高中导数及其应用教案 33页

教育教师备课手册教师姓名学生姓名填写时间2012.2.1学科数学年级高三上课时间10:00-12:00课时,」2小时计划教学目标教学内容中考复习三角形个性化学习问题解决基础知识回顾，典型例题分析教学重点、难点教学过程导数及其运用知识网络导数的定义—导数的概念————导数的物理及几何意义——基本初等函数的导数公式导数的运算导数——导数的四则运算法则及复合函数的导数—函数的单调性研究导数的应用函数的极值与最值研究—最优化问题——计算定积分定积分与微积分的基本定理「定积分的应用第1讲导数的概念及运算★知识梳理★1.用定义求函数的导数的步骤.(1)求函数的改变量Ay；(2)求平均变化率一y.(3)取极限，得导数f(X0)=lim—y.xx0X2.导数的几何意义和物理意义几何意义：曲线f(x)在某一点(X0,y。)处的导数是过点(X0,V。)的切线的物理意义：若物体运动方程是s=s(t),在点P(i。，s(to))处导数的意义是t=to处的解析：斜率.；瞬时速度.Page33of32?XuezhiEducationAllRightsReserved\n3.几种常见函数的导数n.n1c0(c为常数)；(x)nx(nR);’’(sinx)；(cosx)；，一11.(lnx)—;(logax)-logae;xxx1数F(x)的单调性.Page33of32?XuezhiEducationAllRightsReserved\n1(1x)1k,x1,【解题思路】先求导再解f'(x)0和f'(x)01kx,x1,【解析】F(x)f(x)kx1xF'(x)k,x1,、x1kx,x1,1对于F(x)kx(x1),1x1，…一—产，1)上是增函数;、.k(1当k0时，函数F(x)在(，1)上是增函数；1当k0时，函数F(x)在(,1-=)上是减函数，在3B.a=2C.a<3D.02,.-.a>3.答案：A2.函数y=x3+x的单调增区间为A.(—oo,+oo)B.(0,+°°)C.(,0)D.不存在解析：:y'=3x2+1>0恒成立，，y=x3+x在(—00,+oo)上为增函数，没有减区间.答案：Aa，3.已知函数f(x)lnx,g(x)—(a0),设F(x)f(x)g(x).x(I)求函数F(x)的单调区间；(n)若以函数yF(x)(x(0,3])图像上任意一点P(x0,y0)为切点的切线的斜率1,,一恒成2Page33of32?XuezhiEducationAllRightsReserved立，求实数a的最小值；解析：(I)Fxfxgxa0,由F'x0xa,Fx在a,上单调递增。由F'x00,a,Fx在0,a上单调递减。Page33of32?XuezhiEducationAllRightsReservedPage33of32?XuezhiEducationAllRightsReserved•••Fx的单调递减区间为0,a,单调递增区间为a,,、xa(II)F'x——0x3,12XoXo2maxxx0a1,,kF'Xo-0Xo3恒成立x02„121当Xo1时，一XoXo取得最大值一。221.1••a―，••amin一22Page33of32?XuezhiEducationAllRightsReserved\n考点2:导数与函数的极值和最大(小)值.题型1.利用导数求函数的极值和最大(小)值1例1.右函数f(x)mcosx—sin2x在x—处取得极值，则m.24‘一''【解题思路】若在xo附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,且f(x0)0,那么f(xo)是f(x)的极''大值；若在xo附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,且f(xo)0,那么f(xo)是f(x)的极小值.［解析］因为f(x)可导，且f(x)msinxcos2x，所以f(一)msin—cos—0，解得4421.八,一一…一一m0.经验证当m0时，函数f(x)-sin2x在x一处取得极大值.24【名师指引】若f(x)是可导函数，注意f(x°)0是x°为函数f(x)极值点的必要条件.要确定极值点还需在x0左右判断单调性.例2.(2008•深圳南中)设函数f(x)x(xa)2(xR),其中a0,求函数f(x)的极大值和极小值.【解题思路】先求驻点，再列表判断极值求出极值。解析：.f(x)x(xa)2x32ax2a2x,f(x)3x24axa2(3xa)(xa).a令f(x)0,解得x色或*a.3由于a0,当x变化时，f(x)的正负如下表：xa(十a3Ga)a(a,)f(x)00aa-a43因此，函数f(x)在x一处取得极小值f(一),且f(一)—a；33327函数f(x)在xa处取得极大值f(a),且f(a)0.