高中数学必修一教案 33页

高中数学《必修一》讲义学高为师，身正为范，学以致用，集思广益\n第一讲：集合的含义•表示及集合间的基本关系(一)集合的有关概念1.集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并II能判断一个给定的东西是否属丁这个总体。2.一般地，我们把研究对象统称为元素(element),一些元素组成的总体叫集合(set),也简称集。3.思考1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理山：(1)大于3小于11的偶数；(2)我国的小河流；(3)非负奇数；(4)方程?+1=0的解；(5)某校2007级新牛；(6)血压很高的人；(7)著名的数学家；(8)平面直角坐标系内所有第三象限的点(9)全班成绩好的学生。对学生的解答予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。4.关于集合的元素的特征(1)确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体対象，则或者是A的元素,或者不是A的元索，两种情况必有-•种且只有-•种成立。(2)互界性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体(对象),因此，同一集合中不应重复出现同一元索。(3)无序性：给定一个集合与集合里面元素的顺序无关。(4)集合相等：构成两个集合的元素完全一样。5.元素与集合的关系；(1)如果a是集合A的元素，就说a属于(belongto)A,记作：a^A(2)如果a不是集合A的元索，就说a不属于(notbelongto)A,记作：a《A例如，我们A表示“1〜20以内的所有质数”组成的集合，则有3GAC…表示，集合的元素用小6.集合与元素的字母表示：集合通常用大写的拉丁字母A,B,写的拉丁字母a,b,c,…表示。7.常用的数集及记法:非负整数集(或H然数集)，记作N；正整数集，记作N*或N+；整数集，记作乙有理数集，记作Q：实数集，记作R；例题讲解：例1.用“丘”或“笑”符号填空:(1)8—N：(2)0N；(3)-3Z；(4)^2Q；(5)设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国A,美国A,印度A,英国Ao例2.已知集合P的元素为-3/W-3,若3WP且・1WP,求实数m的值。\n(一)・集合的表示方法我们可以用H然语言和图形语言來描述一个集合，但这将给我们带來很多不便，除此Z外还常用列举法和描述法来表示集合。(1)列举法：把集合中的元素一一列举岀来，并用花括号“｛｝”括起来表示集合的方法叫列举法。如：｛1,2,3,4,5｝,｛x2,3x+2,5y3-x,x2+y2｝,…;说明：1.集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序。2.各个元素Z间要用逗号隔开；3.元素不能重复；4.集合小的元素可以数，点，代数式等；5.对于含有较多元素的集合，用列举法表示吋，必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号，象自然数集N用列举法表示为｛1,2,3,4,5,……｝例1・用列举法表示下列集合：(1)小于10的所冇自然数组成的集合；(2)方程x2=x的所有实数根组成的集合；(3)由1到20以内的所有质数组成的集合；fx+2y=0;(4)方程组7的解组成的集合。[2x-y=0.(2)描述法：把集合中的元索的公共屈性描述出來，写在花括号｛｝内。具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元索所具冇的共同特征。一■般格式：[xeAp(x)｝如：｛x|x・3>2｝,｛(x,y)|y=x2+l｝,｛x|直角三角形｝,…；说明：描述法表示集合应注意集合的代表元素，如｛(x,y)|y=x2+3x+2｝与｛y|y=x?+3x+2｝是不同的两个集合，只要不引起谋解，集合的代表元素也可省略，例如：｛x|整数｝,即代表整数集Z。辨析：这里的｛｝已包含“所有”的意思，所以不必写｛全体整数｝。下列写法｛实数集｝,｛R｝也是错误的。例2•试分别用列举法和描述法表示下列集合：(1)方程X?—2=0的所有实数根组成的集合；(2)由大于10小于20的所冇整数组成的集合；[x+y=3;―(3)方程组7的解。X-y=-l.说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，耍注意，-•般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。课堂练习：\n1.用适当的方法表示集合：大于0的所有奇数42.