高中数学教案 集合 22页

第一章：集合第1课时集合的含义与表示教学环节教学内容师生互动设计意图提出问题一个百货商店，第一批进货是帽子、皮鞋、热水瓶、闹钟共计4个品种，第二批进货是收音机、皮鞋、尼龙袜、茶杯、闹钟共计5个品种，问一共进了多少品种的货?能否回答一共进了4+5=9种呢？学生回答（不能，应为7种），然后教师和学生共同分析原因：由于两次进货共同的品种有两种，故应为4+5–2=7种．从而指出：……这好像涉及了另一种新的运算．……设疑激趣，导入课题．复习引入①初中代数中涉及“集合”的提法．②初中几何中涉及“集合”的提法．引导学生回顾，初中代数中不等式的解法一节中提到的有关知识：一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的解集．几何中，圆的概念是用集合描述的．通过复习回顾，引出集合的概念．概念形成第一组实例（幻灯片一）：（1）“小于l0”的自然数0，1，2，3，……，9．（2）满足3x–2＞x+3的全体实数．（3）所有直角三角形．（4）到两定点距离的和等于两定点间的距离的点．（5）高一（1）班全体同学．（6）参与中国加入WTO谈判的中方成员．1．集合：一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）．2．集合的元素（或成员）：即构成集合的每个对象（或成员），教师提问：①以上各例（构成集合）有什么特点?请大家讨论．学生讨论交流，得出集合概念的要点，然后教师肯定或补充．②我们能否给出集合一个大体描述?……学生思考后回答，然后教师总结．③上述六个例子中集合的元素各是什么?④请同学们自己举一些集合的例子．通过实例，引导学生经历并体会集合（描述性）概念形成的过程，引导学生进一步明确集合及集合元素的概念，会用自然语言描述集合．概念深化第二组实例（幻灯片二）：（1）参加亚特兰大奥运会的所有中国代表团的成员构成的集合．（2）方程x2=1的解的全体构成的集合．教师要求学生看第二组实例，并提问：①你能指出各个集合的元素吗？②各个集合的元素与集合之间是什么关系？③例（2）中数0，–2是这个集合的元素吗?引入集合语言描述集合．\n（3）平行四边形的全体构成的集合．（4）平面上与一定点O的距离等于r的点的全体构成的集合．3．元素与集合的关系：学生讨论交流，弄清元素与集合之间是从属关系，即“属于”或“不属于”关系．教学环节教学内容师生互动设计意图念深化集合通常用英语大写字母A、B、C…表示，它们的元素通常用英语小写字母a、b、c…表示．如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A，读作“a属于A”．如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作aA，读作“a不属于A”．4．集合的元素的基本性质；（1）确定性：集合的元素必须是确定的．不能确定的对象不能构成集合．（2）互异性：集合的元素一定是互异的．相同的几个对象归于同一个集合时只能算作一个元素．第三组实例（幻灯片三）：（1）由x2，3x+1，2x2–x+5三个式子构成的集合．（2）平面上与一个定点O的距离等于1的点的全体构成的集合．（3）方程x2=–1的全体实数解构成的集合．5．空集：不含任何元素的集合，记作．6．集合的分类：按所含元素的个数分为有限集和无限集．7．常用的数集及其记号（幻灯片四）．N：非负整数集（或自然数集）．N*或N+：正整数集（或自然数集去掉0）．Z：整数集．Q：有理数集．R：实数集．教师提问：“我们班中高个子的同学”、“年轻人”、“接近数0的数”能否分别组成一个集合，为什么？学生分组讨论、交流，并在教师的引导下明确：给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了．另外，集合的元素一定是互异的．相同的对象归于同一个集合时只能算作集合的一个元素．教师要求学生观察第三组实例，并提问：它们各有元素多少个?学生通过观察思考并回答问题．然后，依据元素个数的多少将集合分类．让学生指出第三组实例中，哪些是有限集？哪些是无限集？……请同学们熟记上述符号及其意义．通过讨论，使学生明确集合元素所具有的性质，从而进一步准确理解集合的概念．通过观察实例，发现集合的元素个数具有不同的类别，从而使学生感受到有限集、无限集、空集存在的客观意义．\n教学环节教学内容师生互动设计意图应用举例列举法：定义：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.例1用列举法表示下列集合：（1）小于10的所有自然数组成的集合；（2）方程x2=x的所有实数根组成的集合；（3）由1～20以内的所有质数组成的集合.描述法：定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.