【名师指引】求极值问题严格按解题步骤进行。例3.(广东省深圳外国语学校2009届高三上学期第二次统测)已知函数f(x)xlnx.(I)求f(x)的最小值；(n)若对所有x1都有f(x)ax1,求实数a的取值范围.【解题思路】先求极值再求端点值，比较求出最大(小)值.当区间只有一个极大(小)值时，该值就是最大(小)值解析：f(x)的定义域为(0,+),1分f(x)的导数f(x)1lnx.3分Page33of32?XuezhiEducationAllRightsReserved\n11令f(x)0,解得X—；令f(x)0,解得0x-.ee，一一，1、，一，，，1、…，〜„从而f(X)在0,1单调递减，在1,+单调递增.5分ee1..1所以，当x—时，f(x)取得最小值-.6分ee(n)解法一：令g(x)f(x)(ax1),则g(x)f(x)a1aInx,8分①若a1,当x1时，g(x)1aInx1a0,故g(x)在(1,+)上为增函数，所以，x1时,g(x)g(1)1a0,即f(x)ax110分②若a1,方程g(x)0的根为x0ea1,此时，若x(1,x°)，则g(x)0,故g(x)在该区间为减函数所以x(1,x°)时，g(x)g(1)1a0,即f(x)ax1,与题设f(x)ax1相矛盾.13分综上，满足条件的a的取值范围是(1].14分解法二：依题意，得f(x)ax1在[1,)上恒成立，1即不等式alnx—对于x[1,)恒成立.8分x人1一1111令g(x)lnx—,则g(x)———1-.10分xxxxx11当x1时，因为g(x)—1—0,xx故g(x)是(1,)上的增函数，所以g(x)的最小值是g(1)1,13分所以a的取值范围是(，1].14分【名师指引】求函数f(x)在闭区间a,b上的最大值(或最小值)的步骤：①求f(x)在a,b内的极大(小)值，②将极大(小)值与端点处的函数值进行比较，其中较大者的一个是最大者，较小的一个是最小者.题型2.已知函数的极值和最大(小)值，求参数的值或取值范围。例3.(广东省六校2009届高三第二次联考)32已知函数fxxaxbxc图像上的点P1,2处的切线方程为y3x1.(1)若函数fx在x2时有极值，求fx的表达式(2)函数fx在区间2,0上单调递增，求实数b的取值范围【解题思路】求函数的解析式一般用待定系法法，求参数的取值范围一般需建立关于参数的不等式(组)解析：fx3x22axb,2分因为函数fx在x1处的切线斜率为-3,所以f132ab3,即2ab0,3分Page33of32?XuezhiEducationAllRightsReserved\n又f11abc2得abc14分(1)函数fx在x2时有极值，所以f'2124ab0,——5分解得a2,b4,c3,7分所以fxx32x24x3.8分(2)因为函数fx在区间2,0上单调递增，所以导函数f'x3x2bxb在区间2,0上的值恒大于或等于零，10f'2122bb0.则,得b4,所以实数b的取值范围为4,----14分f'0b0,【名师指引】已知f(x)在xx0处有极值，等价于f'(x)0。【新题导练】24.yx2x15-3在区间［a,2］上的最大值为'，则a=(A.32解析：选B1B.2C.Qy(x1)24在［a,2］上的最大值为1541且在xa时，2-y最大a2a1515,解之4a2或a2”去)1,一选B.2一325.f(x)x3x2在区间［1,1］上的最大值是［解析］f(x)3x26x3x(x2),令f(x)0可得x0或2(2舍去)，当1x0时,Page33of32?XuezhiEducationAllRightsReservedPage33of32?XuezhiEducationAllRightsReservedf(x)0,当0x1时，f(x)0,所以当x0时，f(x)取得最大值为2.选C36.已知函数f(x)axcxd(a0)是R上的奇函数，当x1时f(x)取得极值2.(1)求f(x)的单调区间和极大值；(2)证明又■任意Xi,X2(1,1),不等式|f(xjf(x2)|4恒成立.［解析］(1)由奇函数定义，有f(x)f(x),xR.即3.332axcxdaxcxd,d0.因止匕，f(x)axcx,f'(x)3axc.由条件f(1)2为f(x)的极值，必有f'(1)0,Page33of32?XuezhiEducationAllRightsReserved\nac23ac0解得a1,c3.3_2因此f(x)x3x,f'(x)3x33(x1)(x1),f'(1)f'⑴0.当x(,1)时，f'(x)0,故f(x)在单调区间(，1)上是增函数.当x(1,1)时，f'(x)0,故f(x)在单调区间(1,1)上是减函数所以,(1,)时,f'(x)0,故f(x)在单调区间(1,)上是增函数f(x)在x1处取得极大值，极大值为f(1)2.