集合A={x|GZ,xeN},则它的元素是。x-33.已知集合A={x|-33},B={x|x<6},则AUB=。2.交集的定义：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，叫作集合A、B的交集（intersectionset）,记作AQB（读"A交B”）即:AAB={x|xeA,且xGB}用Venn图表示：（阴影部分即为A与B的交集）常见的五种交集的悄况:B讨论：AHB与A、B、BQA的关系?AQA=APIO=AABBAAAQB=A=>AAB=B=>巩固练习（口答）：①.A={3,5,6,8},B={4,5,7,8},则AAB=—;②.A={等腰三角形},B={直角三角形},贝IJAAB=③.A={x|x>3},B={x|x<6},贝ijAQB=。例题讲解：例1・设集合4={x-1<兀<2},B={x1<兀<3},求AUB.变式：A={x|・5WxW8}\n例2.设平面内直线厶上点的集合为L|,直线厶上点的集合为L2,试用集合的运算表示厶,厶的位置关系。4HT例3.己知集合A={xx2-nvc+m2-19=o},B=y2-5y+6=0C={z\z2+2z-S=O}是否存在实数m,同时满足AcBh0,AcC=0?(m=-2)(二)・全集、补集概念及性质1.全集的定义：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集(universeset)，记作U,是和对于所研究问题而言的一个札I对概念。2.补集的定义：对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合，叫作集合A相对于全集U的补集(complementaryset),记作：CVA,读作：“A在U中的补集”，即0；人={兀兀丘",且兀G人}用Venn图表示：(阴影部分即为A在全集U中的补集)□讨论：集合A与之间有什么关系？一借助Venn图分析AnC(;A=0,A,则C‘=,CUB=:②.设U={x|x<8,且xGN},A={x|(x-2)(x-4)(x-5)=0},则CL,A=:③.设U={三角形},A={锐饬三介形},则"=o例题讲解：例1.设集U=[x\x是小于9的正整数},A={1,2,3},B={3,4,5,6},求CVA,C〃.例2.设全集t/={x|x<4},®^A={x|-2,若例3.设全集U为R,A=|xx2+/?x+12=o|,(CM)cB={2},Ac(C〃B)={4},求AuBo集合复习（一）集合的基本运算：例1：设11=匕A={x|・56或xv・3},B={x|al},AUB={x|x+2>0},AAB={x|13},B={x|4x+m<0},当ArB吋，求实数m的取值范围。第三讲：函数的概念（一）函数的概念：思考1:给出三个实例：A.-•枚炮弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为845米，J1炮弹距地而高度力（米）与时间f（秒）的变化规律是/z=130r-5/2oB.近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞血积的变化情况。C.国际上常用恩格尔系数（食物支出金额一总支出金额）反映一个国家人民生活质量的\n高低。“八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表。讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着怎样的对应关系？三个实例有什么共同点？归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为：对于数集A屮的每一个兀，按照某种对应关系/,在数集B中都与唯一确定的y和它对应，记作：函数的定义：设A、B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系/,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B屮都有唯一确定的数/(兀)和它对应，那么称f.A^B为从集合A到集合3的一个函数(function)，记作:y=/W,xwA其小，x叫白变量，x的取值范围A叫作定义域(domain),与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合｛/(x)\xgA｝叫值域(range)。显然，值域是集合B的子集。(1)—次隊I数y=ax+b(aH0)的定义域是R,值域也是R；(2)二次函数y=ax2^-bx+c@H0)的定义域是R,值域是B；当a>0时，值域呂+沦笃"］；当a<0(l寸，值域B=』a；_b2。(3)反比例函数y=—伙hO)的定义域是｛兀卜工0｝,值域是｛歹卜工0｝。