例2试分别用列举法和描述法表示下列集合：（1）方程x2–2=0的所有实数根组成的集合；（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合.师生合作应用定义表示集合.例1解答：（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么A={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}.由于元素完全相同的两个集合相等，而与列举的顺序无关，因此集合A可以有不同的列举法.例如：A={9，8，7，6，5，4，3，2，1，0}.（2）设方程x2=x的所有实数根组成的集合为B，那么B={0，1}.（3）设由1～20以内的所有质数组成的集合为C，那么C={2，3，5，7，11，13，17，19}.例2解答：（1）设方程x2–2=0的实数根为x，并且满足条件x2–2=0，因此，用描述法表示为A={x∈R|x2–2=0}.方程x2–2=0有两个实数根，，因此，用列举法表示为A={，}.（2）设大于10小于20的整数为x，它满足条件x∈Z，且10＜x＜20.因此，用描述法表示为B={x∈Z|10＜x＜20}.大于10小于20的整数有11，12，13，14，15，16，17，18，19，因此，用列举法表示为B={11，12，13，14，15，16，17，18，19}.\n第2课时集合间的基本关系教学环节教学内容师生互动设计意图创设情境提出问题思考：实数有相关系，大小关系，类比实数之间的关系，联想集合之间是否具备类似的关系.师：对两个数a、b，应有a＞b或a=b或a＜b.而对于两个集合A、B它们也存在A包含B，或B包含A，或A与B相等的关系.类比生疑，引入课题概念形成分析示例：示例1：考察下列三组集合，并说明两集合内存在怎样的关系（1）A={1，2，3}B={1，2，3，4，5}（2）A={新华中学高（一）6班的全体女生}B={新华中学高（一）6班的全体学生}（3）C={x|x是两条边相等的三角形}D={x|x是等腰三角形}1．子集：一般地，对于两个集合A、B，如果A中任意一个元素都是B的元素，称集合A是集合B的子集，记作，读作：“A含于B”（或B包含A）2．集合相等：若，且，则A=B.生：实例（1）、（2）的共同特点是A的每一个元素都是B的元素.师：具备（1）、（2）的两个集合之间关系的称A是B的子集，那么A是B的子集怎样定义呢？学生合作：讨论归纳子集的共性.生：C是D的子集，同时D是C的子集.师：类似（3）的两个集合称为相等集合.师生合作得出子集、相等两概念的数学定义.通过实例的共性探究、感知子集、相等概念，通过归纳共性，形成子集、相等的概念.初步了解子集、相等两个概念.概念深化示例1：考察下列各组集合，并指明两集合的关系：（1）A=Z，B=N；（2）A={长方形}，B={平行四边形}；（3）A={x|x2–3x+2=0}，B={1，2}.1．Venn图用平面上封闭曲线的内部代表集合.如果，则Venn图表示为：AB示例1学生思考并回答.生：（1）（2）（3）A=B师：进一步考察（1）、（2）不难发现：A的任意元素都在B中，而B中存在元素不在A中，具有这种关系时，称A是B的真子集.示例3学生思考并回答.生：（1）直线x+y=2上的所有点（2）没有元素再次感知子集相等关系，加深对概念的理解，并利用韦恩图从“形”的角度理解包含关系，层层递进形成真子集、空集的概念.\n2．真子集≠≠如果集合，但存在元素x∈B，且xA，称A是B的真子集，记作AB(或BA).示例3考察下列集合.并指出集合中的元素是什么？（1）A={(x，y)|x+y=2}.（2）B={x|x2+1=0，x∈R}.3．空集称不含任何元素的集合为空集，记作.规定：空集是任何集合的子集；空集是任何非空集合的真子集.师：对于类似（2）的集合称这样的集合为空集.师生合作归纳空集的定义.能力提升一般结论：①.②若，，则.③A=B，且.师：若a≤a，类比.若a≤b，b≤c，则a≤c类比.若，，则.师生合作完成：（1）对于集合A，显然A中的任何元素都在A中，故.（2）已知集合，同时，即任意x∈Ax∈Bx∈C，故.升华并体会类比数学思想的意义.应用举例例1（1）写出集合{a、b}的所有子集；（2）写出集合{a、b、c}的所有子集；（3）写出集合{a、b、c、d}的所有子集；一般地：集合A含有n个元素则A的子集共有2n个.A的真子集共有2n–1个.学习练习求解，老师点评总结.师：根据问题（1）、（2）、（3），子集个数的探究，提出问题：已知A={a1，a2，a3…an}，求A的子集共有多少个？通过练习加深对子集、真子集概念的理解.培养学生归纳能力.归纳总结≠子集：任意x∈Ax∈B真子集：AB任意x∈Ax∈B，但存在x0∈B，且x0A.集合相等：A=B且≠空集（）：不含任何元素的集合性质：①，若A非空，则A.②.③，.师生合作共同归纳—总结—交流—完善.