(2)由(1)知,f(x)3——--x3x(x[1,1])是减函数，且f(x)在［1,1］上的最大值为Mf(1)2,最小值为mf(1)2.所以，又■任意xl(1,1)，恒有|f(x1)f(x2)|M2)4.［方法技巧］善于用函数思想不等式问题，如本题|f(x1)f(x2)|f(x)maxf(x)min.★抢分频道★基础巩固训练1.(广东省六校2009届高三第二次联考试卷)函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f(x)在(a,b)如图所示，则函数f(x)在(a,b)内有极小值点共有yy=f'(x)内的图象a()Page33of32?XuezhiEducationAllRightsReservedPage33of32?XuezhiEducationAllRightsReservedD.4个解析：观察图象可知,只有一处是先减后增的，选2.、函数y13xx3有(A.极小值—1,C.极小彳直一2,极大值1极大值2B.D.极小值一极小值一2,极大值1,极大值2解析：y33x3(1x)(11,x当x1时，y0；当1x1时,x1时，y极小1y极大3，故选D.A.1个Page33of32?XuezhiEducationAllRightsReservedPage33of32?XuezhiEducationAllRightsReserved3.函数y=f(x)=lnx-x,在区间(0,e］上的最大值为A.1—eB.—1D.0Page33of32?XuezhiEducationAllRightsReservedPage33of32?XuezhiEducationAllRightsReserved解析：y'=--1,令y'=0,即x=1,在(0,e］上列表如下:xx(0,1)1(1,e)ePage33of32?XuezhiEducationAllRightsReserved\ny，+0一Page33of32?XuezhiEducationAllRightsReserved\n增函数极大值—1减函数由于f(e)=1—e,而一1>1—e,从而y最大=f(1)=-1.答案：B4.(广东深圳外国语学校2008—2009学年高f(x)v,xln(xa)(x(0,))的单调区间.［解析］f(x)令f(x)f(x)次月考)若a1,求函数0,得史(2a4)x24x(xa),0,同样，f(x)(2a(当a.>1时,04)22x4a2(2a4)x16(1a),a20,对xC(0+OO)恒有f(x)>0,时,f(x)在(0,+00)上为增函数;5.(汕头市金山中学2009届高三上学期11月月考)a,使得解：ff(x)在(0,4)上单调递减？若存在，求出a0a0f(0)0f'(0)0或f'(4)0f'(4)014或(x)=3ax2+6x—1.要使f6.(东莞高级中学得极值.(I)(n)(出)解：(I)求函数已知函数fa的范围;(x)=ax3+3x2—x+1,问是否存在实数(x)在［0,4］递减，则当xC若不存在，说明理由。(0,4)时，f(x)<0。2009届高三上学期f(x)的解析式;a0“广,解得aw—3.0综合拔高训练11月教学监控测试)已知函数f(x)=ax3+bx2—3x在x=±1处取求证：对于区间［—1,1］上任意两个自变量的值Xi,x2,都有|f(x1)-f(x2)|W4;若过点A(1,m)(廿一2)可作曲线y=f(x)的三条切线,f'(x)=3ax2+2bx-3,依题意，f'(1)=f‛(—1)=0,3a2b3即3a2b3解得a=1,b=0.1.f(x)=x3—3x.求实数m的取值范围.(II)•••f(x)=x3—3x,•(x)=3x2—3=3(x+1)(x-1),当一10,f(x)在(0,)上递增②当a0时，令x2a，x1得x24a2x4a20解得：x12a22aJa21隹2a22a)a21,因x0(舍去)，故在(0,2a22a/a21)上f(x)<0,f(x)递减；在(2a22aJa21,)上，f(x)>0,f(x)递增.Page33of32?XuezhiEducationAllRightsReserved\n(2)由(1)知g(x)JX1lnx在(0,22J2)内递减，在(22/2,)内递增.[g(x)]ming(22,2)12ln(22G故Jx1Inx172ln(2272),又因22J25e2故1&ln(22J2)1J2lne2J210,得Inx第3讲导数的实际应用★知识梳理★利用导数解决生活、生产优化问题，其解题思路是：★重难点突破★Page33of32?XuezhiEducationAllRightsReservedPage33of32?XuezhiEducationAllRightsReserved1.