X(二)区间及写法：设a、b是两个实数，且aa,x>a,x5｝、｛x|xW・l｝、｛x|x<0｝例题讲解：例］.已知函数/*(兀)“-2兀+3,求f(0)、f(l)、f(2)、f(—l)的值。变式:求函数y=x2-2x+3,xe｛-1,0,1,2｝的值域例2.已知函数f(x)=>/^+3+—,x+22(1)求f(-3),/(-),/(/(-3))的值；(2)当a>0时,求f(a)9f(a-l)的值。课堂练习：1.用区间表示下列集合：x<4jJxx<4且兀工x<4且兀h0,兀H_1｝,｛兀xS0或兀>2｝2.已知函数f(x)=3x2+5x-2,求f(3)、f(・VT)、f(a)、f(a+l)的值;\n(二)函数定义域的求法：函数的定义域通常山问题的实际背景确定，如果只给出解析式y=f(x),而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式了有意义的实数的集合。例1：求下列函数的定义域(用区间表示)(1)f(x)-：一3；x-2(2)f(x)=\j2x-9;(3)f(x)=yjx+l—X;2-x*复合函数的定义域求法：(1)已知f(x)的定义域为(a,b),求f(g(x))的定义域；求法：由a-lo例4.当ni为何值时，方程?-4%+5=/n有4个互不相等的实数根。变式：不等式x已知几兀)=亠，求/(V2),/(/(3)),/(/(%)):x-10(X<0)已知/*(兀)=«n(兀=0),x+l(x>0)(1)作HI/W的图象；(2)求/(I),/(-I),/(0),/{/[/(-I)]}的值例题：例1.己知函数f(x)=4x+3,g(x)=x2,求f[f(x)],f[g(x)],g[f(x)],g[g(x)J-4|x|+5>m对兀w/?恒成立,求m的取值范围。课堂练习：2.画出函数f(x)=1)(二)复习总结1一4兀+3基础习题练习：1.说出下列函数的定义域与值域：>?=—-—；j=x2-4x+3；y=—3兀+5jT\n例2.求下列函数的定义域:(x+1)0厶2_4V=x2+2x-3例3.若函^y=(a2-l)x2+(a-l)x+^-的定义域为R,求实数a的取值范围.VQ+1例4.长沙移动公司开展了两种通讯业务：“全球通”，刀租50元，每通话1分钟，付费0.4元；“神州行”不缴月租,每通话1分钟,付费0.6元.若一个月内通话x分钟,两种通讯方式的费用分别为必,%(元)・(1)•写出刃』2与X之间的函数关系式？(2).—个月内通话多少分钟，两种通讯方式的费用相同？(3).若某人预计一个月内使用话费200元，应选择哪种通讯方式？巩固练习:。11.已知f(x)=x2-x+3,求：f(x+l),f(—)的值；x2.若/(仮+l)=x+2仮，求函数/(兀)的解析式；3•设二次函数/(兀)满足/(X+2)=/(2-x)且/(x)=0的两实根平方和为10,图象过点(0,3),求/(兀)的解析式.4•已知函数f(x)=目3x-\ax2+ax_3的定义域为R,求实数a的取值范|札第六讲：单调性与最大(小)值(一)一、复习准备：1•引言：函数是描述事物运动变化规律的数学模型，那么能否发现变化中保持不变的特征呢？(小结描点法的步骤：列表一描点一连线)2.观祭下列各个函数的图象，并探讨下列变化规律：①随x的增人，y的值有什么变化？②能否看出函数的最大、最小值？③函数图象是否具有某种对称性？3.画出函数f(x)=x+2、f(x)=x2的图像。二、讲授新课：1・教学增函数、减函数、单调性、单调区间等概念:①根据f(x)=3x+2、f(x)=x2(x>0)的图象进行讨论：随X的增人，函数值怎样变化？当X)>X2时，f(X])与f(X2)的人小关系怎样？②.一次函数、二次函数和反比例函数，在什么区间函数有怎样的增人或减小的性质？③定义增函数：设函数尸f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个口变量X|,X2,当X|y=x3的单调性并证明。\n1.讨论f(x)=x2-2x的单调性。推广：二次*|数的单调性四、小结：比较函数值的大小问题，运用比较法而变成判别代数式的符号。判断单调性的步骤：设X]、X2e给定区间，且X10)的单调区间及单调性，并进行证明。1.f(x)=ax2+bx+c的最小值的情况是怎样的？2.知识回顾：增函数、减函数的定义。二、讲授新课：1・教学函数最大(小)值的概念：①指出下列函数图彖的最高点或最低点，一能体现函数值有什么特征？f(x)=-2x+3,f(x)=-2x+3xg[-1,2]；/(x)=x2+2x+1,f(x)=x2+2x+l"[-2,2]②定义最大值：设函数y=f(x)的定义域为如果存在实数M满足：对于任意的xWZ,都冇f(x)WM；存在x()W/,使得f(x0)=M.那么，称M是函数y=f(x)的最大值(MaximumValue)③探讨：仿照最大值定义，给出最小值(MinimumValue)的定义.