师：请同学合作交流整理本节知识体系引导学生整理知识，体会知识的生成，发展、完善的过程.课后作业1.1第二课时习案学生独立完成巩固基础提升能力第3课时集合的并集和交集教学内容师生互动设计意图\n教学环节提出问题引入新知思考：观察下列各组集合，联想实数加法运算，探究集合能否进行类似“加法”运算.（1）A={1，3，5}，B={2，4，6}，C={1，2，3，4，5，6}（2）A={x|x是有理数}，B={x|x是无理数}，C={x|x是实数}.师：两数存在大小关系，两集合存在包含、相等关系；实数能进行加减运算，探究集合是否有相应运算.生：集合A与B的元素合并构成C.师：由集合A、B元素组合为C，这种形式的组合就是为集合的并集运算.生疑析疑，导入新知形成概念思考：并集运算.集合C是由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的，称C为A和B的并集.定义：由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合.称为集合A与B的并集；记作：A∪B；读作A并B，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}，Venn图表示为：AB师：请同学们将上述两组实例的共同规律用数学语言表达出来.学生合作交流：归纳→回答→补充或修正→完善→得出并集的定义.在老师指导下，学生通过合作交流，探究问题共性，感知并集概念，从而初步理解并集的含义.应用举例例1设A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，求A∪B.例2设集合A={x|–1＜x＜2}，集合B={x|1＜x＜3}，求A∪B.例1解：A∪B={4,5,6,8}∪{3,5,7,8}={3,4,5,6,7,8}.例2解：A∪B={x|–1＜x＜2}∪{x|1＜x＜3}={x=–1＜x＜3}.–10123x师：求并集时，两集合的相同元素如何在并集中表示.生：遵循集合元素的互异性.师：涉及不等式型集合问题.注意利用数轴，运用数形结合思想求解.生：在数轴上画出两集合，然后合并所有区间.同时注意集合元素的互异性.学生尝试求解，老师适时适当指导，评析.固化概念提升能力探究性质①A∪A=A，②A∪=A，③A∪B=B∪A，④∪B，∪B.老师要求学生对性质进行合理解释.培养学生数学思维能力.形成概念自学提要：①老师给出自学提要，学生在老师的引导下自我学习交集知识，自我体会交集运算的含义.\n由两集合的所有元素合并可得两集合的并集，而由两集合的公共元素组成的集合又会是两集合的一种怎样的运算？②交集运算具有的运算性质呢？交集的定义.由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集；记作A∩B，读作A交B.即A∩B={x|x∈A且x∈B}Venn图表示ABA∩B并总结交集的性质.生：①A∩A=A；②A∩=；③A∩B=B∩A；④A∩，A∩.师：适当阐述上述性质.自学辅导，合作交流，探究交集运算.培养学生的自学能力，为终身发展培养基本素质.应用举例例1（1）A={2，4，6，8，10}，B={3，5，8，12}，C={8}.（2）新华中学开运动会，设A={x|x是新华中学高一年级参加百米赛跑的同学}，B={x|x是新华中学高一年级参加跳高比赛的同学}，求A∩B.例2设平面内直线l1上点的集合为L1，直线l2上点的集合为L2，试用集合的运算表示l1，l2的位置关系.学生上台板演，老师点评、总结.例1解：（1）∵A∩B={8}，∴A∩B=C.（2）A∩B就是新华中学高一年级中那些既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学组成的集合.所以，A∩B={x|x是新华中学高一年级既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学}.例2解：平面内直线l1，l2可能有三种位置关系，即相交于一点，平行或重合.（1）直线l1，l2相交于一点P可表示为L1∩L2={点P}；（2）直线l1，l2平行可表示为L1∩L2=；（3）直线l1，l2重合可表示为L1∩L2=L1=L2.提升学生的动手实践能力.归纳总结并集：A∪B={x|x∈A或x∈B}交集：A∩B={x|x∈A且x∈B}性质：①A∩A=A，A∪A=A，②A∩=，A∪=A，③A∩B=B∩A，A∪B=B∪A.学生合作交流：回顾→反思→总理→小结老师点评、阐述归纳知识、构建知识网络课后作业1.1第三课时习案学生独立完成巩固知识，提升能力，反思升华第4课时集合的全集与补集教学环节教学内容师生互动设计意图提出问题示例1：数集的拓展学生思考讨论.\n导入课题示例2：方程(x–2)(x2–3)=0的解集.①在有理数范围内，②在实数范围内.挖掘旧知，导入新知，激发学习兴趣.