重点：利用于数学知识建立函数模型，借助于导数解决最优化问题。2.难点：建模的过程3.重难点：认真审题，建立数学模型，解决与函数有关的最优化问题^（1）关注由导数的定义和物理意义处理实际应用问题问题1：路灯距地平面为8m,一个身高为1.6m的人以84m/min的速率在地面上行走，从路灯在地平面上射影点C,沿某直线离开路灯，求人影长度的变化速率v.点拨：利用导数的物理意义解决设路灯距地平面的距离为DC,人的身高为EB.设人从C点运动到B处路程为x米，时间为t（单位:秒），AB为人影长度，设为y,则•••BE//CD,ABBEACCDy1.617--———，又84m/min1.4m/s,y-x——t(x1.4t)yx8420•1y工，，人影长度的变化速率为-7m/s.2020（2）利用导数处理最大（小）值问题是高考常见题型.问题2.（2006•江苏）请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时，帐篷的体积最大？［剖析］设OO1为xm,则由题设可得正六棱锥底面边长为，3（x1）2482xx2（单位：m）Page33of32?XuezhiEducationAllRightsReserved\n于是底面正六边形的面积为(单位：m2)J32(x1)264(J82xx2)2323(822xx2)帐篷的体积为(单位：m3)V(x)323(82xx2)；(x1)1(1612xx3)2(不合题意，舍去)，x2.求导数，得V(x)1(123x2)令V(x)0解得x2当1x2时，V(x)0,V(x)为增函数；当2x4时，V(x)0,V(x)为减函数。所以当x2时，V(x)最大.答当OO1为2m时，帐篷的体积最大.★热点考点题型探析★考点：最优化问题题型1.函数模型中的最优化问题例1.设工厂到铁路线的垂直距离为20km,垂足为B.铁路线上距离B为100km处有一原料供应站C,现要在铁路BC之间某处D修建一个原料中转车站，再由车站D向工厂修一条公路.如果已知每千米的铁路运费与公路运费之比为3:5,那么，D应选在何处，才能使原料供应站C运货到工厂A所需运费最省？【解题思路】由勾股定理建模.解析：设BD之间的距离为xkm,则|AD|=JT—202,|CD|=100x.如果公路运费为a元/km,那么铁3a路运费为一元/km.故从原料供应站C途经中转站D到工厂A所需总运费5为：y*100x)+a，x2400,(0x100).对该式求导，得3aaxa(5x3\x400)22“〃一口——+,：=———,--,令y0,即得25x=9(x400),解之得5、x24005、.x2400Xi=15,x2=-15(不符合实际意义，舍去).且Xi=15是函数y在定义域内的唯一驻点，所以Xi=15是函数y的极小值点，而且也是函数y的最小值点.由此可知，车站D建于B,C之间并且与B相距15km处时,运费最省.【名师指引】这是一道实际生活中的优化问题，建立的目标函数是一个复合函数，用过去的知识求其最值往往没有一般方法，即使能求出，也要涉及到较高的技能技巧.而运用导数知识，求复合函数的最值就变得非常简单.例2.某产品按质量分为10个档次，生产第一档(即最低档次)的利润是每件8元，每提高一个档次，利润每件增加2元，但在相同的时间内产量减少3件.在相同的时间内，最低档的产品可生产60件.问在相同的时间内，生产第几档次的产品的总利润最大？有多少元？思路分析：在一定条件下，“利润最大”“用料最省”“面积最大”“效率最高”“强度最大”等问题，在生产、生活中经常用到，在数学上这类问题往往归结为求函数的最值问题.除了常见的求最值的方法外,还可用求导法求函数的最值.但无论采取何种方法都必须在函数的定义域内进行^解法一：设相同的时间内，生产第x(xCN*,1wxw10)档次的产品利润y最大.2分Page33of32?XuezhiEducationAllRightsReserved\n依题意，得y=[8+2(x—1)][60—3(x—1)]4分=—6x2+108x+378=—6(x—9)2+864(1Page33of32?XuezhiEducationAllRightsReservedPage33of32?XuezhiEducationAllRightsReserved解析：设箱底边长为x(cm),则无盖的方底箱子的高为30.x(cm),其体积为V(cm3),2则V-x330x2(0x60)V'3x260x,令V'0,得-x260x0,222解得x40(0已舍去)且仅当x(0,40)时，V0；当x(40,60)时，V0.所以函数V(x)在x40时取得极大值，结合实际情况，这个极大值就是函数V(x)的最大值.3V(40)16000,故当箱底边长为40cm时，箱子容积最大，最大容积是16000cm.2..