一些什么方法可以求最大(小)值？(配方法、图象法、单调法)一试举例说明方法.2、例题讲解：2例1・求函数y=在区间[2,6]上的最大值和最小值.x-1\n例2.求函数y=x+\/\-x的最大值探究：j=—的图象与y=2的关系？x-2x（解法一：单调法；解法二：换元法）三.巩固练习：1.求下列函数的最人值和最小值:、3（1）y=3-2x-x2,xe[——，—]:12（2）y=|x+11-1x-21值）2•—个星级旅馆冇150个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率的数据如右：欲使每犬的的营业额最高，应如何定价？（分析变化规律一建立函数模型〜求解最大房价（元）住房率（％）160551406512075100853、求函数y=2x+Vx-1的最小值.四、小结：求函数最值的常用方法有：(1)配方法：即将函数解析式化成含有口变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的最值.(2)换元法：通过变量式代换转化为求二次函数在某区间上的最值.(3)数形结合法：利用函数图象或几何方法求出最值.\n第八讲：函数的奇偶性一、复习准备：1.提问：什么叫增函数、减函数？2.指；llf(x)=2x2-1的单调区间及单调性。一变题：|2x2—1|的单调区间3.对于f(x)=x、f(x)=x2>f(x)=x\f(x)=x4,分别比较f(x)与f(-x)o二、讲授新课：1・教学奇函数、偶函数的概念：①给出两组图象:f(x)=X>/(x)=丄、f(x)=X3；f(x)=x2>f(x)=\x\.X发现各组图象的共同特征f探究断数解析式在函数值方面的特征②定义偶函数：一般地，対于函数/(X)定义域内的任意一个兀，都有/(-X)=/(X),那么函数/(兀)叫偶函数(evenfunction).③探究：仿照偶函数的定义给出奇函数(oddfunction)的定义.(如果对于函数定义域内的任意一个x,都有/(-x)=-/(x)),那么函数/⑴叫奇函数。④讨论：定义域特点？与单调性定义的区别？图象特点？(定义域关于原点対称；整体性)⑤练习：己知f(x)是偶函数，它在y轴左边的图像如图所示，画出它右边的图像。(假如f(x)是奇函数呢？)1.教学奇偶性判别：例1・判断下列函数是否是偶函数.(1)/(x)=x2xe[-\,2]\n(2)x3-x2f(x)=—-x-\例2.判断卜•列函数的奇偶性(1)f(x)=x4(2)f(x)=x5-x2+\(x>0)⑸g(x)=J_丄x2-\(x<0)2(3)/(x)=x+—(4)f(x)=—.X对(6)y=J]_兀2+7x2-14、教学奇偶性与单调性综合的问题：①出示例：已知f(x)是奇函数，且在(0,+8)上是减函数，问f(x)的(・8,0)上的单调性。②找一例子说明判别结果(特例法)一按定义求单调性，注意利用奇偶性和已知单调区间上的单调性。(小结：设f转化f单调应用f奇徜应用f结论)③变题：已知f(x)是偶函数，且在[a,b]±是减函数，试判断f(x)在卜b,・a]上的单调性，并给出证明。三、巩固练习：1、判别下列函数的奇偶性:f(x)=|x+l|+|x-l|1.1r0、f(x)=—xf(x)=x+—、f(x)=、f(x)=x2,xe[-2,3]兀\+x1.设f(x)=ax7+bx+5,已知f(—7)=—17,求f(7)的值。2.已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数，且f(x)-g(x尸占’求f(x)、g(x)。3.已知函数f(x),对任意实数x、y,都有f(x+y)=f(x)+f(y),试判别f(x)的奇偶性。(特值代入)4.已知f(x)\n是奇函数，且在［3,7］是增函数H.最大值为4,那么f(x)在卜7,・3］上是()函数,且最—值是o四、小结本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常冇两种方法，即定义法和图彖法,川定义法判断两数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称，单调性与奇偶性的综合应用是木节的一个难点，需要学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质.第九讲：函数的基本性质运用一、复习准备：1•讨论：如何从图象特征上得到奇函数、偶函数、增函数、减函数、最大值、最小值？1.提问：如何从解析式得到奋函数、偶函数、增函数、减函数、最人值、最小值的定义？二、教学典型习例：1・函数性质综合题型：①例1：作出函数y=x?—2|x|—3的图像，指出单调区问和单调性。分析作法：利用偶函数性质，先作y轴右边的，再对称作。思考：y=|x?—2x—3|的图像的图像如何作？②讨论推广：如何由于(兀)的图象,得到/(|x|).|/(x)|的图象?