高中数学复合函数教案 3页

复合函数教学目标：使学生掌握与复合函数有关的各类问题.教学重点：复合的含义.教学难点：复合函数的讨论.教学过程：[例1]已知f（x）＝x2－x＋7，求f（2x－1）解：f（2x－1）＝（2x－1）2－（2x－1）＋7＝4x2－6x＋9[例2]已知f（x＋1）＝x2＋3x＋4，求f（x）解法一：令t＝x＋1，则x＝t－1有：f（t）＝（t－1）2＋3（t－1）＋4＝t2＋t＋2即：f（x）＝x2＋x＋2解法二：f（x＋1）＝（x＋1）2＋x＋3＝（x＋1）2＋（x＋1）＋2∴f（x）＝x2＋x＋2练习：1．已知f（x＋）＝x2＋，求f（x）2．已知f（x－1）＝x2－3x＋4，求f（2x－3）［例3］(1)已知函数f（x）的定义域为(0，1)，求f（x2）的定义域.(2)已知函数f（2x＋1）的定义域为(0，1)，求f（x）的定义域.(3)已知函数f（x＋1）的定义域为[－2，3]，求f（2x2－2）的定义域.分析：(1)求函数定义域就是求自变量x的取值范围，求f（x2）的定义域就是求x的范围，而不是求x2的范围，这里x与x2的地位相同，所满足的条件一样.(2)应由0＜x＜1确定出2x＋1的范围，即为函数f（x）的定义域.(3)应由－2≤x≤3确定出x＋1的范围，求出函数f（x）的定义域进而再求f（2x2－2）的定义域.它是(1)与(2)的综合应用.解：(1)∵f（x）的定义域为(0，1)∴要使f（x2）有意义，须使0＜x2＜1，即－1＜x＜0或0＜x＜1∴函数f（x2）的定义域为{x｜－1＜x＜0或0＜x＜1}(2)∵f（2x＋1）的定义域为（0，1），即其中的函数自变量x的取值范围是0＜x＜1，令t＝2x＋1，∴1＜t＜3，∴f（t）的定义域为1＜x＜3∴函数f（x）的定义域为{x｜1＜x＜3}(3)∵f（x＋1）的定义域为－2≤x≤3，∴－2≤x≤3令t＝x＋1，∴－1≤t≤4∴f（t）的定义域为－1≤t≤4即f(x)的定义域为－1≤x≤4，要使f（2x2－2）有意义，须使－1≤2x2－2≤4，\n∴－≤x≤－或≤x≤函数f（2x2－2）的定义域为{x｜－≤x≤－或≤x≤}评述：（1）对于复合函数f[ｇ（x）]而言，如果函数f（x）的定义域为A，则f[ｇ（x）]的定义域是使得函数ｇ（x）∈A的x取值范围.（2）如果f[ｇ（x）]的定义域为A，则函数f(x)的定义域是函数ｇ(x)的值域.[例4]已知f（x）＝，求f（x2－1）解：f（x2－1）＝＝[例5]已知f（f（x））＝2x－1，求一次函数f（x）解：设f（x）＝kx＋b，则：f（f（x））＝kf（x）＋b＝k（kx＋b）＋b＝k2x＋kb＋b＝2x－1∴得：k＝，b＝1－或k＝－，b＝＋1∴f（x）＝x＋1－或f（x）＝－x＋＋1[例6]已知函数满足2f（x）＋f（）＝x，求f（x）解：令t＝，则有2f（）＋f（t）＝即：2f（）＋f（x）＝∴f（x）＝课后作业：1．已知f（＋1）＝x＋2，求f(x)的解析式.分析：此题目中的“f”这种对应法则，需要从题给条件中找出来，这就要有整体思想的应用.即：求出f及其定义域.解：设t＝＋1≥1，则＝t－1，∴x＝（t－1）2∴f（t）＝（t－1）2＋2（t－1）＝t2－1（t≥1）∴f（x）＝x2－1（x≥1）2．（1）已知函数y＝f（x）的定义域为[0，1]，求f（x－1）的定义域.解：∵f（x）中0≤x≤1∴0≤x－1≤1，即1≤x≤2\n（2）已知函数y＝f（x－1）的定义域为[0，1]，求f（x）的定义域.解：函数y＝f（x－1）中0≤x≤1∴－1≤x－1≤0即：y＝f（x）的定义域为[－1，0]（3）已知函数y＝f（x－2）的定义域为[1，2]，求y＝f（x＋3）的定义域.3．已知函数f（x）是一次函数，且满足关系式3f（x＋1）－2f（x－1）＝2x＋17，求f(x)的解析式.解：设f（x）＝ax＋b则3f（x＋1）－2f（x－1）＝3ax＋3a＋2b＋2a－2b＝ax＋b＋5a＝2x＋17∴a＝2，b＝7∴f（x）＝2x＋7