一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时10公里时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以何种速度航行时，能使行驶每公里的费用总和最小？33设船速度为x(x0)时，燃料费用为Q兀，则Qkx3,由6k103可得k——，・•.Q——x3,5005003313296696，『,,,总费用y(x96)-x—,y-2，令y0将x20,当x(0,20)时,500x500x500xy0,此时函数单调递减，当x(20,)时，y0,此时函数单调递增，，当x20时，y取得最小值，，此轮船以20公里/小时的速度使行驶每公里的费用总和最小.★抢分频道★基础巩固训练1.我国儿童4岁前身高增长的速度最快的是在哪一个年龄段？答:据有关统计资料，我国儿童4岁前身高情况有一组统计数据年龄/岁0.511.522.533.54…身0.50.60.70.80.91.01.01.1…高/米23353162思路分析二要判断这一个问题.必须要计算每半年这个群体长高的平均增长率，再加以比较即可，通过计算每半年长高的平均增长率分别是2.2,2,2.4,1.6,1.6,1,1.2可知我国儿童在1.5岁至2岁这一时段身高增长的速度最快Page33of32?XuezhiEducationAllRightsReserved\n2.（2008•深圳6校）某日中午12时整，甲船自A处以16km/h的速度向正东行驶，乙船自A的正北18km处以16km/h的速度向正南行驶，则当日12时30分时两船之间距离对时间的变化率是Page33of32?XuezhiEducationAllRightsReservedPage33of32?XuezhiEducationAllRightsReserved解析：距离对时间的变化率即瞬时速度。即此时距离函数对时间变量的导数。将物理学概念与数学中的导数概念迁移到实际应用题中来。易求得从12点开始，x小时时甲乙两船的距离Page33of32?XuezhiEducationAllRightsReservedPage33of32?XuezhiEducationAllRightsReserved,.(16x)2(1824x)2122(16x)(1824x)212216x16(1824x)(24),Page33of32?XuezhiEducationAllRightsReservedPage33of32?XuezhiEducationAllRightsReserved0.5时，d1.63.要建造一个长方体形状的仓库,1800m.其内部的高为3m,长和宽的和为20m,则仓库容积的最大值为解：设长为xm,则宽为（20x）m,仓库的容积为x(20x)33x260x6x60,令Vx10时，V0得x0;当x1010时，VPage33of32?XuezhiEducationAllRightsReservedPage33of32?XuezhiEducationAllRightsReserved10时，V最大1800(m3)Page33of32?XuezhiEducationAllRightsReservedPage33of32?XuezhiEducationAllRightsReserved4.要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm,要使体积为最大,则其高应为解：设圆锥底面半径为r22r20.400h2圆锥体积一天Page33of32?XuezhiEducationAllRightsReservedPage33of32?XuezhiEducationAllRightsReservedh3），令啜当121rh(4003320、32时，V0；3u203gh时，V最大,321h)h(400h320,3h二一时，V3t…20、，3当应填cm3Page33of32?XuezhiEducationAllRightsReservedPage33of32?XuezhiEducationAllRightsReserved5.质量为5kg的物体运动的速度为v=（18t—3t2)m/s,在时间t=2s时所受外力为N.Page33of32?XuezhiEducationAllRightsReserved分析：本题主要考查导数的物理意义即速度v（t）对时间的导数是该时刻的加速度解：••.v'=18—6t,，v'|t=2=18—6X2=6.，t=2时物体所受外力F为6X5=30.综合拔高训练6.在长为100千米的铁路线AB旁的C处有一个工厂,处向工厂提供原料，公路与铁路每吨千米的货物运价比为转运站，设AD距离为x千米，沿CD直线修一条公路（1）将每吨货物运费y（元）表示成x的函数.（2）当x为何值时运费最省？