③出示例2：已知f(x)是奇函数，在(0,十8)上是增函数，证明：f(x)在(一8,0)上也是增函数分析证法f教师板演f变式训练④讨论推广：奇函数或偶函数的单调区间及单调性有何关系？(偶函数在关于原点对称的区间上单调性和反；奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致)2.教学函数性质的应用：①出示例:求函数f(x)=x+—(x>0)的值域。x分析：单调性怎样？值域呢？一小结：应用单调性求值域。一探究：计算机作图与结论推广②出示例：某产品单价是120元，可销售80万件。市场调查后发现规律为降价x元后可多销售2x万件，写出销售金额y(万元山x的函数关系式，并求当降价多少个元吋，销售金额最大？最人是多少？分析：此题的数量关系是怎样的？函数呢？如何求函数的最大值？\n小结：利用函数的单调性(主要是二次函数)解决有关最大值和最人值问题。1•基本练习题：1、判别卜•列函数的奇偶性：y=J1+兀+Jl-x、y={(变式训练:f(x)偶函数,当x>0时，f(x)=....,则xvo时,2、求函数y=x+j2x-\的值域。3、判断函数尸丄二单调区间并证明。X+1(定义法、图象法；推广：竺巴的单调性)ax+b4、讨论y=71-x2在卜1,1］上的单调性。三、巩固练习：21.求函数为奇函数的吋，a、b、c所满足的条件。X+C2•己知函数f(x)=ax$+bx+3a+b为偶函数，其定义域为［a-1,2a］,x2+x(x>0)+x(x<0)f(x)=?)求函数值域。3・f(x)是定义在(丄1)上的减函数，如何f(2-a)-f(a-3)<0o求a的范围。1.求二次函数f（x）=x2-2ax+2在［2,4］上的最大值与最小值。\n第十讲：指数与指数幕的运算一•指数函数模型应用背景：实例1.某市人口平均年增长率为1.25%,1990年人口数为。万，则x年后人口数为多少万？实例2.给一张报纸，先实验最多可折多少次（8次）计算：若报纸长50cm,宽34cm,厚0.01mm,进行对折x次后，问对折后的面积Ai厚度？②问题1.国务院发展研究中心在2000年分析，我国未来20年GDP（国内生产总值）年平均增长率达7.3%,则x年后GDP为2000年的多少倍？问题2.生物死亡麻，体内碳14每过5730年衰减一半（半衰期），则死亡/年后体内碳1J—14的含量P为死亡吋碳14的关系为P=（丄严0.探究该式意义？2③小结：实践中存在着许多指数函数的应用模型，如人口问题、银行存款、牛物变化、自然科学.二•根式的概念及运算：①复习实例蕴含的概念：（±2）2=4,±2就叫4的平方根；3’=27,3就叫27的立方根.探究：（±3）4=81,±3就叫做81的？次方根，依此类推，若那么兀叫做。的次方根.②定义n次方根：一般地，若兀"=a,那么兀叫做a的n次方根.（nthroot），其中n>\简记：咖.例如：23=8,则V8=2③讨论：当n为奇数时,n次方根情况如何？，例如：V27=3,V=27=-3,记：x=y［ci当n为偶数时，正数的n次方根情况？例如：仕3）4=81,81的4次方根就是±3,记:士亦强调：负数没有偶次方根,0的任何次方根都是0,即.Vo=o④练习：b4=a,则a的4次方根为；D=a,则a的3次方根为.\n①定义根式：像丽的式子就叫做根式（radical）,这里n叫做根指数（radicalexponent）,a叫做被开方数（radicand）.②计算（的尸、疗、V（-2T-探究：（転）"、0的意义及结果？（特殊到一般）/——/~~[a（a>0）结论：（丽）“当〃是奇数时，^an=6/；当〃是偶数时，UN1=]z八、[-a（a<0）例题讲解求下列各式的值(1)<<(2)J(-10)2(3)#(3_汀(4)y](a-b)2巩固练习：1.计算或化简：転迈；好（推广：’転頑=奶，6/>0）.2、化简：丁5+2«+4馆-J6-4血；2V3xVL5xV123、求值化简：V(-«)3:&-7)"；&(3-龙)6；^l(a-b)2(avb)三•分数指数冨概念及运算性质：①引例：心>0时，yja]（｝=护夕）〉=a2=a5—yja]2=?；\la2=y（6f3）3=a3f\[a=?.①定义分数指数幕：a>0,m,neN,n>1)—i_m规定a"=&T(q〉0,wan①练习：A.将下列根式写成分数指数幕形式：奸（a>0wwN5>l）；疗；VFB.求值273；55；63；a2.②讨论：0的正分数指数幕？0的负分数指数幕？⑤指出：规定了分数指数幕的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幕的运算性质也同样町以推广到有理数指数帚.指数幕的运算性质：a>0.h>0,r.sgQar•/=aw；(ary=ars；(ahy=aras.四、无理指数幕3逅的结果？一定义：无理指数幕.无理数指数幕d"（d>0,a是无理数）是一个确定的实数.