形成概念1．全集的定义.如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，称这个集合为全集，记作U.示例3：A={全班参加数学兴趣小组的同学}，B={全班设有参加数学兴趣小组的同学}，U={全班同学}，问U、A、B三个集关系如何.2．补集的定义补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作UA.即UA={x|x∈U，且}，Venn图表示AUAU师：教学学科中许多时候，许多问题都是在某一范围内进行研究.如实例1是在实数集范围内不断扩大数集.实例2：①在有理数范围内求解；②在实数范围内求解.类似这些给定的集合就是全集.师生合作，分析示例生：①U=A∪B，②U中元素减去A中元素就构成B.师：类似②这种运算得到的集合B称为集合A的补集，生师合作交流探究补集的概念.合作交流，探究新知，了解全集、补集的含义.应用举例深化概念例1设U={x|x是小于9的正整数}，A={1，2，3}，B={3，4，5，6}，求UA，UB.例2设全集U={x|x是三角形}，A={x|x是锐角三角形}，B={x|x是钝角三角形}.求A∩B，U(A∪B).学生先尝试求解，老师指导、点评.例1解：根据题意可知，U={1，2，3，4，5，6，7，8}，所以UA={4,5,6,7,8}，UB={1,2,7,8}.例2解：根据三角形的分类可知A∩B=，A∪B={x|x是锐角三角形或钝角三角形}，U(A∪B)={x|x是直角三角形}.加深对补集概念的理解，初步学会求集合的补集.性质探究补集的性质：①A∪(UA)=U，②A∩(UA)=.练习1：已知全集U={1,2,3,4,5,6,7}，A={2,4,5}，B={1,3,5,7}，求A∩(UB)，(UA)∩(UB).总结：(UA)∩(UB)=U(A∪B)，(UA)∪(UB)=U(A∩B).师：提出问题生：合作交流，探讨师生：学生说明性质①、②成立的理由，老师点评、阐述.师：变式练习：求A∪B，求U(A∪B)并比较与(UA)∩(UB)的结果.解：因为UA={1,3,6,7}，UB={2,4,6}，所以A∩(UB)={2,4}，(UA)∩(UB)={6}.能力提升.探究补集的性质，提高学生的归纳能力.\n应用举例例2填空（1）若S={2，3，4}，A={4，3}，则SA=.（2）若S={三角形}，B={锐角三角形}，则SB=.（3）若S={1，2，4，8}，A=，则SA=.（4）若U={1，3，a2+3a+1}，A={1，3}，UA={5}，则a.（5）已知A={0，2，4}，UA={–1，1}，UB={–1，0，2}，求B=.（6）设全集U={2，3，m2+2m–3}，A={|m+1|，2}，UA={5}，求m.（7）设全集U={1，2，3，4}，A={x|x2–5x+m=0，x∈U}，求UA、m.师生合作分析例题.例2（1）：主要是比较A及S的区别，从而求SA.例2（2）：由三角形的分类找B的补集.例2（3）：运用空集的定义.例2（4）：利用集合元素的特征.综合应用并集、补集知识求解.例2（7）：解答过程中渗透分类讨论思想.例2（1）解：SA={2}例2（2）解：SB={直角三角形或钝角三角形}例2（3）解：SA=S例2（4）解：a2+3a+1=5，a=–4或1.例2（5）解：利用韦恩图由A设UA先求U={–1，0，1，2，4}，再求B={1，4}.例2（6）解：由题m2+2m–3=5且|m+1|=3，解之m=–4或m=2.例2（7）解：将x=1、2、3、4代入x2–5x+m=0中，m=4或m=6，当m=4时，x2–5x+4=0，即A={1，4}，又当m=6时，x2–5x+6=0，即A={2，3}.故满足条件：UA={1，4}，m=4；UB={2，3}，m=6.进一步深化理解补集的概念.掌握补集的求法.归纳总结1．全集的概念，补集的概念.2．UA={x|x∈U，且}.3．补集的性质：①(UA)∪A=U，(UA)∩A=，②U=U，UU=，③(UA)∩(UB)=U(A∪B)，(UA)∪(UB)=U(A∩B)师生合作交流，共同归纳、总结，逐步完善.引导学生自我回顾、反思、归纳、总结，形成知识体系.\n课后作业1.1第四课时习案学生独立完成巩固基础、提升能力第二章：函数及其表示第一课时课型：新授课教学目标：（1）通过丰富实例，学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；（2）了解构成函数的三要素；（3）能够正确使用“区间”的符号表示某些集合。教学重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。教学难点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。教学过程：一、问题链接：1．