解：（1）设公路与铁路每吨千米的货物运价分别为常数）AD=x,则DB=100-x.工厂与铁路的距离CA为20千米.由铁路上的B5：3,为节约运费，在铁路的D处修一货物(如图).Aj-^l—20_+5k、3k（元）（k为CD,AD2AC2x2202,x2400每吨货物运费y=(100—x)•3k+]x2400•5k(元)Page33of32?XuezhiEducationAllRightsReserved\n2x5x3〃x400,八(2)令y=—3k+5k•--•k=02x2400x2400•••5x-3，x2400=0,「x>0,解得x=15当015时，y'>0・・・当x=15时，y有最小值.答：当x为15千米时运费最省.7.(广东省2008届六校第二次联考)设某物体一天中的温度T是时间t的函数，已知—32T(t)atbtctd(a0),其中温度的单位是C,时间的单位是小时.中午12:00相应的t=0,中午12:00以后相应的t取正数，中午12:00以前相应的t取负数(如早上8:00相应的t=-4,下午16:00相应的t=4).若测得该物体在早上8:00的温度为8C,中午12:00的温度为60C,下午13:00的温度为58C,且已知该物体的温度早上8:00与下午16:00有相同的变化率.(1)求该物体的温度T关于时间t的函数关系式；(2)该物体在上午10:00到下午14:00这段时间中(包括端点)何时温度最高？最高温度是多少？解：⑴因为T3at22btc,2分而T4T4,故48a8bc48a8bc,3分T0d60a1T464a16b4cd8b0八6分T1abcd58c348a8bc48a8bcd60••Ttt33t60(12t12).7分2(2)T3t3,由T(t)0得t1或t19分当t在［2,2］上变化时，T(t)与T(t)的变化情况如下表x-2(-2,-1)-1(-1,1)1(1,2)2T(t)+0一0+T(t)58增函数极大值62减函数极小值58增函数6212分由上表知当t1或t25tT(t)取到最大值62,说明在上午11:00与下午14：00,该物体温度最Page33of32?XuezhiEducationAllRightsReserved\n高，最高温度是62c.8.今有一块边长a的正三角形的厚纸，从这块厚纸的三个角，按右图那样切下三个全等的四边形后,做成一个无盖的盒子，要使这个盒子容积最大，x值应为多少?解：折成盒子后底面正三角形的边长为a2x(0设：容积为V,则Vsh1(a2x)2sin60—3x23232axax—x42二2_aV3x22ax令V0得xa,b.一a当0x—时，V6ax—时，V最大bx-(舍去)20;当xW时，Vb333,3aaa4a216362421603a544Page33of32?XuezhiEducationAllRightsReservedPage33of32?XuezhiEducationAllRightsReserved3高考实战演练12(a-)xlnx.(a2e］上的最大值和最小值；R)答：x为亘时，盒子的容积最大为—b541.(本题满分12分)已知函数f(x)(i)当a1时，求f(x)在区间［1,(n)若在区间(1,+8)上，函数f(x)的图象恒在直线y2ax下方，求a的取值范围.11x1解析：(I)当a1时，f(x)—x2lnx,f(x)x-；2分2xx对于x[1,e],有f(x)0,-.f(x)在区间[1,e]上为增函数，3分fmax(x)f(e)1-,fmin(x)f(1)-.4分221、2(n)令g(x)f(x)2ax(a-)x2axlnx,则g(x)的定义域为(0,+8)25分Page33of32?XuezhiEducationAllRightsReserved\n在区间(1,+8)上，函数f(x)的图象恒在直线y2ax下方等价于g(x)0在区间(1,+8)上恒成立.,、c1(2a1)x22ax1(x1)[(2a1)x1]•••g(x)(2a1)x2axxx11①右a-,令g(x)0,得极值点x11,x2,6分22a1一，1..■一当x2x11,即一a1时，在(x2,+川上有g(x)0,2此时g(x)在区间(x2,+8)上是增函数，并且在该区间上有g(x)€(g(x2),+8),不合题意；7分当x2x11,即a1时，同理可知，g(x)在区间(1,+°°)上，有g(x)e(g(1),+oo),也不合题意；9分2从而g(x)在区间(1,+8)上是减函数；11分.一…11要使g(x)0在此区间上恒成立，只须满足g(1)a-0a一，22由此求得a的范围是[1,-].2211综合①②可知，当a€[—,J_]时，函数f(x)的图象恒在直线y2ax下万.12分222.(2009浙江文)(本题满分15分)已知函数f(x)x3(1a)x2a(a2)xb(a,bR).