巩固练习：\n241、求值:27亍；16=;4922532、化简：（3历沪）（一8/庚）*（一6亦沪）；（加菇）"（2”为2・（J_）2”+】1.计算：-4—的结果2.若色=3,知=384,求％［（如『严的值第十一讲：指数函数及其性质一.指数函数模型思想及指数函数概念：①探究两个实例：A.细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分裂成8个，如此下去，如果第无次分裂得到y个细胞，那么细胞个数y与次数兀的函数关系式是什么？B.一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原來的84%,那么以时间兀年为自变量，残留量y的函数关系式是什么？②讨论：上而的两个函数有什么共同特征？底数是什么？指数是什么？③定义：一般地，函数y=ax（a>0,JlaHl）叫做指数函数（exponentialfunction）,其中x是白变量，两数的定义域为E④讨论：为什么规定a>0且dHl呢？否则会出现什么情况呢？-举例：生活屮其它指数模型？二.指数函数的图象和性质：①讨论：你能类比前面讨论函数性质时的思、路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？②回顾：研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质.研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、授大（小）值、奇偶性.③作图：在同一坐标系屮画出下列函数图象：y=（-）r,y=2”2④探讨：函数y=2"与=（|）A的图象有什么关系？如何由y=2"的图象画出y=的图象？根据两个函数的图象的特征，归纳出这两个指数函数的性质.一变底数为3或1/3等后？⑤根据图象归纳：指数函数的性质例题讲解例1:己知指数函数/（X）=ax（a>0且oHl）的图象过点（3,n）,求/（0）,/⑴,/（-3）的值.例2：比较下列各题屮的个值的人小例3：求下列畅数的定义域:\n4(1)y=2^一.指数函数的应用模型：①例1：我国人口问题非常突出，在耕地面积只占世界7%的国土上，却养育着22%的世界人口.因此，中国的人口问题是公认的社会问题.2000年第五次人口普查，中国人口已达到13亿，年增长率约为1%.为了有效地控制人口过快增长，实行计划生育成为我国一项基本国策.(I)按照上述材料中的1%的增长率，从2000年起，x年后我国的人口将达到2000年的多少倍？(II)从2000年起到2020年我国的人口将达到多少？练习：2010年某缜工业总产值为100亿，计划今后每年平均增长率为8%,经过兀年后的总产值为原来的多少倍？一变式：多少年后产值能达到120亿？③小结指数函数增长模型：原有量N,平均最长率”，则经过时间x后的总呆尸？一一般形式：二.指数形式的函数定义域、值域：①讨论：在[加,可上，f(x)=ax(a>0f].a^l)值域？②例1.求下列函数的定义域、值域：丿=2才+1;y=3却；y=0.4^.②例2.求函数y=^~x-j的定义域和值域.讨论：求定义域如何列式？求值域先从那里开始研究?例题讲解2'-1例1求函数—的定义域和值域，并讨论函数的单调性、奇偶性.2+1例2截止到1999年底，我们人口哟13亿，如果今后，能将人口年平均均增长率控制在1%,那么经过20年后，我国人口数最多为多少(精确到亿)？例3、已知函数y=9x-2>3v+2,xG[l,2],求这个函数的值域巩固练习：1.函数y=(a2-3a+3)ax是指数函数，则亦勺值为\n2、比较人小：a=0.8°70=0.8",c=1.208；3、探究：在［加,加上，f（x）=ax（a>0且aHl）值域?4、一*片树林中现有木材30000m3,如果每年增长5%,经过x年树林中有木材ym‘，写出x,y间的函数关系式，并利用图象求约经过多少年，木材可以增加到40000m3第十二讲:对数与对数运算一、复习准备：1.问题1：庄了：一尺Z極，口取其半，万世不竭.（1）収4次，还有多长？（2）取多少次，还有0.125尺？（得到：（丄）4=?,（-/=220.125=>%=?）2.问题2：假设2010年我国国民主产总值为a亿元，如果每年平均增长8%,那么经过多少年国民生产是2010年的2倍？（得到：（l+8%）v=2=>x=?）问题共性：已知底数和帚的值，求指数怎样求呢？例如:由1.01"=加求兀二、讲授新课：1・对数的概念：①定义U地，如果ax=N（6?>0,^^1）,那么数x叫做以c为底/V的对数（logarithm）.记作兀=log“N,其中a叫做对数的底数，N叫做真数.②定义：我们通常将以10为底的对数叫做常川对数（commonlogarithm）,并把常川对数log10N简记为IgM在科学技术中常使用以无理数e=2.71828……为底的対数，以e为底的对数叫自然对数，并把自然对数logeN简记作InMf认识:lg5;lg3.5；lnlO；ln3③讨论：指数与对数间的关系（a〉0,QHl时，，ax=N<=>x=lognN）负数与零是否冇对数？