讨论：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？2．回顾初中函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与之对应，此时y是x的函数，x是自变量，y是因变量。表示方法有：解析法、列表法、图象法.二、合作探究展示：探究一：函数的概念：思考1：（课本P15）给出三个实例：A．一枚炮弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为845米，且炮弹距地面高度h（米）与时间t（秒）的变化规律是。B．近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积的变化情况。（见课本P15图）C．国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量的高低。“八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表。（见课本P16表）讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着怎样的对应关系？三个实例有什么共同点？归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为：对于数集A中的每一个x，按照某种对应关系f，在数集B中都与唯一确定的y和它对应，记作：函数的定义：设A、B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么称为从集合A到集合B的一个函数（function），记作：其中，x叫自变量，x的取值范围A叫作定义域（domain），与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合叫值域（range）。显然，值域是集合B的子集。\n注意：①“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；②函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．思考2：构成函数的三要素是什么？答：定义域、对应关系和值域小试牛刀．1下列四个图象中，不是函数图象的是（B）.A.B.C.D.xy0-22xy0-222xy0-222xy0-222A.B.C.D.2．集合，，给出下列四个图形，其中能表示以M为定义域，N为值域的函数关系的是（B）.归纳：（1）一次函数y=ax+b(a≠0)的定义域是R，值域也是R；（2）二次函数(a≠0)的定义域是R，值域是B；当a>0时，值域；当a﹤0时，值域。（3）反比例函数的定义域是，值域是。探究二：区间及写法：设a、b是两个实数，且a5}、{x|x≤-1}、{x|x<0}（学生做，教师订正）（三）例题讲解：例1．已知函数，\n（1）求的值；（2）当a>0时，求的值。（答案见P17例一）【例2】已知函数.（1）求的值；（2）计算：.解：（1）由.（2）原式点评：对规律的发现，能使我们实施巧算.正确探索出前一问的结论，是解答后一问的关键.（四）随堂检测：1．用区间表示下列集合：2．已知函数f(x)=3x＋5x－2,求f(3)、f(-)、f(a)、f(a+1)的值；4．已知＝＋x＋1，则＝__3+____；f［］＝_57_____．5．已知，则=—1第二课时课型：新授课教学目标：（1）会求一些简单函数的定义域与值域，并能用“区间”的符号表示；（2）掌握复合函数定义域的求法；（3）掌握判别两个函数是否相同的方法。教学重点：会求一些简单函数的定义域与值域。教学难点：复合函数定义域的求法。教学过程：一、问题链接：1.提问：什么叫函数？其三要素是什么？函数y＝与y＝x是不是同一个函数？为什么？2.用区间表示函数y＝ax＋b（a≠0）、y＝ax＋bx＋c（a≠0）、y＝(k≠0)的定义域与值域。二、合作探究展示：探究一：函数定义域的求法：函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合。例1：求下列函数的定义域①；②；③.\n（1）如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R.（2）如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合.（3）如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合.（4）如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.（即求各集合的交集）（5）满足实际问题有意义.探究二：复合函数的定义域求法：（1）已知f(x)的定义域为（a,b），求f(g(x))的定义域；求法：由a