(I)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3,求a,b的值;(II)若函数f(x)在区间(1,1)上不单调，求a的取值范围.♦♦♦解析(I)由题意得f(x)3x22(1a)xa(a2)又f(0)b0f(0)a(a2)，解得b0,a3或a13(n)函数f(x)在区间(1,1)不单调，等价于导函数f(x)在(1,1)既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数即函数f(x)在(1,1)上存在零点，根据零点存在定理，有f(1)f(1)0,即：[32(1a)a(a2)][32(1a)a(a2)]0整理得：(a5)(a1)(a1)20,解得5a13.(2009北京文)(本小题共14分)设函数f(x)x33axb(a0).(I)若曲线yf(x)在点(2,f(x))处与直线y8相切，求a,b的值；(n)求函数f(x)的单调区间与极值点.Page33of32?XuezhiEducationAllRightsReserved\n解析本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力.(1)f'x3x23a,•••曲线yf(x)在点(2,f(x))处与直线y8相切，'f2034aoa4,f2886ab8b24.(n)f'x3x2aa0,当a0时，f'x0,函数f(x)在，上单调递增，此时函数f(x)没有极值点.当a0时，由fx0xja,当x,ja时，f′x0,函数f(x)单调递增，当xVa,Va时，f′x0,函数f(x)单调递减，当x7a,时，f′x0,函数f(x)单调递增，・♦・此时xJ3是f(x)的极大值点，x孤是f(x)的极小值点.4.(2009山东卷文)(本小题满分12分)一，一1。O已知函数f(x)-axbxx3,其中a03(1)当a,b满足什么条件时，f(x)取得极值？(2)已知a0,且f(x)在区间(0,1］上单调递增，试用a表示出b的取值范围.解：(1)由已知得f'(x)ax22bx1,令f'(x)0,得ax22bx10,2f(x)要取得极值，万程ax2bx10必须有解，所以△4b24a0,即b2a,此时方程ax22bx10的根为2b、4b24ab、b2a2b'4b24abb2aXi,x2,2aa2aa所以f'(x)a(xx1)(xx2)Page33of32?XuezhiEducationAllRightsReserved\n当a0时，x(-00,x1)x1(x1,x2)*2(x2,+00)f'(x)十0一0十f(x)增函数极大值减函数极小值增函数所以f(x)在x1,x2处分别取得极大值和极小值.当a0时，x(-00,x2)x2(x2,x1)x1(x1,+8)f'(x)一0十0一f(x)减函数极小值增函数极大值减函数所以f(x)在x1,x2处分别取得极大值和极小值.综上，当a,b满足b2a时，f(x)取得极值.(2)要使f(x)在区间(0,1］上单调递增，需使f'(x)ax22bx10在(0,1］上恒成立.ax1即b————,x(0,1］恒成立，22xax1所以b(一一22x)max设g(x)ax1-,g'(x)22xL2x221\a(x)a2x2人一、…1令g'(x)0得x丁或x(舍去),,…1当a1时，0—1,当xa1,(。，《)时g'(x)0，g(x)ax21一一单调增函数；2xPage33of32?XuezhiEducationAllRightsReservedPage33of32?XuezhiEducationAllRightsReserved-1.ax1当x(丁^,1］时g'(x)0,g(x)————单倜减函数■a22x所以当x；时，g(x)取得最大，最大值为g(-1)ja\a\aax1———在区间(0,1］上22x所以b1,，、，，~1时,丁1，此日g'(x)0在区间(0,1］恒成立，所以g(x)Page33of32?XuezhiEducationAllRightsReservedPage33of32?XuezhiEducationAllRightsReserved单调递增a1时g(x)最大,最大彳直为g(1)综上，当a1时，bJa;当0a1时，b1——，所以b2a12【命题立意】：本题为三次函数，利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值，函数在区间Page33of32?XuezhiEducationAllRightsReserved\n上为单调函数，则导函数在该区间上的符号确定，从而转为不等式恒成立，再转为函数研究最值.运用函数与方程的思想，化归思想和分类讨论的思想解答问题.Page33of32?XuezhiEducationAllRightsReserved