,1)求证：AB∥CD2．证明下列各组点共线：1A(1,2)B(-3,4)C(2,3.5)2P(-1,2)Q(0.5,0)R(5,-6)3．已知向量a=(-1,3)b=(x,-1)且a∥b求x五、小结：向量平行的充要条件（坐标表示）六、作业：P112练习4习题5.47、8、9《教学与测试》P1464、5、6、7、8及思考题精品学习资料可选择pdf第7页，共7页-----------------------