（原因：在指数式中N>0）log」二？，logfla=?©：对数公式R恨“=N,log,"=n2•指数式与对数式的互化：①例1.将下列指数式写成对数式:5—25；2一7=丄；3"=27；10—0.01128②出示例2.将下列对数式写成指数式：log|32=-5；lg0.001=-3；In100=4.606例1将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.\n(1)5—645(4)log]16=2⑵26=64(3)(V=5.733(6)logc10=2.303-4(5)log100.01=-2例2：求下列各式屮(1)logMX=X的值2_3(2)logv8=6(3)lgl00=x(4)-lne2=x1•对数运算性质及推导：①引例:由apaq=ap+q,如何探讨log,MN和log。M、log。N•之间的关系？设logflM=p,logaN=qf由对数的定义可得：M=af,N=卍・:.MN=apaq=ap^qlog“MN=p^q,即得log“MN=logt/M+log“N.②探讨：根据上而的证明，能否得出以下式子？如果d>0,gh1,M>0,N>0,贝【JMlogJMN)=gM+loguN;g—=log(lM・log(lN；logaMn=nlogaM(neR)N③讨论：自然语言如何叙述三条性质？性质的证明思路？④运用换底公式推导卜列结论：log,,,b"=—\ogab；logub=—J—"fnlogz,a教学例题：例3•判断卜•列式子是否正确，(a>0JlaHl,兀>0jldHl,兀>0,x>y),⑴logax-logay=logjx+y)(2)logflx-logay=loga(x-y)(3)log“一=logn—log“yy(1)logaxy=logax-\ogay(1)logax=-loga-例4：用logfZx,logf/y,logf/z表示出(1)(2)小题，并求出(3)、(4)小题的值.⑴log严Z(2)(3)log2(47x25)(4)lgVlOO巩固练习：1.计算：log927；1喝243；log的81;10&2+巧)(2->5);log^625.2.求/恥呱沁少的值(a,b,cwR：且不等于1,N>0).\n31g2=a,lg3=b,试用Q、b表示log512.变式：已知lg2=0.3010,lg3=0.4771,求lg6、lgl2、lg巧的值.4计算：酗-2岭即期8；需lgL25设％。为正数，时=4",求证:-冷X6求log逅:的值第十三讲：对数函数及其性质1•对数函数的图象和性质：①定义：一般地，当a>0且°H1时,函数y=logax叫做对数函数（logarithinicfunction）.|z|变量是x；函数的定义域是（0,+8）②辨析：对数函数定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别，如：y=21og2x,y=log5（5兀）都不是对数函数，而只能称其为对数型函数；对数函数对底数的限制（a〉0,且dH1）.①探究:你能类比前面讨论指数函数性质的思路，提出研究对数函数性质的内容和方法吗?研究方法：画出函数的图彖，结合图彖研究函数的性质.研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性.②练习：同一坐标系中画出下列对数函数的图象y=log2x；y=log05x⑤讨论：根据图象，你能归纳出对数函数的哪些性质？列表归纳：分类一图象一由图象观察（定义域、值域、单调性、定点）引屮：图象的分布规律？2、总结出的表格图象的特征函数的性质（1）图象都在y轴的右边（1）定义域是（0,+8）（2）函数图象都经过（1,0）点（2）1的对数是0（3）从左往右看，当G>1吋，图彖逐渐上升，当0\吋，函数图象在（1,0）点右边的纵坐标都大于0,在（1,0）点左边的纵坐标都小于0・当0V。<1时，图象正好相反，在（1,0）点右边的纵坐标都小于0,在（1,0）点左边的纵坐标都大于0・(4)当a>\吋X>1,则log“x>001,则log^x<0\n00且aHl)例2•比较下列各组数中的两个值大小(1)log23.4,log28.5(2)log()§1.8,log032.72函数模型思想及应用：①例题：溶液酸碱度的测量问题：溶液酸碱度pH的计算公式其中［/T］表示溶液中氢离了的浓度，单位是摩尔/升.（I）分析溶液酸碱读与溶液屮氢离子浓度之间的关系？（II）纯净水［丹+］=10一7摩尔/升，计算纯净水的酸碱度.②讨论：抽象出的函数模型？如何应用函数模型解决问题？一强调数学应用思想3反函数的教学：①引言:当一个函数是--一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新函数的自变量，而把这个函数的自变量新的函数的因变量.我们称这两个函数为反函数（inversefimction）②探究：如何由y=2”求出x?③分析：函数^=log2y由y=2"解出，是把指数函数y=2X中的口变量与因变量对调位置而得出的.习惯上我们通常用兀表示口变量，y表示函数，即写为yJog?/.那么我们就说指数函数y=2X与对数函数y=log2x互为反函数④在同一平面直角坐标系中，画出指数函数y=2x及其反函数y=10幻乂图彖，发现什么性质？⑤分析：取）=2"图象上的儿个点，说出它们关于直线y=x的对称点的处标，并判断它们是否在yJog?兀的图象上，为什么？⑥探究：如果加兀o，）b）在函数）匸2"的图象上，那么关于总线），=兀的对■称点在函数y=log2x的图象上吗，为什么？例题讲解例3求下列函数的反函数y=iog().5兀（1）y=5V（2）例4求函数log】（兀2一6兀+17）的定义域、值域和单调区间2巩固练习：1求下列函数的定义域：y=log（）2（-尢-6）；y=^J\og2x.2比较卜-列各题小两个数值的大小：log23和log23.5；log034和log。丿0.7；\n3已知下列不等式，比较正数m.n的大小：log3wlog03n;log"加>log“”(Q>1)1探究：求定义域y=Jlog2(3兀-5)；y=^/log054x-3.5己知函数f(x)=ax-k的图象过点(1,3)其反函数y=/■'(%)的图象过(2,0)点,求/(兀)的表达式.第十四讲：幕函数一、新课引入：(1)边长为a的正方形面积S=q2,这里s是q的函数;(1)面积为S的正方形边长a=S—这里a是S的函数；(2)边长为a的立方体体积V=,这里V是a的函数；(3)某人於内骑车行进了1灯舁，则他骑车的平均速度v=t-ikm/s,这里u是/的函数;(4)购买每本1元的练习本VV本，则需支付p=W7G,这里”是W的函数.观察上述五个函数，有什么共同特征？二、讲授新课：1、需函数的图象与性质①给出定义：一般地，形如y=x"(ae/?)的函数称为幕函数，其中&为常数.②练：判断在函数y=丄,)'，=2/」=十-x,y=1中，哪几个函数是幕函数?1①作出下列函数的图象：(1)y=x；(2)y=x丄；(3)y=x2；(4)y-x~}；(5)y=x例2.比较大小：(d+1)^与a"；(2+/戸与丁儿1」2与092.②观察图象，归纳概括帚函数的的性质及图象变化规律：(1)所有的幕函数在(0,+°°)都有定义，并且图象都过点(1,1)；(II)&>0时，幕函数的图象通过原点，并且在区间［0,+8)上是增函数.特别地，当Q>1时，幕函数的图象下凸；当0时，幕函数的图象上凸；(II)avO时,幕函数的图象在区间(0,+oo)上是减函数.在第一象限内,当兀从右边趋向原点时，图彖在y轴右方无限地逼近y轴」E半轴，当兀趋于+00时，图象在兀轴上方无限地逼近兀轴正半轴.2、教学例题:例1.证明幕函数/(对=依在［0,+00］上是增函数\n三、巩固练习：21、论函数y=x1的定义域、奇偶性，作岀它的图象，并根据图象说明函数的单调性.3366_332.比较下列各题中幕值的大小:23与2.4S0.315与0.355；（迈）二与（巧戸.基本初等函数复习一、复习准备：1.提问：指数两数、对数函数、幕函数的图彖和性质.2.求下列函数的定义域：y=82x-1；y==ioga（1-x）2（a>0,Mr/1）3.比较下列各组中两个值的人小：logj与1（^6；log3〃与log2（）&1.0円与1.01"二、典型例题：例1：已知1005427=0,54b=3,用a上表示log10881的值例2、x-2的定义域为例3、函数尸（*）宀⑷的单调区间为.]+工例4、已知函数/（兀）=log,—（a>0且a丰1）.判断f（x）的奇偶性并予以证明.1-x例5、按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为八设本利和为y元，存期为x,写出本利和y随存期兀变化的函数解析式•如杲存入本金1000元，每期利率为2.25%,试计算5期后的本利和是多少（精确到1元）？（复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和木金加在一起算做木金，再计算下一期的利息.）\n（小结：掌握指数函数、对数函数、幕函数的图象与性质，会用函数性质解决一些简单的应用问题.）三、巩固练习：1.两数y=log3（-4x-5）的定义域为值域为2.函数y=2一宀弘+2的单调区间为.3.若点（2,丄）既在函数y=2^+,?的图象上，又在它的反函数的图彖上，则。=4b=4.函数y=ax-2（a>0,且。工1）的图象必经过点.5.计算0.064刁4?,4_[(-2)3f3+16'075+0.0P6.求下列函数的值域:152-(5)(logflx)n=nlogax